专项突破2 平行线“拐点”四种常见模型-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（鲁教版五四制·新教材）

该初中数学课件聚焦平行线“拐点”四种常见模型（猪蹄、铅笔、靴子、鹰嘴），通过中考题与期中题导入，以模型解读及变形总结为支架，衔接平行线性质与拐点角度关系的学习。 其亮点是结合中考真题与生活实例（如手机支架、凸透镜折射），通过作辅助线推理和口诀法培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念），助力学生掌握解题方法，为教师提供系统教学资源。

专项突破2　平行线“拐点”四种常见模型 初中数学培优课堂  　猪蹄模型 1.(2025山东威海中考)如图,直线CF∥DE,∠ACB=90°,∠A=30 °.若∠1=18°,则∠2等于 ( )   A.42°　　    B.38°　　    C.36°　　    D.30°     A     初中数学培优课堂 解析　如图,过点B作BG∥CF,   ∵CF∥DE,∴CF∥BG∥DE, ∴∠CBG=∠1=18°,∠2=∠ABG, ∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°, ∴∠2=∠ABG=60°-18°=42°.故选A. 初中数学培优课堂 模型解读 如图,AB∥CD,则∠APC=∠A+∠C(过拐点P作AB或CD的平 行线可证).     初中数学培优课堂 2.【学科特色·多解法】(2025山东淄博高青期中)如图,AB∥ EF,∠C=90°,β=70°,则α,γ的关系为 ( )   A.α+γ=70°　　　     B.α+70°+γ=180° C.70°+γ-α=90°　　　     D.α-γ=20°     D     初中数学培优课堂 解析　【解法一】添加辅助线法:如图,过点C作CM∥AB,过 点D作DN∥EF,   ∵AB∥EF,∴AB∥CM∥DN∥EF,∴∠1=α,∠2=∠3,∠4=γ,∴ ∠1+∠2+γ=α+∠3+∠4,∵∠1+∠2=∠BCD=90°,∠3+∠4=β= 初中数学培优课堂 70°,∴90°+γ=α+70°,∴α-γ=20°.故选D. 【解法二】口诀法:根据“左边”角度之和等于“右边”角 度之和得α+70°=90°+γ,∴α-γ=20°.故选D. 初中数学培优课堂  　铅笔模型 3.(2025江苏扬州中考)如图,平行于主光轴PQ的光线AB和CD 经过凸透镜折射后,折射光线BE,DF交于主光轴上一点G.若∠ ABE=130°,∠CDF=150°,则∠EGF的度数是 ( )   A.60°　　    B.70°　　    C.80°　　    D.90°     C     初中数学培优课堂 解析　由题意得AB∥PQ∥CD,∴∠ABE+∠BGP=180°,∠ PGD+∠CDF=180°,∵∠ABE=130°,∴∠BGP=180°-130°= 50°, ∵∠CDF=150°,∴∠PGD=180°-150°=30°,∴∠BGD= ∠BGP+∠PGD=50°+30°=80°,∴∠EGF=∠BGD=80°. 初中数学培优课堂 模型解读 如图,AB∥CD,则∠A+∠AEC+∠C=360°(过拐点E作AB或CD 的平行线可证).     初中数学培优课堂 4.(2025山东德州德城期中)如图,一条公路修到湖边时,需拐弯 绕湖而过,若第一个拐角∠A=110°,第二个拐角∠B=140°,第三 个拐角是∠C,这时的道路CF恰好和第一次拐弯之前的道路 AE平行,则∠C为 ( )   A.170°　　    B.160°　　    C.150°　　    D.140°     C     初中数学培优课堂 解析　如图,过点B作BD∥AE,   由已知可得AE∥CF,∴AE∥BD∥CF, ∴∠ABD=∠A=110°,∠DBC+∠C=180°, ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=140°-110°=30°, ∴∠C=180°-∠DBC=180°-30°=150°.故选C. 初中数学培优课堂  　靴子模型 5.(2025山东临沂蒙阴期中)悬臂在生活中应用广泛,图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架,图2为其平面示意图,若AO⊥OM于点O,CD∥OM,则∠A,∠B,∠C的数量关系是 ( )        A.∠A+∠B+∠C=360° B.∠A+∠C-∠B=270° C.∠C-(∠A+∠B)=30° D.∠C-∠A-∠B=90°          B 初中数学培优课堂 解析　如图,过点A作AE∥OM,过点B作BF∥OM.   ∵CD∥OM,∴BF∥CD∥AE∥OM, ∵AO⊥OM,∴∠AOM=90°, ∴∠EAO=∠AOM=90°. ∵∠BAO=∠EAO+∠BAE, 初中数学培优课堂 ∴∠BAE=∠BAO-90°=∠ABF, ∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=∠BAO-90°-∠ABC. ∵∠C+∠CBF=180°,∴∠C+∠BAO-90°-∠ABC=180°, ∴∠C+∠BAO-∠ABC=180°+90°=270°.故选B. 初中数学培优课堂 模型解读 靴子模型因两条平行线和三个角构成的图形像我们穿的靴子 而得名.靴子模型及其变形中的三个角之间存在如下的关系.        初中数学培优课堂  　鹰嘴模型 6.已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上. (1)如图1,点P在AB的上方,则∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有何 数量关系?请说明理由. (2)如图2,在(1)的条件下,若∠EPF=60°,∠PEA的平分线和∠ PFC的平分线交于点G,求∠G的度数.        初中数学培优课堂 解析    (1)∠PFC=∠PEA+∠EPF.理由如下: 如图,过P点作PN∥AB,   因为AB∥CD,所以AB∥PN∥CD, 所以∠PEA=∠NPE,∠FPN=∠PFC, 初中数学培优课堂 所以∠PFC=∠FPN=∠NPE+∠EPF=∠PEA+∠EPF, 即∠PFC=∠PEA+∠EPF. (2)如图,过点G作AB的平行线GH,   因为GH∥AB,AB∥CD,所以GH∥AB∥CD, 初中数学培优课堂 所以∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG, 又因为∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,所以∠ HGE=∠AEG= ∠PEA,∠HGF=∠CFG= ∠PFC, 由(1)可知,∠PFC=∠EPF+∠PEA, 所以∠HGF= (∠EPF+∠PEA), 所以∠EGF=∠HGF-∠HGE= (∠EPF+∠PEA)-  ∠PEA= ∠EPF, 因为∠EPF=60°,所以∠EGF=30°. 初中数学培优课堂 模型解读 如图,AB∥CD,则∠AEC=∠C-∠A(过拐点E作AB或CD的平行 线可证).   初中数学培优课堂 $