专题01 平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01平面直角坐标系中的图形面积的四种模型 题型归纳 目录 题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解.… .1 题型二：直角利用面积公式求图形的面积… 6 题型三：利用补形或分割法求图形的面积.12 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题21 题型专练 题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解 1.(24-25七年级下·湖北黄石月考)如图，在平面直角坐标系中，长方形ABC0的长A0为4，宽AB为3， 动点P从点A出发沿AB→BC→C0运动，当APOA的面积等于四边形ABC0面积的二时，点P的坐标为 B P 0 2.(24-25七年级下湖北黄石·月考)在平面直角坐标系中，己知点Am-4,m+2),B(m-4,m),C(m,0), D(2,0),己知三角形ABD的面积是三角形ABC面积的2倍，则m的值为· 3.(24-25七年级下北京期中)在平面直角坐标系中，已知点A-2,8),B(-11,6),C(-14,0),O(0,0). (1)四边形OABC的面积为： (2)若)轴上存在点M,使△01W的面积拾为四边形08C的面积的行则M点坐标为 4.(25-26八年级上广东佛山期中)如图，平面直角坐标系中，等腰直角ABC的点B是原点，C(4,0), ∠A=90°，若点D在y轴上，且△DAB的面积是ABC的一半，则点D的坐标是 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(24-25七年级下江西赣州期末)在平面直角坐标系中，点M(2,1,点N(0,2),若在坐标轴上有一点P (不与点N重合)，使三角形OPM和三角形OMN面积相等，则点P的坐标为 41 2 >M -4-3-2-10 1234 -2 -3 6.(24-25七年级下江西上饶期末)在平面直角坐标系中，有点A(2,4),点B(0,2),若在坐标轴上有一点 C(不与点B重合)，使三角形AOC的面积是三角形AOB面积的2倍，则点C的坐标为 题型二：直角利用面积公式求图形的面积 7.(25-26八年级上宁夏银川月考)如图，在平面直角坐标系中，已知A-1,0),B(3,0),M(-2,-2). B (I)求出△ABM的面积， (②)在y轴上有一点P,使得△ABP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标. 8.(21-22七年级上·重庆沙坪坝·月考)如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是(0,3)，点B的坐标是 (-3,-2 (1)图中点C的坐标是_： (②)点C关于x轴对称的点D的坐标是-，并作出四边形ABCD; (3)求四边形ABCD的面积. 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(25-26九年级上·内蒙古赤峰期末)已知点A(-5,2a+1)与点B(3b-1,-2)关于原点对称，将点A向右移 动6个单位长度得到点C,点C关于x轴的对称点为点D 珠 5 4 3 2 -5-4-3-2-10 12345x (1)求a,b的值； (2)在图中标出A,D,B,C的位置，顺次连接A,D,B,C,求所得图形的面积 10.(25-26八年级上·安微安庆期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(-1,0)，(3,0)， 现同时将点A,B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A,B的对应点C, D,连接AC,BD C D AO B衣 (1)求点C,D的坐标： (②)求四边形ABDC的面积. 11.(25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末)如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别是 A-3,2),B(0,4),C(1,. 0一1 012345x 4 L5 (1)画出ABC关于x轴成轴对称的△A,B,C,并写出点C的坐标为_· (2)求ABC的面积 (3)请在x轴上标出点P的位置，使得△APC周长最小（保留作图痕迹）. 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.(24-25八年级下·广东惠州月考)如图，ABC的三个顶点的坐标分别是A0,3),B(3,4),C(3,0. B C (1)ABC的面积是； (②)点E在y轴上，使EB+EC的值最小，则E点的坐标是； (3)点F在y轴上，且△ABF的面积等于ABC的面积，求点F的坐标 题型三：利用补形或分割法求图形的面积 13.(25-26八年级上广东梅州期中)如图，已知A-6,0,B(6,0,C(4,3),D(-3,5). D (1)求四边形ABCD的面积； (②)在y轴上存在一点P,使三角形APB的面积等于四边形ABCD面积的2倍，求点P的坐标， 14.(24-25八年级上甘肃酒泉·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点Aa,0),B(b,0),C(-1.5,-2), 其中a,b满足a+1+(b-3)2=0. (I)求ABC的面积： (2)在x轴上求一点P,使得△ACP的面积与ABC的面积相等： (3)在y轴上是否存在一点Q,使得△BCQ的面积与ABC的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不 存在，请说明理由， 15.(2025八年级上全国·专题练习)如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(0,1,B(0,-2), C-3,-1,D-2,3. 4/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (-2,3)D 3 ￥A(0,1)》 -3Y-2-10 123衣 -1 (-3,-1)C -2YB(0,-2) (1)求这个四边形的面积： (②)如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘-1，纵坐标都乘-1，再顺次连接得到的各点，所得的四 边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 16.(24-25七年级下·江西宜春期中)如图，三角形ABC中任意一点P(x,y)经平移后对应点为 P(x,-3,y+2),其中A0,2),B(4,0),C(-1,-I),将三角形ABC作同样的平移得到三角形AB,C A 4 3 4 2 B 5-4-329十2.34.5x -下--7------ 5 (1)画出三角形A,B,C,并写出点C的坐标： (2)求三角形ABC的面积； (3)已知点P在y轴上，且三角形PAB的面积等于三角形ABC的面积，求P点坐标. 17.(24-25七年级下·广东江门月考)已知：如图在平面直角坐标系中，A(0,,B(b,0),且满足 (2a-b)2+Va-b+1=0,点C的坐标为4,2). B (I)求三角形ABC的面积； (2)若点P在坐标轴上，且△ABP与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标， 18.(25-26八年级上·安徽准北月考)如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为 (0,a,(b,0),(c,a),且a,b,c满足关系式Va-4+(c+5)2+b+3=0. 5/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求A,B,C三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点P(2,n),请用含的式子表示四边形OPBC的面积； (3)在(2)的条件下，当n=-2时，在y轴上是否存在点M,使三角形B0M的面积等于四边形OPBC面积 的？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，请说明理由 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题 19.(25-26八年级上陕西西安·月考)如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1,0),C(1,4),BC∥x轴， BC=4. 1)求点B的坐标； (2)在y轴上是否存在点P,使△BCP的面积为12？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 20.(25-26八年级上·贵州六盘水·期末)已知ABC的各顶点坐标分别为A(5,4),B(2,6),C(1,2). 6 4 3 6543-210 1 23456x -2 -4 5 -6 (I)请在如图所示的平面直角坐标系中画出ABC; 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出ABC关于y轴对称的△AB,C,并写出点B的坐标 (3)在x轴上是否存在点P,使得PA+PC的值最小？若存在满足条件的点P,请在图中作出该点，并求出 PA+PC的最小值；若不存在，请说明理由 21.(25-26八年级上陕西西安期中)在如图所示的平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为A(2,0), B(3m+8,0),C(1,2),点A、B在原点两侧，且AB=6,连接0C· (1)求m的值； (②)在y轴上是否存在一点M,使得S△com=3S△c？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请 说明理由. 22.（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末)如图，在平面直角坐标系中A(a,0),B(0,b),满足 a2-4a+4+lb-4=0 A 备用图 (I)求A、B两点的坐标： (②)LOBA的平分线BC与∠OAB的外角平分线AM交于点C,求∠C的度数； (3)在平面内是否存在点P,使△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若 不存在，请说明理由。 23.(25-26八年级上山东济南期中)平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点Aa,0),交y轴于点B(0,b) ,a、b满足b=√a-4+√4-a+4. 7/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M D 图1 图2 (I)求A、B两点的坐标： (2)在射线A0上是否存在点D,使△DAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请 说明理由； (3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作MN⊥BM交直线OA于点N,是 5 否存在点M,使Sw=S0,若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由. 4 24.(24-25八年级上广东佛山期中)综合探究： 如图，在平面直角坐标系中，A4,4),B(b,0),C(0,c),P点为y轴上一动点，且b-6+Vc-4=0. 珠 C P B B 备用图 (I)直接写出b,C,AB的值：b= ,C= AB= (②)当点P在线段OC上运动时，是否存在一个点P使SAP4B=9,若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请 说明理由， (3)点P在y轴上运动，是否存在△PAB为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明 理由， 8/8 专题01 平面直角坐标系中的图形面积的四种模型 目录 题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解 1 题型二：直角利用面积公式求图形的面积 6 题型三：利用补形或分割法求图形的面积 12 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题 21 题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解 1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 2．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，准确得出三角形的底边、高的长度是解题的关键 先根据点、的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于的方程求解即可． 【详解】解：点，， 轴，， 由题意得，， 即， 解得或， 3．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，． （1）四边形的面积为______； （2）若轴上存在点，使的面积恰为四边形的面积的，则点坐标为_____． 【答案】 80 或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中四边形面积的计算，以及利用三角形面积公式求解特定点的坐标． （1）过作轴于点，过作轴于点，则，，，，，，，再根据求解即可； （2）设点坐标为，由题意得，即可得，解方程即可． 【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴于点， 则，，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：80； （2）设点坐标为， ∵的面积恰为四边形的面积的， ∴， ∴，即， 解得， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，等腰直角的点 B是原点，，，若点 D在 y轴上，且的面积是的一半，则点 D的坐标是 ______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、等腰直角三角形的性质等知识，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质可得，易得，；设，则，根据三角形面积公式解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点， ∵点B是原点，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵的面积是的一半， ∴，即， ∴， ∴或， ∴点 D的坐标是或． 故答案为：或． 5．（24-25七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若在坐标轴上有一点（不与点重合），使三角形和三角形面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】、或 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再分当点P在x轴上时，当点P在y轴上时，分别进行计算即可得到答案． 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：根据题意得， 当点P在x轴上时，， ， 解得， ∴，或； 当点P在y轴上时，， ， 解得， ∴（舍去），或． 综上，点的坐标为或或， 故答案为：、或． 6．（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 题型二：直角利用面积公式求图形的面积 7．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）过点M作轴于点N，根据列式求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 8．（21-22七年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是，点B的坐标是 (1)图中点C的坐标是 ； (2)点C关于x轴对称的点D的坐标是 ，并作出四边形； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，作图见解析 (3)21 【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出C点坐标； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得D点坐标，然后顺次连接，，，各点即可得四边形； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由图得； （2）解：，点C与点D关于x轴对称， ， 四边形如图所示， （3）解：由（2）图得， ． 9．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】（1）利用关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数的性质，列方程求解、； （2）先根据坐标平移与轴对称规则确定各点坐标，再将四边形分割为两个三角形，用面积公式计算总面积． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ，， ，． （2）解：，， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标是， ∴四边形的形状如下图所示， ，，， ∴四边形的面积． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)求点，的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)、 (2)8 【分析】本题考查了平移、平行四边形的判定、平行四边形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平移的性质解题即可； （2）根据平行四边形的面积计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，，； （2）解：由（1）知，，， 且， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 11．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． (2)求的面积． (3)请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称的性质，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交x轴于点P，由轴对称的性质可得，则的周长，故当三点共线时，的周长有最小值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2）解：由（1）得； （3）解：如图所示，点即为所求． 12．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)的面积是_____； (2)点在轴上，使的值最小，则点的坐标是_____； (3)点在轴上，且的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系，轴对称性质，两点之间线段最短，利用网格求三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用三角形面积公式即可求解； （）作点关于轴对称点，连接，交轴于点，然后通过平面直角坐标系即可求解； （）设则，然后利用三角形面积公式得，解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：的面积是， 故答案为：； （2）解：如图，作点关于轴对称点，连接，交轴于点，则点即为所求； 理由：∵点与点关于轴对称 ∴， ∴， ∴点即为所求， 根据平面直角坐标系可知：点， 故答案为：； （3）解：设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 题型三：利用补形或分割法求图形的面积 13．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，已知． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的2倍，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据结合各点的坐标求解即可； （2）求出线段的长和的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C和点D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，点F， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴； ∵三角形的面积等于四边形面积的2倍， ∴， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或； 14．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，其中a，b满足． (1)求的面积； (2)在x轴上求一点P，使得的面积与的面积相等； (3)在y轴上是否存在一点Q，使得的面积与的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点 (3)存在，点Q坐标为 或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、解一元一次方程、绝对值，（1）利用非负数的性质求出a，b的值，再利用三角形面积公式计算即可． （2）设点，构建方程求出p的值即可． （3）如图，设交y轴于点N，设、，利用面积法求出点N的坐标，再利用面积法构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又，， ∴，， ∴，， 过点C作轴于点N， 点， ， ，， ∴， ∴． （2）解：设点． ∵， 解得或 ， 当时，与重合，不合题意，舍去， ∴点． （3）解：如图，连接，设交y轴于点N，设、， ∵， ， ， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q坐标为或． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 16．（24-25七年级下·江西宜春·期中）如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，其中，，，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)画出三角形，并写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，求点坐标． 【答案】(1)画图见解析，的坐标； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了坐标与图形变化中的平移和作图，以及利用网格求三角形面积，解题的关键是能够根据点平移前后的坐标判断出平移方式，并熟练掌握平移的性质． （）利用点和的坐标特征确定平移的规律，然后写出的坐标，再描点即可； （）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积； （）设，利用三角形面积公式得，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：∵三角形中任意一点经平移后对应点为， ∴将三角形向左平移个单位，向上平移个单位得到三角形， ∴的坐标； （2）解：三角形的面积为 ； （3）解：设， 则，即， 解得：或， ∴点坐标为或． 17．（24-25七年级下·广东江门·月考）已知：如图在平面直角坐标系中，，，且满足，点的坐标为． (1)求三角形的面积； (2)若点在坐标轴上，且与的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质，解二元一次方程组，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用非负数的性质求出a．b的值得到点A和点B的坐标，再根据列式求解即可； （2）分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况，根据三角形面积计算公式讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ； （2）解：当点P在x轴上时， ∵与的面积相等，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或； 当点P在y轴上时， ∵与的面积相等，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的纵坐标为或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 18．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． (1)求三点的坐标； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题 19．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． (1)求点的坐标； (2)在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的坐标为或 (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）根据，可得点的纵坐标为4，再由可得点的横坐标为或5，进而可得点的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，轴，， 点的纵坐标为4，点的横坐标为或5 的坐标为或； （2）解：存在，理由如下： 由题意知点可能在直线上方的轴上或直线下方的轴上， 设点到直线的距离为， 则的面积， 即， 解得， 当点在直线上方的轴上时，则点的坐标为， 当点在直线下方的轴上时，则点的坐标为． 20．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）已知的各顶点坐标分别为． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出关于轴对称的，并写出点的坐标__________； (3)在轴上是否存在点，使得的值最小？若存在满足条件的点，请在图中作出该点，并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3)图见解析， 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键： （1）描点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，得到，得到当点在线段上时，，最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求；； （3）解：如图，点即为所求； ． 21．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 22．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，满足 (1)求A、B两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； (3)在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）将用完全平方公式变形为，得出，即可求解； （2）由的平分线与的外角平分线AM交于点，可得出，再由三角形外角和定理，得 ,即，即可求解； （3）根据A、B、P构成等腰三角形，设点P坐标为当点B与点A为顶点时，就有两个点，由图形中的三角形的全等性求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ， ． （2）解：平分，平分， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ∵是以为腰的等腰直角三角形 ∴当B点为等腰直角三角形的顶点，如图所示： ， ， ， ， 过点作于点C， ， ∵ ∴， ， 在和中 ， ，， ， ； 过点作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点在第二象限， ∴； 当A点为等腰直角三角形的顶点，如图所示： 同理证明出， ，， ， ； 同理证明出， ，， ， ∵点在第三象限， ； 故或或或 【点睛】本题考查了点的坐标，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，运用分类讨论思想时解题关键，属于较难题． 23．（25-26八年级上·山东济南·期中）平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)在射线上是否存在点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练运用坐标运算、分类讨论思想和相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的被开方数非负性求出，的值，进而确定A、B两点的坐标； （2）设出点D的坐标，根据等腰三角形的三种分类（、、），结合两点间距离公式求解； （3）先求出直线的解析式，设出点M的坐标，通过证明三角形全等得到线段关系，再结合三角形面积公式列出方程求解． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：存在点D，使为等腰三角形． ∵，， ∴在中，由勾股定理可得， ∵在射线上存在点D，使为等腰三角形， ①若， ∴， ∵此时点D在轴负半轴， ∴； ②若，则点D与点重合， ∴； ③若，则， ∴； 综上所述，或或． （3）解：存在，理由如下： 过点作轴，交轴于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵点、关于轴对称， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合探究： 如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一动点，且． (1)直接写出的值：____________，____________，____________． (2)当点在线段上运动时，是否存在一个点使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点在轴上运动，是否存在为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）非负性求出，勾股定理求出的值即可； （2）设点的坐标为，利用分割法求面积，列出方程进行求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：设点的坐标为，由（1）可知：， 即 解得：； 的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ①当，过点作，则：， ， ， ∵，， ∴，轴， ， ， ， 点的坐标为 ②当，如图，设， ， ， ， 即， 解得； 的坐标为； ③当，不符合题意 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，非负性，勾股定理，利用数形结合和分类讨论思想，是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $