11.3 第2课时 等腰三角形的综合应用-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学课件聚焦等腰三角形的综合应用，涵盖特殊性质（中线、高、角平分线相等）及性质与判定的综合应用。课堂从基础性质例题切入，通过中线、高、角平分线性质题建立知识支架，逐步过渡到全等证明，再延伸至综合应用，构建从基础到综合的学习脉络。 其亮点在于以核心素养为导向，突出推理能力与应用意识。通过中考真题、教材变式题及推理探究题，引导学生用几何直观分析问题，借助全等证明、分类讨论培养逻辑推理。学生能提升综合解题能力，教师可利用分层题目实施精准教学，提高教学效率。

第十一章　三角形的证明及其应用 3　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的综合应用 初中数学培优课堂  　等腰三角形的特殊性质 1.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BD,CE分别为AC,AB上的中线. 若BD=7,则CE的长度为 ( )   A.3.5　　    B.4　　    C.7　　    D.8     C     初中数学培优课堂 解析　根据等腰三角形两腰上的中线相等,可得BD=CE=7,故 选C. 初中数学培优课堂 2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB, 则图中全等的三角形共有 (        )   A.3对　　    B.4对　　    C.5对　　    D.6对 A 初中数学培优课堂 解析　根据等腰三角形两底角的平分线相等可得BD=CE. 如图,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB, ∴∠1= ∠ACB,∠2= ∠ABC, ∴∠1=∠2, 根据SAS可判定△ABD≌△ACE,∴AE=AD, ∴AB-AE=AC-AD,即BE=CD, 根据SAS可判定△BCD≌△CBE, 初中数学培优课堂 根据AAS可判定△BOE≌△COD.故选A.   初中数学培优课堂 3.如图,在△ABC中,AB=AC=8,BD,CE分别为AC,AB上的高,则 下列结论不一定正确的是 ( )     C     A.BD=CE　　　     B.AE=AD C.∠BCE=45°　　　     D.∠ABD=∠ACE 初中数学培优课堂 解析　根据等腰三角形两腰上的高相等可得BD=CE,故选项 A结论正确,不符合题意. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵BD,CE分别为AC,AB上的高, ∴∠BEC=∠BDC=90°, 又∵BC=CB,∴△BEC≌△CDB(AAS), ∴BE=CD,∠BCE=∠CBD, ∴AE=AD,∠ABD=∠ACE,故选项B,D结论正确,不符合题意. 由已知条件无法得出∠BCE的度数,故选项C结论不一定正确, 符合题意.故选C. 初中数学培优课堂 4.如图,BD,CE是△ABC的高,且OB=OC,求证:△ABC是等腰三 角形.   初中数学培优课堂 证明　∵BD,CE是△ABC的高, ∴∠BEC=∠CDB=90°, ∵∠EOB=∠DOC,∴∠EBO=∠DCO. ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形. 初中数学培优课堂  　等腰三角形性质和判定的综合应用 5.(2024重庆中考B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平 分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为_________.       2     初中数学培优课堂 解析　∵AB=AC,∴∠ABC=∠C, ∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∠A=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°, ∴∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72°, ∴∠BDC=∠C,∴BD=BC=2, ∵∠A=∠ABD=36°,∴AD=BD=2. 初中数学培优课堂 6.(2025山东菏泽曹县八校联考期中)已知:AD平分∠BAC,AD ∥CE,AF⊥CE,求证:EF=CF.   初中数学培优课堂 证明　∵AD∥CE,∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACF, ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC, ∴∠E=∠ACF,∴AC=AE, ∵AF⊥CE,∴EF=CF. 初中数学培优课堂 7.如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E. (1)求证:∠EBD=∠EDB. (2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.   初中数学培优课堂 解析    (1)证明:∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠CBD=∠EBD, ∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB. (2)CD=ED.理由:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC, ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, ∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE, 由(1)得∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED. 初中数学培优课堂   8.(2025山东德州齐河期末,★★☆)如图,在△ABC中,AD平分 ∠BAC,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC,交AB于点E,若AB= 6,则DE的长为 ( )   A.2.5　　    B.3　　    C.3.5　　    D.4     B     初中数学培优课堂 解析　∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE, ∴∠BAD=∠ADE,∴AE=DE, ∵AD⊥DB,∴∠ADB=90°, ∴∠EAD+∠ABD=∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°. ∴∠ABD=∠BDE,∴DE=BE. ∵AB=6,∴DE=BE=AE= AB=3. 初中数学培优课堂 9.(2025江苏南京一中月考,★★☆)如图,D为△ABC内一点, CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若BD=1,BC=3,则AC的 长为_________.       5     初中数学培优课堂 解析　如图,延长BD,与AC交于点E,   ∵∠A=∠ABD,∴BE=AE,∵BD⊥CD,∴BE⊥CD, ∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ECD,∴∠EBC=∠BEC,∴BC= CE,∵BE⊥CD,∴2BD=BE,∵BD=1,BC=3,∴BE=2,CE=3,∴AE =BE=2,∴AC=AE+EC=2+3=5.故答案为5. 初中数学培优课堂 10.【学科特色·教材变式】(2025山东青岛西海岸期中,★★ ☆)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,E为CA的延长线上一点, 过点E作EF∥AD,分别交AB,BC于点P,F. (1)求证:△AEP是等腰三角形. (2)若AD=BD,求∠E的度数.   初中数学培优课堂 解析    (1)证明:∵AB=AC,BD=CD, ∴∠BAD=∠CAD, ∵EF∥AD,∴∠E=∠CAD,∠APE=∠BAD, ∴∠E=∠APE,∴AE=AP,∴△AEP是等腰三角形. (2)∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵AD=BD=CD,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD, ∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=180°, ∴∠B=∠BAD=∠C=∠CAD=45°, ∴∠E=∠CAD=45°. 初中数学培优课堂   11.【新课标·推理能力】(2025广东广州黄埔期中)已知在△ ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,∠BCD=∠A. (1)如图1,试说明CD=CB的理由. (2)如图2,过点B作BE⊥AC,垂足为点E,BE与CD相交于点F. ①试说明∠BCD=2∠CBE的理由. ②如果△BDF是等腰三角形,求∠A的度数. 初中数学培优课堂 解析    (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠BDC是△ADC的一个外角, ∴∠BDC=∠A+∠ACD, ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,且∠BCD=∠A, ∴∠BDC=∠ACB,∴∠ABC=∠BDC, ∴CD=CB. (2)∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°, ∴∠CBE+∠ACB=90°, 设∠CBE=α(α>0°),则∠ACB=90°-α, 初中数学培优课堂 ①由(1)得∠ABC=∠ACB=∠BDC=90°-α, ∴在△BDC中,∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-α)- (90°-α)=2α, ∴∠BCD=2∠CBE. ②∵∠BFD是△CBF的一个外角, ∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α, 若△BDF是等腰三角形,则分三种情况讨论: 当BD=BF时,∠BDC=∠BFD=3α, ∵∠BDC=90°-α,∴90°-α=3α,解得α=22.5°, 初中数学培优课堂 此时∠A=∠BCD=2α=45°; 当DB=DF时,∠DBF=∠BFD=3α, ∵∠DBF=∠ABC-∠CBE=(90°-α)-α=90°-2α, ∴90°-2α=3α,解得α=18°,此时∠A=∠BCD=2α=36°; 当FB=FD时,∠FBD=∠FDB, ∵∠DBF=∠ABC-∠CBE=(90°-α)-α=90°-2α, ∴∠BDF=180°-∠DBF-∠BFD,即90°-2α=180°-(90°-2α)-3α,解得α=0°,该情况不成立. 综上所述,若△BDF为等腰三角形,则∠A的度数为45°或36°. 初中数学培优课堂 $