圆：切线的证明复习讲义-2026届中考数学一轮复习高频考点复习讲义

圆：切线的证明复习讲义 圆：切线的证明复习讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣圆的切线判定定理，核心依据为两个互推结论： 1. 切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（最核心，几何证明首选）； 2. 切线的性质逆用：若直线与圆有唯一公共点，且圆心到直线的距离等于圆的半径（），则直线为圆的切线（坐标法/计算法常用）。 本质是证明“线与半径垂直+垂足为半径外端” 或计算“圆心到线的距离=半径”，二者证其一即可。 二、通用解题思路（分两大核心方法，几何法为主，计算法为辅） 方法1：几何法（判定定理法，必考核心，分2类场景） 核心思路：找半径→证垂直→定外端，三步完成证明，关键是“证垂直”。 场景1：直线与圆有明确公共点（题干告知/图形标注交点为，在圆上） 三步法：连半径→证垂直→下结论 1. 连半径：连接圆心与公共点，得半径（明确待证垂直的线段）； 2. 证垂直：证明直线（核心步骤，常用垂直判定依据）： - 利用直角三角形：证为（勾股定理逆定理：）； - 利用平行线性质：由已知垂直得平行，再推垂直（如，，则）； - 利用圆的性质：直径所对圆周角为直角、切线性质（另一条切线的垂直关系）、等腰三角形三线合一； - 利用全等/相似三角形：证对应角为。 3. 下结论：是圆半径，且，是圆的切线（严格套用判定定理格式）。 场景2：直线与圆无明确公共点（题干未告知交点，需先找/证交点） 四步法：作垂线→证相等（垂线段=半径）→定外端→下结论 1. 作垂线：过圆心作直线的垂线段，垂足为； 2. 证相等：证明垂线段的长度等于圆的半径（，核心）； 3. 定外端：由得点在圆上，即是半径的外端； 4. 下结论：是圆半径，且在圆上，是圆的切线。 方法2：计算法（法，适用于坐标系/含具体边长的几何题） 核心思路：建系/标边长→算圆心到直线的距离→比较与，适用于几何法证垂直困难的情况。 1. 定参数：若在坐标系中，确定圆心坐标、圆的半径，写出直线的解析式；若为几何题，标注已知边长，确定圆心位置和直线相关线段长度； 1. 算距离： · 坐标系：用点到直线的距离公式（直线：）； · 几何题：用勾股定理、面积法等计算圆心到直线的垂线段长度； 1. 下结论：若，则直线是圆的切线；若，则不是。 证垂直的高频辅助线作法（几何法核心） 1. 有公共点：连半径（必作），再结合已知条件作辅助线证垂直（如作直径、连弦）； 1. 无公共点：作垂线（必作），再证垂线段等于半径； 1. 含切线条件：连接圆心与切点（切线性质：圆心与切点的连线垂直于切线），借已有垂直推新垂直。 三、注意事项 1. 定理条件缺一不可：几何法证明时，必须同时满足“半径外端”和“垂直于半径”，仅证垂直未说明点在圆上，或仅说点在圆上未证垂直，均为证明不完整； 1. 辅助线描述准确：无公共点时，辅助线是“过圆心作直线的垂线段”，而非“连接圆心与直线上某点”；有公共点时，直接“连接圆心与公共点”； 1. 格式规范：证明结尾必须严格套用判定定理写结论，明确“半径+垂直”两个条件； 1. 勾股定理逆定理用准：验证三边关系时，需明确最长边的平方=另外两边的平方和，再判定直角； 1. 坐标系距离公式：直线解析式需化为一般式，再代入公式，避免符号错误。 例题分析 例1．（2026·山东济南·一模）如图，为的直径，C、E为上的两点，过点E的直线交的延长线于点D，且，． (1)求证：是的切线； (2)若半径为，，求的长． 例2．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与交于点． (1)求证：是的切线； (2)当，，时，求的长． 例3．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，连接，，过点A作交于点D，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)连接，当点O，点C，点P三点共线时，若，，求的长； (3)连接，在（2）的条件下，求的值． 例4．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，四边形是的内接四边形，是直径，交的延长线于点，恰好平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 变式训练 变式1．（25-26九年级下·江苏徐州·月考）如图，是的直径，是上一点，是的中点，过点作直线的垂线，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，则阴影部分图形的面积为 ． 变式2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，点C在上，D为射线上圆外一点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)已知E为上一点，平分，若，，求的面积． 变式3．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，内接于，是的直径，射线交于点D，交的延长线于点E，F是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)如果，，求线段的长． 变式4．（2026·四川绵阳·一模）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 实战演练 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，作交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2026·江西吉安·一模）如图，已知内接于，点D在的延长线上，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆：切线的证明复习讲义 圆：切线的证明复习讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣圆的切线判定定理，核心依据为两个互推结论： 1.切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（最核心，几何证明首选)； 2.切线的性质逆用：若直线与圆有唯一公共点，且圆心到直线的距离等于圆的半径(d=r)，则直线为圆的切线 (坐标法/计算法常用)。 本质是证明“线与半径垂直+垂足为半径外端”或计算“圆心到线的距离=半径”，二者证其一即可。 二、通用解题思路（分两大核心方法，几何法为主，计算法为辅） 方法1：几何法（判定定理法，必考核心，分2类场景） 核心思路：找半径→证垂直→定外端，三步完成证明，关键是“证垂直”。 场景1：直线与圆有明确公共点（题干告知/图形标注交点为A,A在圆上） 三步法：连半径→证垂直→下结论 1.连半径：连接圆心O与公共点A,得半径OA(明确待证垂直的线段)； 2.证垂直：证明OA⊥直线l(核心步骤，常用垂直判定依据)： -利用直角三角形：证△OAB为Rt△（勾股定理逆定理：OA2+AB=OB); -利用平行线性质：由已知垂直得平行，再推垂直（如ABLCD,CDl,则ABL); ~利用圆的性质：直径所对圆周角为直角、切线性质（另一条切线的垂直关系）、等腰三角形三线合一； -利用全等/相似三角形：证对应角为90°。 3.下结论：，OA是圆O半径，且OA1l,∴.1是圆O的切线（严格套用判定定理格式）。 场景2：直线与圆无明确公共点（题干未告知交点，需先找/证交点） 四步法：作垂线→证相等（垂线段=半径）→定外端→下结论 1.作垂线：过圆心O作直线1的垂线段OA,垂足为A: 圆：切线的证明复习讲义 2.证相等：证明垂线段OA的长度等于圆的半径r(OA=r,核心)； 3.定外端：由OA=r得点A在圆O上，即A是半径OA的外端： 4.下结论：，OA是圆O半径，OAL1且A在圆上，∴.l是圆O的切线。 方法2：计算法(d=r法，适用于坐标系/含具体边长的几何题) 核心思路：建系标边长→算圆心到直线的距离d→比较d与，适用于几何法证垂直困难的情况。 1.定参数：若在坐标系中，确定圆心坐标O(Xo,y。)、圆的半径r,写出直线的解析式；若为几何题，标注已 知边长，确定圆心位置和直线相关线段长度： 2.算距离d: ·坐标系：用点到直线的距离公式d=iAX,+Byo+CV直1线：Ax+By+C=0)； A2+B2 ·几何题：用勾股定理、面积法等计算圆心到直线的垂线段长度d; 3.下结论：若d=r,则直线l是圆O的切线：若d≠r,则不是。 证垂直的高频辅助线作法（几何法核心) 1.有公共点：连半径（必作），再结合已知条件作辅助线证垂直（如作直径、连弦)： 2.无公共点：作垂线（必作），再证垂线段等于半径： 3.含切线条件：连接圆心与切点（切线性质：圆心与切点的连线垂直于切线），借已有垂直推新垂直。 三、注意事项 1.定理条件缺一不可：几何法证明时，必须同时满足“半径外端”和“垂直于半径”，仅证垂直未说明点在 圆上，或仅说点在圆上未证垂直，均为证明不完整： 2. 辅助线描述准确：无公共点时，辅助线是“过圆心作直线的垂线段”，而非“连接圆心与直线上某点”： 有公共点时，直接“连接圆心与公共点”： 3.格式规范：证明结尾必须严格套用判定定理写结论，明确“半径+垂直”两个条件： 4.勾股定理逆定理用准：验证三边关系时，需明确最长边的平方=另外两边的平方和，再判定直角： 5.坐标系距离公式：直线解析式需化为一般式Ax+By+C=0,再代入公式，避免符号错误。 圆：切线的证明复习讲义 例题分析 例1.(2026山东济南一模)如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙0上的两点，过点E的直线交CB的延长线于点 D,且CD⊥DE,∠ABC=2∠A, B D E (I)求证：DE是⊙O的切线： ⊙0 (2)若 半径为5，AB=5BD 求E的长 【答案】()证明见解析 (2)4 【详解】(1)解：连接OE,如图， B ◇D .OA=OE, ∴.∠A=∠OEA, ∴.∠BOE=2∠A, .∠ABC=2∠A, ∴.∠ABC=∠BOE, .OE∥DC, CD⊥DE, OE⊥DE, OE是⊙0的半径， ∴.DE是⊙O的切线： (2)解：连接BE, 圆：切线的证明复习讲义 B 是 的直径， E AB⊙O ∠AEB=90° DE是⊙O的切线， ∠OED=90°， .∠BED=90°-∠OEB=90°-∠ABE=∠A, .sin∠A=sin∠BED, 、BEBD ABBE,即：BE2=AB·BD' ·AB=2OB=2V5AB=5BD BD-专5 BE=25x25=4 5 ∴BE=2 :在RA4EB中，AE=VAB-BE=25°-22=4」 例2.(2026贵州毕节模拟预测)如图，在⊙0中，AB是⊙O的直径，C,D是⊙0上不同于A,B的两点， ∠ABD=2LBAC,连接CD.过点C作CE⊥DB,垂足为E,直线CE与AB交于点F. D (1)求证：CF是⊙O的切线： (2)当∠F=30°，BD=6,时，求BF的长. 【答案】(1)见解析 (2)6 【详解】(1)证明：连接OC, 圆：切线的证明复习讲义 ..OA=OC, .∠1=∠2， 又.∠B0C=∠1+∠2， .∠B0C=2∠1， 又：∠ABD=2∠1， .∠ABD=∠BOC, .OC∥DB ∴.LOCF=∠DEF, CE⊥DB, ∴.∠DEF=90°， ∴.∠OCF=90° 又0C为⊙0的半径， ∴.CF为⊙O的切线： (2)解：连接AD,如图所示： E B D AB是⊙O直径， ∴.∠ADB=90°， ∴.∠ADB=∠FED, .CF∥AD, .∠BAD=∠F=30°， AB=2BD=12, .'.OB=OC=6, ∴.0F=20C=12, .BF=OF-OB=6」 圆：切线的证明复习讲义 例3.(2026：四川绵阳一模)如图，在△ABC中，AB=AC,连接OB、OC,∠CBP=∠BAC,过点A作 AD∥OB交PB于点D,交OO于点E. D B (I)求证：PB是⊙O的切线： (2)连接CP,当点O,点C,点P三点共线时，若CP=3,BP=4,求BC的长： AE B)连接BE,在(2)的条件下，求AB的值. 【答案】(1)见解析 7 2)5 4V10 (3)15 【详解】(1)证明：如图，连接OA, D E 10 ∴.OA=OB=OC, ∴.∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA, 在△ABO与△ACO中， OB=OC AB=AC OA=OA △ABO≌△ACO(SSS) ∴.∠OAB=∠OAC, ∴.∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA, 6 圆：切线的证明复习讲义 假设∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=C, 则∠CBP=∠BAC=2a, .∠B0C=4a, 0BC号180°-∠B0C=90P ∴.∠OBP=∠OBC+∠CBP=90°-2a+2a=90°，即OB⊥BP, PB是⊙O的切线： (2)解：如图，延长PO交⊙O于点F,连接BF, D B E升 O ∴.∠CBP=∠BAC=∠F, 又.∠P=∠P, ∴.△PBC∽△PFB, PC PB BC 3 PB=PF=BF-4 n34 即4PF’ 解得PF=16 3, :FC=PF-PC=16-3= 7 3 3 BC=3x,BF=4x 令 .CF为⊙0的直径， ∴.∠FBC=90°， 7 ∴.由勾股定理得FC=VBF2+BC2=5x= 3’ 7 解得x=15, BC=3x7=7 1559 个 圆：切线的证明复习讲义 (3)解：如图所示，连接10并延长，交8C于点C,交0于 AO 00于点H,连接 H,CH D B G AB=AC,OB=OC .AH垂直平分线段BC, ·BH=CH'∠OGB=∠BGH=900, BG=,BC=7 10 由勾股定理得OG=VOB2-BG 4G=A0+0G=2+1421 61510 GH=0H-0G=7-147 61530’ ·由勾股定理得AB=VBG+AG 0西- 10 BH=BG2+GH2 710 30, .AD∥OB, ∴.∠DAB=∠OBA=∠BAH,∠D=∠OBP=90°， BE=BH=110 30, 在△ABD与△ABG中， ∠BAD=∠BAG ∠D=∠AGB=90° AB=AB :△MBD2aABG(AAS) 圆：切线的证明复习讲义 ∴AD=AG= 21 BD=BG, 10 在Rt△BDE与Rt△BGH中， BD=BG BE BH, Rt△BDE≌RtABGH(HL) ∴.DE=GH= 7 30’ ∴AE=AD-DE= 21728 103015’ 28 AE 15 28.104√10 ·AB-7N10-15*7V10 15. 10 例4.(25-26九年级上湖北孝感期末)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙0直径，DE∥AB交 BC的延长线于点E,CD恰好平分∠ACE. B (I)求证：DE是⊙O的切线： ②活O0的半径为0，BC=2,求DE的长. 【答案】(1)见解析 (2)DE=3 【详解】(1)证明：如图，连接OD, B F 是 直径， 3 日E D :AC⊙O 9 圆：切线的证明复习讲义 .∠ABC=90°， DE∥AB, .∠DEB=180°-∠ABC=90°， .OC=OD ∠1=∠3， 又CD平分∠ACE, ∠1=∠2， ∠2=∠3， OD∥BE, .∠ODE=180°-∠DEB=90°， 又OD为半径， DE为⊙O切线： (2)解：延长DO交AB于点F, ∵⊙ 的半径为0，BC=2 ∴在直角三角形ABC中， AB-VAC:-BC-2-2-6, ∠ODE=∠DEB=∠B=90°， ·四边形FBED为矩形， .DE=FB,∠DFB=90°，即OF⊥AB, :OF过圆心， .AF=FB=1AB=3. 2 .DE=3 o