专题3.1 函数的概念和表示法（2大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题3.1 函数的概念和表示法 教学目标 1. 理解函数核心定义，能区分常量与变量，判断两个变量是否为函数关系，明确“唯一确定”的对应本质。 2. 掌握函数三种表示法（解析法、列表法、图象法），理解各自特点，会简单转换与应用。 3. 能结合实际问题建立函数模型，求自变量取值范围，初步运用数形结合思想分析问题。 教学重难点 1.重点 （1）深刻理解函数概念，抓住“两个变量、唯一对应”核心，能准确判断函数关系，区分自变量与因变量。 （2） 熟练掌握函数三种表示法，理解各自优势与适用场景，能根据问题选择合适方法并进行简单转化。 2.难点 （1）突破函数概念抽象性，理解“唯一确定”对应关系，区分非函数关系，建立变量间的函数思维。 （2）灵活运用三种表示法解决实际问题，实现实际问题与函数模型的转化，初步掌握数形结合分析方法。 知识点01 函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 【即学即练1】1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·周测）有下列关于和的式子：①；②；③（）；④（）．其中是的函数的是__________（填序号）． 知识点02 函数的三种表示方法 1）函数关系有三种表示方法： ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算 ③图像法：只能表示函数关系，不能确切得出函数 2）函数的三种表示方法的优缺点： ⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。 ⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。 【即学即练2】1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系______． 每天造雪量 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 题型01 函数的概念及图象识别 【典例1】（25-26六年级下·全国·单元测试）下列四个选项中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是________（填序号）． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是_____．（填序号） 题型02 函数的三种表示方法之列表法 【典例2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）有一种树苗的高度（单位：）与生长年数的相关数据如下表所示，发现树苗的高度与生长年数在一定范围内满足关系式，则____________． 生长年数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 树苗高度 100 115 130 145 160 175 190 … 【变式3】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … _____ 题型03 函数的三种表示方法之解析式 【典例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【变式1】（25-26七年级上·广西河池·期末）京沪高速铁路全长为，用式子表示在此铁路上运营的列车的平均速度v（单位：）与全程运行时间t（单位：h）的关系，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是__________． 题型04 函数的三种表示方法之图象法 【典例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图描述的是大部分男子身高与所穿运动鞋的鞋码之间的关系，根据该趋势图估计身高为的男子所穿的鞋码大致是_______码． 【变式3】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 __________________． 题型05 求自变量的取值范围 【典例5】（25-26九年级上·云南昆明·期末）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级下·黑龙江·专题练习）在函数中，自变量的取值范围是______． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）函数中，自变量的取值范围是___________． 题型06 求自变量的值或函数值 【典例6】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知变量之间的关系式为，当时，的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（25-26六年级下·全国·课后作业）果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 题型07 动点问题画函数图象 【典例7】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发沿如图所示的行程匀速去生态园．设他们与学校的距离为s（单位：m），所用时间为t（单位：min）．下列选项中的图象，可能表示s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 题型08 从函数的图象获取信息 【典例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家，食堂和图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小明吃早餐用了 B．小明读报用了 C．小明从食堂到图书馆的速度为 D．小明从图书馆回家的速度为 【变式1】（24-25六年级下·全国·单元测试）年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．起跑后小时以内，乙在甲的前面 B．起跑后小时，甲和乙相遇 C．乙比甲先到达终点 D．甲、乙都跑了千米 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，在整个过程中快递车均匀速行驶．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（min）的函数关系如图所示，根据题图图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为______min． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）小华乘公交车去离家5公里的学校去上学，公交车行驶了一段时间后发生故障，小华立即下车步行去上学，小华距学校的距离（公里）与小华上学的时间（分钟）之间的图象如图所示，则小华上学的步行速度是每小时_______公里． 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）经科学家研究证实，蝉在气温超过时才会活跃起来，此时它会边吸树木的汁液边鸣叫．如图所示是某地一天的气温变化图象，在这一天中，听不到蝉的鸣叫的时间最多有（　　） A．10小时 B．22小时 C．8小时 D．12小时 5．（25-26八年级上·安徽六安·期末）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：），两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系：下列结论： ①； ②当动车到达终点时，普通列车距离甲地； ③普通列车行驶时，到达终点甲地． 其中正确的是（　　）． A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与之间的函数关系式为，则当时，_____________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）[跨学科试题·物理]一物体自高处自由落下，其运动的距离与它下落的时间的关系式是（其中g取），其中变量是______，常量是______． 8．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）函数中，自变量x的取值范围是_______． 9．（山西太原市太原新希望双语学校等校2025-2026学年第一学期八年级数学期末试卷）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中： (1)气温是不是时间t（时）的函数？ (2)什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ (3)什么时候的气温处于上升趋势？ (4)什么时候的气温是？ 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (1)小明在途中逗留了______； (2)小明回家的平均速度是______； (3)如果他按照刚出学校时的速度一直走到家，______就可以到家； (4)今天小明放学后是匀速径直回家的，从学校走到家一共用了15min，请你在图中画出小明回家的路程与时间关系示意图． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 函数的概念和表示法 教学目标 1. 理解函数核心定义，能区分常量与变量，判断两个变量是否为函数关系，明确“唯一确定”的对应本质。 2. 掌握函数三种表示法（解析法、列表法、图象法），理解各自特点，会简单转换与应用。 3. 能结合实际问题建立函数模型，求自变量取值范围，初步运用数形结合思想分析问题。 教学重难点 1.重点 （1）深刻理解函数概念，抓住“两个变量、唯一对应”核心，能准确判断函数关系，区分自变量与因变量。 （2） 熟练掌握函数三种表示法，理解各自优势与适用场景，能根据问题选择合适方法并进行简单转化。 2.难点 （1）突破函数概念抽象性，理解“唯一确定”对应关系，区分非函数关系，建立变量间的函数思维。 （2）灵活运用三种表示法解决实际问题，实现实际问题与函数模型的转化，初步掌握数形结合分析方法。 知识点01 函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 【即学即练1】1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，否则不是，据此分析即可． 【详解】解：A选项：，符合函数的定义，故不符合题意； B选项：，符合函数的定义，故不符合题意； C选项：，符合函数的定义，故不符合题意； D选项：，当时，对于一个确定的的值，都有两个值与之对应，故y不是x的函数，故符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于变量，的关系，其中不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应即可，正确理解函数的概念是解题的关键． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 故选：． 3．（25-26八年级下·全国·周测）有下列关于和的式子：①；②；③（）；④（）．其中是的函数的是__________（填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，解题关键是抓住“对于的每一个确定值，有唯一确定值对应”这一核心条件判断关系． 根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一判断每个式子是否满足函数关系． 【详解】解：①：对于的每一个值，都有唯一确定的值对应，符合函数定义； ②：对于的每一个值，都有唯一确定的值对应，符合函数定义； ③（）：当取一个正数时，有两个值（正负）与之对应，不符合函数定义； ④（）：当取一个正数时，有两个值（正负）与之对应，不符合函数定义． 因此，是的函数的是①②． 故答案为：①②． 知识点02 函数的三种表示方法 1）函数关系有三种表示方法： ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算 ③图像法：只能表示函数关系，不能确切得出函数 2）函数的三种表示方法的优缺点： ⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。 ⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。 【即学即练2】1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，根据题意，当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出式子是关键． 【详解】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加， ∴当变化到时，增加了3个尺码， ∴， ∴他的衣长是， 故选：A． 2．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系______． 每天造雪量 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 【答案】或 【分析】本题主要考查函数的表达方式，从表格中的数据可以得出每天造雪量和造雪天数的乘积等于定值260000，故可得解． 【详解】解：从表格中的数据可以得出， 所以，每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系是或， 故答案为：或． 题型01 函数的概念及图象识别 【典例1】（25-26六年级下·全国·单元测试）下列四个选项中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，根据初中函数的定义，判断每个选项中对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，若存在一个x对应多个y，则y不是x的函数． 【详解】解：∵函数的定义是：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应． ∴对各选项分析如下： A选项：对于x的每一个确定值，代入都能得到唯一的y值，符合函数定义； B选项：对于的每一个确定值，代入都能得到唯一的y值，符合函数定义； C选项：对于x的每一个确定值，代入都能得到唯一的y值，符合函数定义； D选项：当x取一个确定值时，y有两个值与之对应（如时，或），不符合函数定义． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的定义，根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，A，B，C不符合题意； 选项D的图象，给一个x值，y有多个值对应的情况，不能表示y是x的函数，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系式中：①；②；③．其中，y是x的函数的是________（填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐项分析即可得解；熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数①和②，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数； ③不满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故不是的函数； 综上所述，y是x的函数的是①②， 故答案为：①②． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是_____．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 题型02 函数的三种表示方法之列表法 【典例2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 由表格可得，时间t每增加，油温y增加，据此逐一判断即可． 【详解】解： A：当时，即没有加热时，油的温度是，不符合题意； B：由表格可得，时间t每增加，油温y增加， ∴加热，温度升高了， ∵初始， ∴，不符合题意； C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意； D：每油温上升，而非，符合题意． 故选D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）有一种树苗的高度（单位：）与生长年数的相关数据如下表所示，发现树苗的高度与生长年数在一定范围内满足关系式，则____________． 生长年数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 树苗高度 100 115 130 145 160 175 190 … 【答案】205 【分析】本题考查了函数的表示方法，函数关系式，掌握数量关系是解决此题的关键． 根据树苗高度与生长年数的关系式，将代入计算的值即可． 【详解】解：根据题意可知，树苗的高度与生长年数满足关系式， 当时，． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … _____ 【答案】 【分析】本题考查根据表格数据估计因变量的值，熟练掌握知识点是解题的关键．弹簧长度与所挂物体质量呈线性关系，初始长度为，每增加质量，长度增加，据此即可解答． 【详解】解：由表格数据可知，当物体质量时，弹簧长度； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 因此，弹簧长度与质量的关系为， 当时，． 故答案为：． 题型03 函数的三种表示方法之解析式 【典例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【答案】D 【分析】自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量，据此判断即可． 【详解】解：∵在关系式中，刹车前汽车的速度是主动变化的量，滑行距离随的变化而变化， ∴自变量是，因变量是． 【变式1】（25-26七年级上·广西河池·期末）京沪高速铁路全长为，用式子表示在此铁路上运营的列车的平均速度v（单位：）与全程运行时间t（单位：h）的关系，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查路程、速度、时间三者的基本数量关系，解题的关键是掌握三者之间的关系． 利用“路程=速度×时间”的公式，代入已知路程即可推导速度与时间的关系式． 【详解】解：，即， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 【答案】4 【分析】本题考查了变量和常量：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．在关系式中，4是固定不变的常数，与a是变量，因此常量为4． 【详解】解：正方形的周长与边长之间的关系为，其中4是常数，与a是变量， 故答案为：4． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数表达式，解题关键是找到台阶数量与侧面宽度、竖直高度的关系． 【详解】解：∵每个台阶宽，侧面宽度为， ∴台阶的数量． 又∵每个台阶高，竖直高度为， ∴． 将代入，得． 故答案为：． 题型04 函数的三种表示方法之图象法 【典例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解； 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系； 故选：C ． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图描述的是大部分男子身高与所穿运动鞋的鞋码之间的关系，根据该趋势图估计身高为的男子所穿的鞋码大致是_______码． 【答案】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，由图可得，身高每增加3cm，鞋码增大1码，即可求解． 【详解】解：由图可得，身高每增加3cm，鞋码约增大1码， ∵身高为的男子所穿的鞋码大致是码， ∴身高为的男子所穿的鞋码大致是码， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 __________________． 【答案】 【分析】本题侧重考查用图象表示两个变量间的关系，从图象中得到信息是解决此题的关键．先根据图2得出，，再根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：由图（2）可得，则， ∴， 当时，点P在点D处， ∴，即， 故答案为：． 题型05 求自变量的取值范围 【典例5】（25-26九年级上·云南昆明·期末）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，核心依据是分式的分母不能为0的性质，根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， ∴函数的自变量的取值范围为． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025九年级下·黑龙江·专题练习）在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式的有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，由此列出不等式求解． 【详解】解：∵函数， ∴ ， 解得：． ∴自变量的取值范围是 ， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 题型06 求自变量的值或函数值 【典例6】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知变量之间的关系式为，当时，的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了已知自变量的值求函数值，将代入求解即可． 【详解】解：将代入关系式得，， 所以y的值为3， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知函数，若函数值，则自变量的取值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数关系式求自变量，注意要结合自变量的取值范围来求解．将分别代入和中，即可求出的值，结合的取值范围即可得解． 【详解】解：当时，， 解得： 所以不合题意，舍去； 当时，， 解得：，符合题意， 当函数值时，自变量取值为． 故选：B． 【变式2】（25-26六年级下·全国·课后作业）果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是____米． 时间秒 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 落下的高度米 【答案】20 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据，落下的高度与时间满足关系，将代入即可求解． 【详解】解：观察表格，当时，， 当时，， 以此类推，， 当时，， 故果子开始落下时离地面的高度大约是20米． 故答案为：20． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 题型07 动点问题画函数图象 【典例7】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一辆货车从甲地开往乙地，货车的行驶路程为，行驶时间为，行驶速度为，以下函数图象反映该货车匀速行驶的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的识别，该货车匀速行驶时，行驶速度不变，由此即可得出结果． 【详解】解：∵该货车匀速行驶时，行驶速度不变， ∴反映该货车匀速行驶的是 ， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发沿如图所示的行程匀速去生态园．设他们与学校的距离为s（单位：m），所用时间为t（单位：min）．下列选项中的图象，可能表示s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图像，熟练掌握根据题干信息判断大致图像是解题的关键； 根据题干信息判断大致图像． 【详解】解：A、老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发先步行到离学校的凉亭，然后在凉亭休息了，再步行，最终到离凉亭的生态园，选项A与上述分析一致，符合题意； B、他们距离学校越来越远，值也随之增大，选项B总路程是减小的，不符合题意； C、最终值为，代表他们最终回到了学校，与题干“去生态园”不符，不符合题意； D、中间在凉亭休息一段时间，此时与学校的距离不变，图像为平行与轴的线段，选项D没有体现出休息阶段，不符合题意； 故选： A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·周测）下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 【答案】①④②③ 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 题型08 从函数的图象获取信息 【典例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家，食堂和图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小明吃早餐用了 B．小明读报用了 C．小明从食堂到图书馆的速度为 D．小明从图书馆回家的速度为 【答案】C 【分析】分析图象，可知小明在是在去食堂的路上，是在吃早餐，是在去图书馆的路上，是在图书馆读报，是在回家的路上，据此逐项分析． 【详解】解：A．小明吃早餐用了，故A错误； B．小明读报用了，故B错误； C．小明从食堂到图书馆的速度为，故C正确； D．小明从图书馆回家的速度为，故D错误． 【变式1】（24-25六年级下·全国·单元测试）年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．起跑后小时以内，乙在甲的前面 B．起跑后小时，甲和乙相遇 C．乙比甲先到达终点 D．甲、乙都跑了千米 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象获取信息，逐项判断即可得解，解决本题的关键是数形结合的思想的运用． 【详解】解：A选项：由图象可知，起跑后1小时内，甲所跑路程大于乙所跑路程，所以起跑后小时内，甲在乙的前面，故A选项错误； B选项：由图象可知，起跑后小时，甲和乙相遇，故B选项正确； C选项：由图象可知，甲到达终点的时间比乙到达终点的时间多，故C正确； D选项：由图象可知，甲、乙都跑了20.09千米，故D正确． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司，在整个过程中快递车均匀速行驶．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（min）的函数关系如图所示，根据题图图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为______min． 【答案】4 【分析】本题主要考查了函数图像的识别，解题的关键是读懂函数图象， 先根据图象求出快递车行驶的时间，再结合总时间得出答案． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶所需时间为， 所以快递车行驶的时间是， 所以快递车在每个快递站卸包裹的时间为． 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）小华乘公交车去离家5公里的学校去上学，公交车行驶了一段时间后发生故障，小华立即下车步行去上学，小华距学校的距离（公里）与小华上学的时间（分钟）之间的图象如图所示，则小华上学的步行速度是每小时_______公里． 【答案】4 【分析】此题主要考查了函数图象的性质．函数图象类问题先搞清楚轴轴的含义，轴：小华上学的时间（分钟），轴：距学校的距离（公里）．可根据图象先算出公交车行驶的速度，再求出小华步行的速度． 【详解】解：由图可知，公交车的速度：公里分钟， 公交车发生故障时，已行驶的时间：分钟， 小华步行的速度为：公里分钟， 公里分钟公里小时． 故答案为：4． 一、单选题 1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·月考）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【答案】B 【分析】本题主要考查了变量与常量的定义，明确在变化过程中，可变的量为变量，固定不变的量为常量，结合球的体积公式即可． 【详解】解：在球的体积公式中，和是固定不变的数值，的数值随的变化而变化，可取不同的数值， ∴变量是、，常量是、． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”分析判断即可． 【详解】解：根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”，可知儿童离家距离先从大变小直到0，再慢慢变大直到一固定值，由此可知选项D符合题意． 3．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义解答即可，在一个变化过程中，给出一个x的值，y有唯一的值与之相对应，此时y叫做x的函数． 【详解】解：由B，C，D中的曲线可知，存在当x取一个值时，对应的y有不唯一的值，所以不符合题意，而A中满足对于x的每一个取值，y都有确定的值与之对应，所以A符合题意． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）经科学家研究证实，蝉在气温超过时才会活跃起来，此时它会边吸树木的汁液边鸣叫．如图所示是某地一天的气温变化图象，在这一天中，听不到蝉的鸣叫的时间最多有（　　） A．10小时 B．22小时 C．8小时 D．12小时 【答案】D 【分析】根据图象，得到气温超过的时间为（小时），继而得到不鸣叫的时间为（小时），解答即可． 本题考查了图象的意义，时长的计算，熟练掌握图象的意义是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得到气温超过的时间为（小时），继而得到不鸣叫的时间为（小时）． 故选：D． 5．（25-26八年级上·安徽六安·期末）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：），两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系：下列结论： ①； ②当动车到达终点时，普通列车距离甲地； ③普通列车行驶时，到达终点甲地． 其中正确的是（　　）． A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】①根据路程和速度和时间即可解答；②、③根据路程速度时间即可解答． 【详解】①、由图象可得，甲乙两地的距离为， 当，时，即代表普通列车和动车相遇， ∴两车的速度和为， ∴，故①正确，符合题意； ②、由函数图象可得，当时，动车到达终点， ∴动车的速度为，则普通列车的速度为， ∴普通列车距离甲地为，故②正确，符合题意； ③、已知普通列车的速度为，甲乙两地的距离为， ∴普通列车到达终点甲地的时间为，故③错误，不符合题意． 综上，符合题意的有①②． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与之间的函数关系式为，则当时，_____________． 【答案】 【详解】解：当时，． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）[跨学科试题·物理]一物体自高处自由落下，其运动的距离与它下落的时间的关系式是（其中g取），其中变量是______，常量是______． 【答案】 h，t ，g 【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量称为常量． 【详解】解：物体下落过程中，运动距离随下落时间的变化而变化，因此与是数值发生变化的量，属于变量，和题目给定的是数值固定不变的量，属于常量． 8．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】/ 【详解】解：根据题意，分式有意义时分母不为0，可得， 解得， 故自变量的取值范围是． 9．（山西太原市太原新希望双语学校等校2025-2026学年第一学期八年级数学期末试卷）移动公司推出的“动感青春”套餐中流量计费规则如下（每月使用流量为） 不收费 超出的部分按元计费 超出的部分按元计费 则李明月使用流量费用y元与x的函数关系为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查函数，根据计费规则即可求得答案． 【详解】根据题意得：当时， 即 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 【答案】(1)时间 (2)80，15 【分析】（1）通过图象可得知自变量； （2）晶体有一定的熔点，表现在图象上，晶体熔化有一段图象是水平的，对应的温度就是晶体的熔点. 【详解】（1）解：由图可知，在这个变化过程中，时间是主动变化的量，温度随时间变化，所以自变量是时间； （2）解：对于晶体来说，熔化要吸热，在熔化的过程中，晶体温度不变， 由图象知，晶体在熔化过程中吸热，但温度保持不变，这个过程就是晶体的熔化过程，它对应的纵坐标的值，就是晶体的熔点， 从图中可知，该物质从第10分钟开始熔化，到第25分钟完全熔化完，所以熔化过程经历了； 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 【答案】(1)销量x (2) (3)150 【分析】本题重点把握函数的表示的方法---解析法： （1）（2）根据表格即可求解；（3）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：上表这个关系中，自变量是销量x； （2）解：由表格可得； （3）解：当刺梨的销量为50千克时，销售额是（元）． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 【答案】(1)练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量 (2)矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量 【详解】（1）解： 练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量； （2）解：， 矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中： (1)气温是不是时间t（时）的函数？ (2)什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ (3)什么时候的气温处于上升趋势？ (4)什么时候的气温是？ 【答案】(1)气温是时间t（时）的函数 (2)14时的气温最高，是；4时的气温最低，是 (3)4时到14时的气温处于上升趋势 (4)8时、22时的气温是 【分析】（1）由函数的定义即可得出答案； （2）分别观察图象的最高点和最低点，即可得出答案； （3）气温不断上升，即图像呈上升趋势，即可得出答案； （4）找到y轴上的，其对应的x轴数据即气温是的时间； 【详解】（1）解：在气温T随时间t的变化过程中有两个变量T和t，并且对于t的每一个值，变量T都有唯一的值与它对应，符合函数的定义，所以气温是时间t（时）的函数． （2）解：最高气温：图象的最高点出现在时，对应的温度为． 最低气温：图象的最低点出现在时，对应的温度为． （3）解：从图中可以看出，在4时到14时之间，图象呈上升趋势，因此4时到14时的气温处于上升趋势． （4）解：在处画一条水平线，与图象交于两点，对应的时间为时和时． 因此，8时和22时的气温是． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 【答案】(1)78，382 (2)①；②1902；③至少需要54张这样的纸 【分析】（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加可求空格； （2）①张白纸粘合起来时，纸条长度()在的基础上增加了个的长度，依此可得与的关系式；②将代入①中的关系式中求解即可；③把代入②中的关系式中，列方程求得的值即可． 【详解】（1）解：根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加， ；． ∴将表格补充完整如下： 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … （2）解：①根据题意和所给图形可得出： ， 即． ②令，则； 故答案为：1902． ③由，可得 解得． 答：至少需要张这样的纸． 15．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (1)小明在途中逗留了______； (2)小明回家的平均速度是______； (3)如果他按照刚出学校时的速度一直走到家，______就可以到家； (4)今天小明放学后是匀速径直回家的，从学校走到家一共用了15min，请你在图中画出小明回家的路程与时间关系示意图． 【答案】(1)10 (2)15 (3) (4)图见解析 【分析】（1）逗留时间逗留结束时间逗留开始时间； （2）平均速度是总路程与总时间的比值； （3）首先计算出初始阶段的速度，然后用总路程除以这个速度得到所需时间； （4）匀速运动的路程与时间图象是一条经过原点的直线，路程与时间成正比，关系式为：路程速度时间． 【详解】（1）解：由图可知小明在途中逗留了； （2）解：小明回家的平均速度是； （3）解：刚出学校时的速度为：， 按照刚出学校时的速度一直走到家需要时间为：； （4）解：作图如下： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $