专题2.2 轴对称和平移的坐标表示（1大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题2.2 轴对称和平移的坐标表示 教学目标 1. 掌握平面直角坐标系中点关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律，能准确写出对称点坐标。 2. 能利用坐标规律画出简单图形的轴对称图形，理解轴对称与坐标变换的关系。 3. 经历观察、归纳、应用的过程，体会数形结合思想，提高几何直观与坐标运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，能熟练求出对称点坐标。 （2）运用坐标规律作出平面图形的轴对称图形，规范作图并理解变换本质。 2.难点 （1）归纳并理解对称点坐标变化规律，区分关于x轴、y轴对称的不同特征。 （2）将图形轴对称转化为关键点坐标变换，实现从“形”到“数”再到“形”的转化。 知识点01 坐标系中点的对称和平移 1．坐标系中的平移： （1）将点向右（或向左）平移a个单位可得对应点或． （2）将点向上（或向下）平移b个单位可得对应点或． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 2．坐标系中的对称： （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． （3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （4）点关于点的对称点是． （5）点关于的对称点是． （6）点关于的对称点是． （7）点关于一三象限的平分线的对称点为． （8）点关于二四象限的平分线的对称点为． 【即学即练1】1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）点关于原点中心对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：平面直角坐标系中，任意一点关于原点中心对称的点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴点关于原点中心对称的点的坐标为． 2．（2026八年级下·河北·专题练习）在平面直角坐标系中，将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移的变化规律是∶横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据平移的变化规律解答即可． 【详解】解：将点沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移4个单位，得到的点的坐标是，即． 故答案为： 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出平移的距离，再根据平移的性质得出点C的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到， ∴将点向右平移2个单位长度得到点． 题型01 坐标系中点的平移 【典例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，掌握点向左平移时横坐标减少，纵坐标不变的规则是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，向左平移时横坐标减少，纵坐标不变． 【详解】解：∵点向左平移5个单位， ∴新点横坐标，纵坐标， ∴得到的点坐标为，对应选项C． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移．根据平移的性质，向上平移改变纵坐标，向左平移改变横坐标，直接计算坐标变化即可． 【详解】解：点向上平移个单位， 纵坐标变为，此时点为； 又向左平移个单位， 横坐标变为， 此时点为. 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加． 【详解】解：点向左平移4个单位长度，横坐标变为； 再向上平移5个单位长度，纵坐标变为； 故点的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据点的平移规则，向左平移横坐标减少，向上平移纵坐标增加，计算即可． 【详解】解：点向左平移3个单位，得到点，即； 再向上平移3个单位，得到点，即； 故答案为：． 题型02 坐标系中点的对称 【典例2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，点关于轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，利用“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”这一规律求解即可． 【详解】解：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 又点的坐标是， 点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即点关于轴对称的点的坐标为． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为（    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称特点，根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此列式求解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______ 【答案】 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 【变式3】（25-26八年级上·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可求出点B的坐标，进而计算的值即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 题型03 坐标系中点的旋转 【典例3】（23-24九年级下·湖北十堰·自主招生）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的坐标为，由于A、关于C点对称，列方程求解即可． 【详解】解：设的坐标为， ∵A和关于点对称， ∴， 解得， ∴点的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，将绕原点O顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地求出点C的坐标是解题的关键．由平行四边形的性质可得点，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E，过点作轴于F， 设点， ∵的顶点，点， ∴点B先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点O， ∴点A先向右平移一个单位，再向下平移三个单位得到点C， ∴， ∴点， ∴， ∵将绕原点O顺时针旋转， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点旋转，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转性质，坐标与图形，全等三角形的性质，进行分类讨论，即逆时针和顺时针两个情况，以及作图，再结合点所在的象限，即可作答． 【详解】解：依题意，当将绕点逆时针旋转，得，如图： ． ，． 点在第二象限， ． 当将绕点顺时针旋转，得， ． ，． 点在第四象限， ． 综上，点的坐标为或． 【变式3】（22-23九年级下·山东青岛·月考）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作延长线于点F，与x轴交于点G，根据旋转的性质可得，即可求解，理解图示和旋转的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作的延长线于点F，与x轴交于点G， 则， ∵，， ∴，， ∵绕点C旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型04 求关于原点对称的点的坐标 【典例4】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标规律， 根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可得答案． 【详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， ∴该点坐标为， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征及象限的判定的知识，本题先根据原点对称的坐标规律求出对称点坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， 又∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限， 故选：D； 【变式2】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）若点关于原点对称的点是，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据关于原点对称点的横纵坐标都互为相反数，求出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·河南许昌·期末）平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为. 【详解】解：由题意知，，， . 题型05 坐标与图形综合 【典例5】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，的长为半径画圆，以B为圆心，的长为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与x轴的交点即为C点的位置． 【详解】解：∵， ∴； 如图所示，以点A为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 以点B为圆心，的长为半径画弧，交x轴于点，可构成等腰， 作线段的垂直平分线与x轴交于点（与原点重合），可构成等腰， 综上所述，一共有4个点C满足题意， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点B作于上于点D， 则，证明，由全等三角形的性质进一步写出点B坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：过点B作于上的点D， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B点的纵坐标为3，即， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点是， 故选D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，两点的坐标分别为，，是轴上一点，且三角形的面积为6，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查了三角形的面积公式． 根据三角形面积公式得到，求出的值，再写出点坐标． 【详解】解：由题意，得，解得， ①当点在点的上边时，， ②当点在点的下边时，， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知点，，，则的面积为________． 【答案】18 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积． 如图，作矩形，根据，计算即可解决问题． 【详解】解：如图，作矩形， 则 ． 故答案为：． 题型06 坐标与图形----轴对称 【典例6】（25-26八年级上·山西晋中·期末）若将一幅剪纸的蝴蝶作品放在平面直角坐标系中，其展开的双翅栩栩如生，恰好可作为观察坐标对称的生动实例．已知点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的横坐标是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征．关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此即可得出答案． 【详解】解：点A的坐标为，则其关于y轴对称的点的横坐标是 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（    ） A．将点向右平移7个单位 B．将点向右平移5个单位 C．将点向右平移1个单位 D．将点向右平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标的平移，坐标与图形—轴对称，根据点的坐标的平移法则，并结合轴对称的性质逐项分析即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，， ∴这四个点在同一条水平直线上，且点和点关于轴对称， A、将点向右平移7个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，从而可使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，符合题意； B、将点向右平移5个单位，得到，即，此时点与点不关于轴对称，故不符合题意； C、将点向右平移1个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； D、将点向右平移2个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【分析】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 题型07 求绕原点旋转90°的点的坐标 【典例7】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，坐标变换公式，掌握平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的坐标变换规律是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证，求得，再根据点在第一象限即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由， 线段绕点逆时针旋转得到， ， ， 在中，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 点在第一象限， 点的坐标为， 故答案为：B． 【变式1】（2026·湖北·一模）如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变化—旋转，作出旋转后的图形，由图可知，的横坐标为的值，的纵坐标为的值，即可得到的坐标．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∵点的坐标是，在第二象限，且绕点顺时针旋转， ∴点在第一象限，，， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·四川南充·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点A旋转，得到线段，则点B1的坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将线段绕点A逆时针旋转时，得到线段，过点作轴于，过点作轴于，证明，得到，将线段绕点A顺时针旋转时，同理可得答案． 【详解】解：将线段绕点A逆时针旋转时，如图所示，得到线段，过点作轴于，过点作轴于， ∴，， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 将线段绕点A顺时针旋转时，如图， 同理可得； 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上，．若将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标，图形的旋转变换及其性质，依题意得，根据点得，由旋转的性质得，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5，由此即可得出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为5， ∴， ∵点， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，且点在x轴的负半轴上，正方形的边长为5， ∴点的坐标为． 故答案为：． 题型08 点坐标的规律探究 【典例8】（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了规律探索，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形点所在的位置可以得到，，，每4个为一组，据此可以得到在轴正半轴上，纵坐标为0，根据，，坐标规律可得到． 【详解】解：观察图形中点所在的位置可以看出，，，每4个为一组， ， 在轴正半轴上，纵坐标为0， ∵，，， ∴，． 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2026除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，…，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是________． 【答案】1 【分析】由图得点的纵坐标变化规律，即可解答． 【详解】解：由图得，点每运动一次横坐标就增加1，点的纵坐标变化每6次一循环， ∴的横坐标为23， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，为1． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点称为点P的伴随点．已知点的伴随点为点，点的伴随点为点，点的伴随点为点，……，这样依次得到点，，，，…，（n为正整数）．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据新定义，求出前几个点的坐标，进而找到坐标规律，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知： ，即：， ，即：， ，即：， ，即：， ，即， ⋯， 即：的坐标按照：，，，，每四次一个循环， ∵， ∴点的坐标为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，且点的坐标为（m，n），将点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征与点的平移规律，解决本题的关键是需牢记“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”及“右加左减，上加下减”的平移规则． 本题先根据关于原点对称的点的坐标特征列方程求出m、n的值，得到点Q的坐标，再利用点的平移规律求出的坐标，最后判断其所在象限即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴两点的横、纵坐标分别互为相反数， 即， 解第一个方程：，解得， 解第二个方程：，解得， ∴点的坐标为， ∵点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 根据“右加左减，上加下减”的平移规律， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即， ∵，， ∴点在第四象限． 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，是过点，且垂直于轴的直线，则点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是过点且垂直于轴的直线， ∴ 直线的解析式为， 设点关于直线对称点的坐标为， ∵对称点纵坐标与点纵坐标相等，且与对称点横坐标的中点在直线上， ∴，， 解得，， 因此对称点坐标为． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征，先根据平移规律得到的坐标，再利用y轴上点横坐标为0的性质列方程求出，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度得到， ∴的坐标为，即， ∵在轴上，轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：， 将代入点的坐标： ，， ∴点的坐标是． 故选：B 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知点与点是关于原点O的对称点，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了已知两点关于原点对称求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据“关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数”求解． 【详解】解：∵点与点关于原点O对称， ∴，， 故选：A． 5．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标． 【详解】解：∵， ∴在矩形中，，， ∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且， 然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1， ∴依此规律，，． 二、填空题 6．（25-26八年级上·江西吉安·期末）点关于轴对称的点的坐标是____________． 【答案】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 7．（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据题意利用平行四边形性质及关于原点对称的点坐标特点即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，， ∴C点与A点关于原点对称， ∴． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】平移变换与坐标的变化，平移中点的变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．先根据点及其对应点的坐标确定平移规律，再利用该规律求出点的对应点的坐标． 【详解】解：∵线段是由线段经过平移得到的，点的对应点为， ∴横坐标的变化为，即横坐标减3，纵坐标的变化为，即纵坐标加2， ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 9．（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若点与点关于点对称，则_______ ． 【答案】36 【分析】利用中点坐标公式求出a、b的值，再计算的乘积即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴点是线段的中点． ∴，， ∴， ∴． 【点睛】若两点关于某点对称，则该点为这两点的中点，掌握两点坐标为和，则中点坐标是解题的关键． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中（小正方形顶点称为格点），的三个顶点均在格点上，且顶点的坐标为． (1)在所给的网格中建立平面直角坐标系，并写出其他两个顶点的坐标； (2)画出关于轴对称的． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称． （1）根据A的坐标为，建立平面直角坐标系；根据平面直角坐标系，写出坐标即可； （2）根据轴对称的特点画出关于y轴对称的图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，平面直角坐标系即为所求；    由作图可得，，； （2）解：如图所示，即为所求． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，平移的性质，正确掌握相关特征是解题的关键． （1）根据第二象限中点的符号特点，列出不等式，解得a的取值范围，再根据横、纵坐标都是整数，即可求解； （2）根据平移的性质，易得平移后点的坐标为，再根据横纵坐标相等，列出方程，求出a的值即可求解． 【详解】（1）解：点位于第二象限， ，， ， 横、纵坐标都是整数， ， ，， 的坐标为； （2）将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 横纵坐标相等， ，解得， 点． 13．（25-26九年级下·安徽六安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知． ①作出平移后的； ②平移的距离为______个单位长度； (2)将绕点B逆时针旋转，得到，请作出旋转后的； 【答案】(1)①作图见解析；② (2)作图见解析 【分析】本题考查了作图－旋转变换，解答本题的关键是掌握旋转的性质：对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）①利用点和的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用次平移规律写出、的坐标，再描点即可； ②利用两点间的距离公式计算出的长即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可； 【详解】（1）①解：如图1，为所作； ②平移的距离， 故答案为：； （2）解：如图2，为所作； 14．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，． (1)画出，并直接写出的面积为______； (2)将绕点按顺时针方向旋转，请画出旋转后的，并直接写出线段的中点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析，2 (2)图见解析， 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中找点，旋转，坐标系中的中点坐标公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中找点、点，再作图，最后根据图形计算面积即可； （2）先根据旋转方向和旋转角度作图，再结合点、点的坐标和中点坐标公式计算中点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求图形， ， 的面积为：2； （2）解：如图，即为所求图形， 则，， 根据中点坐标公式得中点的坐标为，即． 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系的各顶点在网格线的交点处． (1)画出将绕原点顺时针旋转后得到的； (2)画出关于原点成中心对称的，并分别写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）依据旋转的性质，确定各顶点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标，进而画出． （2）根据中心对称的性质，求出各顶点关于原点对称的点的坐标，画出，并得到的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示，由图可得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.2 轴对称和平移的坐标表示 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点1坐标系中的点对称和平移 知识清单 题型1坐标系中点的平移 题型2坐标系中点的对称 轴对称和平移的 题型3坐标系中点的旋转 坐标表示 题型4关于原点对称的点的坐标 题型精讲 题型5坐标与图形综合 题型6坐标与图形-轴对称 题型7求绕原点旋转90的点的坐标 题型8点坐标的规律探究 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握平面直角坐标系中点关于×轴、y轴、原点对称的坐标变化规律，能准确写出对 称点坐标。 教学目标 2.能利用坐标规律画出简单图形的轴对称图形，理解轴对称与坐标变换的关系。 3.经历观察、归纳、应用的过程，体会数形结合思想，提高几何直观与坐标运算能力。 1.重点 (1)掌握点关于×轴、y轴对称的坐标变化规律，能熟练求出对称点坐标。 (2)运用坐标规律作出平面图形的轴对称图形，规范作图并理解变换本质。 教学重难点 2.难点 (1)归纳并理解对称点坐标变化规律，区分关于x轴、y轴对称的不同特征。 (2)将图形轴对称转化为关键点坐标变换，实现从“形”到“数”再到“形”的转化。 知识清单 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点01坐标系中点的对称和平移 1.坐标系中的平移： (1)将点(x,y)向右（或向左）平移a个单位可得对应点(x+a,y)或(x-a,y). (2)将点(x,y)向上（或向下)平移b个单位可得对应点(x,y+b)或(x,y-b). 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减. 2.坐标系中的对称： (1)点P(a,b)关于x轴的对称点是P'(a,-b),即横坐标不变，纵坐标互为相反数. (2)点P(a,b)关于y轴的对称点是P'(-a,b),即纵坐标不变，横坐标互为相反数. 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数。 (3)点P(a,b)关于坐标原点的对称点是P'(-a,-b),即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数. (4)点P(a,b)关于点Q(m,n)的对称点是P'(2m-a,2n-b). (5)点P(a,b)关于x=m的对称点是P'(2m-a,b). (6)点P(a,b)关于y=n的对称点是P'(a,2n-b). (7)点(x,y)关于一三象限的平分线的对称点为(y,x). (8)点(x,y)关于二四象限的平分线的对称点为(-y,-x). 【即学即练1】1.(25-26九年级上江西赣州期末)点M(1,-3)关于原点中心对称的点的坐标为() A.-1,3 B.(1,3 C.（-1,-3) D.(-3,1 2.(2026八年级下河北.专题练习)在平面直角坐标系中，将点P(2,-5)沿x轴负方向平移3个单位，再沿 y轴正方向平移4个单位，得到的点P的坐标是 3.(25-26八年级下.全国·课后作业)如图，点A的坐标是(2,4)，点B的坐标是(6,0)，将△0AB沿x轴向 右平移得到△DCE,若OE=8,则点C的坐标为 VA B E 题型精讲 题型01坐标系中点的平移 【典例1】(25-26八年级下，全国·课后作业)在平面直角坐标系中，将点A4,-2)向左平移5个单位长度， 得到的点的坐标是() 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.（4,-7 B.(9,-2 C.-1,-2 D.4,3 【变式1】(25-26八年级上·安徽池州·期末)点A(1,-2)向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B 的坐标为() A.(-1,1) B.1,-1) c.(2,0 D.2,-6 【变式2】(25-26八年级上·浙江金华·期末)将点A(1,-2)先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位 长度后得到点A,则点4的坐标为 【变式3】(25-26八年级上·浙江杭州·期中)在平面直角坐标系中，把点P(3,-2)先向左移动3个单位，再 向上移动3个单位后得到的点的坐标是 题型02坐标系中点的对称 【典例2】(25-26八年级上·山东烟台·期末)在直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴对称的点是（) A.(2,-3 B.-2,3 C.（-3,2 D.3,-2 【变式1】(25-26七年级上山东东营期末)已知点Am-1,3)与点B(2,n-1关于y轴对称，则m+n)的值 为() A.0 B.3 C.-1 D.1 【变式2】(25-26九年级下·吉林长春·开学考试)在平面直角坐标系中，点A-3,2关于x轴对称的点的 坐标为 【变式3】(25-26八年级上·山东滨州·期末)在平面直角坐标系中，点B(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 (-2,3),则x+y的值为 题型03坐标系中点的旋转 【典例3】(23-24九年级下·湖北十堰·自主招生)如图，将ABC绕点C(0,2)旋转180°得到△A'B'C,设点A 的坐标为(a,b),则点A的坐标为() A.(-a,-b) B.(-a,-b-2) C.(-a,-b+2) D.(-a,-b+4) 【变式1】(24-25八年级下·河北唐山期末)如图，口AB0C的顶点A(-5,4),B(-1,3),将口AB0C绕原点 O顺时针旋转90°，则点C的对应点C的坐标是() 3/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.（5,3 B.(1,4 c.3,5 D.4,1 【变式2】(25-26九年级上·黑龙江绥化月考)如图，Rt△AB0在平面直角坐标系中，∠0AB=90°，OA在 x轴上，OA=5,AB=3,将Rt&OAB绕点O旋转90°，则点B的对应点B的坐标为 B A衣 【变式3】(22-23九年级下山东青岛·月考)如图，将ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,设点A 的坐标为a,b),则点A的坐标为· B B 题型04求关于原点对称的点的坐标 【典例4】(25-26九年级上·云南西双版纳期末)在平面直角坐标系内，点(3，-4)关于原点对称的点的坐标 是() A.（-3,4) B.(3,-4 C.（4,-3 D.（-4,3 【变式1】(25-26九年级上·天津滨海新区·月考)在平面直角坐标系x0y中，点P(-2,2+1关于原点对称 的点所在的象限是() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2】(25-26九年级上陕西商洛期末)若点Aa,2024)关于原点对称的点是B(-2023,b),则a+b的值 为 【变式3】(25-26九年级上河南许昌·期末)平面直角坐标系中，点M(m,-2)关于原点对称的点为N(5,n), 则mn= 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05坐标与图形综合 【典例5】(25-26八年级上广东惠州期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,-5)、B(-5,0),若点C 在x轴上，且ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是() A A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1】(25-26八年级上·河北秦皇岛期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，∠A=90°，AB=3,点C是 x轴负半轴上的一点，OB平分∠A0C,则点B(1-3a,a+1)关于x轴的对称点是() YA B A.-4,-2 B.-5,-2) C.(5,3) D.-5,-3) 【变式2】(25-26七年级下·全国·课后作业)如图，A,B两点的坐标分别为0,4)，（6,2)，P是y轴上一 点，且三角形ABP的面积为6，则点P的坐标为 y 2 B 0 6x 【变式3】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，已知点A(-3,1),B(1,-3),C(3,4),则ABC的面积 为 题型06坐标与图形-轴对称 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例6】(25-26八年级上山西晋中期末)若将一幅剪纸的蝴蝶作品放在平面直角坐标系中，其展开的双 翅栩栩如生，恰好可作为观察坐标对称的生动实例.已知点A的坐标为-3,4)，点B与点A关于y轴对称， 则点B的横坐标是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 【变式1】(25-26八年级上·浙江杭州期末)如图，四盏灯笼A,B,C,D的坐标分别是(-4，a,-2,a, (-3,a,（2,a),要使四盏灯笼组成的图形关于y轴对称，则平移的方法可以是() ACB D ●●● 3 2 1 -4-3-2-10 1234 A.将A点向右平移7个单位 B.将A点向右平移5个单位 C.将D点向右平移1个单位 D.将D点向右平移2个单位 【变式2】(25-26八年级上山东德州期末)如图，在平面直角坐标系中，对ABC进行循环往复的轴对称 变换，若原来点C的坐标是3,1).则经过第2026次变换后点C的对应点的坐标为 第1次关于 第2次关于 方第3次关于 左第4次关于 v轴对称 x轴对称 y轴对称 x轴对称 【变式3】(25-26八年级下·全国课后作业)四盏灯笼的位置如图.已知灯笼A,B,C,D的坐标分别是 (1,-2),(1,-2),(2,-2),(3.2,-2),平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法 可以是 (请填写序号)》 A -2-10 1 23 ①将灯笼B向左平移3个单位长度； ②将灯笼C向左平移4个单位长度； ③将灯笼D向左平移52个单位长度； ④将灯笼C向左平移4.2个单位长度. 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型07求绕原点旋转90°的点的坐标 【典例7】(25-26九年级上·河南信阳·期末)如图，将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到AB',那么 A(3,-7)的对应点A的坐标是() B A.（3,7 B.7,3 C.(3,-7 D.（7,-3) 【变式1】(2026湖北一模)如图，点A的坐标是-2,3)，将△AB0绕点0顺时针旋转90°得到△A'B'0, 点A的坐标是() B A.（2,3 B.3,2) C.-3,-2 D.-2,-3) 【变式2】(25-26九年级上·四川南充·月考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0),B(3,2),将线 段AB绕点A旋转90°，得到线段AB,,则点B,的坐标是 B AO 【变式3】(25-26八年级上山东烟台·期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，正方形ABCD的边长为5， AB边在y轴上，B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到正方形A'B'C'D',则点D的坐标 为 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B B 题型08点坐标的规律探究 【典例8】(25-26八年级上重庆巴南期末)如图，在平面直角坐标系中，△AA,A,△AA44,△AAA, △A,A,A都是等边三角形，且点A,A,4,A,4坐标分别是A(3,0),A(2,0),A(4,0),A,(1,0 ,A,5,0),依据图形所反映的规律，则A,的坐标是() A.（7,0 B.6,0 C.(-l,0 D.（-2,0 【变式1】(25-26八年级上河北邢台期末)如图，在平面直角坐标系中，对ABC进行循环往复的轴对称 变换，若原来点A的坐标是（α，b),经过2026次变换后所得的点A的坐标是(） 第1次 第2次 第3次 第4次 关于y 关于x 关于y 关于x 0八 轴对称 轴对称 轴对称 轴对称 A.(a,b) B.（-a,b) C.(a,-b) D.(-a,-b) 【变式2】(25-26八年级上·广东梅州期中)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动， 第一次从原点O运动到点P(1,2),第二次运动到点P2,0),第三次运动到P(3-1,.,按这样的运动规 律，第23次运动后，动点P3的纵坐标是 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P 13 D 10 14 9 011121314 【变式3】(2026八年级下·全国专题练习)在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),我们把点 P'(-y-2,x-2)称为点P的伴随点.己知点A的伴随点为点4，点4的伴随点为点4，点4的伴随点为点 A,.,这样依次得到点A,4,A,A,,A,(n为正整数).若点A的坐标为-1，-2)，则点A26 的坐标为 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上山东烟台期末)在平面直角坐标系中，己知点M(m-1,2n+3)与点N(2m-3,-n+1)关 于原点成中心对称，且点Q的坐标为(m,n),将点Q先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点Q, 则点Q在第()象限 A.一 B.二 C.三 D.四 2.(25-26八年级上山东临沂期末)在平面直角坐标系中，AB是过点(1,0)，且垂直于x轴的直线，则点 P(3,2)关于直线AB对称的点的坐标是() A.(0,2) B.（-3,2 C.1,2 D.（-1,2 3.(25-26八年级上浙江绍兴期末)将点A(m+1,2m-1)向右平移1个单位长度得到A,且点A在y轴上， 则点A的坐标是() A.(0,-5 B.（-1,-5) C. D. 4.(24-25九年级上辽宁大连期末)已知点Aa,)与点B(5,b)是关于原点O的对称点，则() A.a=-5,b=-1B.a=-5,b=1C.a=5,b=-1 D.a=5,b=1 5.(25-26九年级下·黑龙江哈尔滨开学考试)如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC,点A、C在y轴、 x轴上，B(2,1),将矩形OABC绕着点C顺时针旋转90°得到矩形COA,B,再将矩形CO4,B,绕着点B顺 时针旋转90°得到矩形CO2AB,按此方式依次进行，则点A的坐标为() 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 V As B C B A.(11,0 B.(12, C.(14,2) D.15,2 二、填空题 6.(25-26八年级上江西吉安期末)点P(4,2025)关于y轴对称的点的坐标是 7.(25-26九年级下.甘肃兰州·开学考试)如图，口ABCD的对角线相交于坐标原点0，若点A的坐标为 (-5,,则点C的坐标为 D ⊙ 8.(25-26八年级下·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，线段AB是由线段AB经过平移得到的，若点 A2,-S)的对应点A的坐标为-1，-3)，则点B(-1,)的对应点B的坐标是 9.(25-26九年级上广西钦州期末)如图，在直角坐标系中，已知点A(5,4),将△AB0绕点O逆时针方向 旋转180°后得到△CD0,点A的对应点是点C,则点C的坐标是 10.(25-26八年级上浙江宁波期末)若点Aa,-2)与点B1,b)关于点(5,1)对称，则ab= 三、解答题 11.(25-26八年级上·广东河源期末)如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（小正方形顶点称 为格点)，ABC的三个顶点均在格点上，且顶点A的坐标为(-2,4). 10/12