专题02 平面直角坐标系中变换规律探究问题的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题02 平面直角坐标系中变换规律探究问题的四种模型 目录 题型一：平面直角坐标系中动点移动问题 1 题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 11 题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题 17 题型四：平面直角坐标系中新定义型问题 31 题型一：平面直角坐标系中动点移动问题 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点为的中点，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，以为边作等边，过点作于，连接，可证，得到，可知当有最小值时，有最小值，根据垂线段最短知当轴时，有最小值，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边，过点作于，连接， ∵点的坐标为， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 当轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)最大值，的坐标为 【分析】（1）依据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）来确定点的坐标并作图；（2）利用轴对称性质将转化为，再结合三角形三边关系确定的最大值，进而求出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图， ∵，其关于轴对称的点的横坐标保持3不变，纵坐标为2的相反数， 因此的坐标为． 在直角坐标系中，找到横坐标为、纵坐标为的位置，标记该点即为． （2） 由于点是关于轴的对称点，且点在轴上， ． ． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边， 即． 当且仅当点在直线的延长线与轴的交点时，等号成立， 此时， 即的最大值为的长度． 设直线的解析式为，将和代入： 得：； 解得：，． 因此，直线的解析式为． 令，代入： 所以点的坐标为． ， 故的最大值为． 3．（21-22八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 4．（21-22八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ，和位置关系是 ； (2)在P、Q的运动过程中，连接，，使，求出点P的坐标． 【答案】(1)， ， (2)或 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次方程的应用 （1）根据非负数的性质计算得出，，从而即可得出结果； （2）作于点，设时间经过秒，，由题意可得，，，，分两种情况：当点在点的上方时，；当点在点的下方时，；分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴点和点的纵坐标相同， ∴和位置关系是； （2）解：如图，作于点， 设时间经过秒，， 由题意可得：，，，， 当点在点的上方时，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当点在点的下方时，， 此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 5．（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，，，已知，，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． (1)在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，求点的运动时间； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)t为或 (2)或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握图形与坐标性质等知识是解题的关键． （1）由题意得，当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当点P在上时，②当点P在上时；③当点P在上时，分别表示即可． 【详解】（1）解：， ， 当点到的距离为2个单位长度时，运动路程为或， 或， 为或； （2）解：①当点P在上时，； ②当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P横坐标都为6， ∴； ③当点P在上时，， ∵轴， ∴轴， ∴点P纵坐标都为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【答案】（）①；②；（）；（） 【分析】（）①由题意可得，即得，即可求解；②由题意得，即得，再根据四边形的面积解答即可求解； （）由题意得，，，，即得，即得到，解方程即可求解； （）连接，设点到轴的距离为，可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】解：（）①∵点在第二象限，轴交轴于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点在轴负半轴上， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：； （）由题意得，，，，， ∴， ∵恰好平分四边形的面积， ∴， 解得； （）连接，设点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即点的横坐标是． 题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 7．（2026·江西吉安·一模）光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的下标的情况判断偶数点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∵如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达， ∴下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∵下标为偶数的两个点之间的距离为， ∴的横坐标为：， ∴的坐标为． 8．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交点于D，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，．…，按此规律进行下去，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而可得的横坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，      ∵，为等边三角形， ∴，， 即的横坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B， 同理可得， 即的横坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为， 同理可得，的横坐标为， 由此可得的横坐标为， ∴点的横坐标是． 9．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，均是边长为的等边三角形，边在y轴上，点都在经过原点O的直线l上，点都在直线l的上方，则点的纵坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键． 过点作轴交轴于点，由等边三角形的性质可证明，即轴，分别求出点的纵坐标，可得点的纵坐标为，先求出点的纵坐标，即可求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，过点作轴交轴于点， ∵均为等边三角形， , ， 同理，， 轴 ， ，即点的纵坐标为， 同理，点的纵坐标依次为 ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为． 10．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为，，，．曲线…叫做“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次以B，C，D，A循环，则点的坐标是 ______________ ． 【答案】 【分析】由正方形的性质结合点的坐标含义可得每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为，第四象限纵坐标都为，进一步可得点在第二象限，进一步可求解． 【详解】解：正方形的顶点坐标分别为，，，． ∴， ∴， 同理：，，， ∴，，， 同理：，， 每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为，第四象限纵坐标都为， ∵， ∴点在第二象限， 而第二象限的横坐标可表示为， 而， ∴． 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______（用含的代数式表示）； (2)2025米长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)； (2)小正方形675个，大正方形675个． 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2025米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形（个），大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 12．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； （2）解：． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题 13．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点B坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，则． 14．（2023·河南商丘·一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过C点作于点M，根据平移有：，根据翻转可知：，即证明，则有，即，在中，，即可求出，即，根据对称有：，即有，可得，根据， ，可得，即，则有，根据平移可知：点C向右平移得到点F，即可求解． 【详解】连接，过C点作于点M，如图， 根据平移有：， ∴， 根据翻转，可知：，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴，即， 根据对称，点O的对应点为点C，有：， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴解得：，即， ∴， ∵， ∴根据平移可知：点C向右平移得到点F， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的翻转与平移，勾股定理，图形与坐标等知识，掌握翻转与平移的性质是解答本题的关键． 15．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． (2)如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． (3)是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为； (2) (3)点P的坐标为或． 【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形中，，，若点D为射线上的一点，将沿折叠，点C落在平面内一点处（如图）． (1)若点C落在线段上，求点D的坐标． (2)当的面积为50时，求的面积． (3)当是以为腰的等腰三角形时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)16或144 (3)点D的坐标为或或 【分析】（1）根据题意画出图形，然后结合折叠的性质得到四边形是正方形，求出，，进而求解即可； （2）根据题意分点在x轴上方和点在x轴下方两种情况讨论，然后根据的面积为50求出，求出，勾股定理求出，进而求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分和两种情况讨论，过点作分别交，于点E，F，然后分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵长方形中，，， ∴ 由折叠得，， ∴四边形是正方形 ∴， ∴； （2）如图所示，当点在x轴上方时，过点作分别交，于点E，F ∴， ∵的面积为50 ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积； 如图所示，当点在x轴下方时，过点作分别交，所在直线于点E，F ∴， ∵的面积为50 ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的面积， 综上所述，的面积为16或144； （3）如图所示，当时，过点作分别交，于点E，F ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∴， 由折叠得， ∴ 解得 ∴； 如图所示，当时，且点在x轴上方时，过点作分别交，于点E，F ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∴， 由折叠得， ∴ 解得 ∴； 如图所示，当时，且点在x轴下方时，过点作分别交，所在直线于点E，F ∴ ∴ ∴ ∴ 设 ∴， 由折叠得， ∴ 解得 ∴； 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上，已知与y轴交于点P． (1)如图①，若，，且，请求出点C的坐标； (2)如图②，交x轴于点E，若将沿折叠，点P恰好落在x轴的点处，求证：P是的中点； (3)如图③，恰好平分，若点C的横坐标为，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点P的坐标为 【分析】（1）过点C作轴，可证得，从而得出，再根据非负数的性质求出，进一步得出结果； （2）可证明，从而，即可得出结论； （3）C作轴交的延长线于点M，交y轴于点N，可证得，从而，再证，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵点C在第四象限， ； （2）证明：是等腰直角三角形， ， ∵将沿着折叠， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点； （3）解：如图，过点C作轴交的延长线于点M，交y轴于点N， ， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵点C的横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 故点P的坐标为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，非负数的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 题型四：平面直角坐标系中新定义型问题 19．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）定义新运算： 在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着x轴正方向或负方向平移个单位长度，再沿着y轴正方向或负方向平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作；其加法运算法则为：，其中a，b，c，d为实数．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移，二元一次方程组，熟练理解题意并根据题意列式是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据加法运算法则，得， 解得：， 则， 故答案为：． 20．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）新定义：在平面直角坐标系中中的点，若点P的坐标为（其中k为常数，），则称点为点P的“k属派生点”．例如：点的“3属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长为线段长的3倍，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据“k属派生点”的定义，进行求解即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 即：， 故答案为：． （2）解：设点 点P的“k属派生点”为点， ∴， ∵，的纵坐标相同， ∴轴， 如图，分两种情况： ①当时，， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴；    综上：或． 【点睛】本题考查点的坐标规律．解题的关键是理解并掌握“k属派生点”的定义． 21．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（）①根据新定义解答即可；②设点，由可得，进而得到，解方程求出即可求解； （）由题意可得点的坐标为，设点为线段上任意一点，则，可得，即可得，得到的最大值是，进而即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点在轴上， ∴设点， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点在轴上，点在点的上方，点的坐标为，， ∴点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值是，即的值是． 22．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）［基础定义］在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”． ［学以致用］（1）求点的“倾斜系数”的值． ［能力提升］（2）若点的“倾斜系数”，请写出和的数量关系，并说明理由． ［拓展延伸］（3）若点的“倾斜系数”，且，求的长． 【答案】（1）；（2）或．理由见解析；（3） 【分析】（）直接由“倾斜系数”定义求解即可； （）点的“倾斜系数”，则或，然后化简即可； （）分两种情况讨论：当时，当时，根据，分别求出的值，然后用两点间的距离即可求解； 本题主要考查了平面直角坐标系—坐标与图形，读懂题意及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：（）∵的， ∴，， ∴， ∴点的“倾斜系数”； （）或， 理由如下：连接， ∵点的“倾斜系数”， ∴当时，，当时，， ∴或 （）分两种情况讨论： 当时，， 又∵ ∴， ∴， ， ∴， ∴， 当时，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ， 综上可知：的值为． 23．（24-25七年级下·福建福州·期末）对a，b定义一种新运算T，规定：（其中x，y均为非零实数）．例如：． (1)已知，，求x，y的值； (2)已知关于x，y的方程组，若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点落在坐标轴上，将线段沿x轴向左平移1个单位，得线段，坐标轴上有一点B满足三角形的面积为6，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，新定义，解二元一次方程组，坐标与图形，不等式的性质等等，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据新定义可得方程组，解方程组得到，则可求出，再根据即可求出答案； （3）根据（2）可得；再由点A落在坐标轴上，得到或，则或；根据平移方式可得，；据此分和两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：∵， ∴， 解得：， ， ∵， ， ， ； （3）解：由（2）可得， ∴； ∵点A落在坐标轴上， ∴或， ∴或； ∵将线段沿x轴向左平移1个单位，得线段， ∴，，即； 当时，，则，且轴， 当点B在x轴上时，∵三角形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为或； 当点B在y轴上时，，不符合题意； 当时，，则， 此时点B只能在y轴上，∵三角形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为或； 综上所述，点B的坐标为或或或． 24．（24-25八年级上·北京·期中）小聪和小明在学习了平面直角坐标系后，产生了强烈的兴趣，于是尝试定义了平面直角坐标系中任意两点与的一种新距离： 小聪定义了与的“倍分解距离”，如下： 在平面直角坐标系中，任意两点与，任意给定都有如下定义： 若，则； 若，则． 例如，点，当时：，． 小明定义了与的“和距离”，如下： 在平面直角坐标系中，任意两点与． 点与的“和距离”为：． 例如，点，． 根据以上材料解决如下问题： 在平面直角坐标系中： (1)时，已知点，则 ， ； (2)若点，且点，请写出符合题意的三个点C的坐标，证明这些点在一条直线上； (3)当时，若点E，F满足，，当所有符合条件的点E所组成的图形和点F所组成的图形有四个交点时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3，4 (2)（答案不唯一），证明见解析 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据题意，得到，进而得到3个点的坐标即可，设，连接，过点分别作轴，轴，证明均为等腰直角三角形，得到，即可得证； （3）根据题意，得到图象为，四条线段组成；图象为对称中心为原点的正方形，图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴当时，；当时，；当时，； ∴符合题意的三个点的坐标可以为：， ∴设，连接，过点分别作轴，轴， 则：， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴三点共线，即点三点共线； （3）解：设， 当时，， ∴， 当时，， ∴； ∴图象为，四条线段组成； 设，则：， ∴图象为对称中心为原点的正方形； 如图：当，或时，图象和图象有4个交点； 【点睛】 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02平面直角坐标系中变换规律探究问题的四种模型 题型归纳 目录 题型一：平面直角坐标系中动点移动问题 题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 11 题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题.17 题型四：平面直角坐标系中新定义型问题31 题型专练 题型一：平面直角坐标系中动点移动问题 1.(25-26八年级上江苏连云港·期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为0,4)，点B为x轴 上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC,若点P为OA的中点，连接PC,则PC长的最 小值为 2.(25-26九年级下·浙江杭州月考)如图，在直角坐标系中，己知M(3,2),点V(-1,6) 6 4 31 L- 2 65432, 0123436 2 4 -5 (I)若点M'与M关于x轴对称，在直角坐标系中作出点M',并写出点M'的坐标. (2)点P为x轴上一动点，求NP-MP的最大值，并直接写出点P的坐标， 3.(21-22八年级下江苏南通月考)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(-3,0)，(0,6)， 动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 以每秒2个单位的速度运动.以CP，,CO为邻边构造平行四边形PCOD.在线段OP延长线上有一动点E, 且满足PE=AO,设点P运动时间为t秒. ◆B E衣 (1)当点C运动到线段OB中点时，t=-,点E的坐标为_； (②)当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形： (3)当OC=2时，求四边形ADEC的周长。 4.(21-22八年级上江苏连云港期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，点Aa,0),B(b,b),C(0,b), 且满足(a+8)+√b+4=0,P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O 点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动， 备用图 (I)直接写出点A的坐标-，点B的坐标，A0和BC位置关系是_： (2)在P、Q的运动过程中，连接PB,QB,使S△PAB=4S△QBc,求出点P的坐标. 5.(25-26八年级上江西鹰潭期末)如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A,BC⊥y轴，垂足 为C,OA=CB,OC=AB,已知A(6,0),C(0,-8),点P从O点出发沿折线OA-AB-BC的方向运动到 点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒， 备用图 备用图 (I)在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，求点P的运动时间t; (2)在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标。 2/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25七年级下·辽宁大连·月考)操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点C(-23,C在第二象限，CB∥x轴交y轴于点B,点A在x轴负半轴上，AO-BC=2,连AC,点 M为线段BC上的一个动点，点N为线段OA上的一个动点， N A 图1 图2 【问题初探】 (1)①点A的坐标为-： ②若c=20,则四边形04CB的面积为_； 【深入研究】 (2)如图1，动点N从点A出发向点O移动，速度为每秒4个单位长度，同时动点M从点B出发向点C移 动，速度为每秒2个单位长度 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动. 设运动时间为t秒，连接MN,在运动的过程中，当线段MN恰好把四边形OACB的面积分成相等的两部分 时，求时间t的值； 【拓展提升】 (3)如图2，连接0C交MN于点D,若(2)中的动点N和动点M速度保持不变，CD:0D=2:3,求 点D的横坐标 题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 7.(2026江西吉安.一模)光纤通讯是利用光的全反射原理.在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴 线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从A(-2,-1)出发，经过A(2,1)第1次全反射到达A,(6,-1, 在4，经过第2次全反射到达A(10,1,在A经过第3次全反射到达A414,-1,依此类推，经过第2025次 全反射到达A,26,则A,26的坐标为（) 6 8910112及4151617在 A.（8098,-1) B.(8098,1) C.8102,-1 D.(8102,1 3/10 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.(24-25八年级上·安徽马鞍山期末)如图，在平面直角坐标系中，直线1与x轴交于点B,与y轴交点 于D,且OB=1,∠ODB,=60°，以OB,为边长作等边三角形A,0B,过点A作AB平行于x轴，交直线1 于点B,以AB2为边长作等边三角形A,A,B2,过点A作A,B,平行于x轴，交直线1于点B,以A,B,为边长 作等边三角形A,A,B,.,按此规律进行下去，则点A4的横坐标是。 A3 A2 B A B2 O B D 9.（2026九年级吉林.专题练习)如图，△0AB,△B,A,B2,△B2AB,△B,AB4,…,△B.A.B+1均是边长为2√3 的等边三角形，边OA在y轴上，点B,B2,B,B4,…,Bn,Bn+1都在经过原点O的直线1上，点A,A2,A,,An都 在直线1的上方，则点Ao的纵坐标为 A, A B B 10.(25-26九年级上山东东营·月考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为 A1,-,B-1,-,C(-1,,D(1,1.曲线A444叫做“正方形的渐开线”，其中A4,A4,A4, A,4,…的圆心依次以B,C,D,A循环，则点Ao2的坐标是 4/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A A 11.(25-26九年级上·安微阜阳·期中)如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成， 将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则点A的坐标为2,2)，点4的坐标为 (5,2. 4 A 0 (1)点A的坐标为，点A,的坐标为 （用含n的代数式表示)： (2)2025米长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 12.(25-26八年级上·安徽淮北期末)如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运 动，即A0,0)→A,(1,3)→A,2,0)→A3,-2)→A44,0→A(5,3)→A6(6,0)→，按这样的运动规律，完 成下列任务： A As 13 A10 42 A14 A16 Q(A) A15 ()直接写出下列各点的坐标： ①A199: ②A026: 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点(x,),（x2,y2,（x3,y3),（x4,y4),请写出乃，，，y4之 间满足的数量关系，并说明理由 题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题 13.(2026河南信阳一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为 (1,O),点E在边CD上.将ADE沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为O,3),则EF的长为() A OB A.√2 B.3 C.5 D.2 14.(2023河南商丘一模)如图，平面直角坐标系中，A-2,0),B(0,1),将A0B沿AB折叠，点O的对 应点为点C,将ABC沿x轴正方向平移得到aDEF,当DF经过点B时，点F的坐标为() 917 D. 317 C. 20'10 8'10 15.(24-25八年级上河南焦作·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是-5,0)，点B的坐标是 (O,12),点M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B处，则点M的坐标为 B M A 16.（25-26八年级上·四川成都期中)一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，AB=8, AD=6,P为边CD上一动点，连接BP,将△BCP沿BP折叠，点C落在点C处 D(P) Q(4) 0(4) B O4) 图1 C'图2 备用图 (1I)如图1，连接BD,当点C在线段BD上时，求点P的坐标. (2)如图2，当点P与点D重合时，沿BD将△BCD折叠得△BCD,DC'与x轴交于点E,求aODE的面积. (3)是否存在点P,使得点C到长方形的两条较长边的距离之比为1：5？若存在，直接写出点P的坐标；若 不存在，请说明理由。 17.(24-25八年级上·浙江金华期末)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形0ABC中， 0A=16,OC=10,若点D为射线CB上的一点，将aOCD沿0D折叠，点C落在平面内一点C处（如图）. D B A x 备用图 备用图 (I)若点C落在线段OA上，求点D的坐标 (②)当△ABC'的面积为50时，求△BCC的面积. (3)当△ABC'是以AC'为腰的等腰三角形时，求点D的坐标. 18.(2025八年级上全国.专题练习)在ABC中，动点A在x轴的负半轴上，动点B在y轴的正半轴上， 己知∠BAC=90°，BA=AC,AC与y轴交于点P. VA 图① 图② 图③ (1)如图①，若Aa,0),B(0,b),且(a+3)2+b-4=0,请求出点C的坐标； (2)如图②，BC交x轴于点E,若将△EPC沿BC折叠，点P恰好落在x轴的点P处，求证：P是AC的中 7/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点； (3)如图③，BP恰好平分∠ABC,若点C的横坐标为m,B(O,m),请求出点P的坐标. 题型四：平面直角坐标系中新定义型问题 19.(24-25七年级下·辽宁大连期中)定义新运算： 在平面直角坐标系中，{a,b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a<0)平移d个单位长 度，再沿着y轴正方向(b≥0)或负方向(b<0)平移b个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着x轴负方 向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作-2,1；其加法运算法则为： {a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,d为实数.若{2,5}+{m,n}={L,-2},则m+n= 20.(22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔期中)新定义：在平面直角坐标系中x0y中的点P(a,b),若点P的坐 标为a+kb,ka+b)（其中k为常数，k≠0)，则称点P为点P的k属派生点”.例如：点P(1,2)的3属派 生点”为P1+3×2,3×1+2,即P'(7,5). (1)点P(-2,3)的2属派生点”P的坐标为 (②)若点P在y轴的正半轴上，点P的k属派生点”为点P,且线段PP'的长为线段OP长的3倍，求k的值. 21.(24-25七年级下湖北十堰期末)新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点Ax,y),B(x2,y2),记 d=x-x,,d,=y,-y2,将d-称为点A,B的横纵偏差”，记作u(A,B),即(A,B)=d.-d,,若 点B在线段P上，将μ(A,B)的最大值称为线段PO关于点A的横纵偏差”，记作μ(A,PQ). (1)点A0,-2),B1,4. ①μA,B)的值是_ ②点K在x轴上，若μB,K)=0,求点K的坐标. (2)点P,Q在y轴上，点P在点Q的上方.若点M的坐标为(-5,0)，点0的坐标为(0,1，PQ=6,求 μ(M,PQ)的值. 22.(24-25八年级上辽宁丹东·期末)[基础定义]在平面直角坐标系中，F(a,b)是第一象限内一点，给出 如下定义：名-名和%-名两个值中的最大值叫做点下的倾斜系数k. a 8/10 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 [学以致用](1)求点F(4,12)的倾斜系数”k的值. [能力提升](2)若点F(a,b)的倾斜系数”k=6,请写出Q和b的数量关系，并说明理由. [拓展延伸](3)若点F(a,b)的倾斜系数°k=5,且a+b=12,求0F的长 23.(24-25七年级下·福建福州·期末)对a,b定义一种新运算T,规定：Ta,b)=a+2b)(ax+by)(其中 x,y均为非零实数).例如：T1,=3x+3y. (1)已知T(1,-1=0,T(0,2)=8,求x,y的值： (2)己知关于x,y的方程组 到702。、若02-，求x+y的取值范： (3)在(2)的条件下，已知平面直角坐标系上的点A(x,y)落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向左平移1个单 位，得线段O'A',坐标轴上有一点B满足三角形BOA的面积为6，求点B的坐标， 24.(24-25八年级上·北京·期中)小聪和小明在学习了平面直角坐标系后，产生了强烈的兴趣，于是尝试定 义了平面直角坐标系x0y中任意两点P(x,y)与P(x2,y2)的一种新距离： 小聪定义了？与的“倍分解距离”，如下： 在平面直角坐标系x0y中，任意两点P(x1,y)与Px2,y2),任意给定m>0都有如下定义： 若k-x2≥以-y2，则dn（P,P2)=mx,-x: 若-小水-小，则d.(R)- 例如，点M(1,2,N(3,1,Q(2,4),当m=1时：d（M,N)=1-3=2,dn（N,0)=1-4=3. 小明定义了？与的“和距离”，如下： 在平面直角坐标系x0y中，任意两点P(x,y)与Px2,2). 点与B的“和距离”为：d知，P2)=x-x2+以1-y2. 例如，点M(1,2),N(3,1,d(M,N)=1-3+|2-1=3. 根据以上材料解决如下问题： 在平面直角坐标系x0y中： 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个y (1)m=1时，已知点A3,1,则dm4,0)=-,d和(A,0)=- (2)若点C(x,y)(x20,y≥0)，且点d和C,0)=3,请写出符合题意的三个点C的坐标，证明这些点在一条直 线上； (3)当m=2,n>0时，若点E,F满足dn（E,O)=3,d和（F,O)=n,当所有符合条件的点E所组成的图形和 点F所组成的图形有四个交点时，直接写出n的取值范围. 10/10