专题06 二次函数的图形与性质（安徽专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 二次函数的图象与性质（原卷版） 1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽·中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·安徽·中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．       B．   B．        D．       4．（2021·安徽·中考真题）设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则 ； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ． 一、单选题 1．（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（2022·河南郑州·一模）如图，中，．，点D是射线AB上的动点（点D不与点A、B重合），点E在线段AC的延长线上，且．连接DE、BE，在AB的下方过点D作DF平行且等于BE．设．四边形DEBF的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，菱形中，，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为，则S与t的函数关系大致为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽铜陵·三模）已知四边形是菱形，点从出发沿边运动，点同时从出发沿边运动，两点相遇时，运动停止（点的速度大于点的速度），的面积与点运动的路程之间的函数关系的图象如图所示．根据图象，下列结论错误的是（   ） A．菱形的边长是6 B．点的速度是点的2倍 C．菱形的高是4 D．， 6．（2025·安徽合肥·三模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若二次函数（为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽铜陵·二模）如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C．D． 8．（2025·安徽合肥·三模）如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽安庆·一模）如图，正方形边长为6，点是边的中点，点在上，且，动点从点沿、运动到点，过点作于点，作于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2025·安徽合肥·一模）如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E在同一直线上，点C与点D重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止运动．设△ABC的运动时间为t秒，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是 A．B．C．D． 12．（2025·安徽合肥·一模）如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（  ） A． B． C． D． 13．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点D、E分别为的中点，点P从D点向A点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交于点F，设点P运动的路程为，的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象是（   ） A． B．C．D． 14．（2023·辽宁·中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（    ）    A．   B．     C．     D．   15．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 16．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的边长为3，点从点处出发，以每秒1个单位长度的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周后停止，设为点运动秒后的面积，当、、三点共线时．那么，关于的函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 17．（2025·安徽合肥·二模）羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）羽毛球飞行的最大高度为 ； （2）已知球网的高度是，接球一方在球过网后且高度不低于时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 ．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．） 18．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为 ； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ． 19．（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 20．（2023·安徽合肥·二模）已知函数（m为常数）的图形经过点． （1） ． （2）当时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 ． 21．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上． （1）当时，抛物线的对称轴为直线 ； （2）当，时，总有，则的取值范围是 ． 第10页，共10页 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数的图象与性质（解析版） 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 2．（2023·安徽·中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； B. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 3．（2023·安徽·中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．       B．  C．      D       【答案】A 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，        设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 4．（2021·安徽·中考真题）设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则 ； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ． 【答案】 0 2 【分析】（1）直接将点代入计算即可 （2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值 【详解】解：（1）将代入得： 故答案为：0 （2）根据题意可得新的函数解析式为： 由抛物线顶点坐标 得新抛物线顶点的纵坐标为： ∵ ∴当a=1时，有最大值为8， ∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 故答案为：2 【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法 一、单选题 1．（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 2．（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 由已知函数图象，判断出，，，即可得函数的图象方向和对称轴，再求出与函数图象与轴的交点的横坐标，即可解得． 【详解】解：由已知函数图象得，，，， ∴函数的图象开口向上，， 即其图象的对称轴直线在轴的左侧． ∵二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴方程的两根为，， ∴函数的图象与轴的交点的横坐标为，． 故选B． 3．（2022·河南郑州·一模）如图，中，．，点D是射线AB上的动点（点D不与点A、B重合），点E在线段AC的延长线上，且．连接DE、BE，在AB的下方过点D作DF平行且等于BE．设．四边形DEBF的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证得四边形DEBF为平行四边形，可得S四边形DEBF=2S△BED，然后分两种情况讨论：当0<x<2时，点D在线段AB上；当x>2时，点D在AB的延长线上，即可求解． 【详解】解：DF∥BE，DF=BE， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∴S四边形DEBF=2S△BED， 当0<x<2时，点D在线段AB上，此时S△EBD=S△ABE-S△ADE， 又∵∠BAC=90°， ∴，， ∴， 当x>2时，点D在AB的延长线上，此时， ∴， ∴， 综上所述，y与x的函数关系为： ， ∴在0<x<2上函数是一段对称的开口向下的抛物线，在x>2上函数是一段递增的开口向上的抛物线． 故选：B 【点睛】本题考查了动点问题函数的图象，体现了分类讨论的数学思想，求出函数的表达式是解题的关键． 4．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，菱形中，，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为，则S与t的函数关系大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与面积综合题，根据自变量的取值范围分别求出函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，当时， 当时， 当时， 故选：A． 5．（2025·安徽铜陵·三模）已知四边形是菱形，点从出发沿边运动，点同时从出发沿边运动，两点相遇时，运动停止（点的速度大于点的速度），的面积与点运动的路程之间的函数关系的图象如图所示．根据图象，下列结论错误的是（   ） A．菱形的边长是6 B．点的速度是点的2倍 C．菱形的高是4 D．， 【答案】D 【分析】本题考查实际问题与二次函数，一次函数与菱形的综合问题． 当时，点在上，点在上；当时，与之间是一次函数的关系，且随的增大而增大，点在上，点在上；当时，与之间是一次函数的关系，且随的增大而减小，点，都在上．分类讨论，再结合函数图象，即可解答． 【详解】解：由题意和图象可知，当时，点在上，点在上， 又图象过点， 此时点在上，，与重合． 菱形的高， 如图1．故选项C的结论正确， 当时，与之间是一次函数的关系，且随的增大而增大， 点在上，点在上，此时，的边的高不变， 如图2．当时，与之间是一次函数的关系，且随的增大而减小， 点，都在上， 如图3．综上，菱形的边长为6，点到达点时，点正好到达点，即点的速度是点的2倍， 选项A，B的结论正确． ，当时，点，相遇， ，解得， 选项D是错误的． 故选D． 6．（2025·安徽合肥·三模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若二次函数（为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 把代入得∶ ， 把代入得∶ ， 可设点，如图， 联立得：，即， ∵在的图象上存在两个二倍点， ∴， ∴， 此时直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入得∶ ， 把代入得∶ ， ∴，解得：， ∴． 故选：D 7．（2025·安徽铜陵·二模）如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数．先求得的长，再分、、三种情况，分别求得对应的与的函数关系时，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可． 【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且， 则在直角中，根据勾股定理得到， 当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作于F， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分； 当，即点在线段上，点在线段上时，此时，此时该函数图象是直线的一部分； 当，即点在线段上，点在点时，的面积，此时该三角形面积保持不变； 综上所述，选项D正确． 故选：D． 8．（2025·安徽合肥·三模）如图，菱形中，，P点从B点出发，以的速度沿运动，过P点作，交折线于点E，设P点运动的时间，的面积为．则S与t的函数关系大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的图象求解． 【详解】解：过A作于H， 在菱形中，，， ∴，， ∴， 当时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线， 当时，，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势； 当时，如图2所示：延长交的延长线于F， 则：， ∴， 此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线， 故选：A． 9．（2025·安徽安庆·一模）如图，正方形边长为6，点是边的中点，点在上，且，动点从点沿、运动到点，过点作于点，作于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的变化列出函数解析式. 结合原图形上动点在不同的线段上运动得到不同的关系式，再根据不同的关系式得到不同的图象，最后结合所给选项进行分析即可. 【详解】解： 如图，延长线段交于点，则 ,，由勾股定理得， ， ， ∴，，该区间解析式为二次函数，图象为抛物线，开口向下； 当时，，该区间解析式为一次函数，随的增大而减小； 故选：A. 10．（2025·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故A选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴或或或， 故B选项不符合题意； 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故C选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∴或或或， 故D选项符合题意； 故选：D． 11．（2025·安徽合肥·一模）如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E在同一直线上，点C与点D重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止运动．设△ABC的运动时间为t秒，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是 A． B． C．D． 【答案】C 【分析】分两种情况利用三角形的面积公式可以表示0t<2时重叠的面积，与当2t6时的重叠面积. 【详解】∵△ABC是边长为a的等边三角形， ∴△ABC的高为a·sin60°=a， 当点A沿BE运动到GD边上时，运动了， 因为以每秒1个单位长度的速度运动，∴t==， 故可分两种情况： ①    当0t<时， S=·t·t·tan60°=t²=t²，为开口向上的二次函数； ②    当t时， S=S△ABC-（）（）tan60°=·a·a-a²+at-t²=-t²+at-a²，为开口向下的二次函数； 则可判断C正确. 【点睛】此题主要考查二次函数应用. 12．（2025·安徽合肥·一模）如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，连接，连接交于， 当、、三点共线时，最小，即最小，当运动到时，最小，由图得当时，，此时与重合，与重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接，连接交于， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当、、三点共线时，最小， 即最小， 当运动到时，最小， 由图得：当时，， 此时与重合，与重合， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 当时， ， 函数图象最低点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，线段和最小值的典型问题，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键． 13．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点D、E分别为的中点，点P从D点向A点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交于点F，设点P运动的路程为，的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象是（   ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交的延长线于点，利用矩形的判定与性质可得；设，利用相似三角形的判定与性质求得，进而求得，的长，利用求得与之间关系，再利用二次函数的性质和的取值范围解答即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点，如图， 点、分别为，的中点，， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ． ，， ． ， ， ． 为等腰直角三角形， ． 设， 由题意得：，则， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得：， ． ． ， ， ， 抛物线的开口方向向上，顶点为 由题意：的取值范围为：， 当时，，当时，， 与的函数图象是以点和为端点的抛物线上的一部分， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题函数的图象，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，二次函数的图象与性质，求得与之间函数关系式是解题的关键． 14．（2023·辽宁·中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（    ）    A．   B．     C．     D．   【答案】A 【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴是边长为6的正三角形， ∵平分， ∴，，， ①当矩形全部在之中，即由图1到图2，此时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②如图3时，当， 则，解得， 由图2到图3，此时，      如图4，记，的交点为，则是正三角形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴ ， ③如图6时，，由图3到图6，此时，    如图5，同理是正三角形， ∴，，， ∴ ， 因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键． 15．（2025·安徽合肥·一模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，若点为线段上的动点（与，不重合），作射线交抛物线于点，在点的运动过程的最大值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】首先求出抛物线表达式，连接， 得到点的坐标， 利用得出的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得根据三角形的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】解：∵抛物线，可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则 ， ∴点的坐标为； 连接， 设点的横坐标为， ， ， 如图， 过点作于， ，，， 满足， ， 又，， ， ， ， ， ． ∴当时，存在最大值． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合． 16．（2025·安徽合肥·一模）如图，已知菱形的边长为3，点从点处出发，以每秒1个单位长度的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周后停止，设为点运动秒后的面积，当、、三点共线时．那么，关于的函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，可得，，，，过点作的垂线，垂足为点，设，根据三角函数可得，结合点走的路程为，在分别分析，，，四种情况时，关于的函数的大致图象，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 过点作的垂线，垂足为点，设，如图所示： ∵， ∴ ∵点从点处出发，以每秒1个单位长度的速度， ∴点走的路程为， 当时，点在上运动，， ∴ ∴ ∵ ∴当时，关于的函数的图象大致为上升的直线； 当时，点在上运动，， ∴ ∴ ∵ ∴当时，关于的函数的图象大致为下降的直线； 同理可得，当时，关于的函数的图象大致为上升的直线；当时，关于的函数的图象大致为下降的直线； 故选：A． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图象面积计算、三角函数，菱形的性质，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 二、填空题 17．（2025·安徽合肥·二模）羽毛球发球时，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离．某次发球后，击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： （1）羽毛球飞行的最大高度为 ； （2）已知球网的高度是，接球一方在球过网后且高度不低于时，可以采用“平抽”技术将球快速击打过网，若球发出后水平向前的速度是，接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为 ．（“平抽”技术：快速平直的回球，球的飞行轨迹低平，速度快．） 【答案】 2 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟知二次函数的对称性是解题的关键． （1）当和当时的函数值相同，则对称轴为直线，据此可得答案； （2）根据对称性可得当时的函数值为，则在羽毛球过网之后到这个过程都可以“平抽”技术，据此根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值，即此时羽毛球在飞行过程中有最大高度，即； 故答案为：2； （2）∵对称轴为直线， ∴当和时的函数值相同，即当时的函数值为， ∵， ∴在羽毛球过网之后到这个过程都可以“平抽”技术， ∴接球者在球过网后可以用“平抽”技术的时长为， 故答案为：． 18．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为 ； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）配方成顶点式求解即可； （2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）当时， ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为：； （2）∵抛物线 ∴对称轴为直线 当时，抛物线开口向上 ∴时，y随x的增大而增大 ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴； 当时，抛物线开口向下 ∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 19．（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 【答案】 和 0或 【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则可求出，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可分当时，当时，当时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解． 【详解】解：（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则有： ， 解得：， ∴函数的图象上的“半值点”的坐标是和， 故答案为和； （2）由题意得：， 整理得：， ∴，即， 此时可看作是n与m成二次函数关系， 即当时，n有最小值， ∵， ∴当时，则n的最小值为0，即，符合题意； 当时，此时n随m的增大而增大， ∴当时，n有最小值k，即，（此时方程无解）； 当时，此时n随m的增大而减小， ∴当时，n有最小值k，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：k的值为0或； 故答案为0或． 20．（2023·安徽合肥·二模）已知函数（m为常数）的图形经过点． （1） ． （2）当时，y的最大值与最小值之和为2，则n的值 ． 【答案】 4 或 【分析】（1）把已知坐标代入解析式计算即可． （2）根据抛物线额性质，分类计算． 【详解】（1）∵函数（m为常数）的图形经过点． ∴， 解得， 故答案为：4． （2）∵函数（m为常数）的图形经过点． ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴， 故抛物线的对称轴为直线，二次函数的最小值为， 的对称点为， 当时，y的最大值与最小值之和为2， 当时，最大值为5，时，取得最小值，且为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故； 当时，最大值为5，时，取得最小值，且为， 根据题意，得，不符合题意； 当时，时，取得最小值，且为，时，取得最大值，且为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 故； 故答案为或． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 21．（2025·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，点在抛物线上，点在抛物线上． （1）当时，抛物线的对称轴为直线 ； （2）当，时，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 3； 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，平移的性质，二次函数和不等式的综合等，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和求不等式组的解集． （1）利用对称轴的公式求出抛物线的对称轴，再利用平移的性质可求得抛物线的对称轴； （2）根据题意求出，，把两个点的坐标代入解析式再求出，整理表示出，再根据即可求解． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线， 当时，直线， 所以，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：3； （2）已知，则抛物线， ∴的表达式为， ∵点在抛物线上，把代入，可得， 点在抛物线上，把代入，可得， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴ ，即， 解不等式可得； 解不等式可得； 又∵时，总有， ∴， 解得， 故答案为：． 第34页，共34页 第1页，共34页 学科网（北京）股份有限公司 $$