圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 考点目录 垂径定理 圆周角定理 知识点解析 1.垂径定理 (1)定理内容：在圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的优弧与劣弧。 (2)几何符号表示： B 设⊙O中，直径CD⊥弦AB于点M,则： ·AM=BM(平分弦) ·AC=BC,AD=BD(平分两条弧) (3)核心条件： ·直线过圆心（是直径/半径/过圆心的直线) 。直线垂直于弦 (4)常用推论： ·平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的弧。 ·弦的垂直平分线必过圆心，并平分弦所对的弧。 ·平分一条弧的直径，必垂直平分该弧所对的弦。 (5)常用公式（弦长计算）： 设圆半径为r,弦长为L,圆心到弦的距离为d,则： +d2=r2(由垂径定理与勾股定理直接得出) 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 2.圆周角定理 (1)定理内容：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 (2)常用推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等. ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 3.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角对角互补，且内接四边形任意一个角的外角都等于这个角的对角 真题速递 1.(2025·浏北武汉中考真题)如图，四边形ABCD内接于00，A=2CD·若AB=6,CD=3,则o0的半径 是() 0 B 13 B D.5 【答案】A 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB,垂足为F,交⊙O于点E,连接OA,AE, D B 则E=BE,AF=BF= AB=3, AB=2CD' :.AE =CD' 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 :AE CD=13, 在Rt AEF中，AE=V3,AF=3, ∴EF=VAE2-AF2=2, 设半径为R, 在RtAAOF中，OA=R,OF=R-2,AF=3, 由勾股定理得，OA2=OF2+AF2,即R2=(R-2)2+32, 解得R=3 4 故选：A. 2.(2025·新疆中考真题)如图，CD是⊙0的直径，AB是弦，AB⊥CD,∠ADC=30°，则LB0C=() D B C A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【详解】解：连接BD. B :CD是OO的直径，AB是弦，AB⊥CD, .∠ADC=∠BDC=30°， ∴LB0C=2LBDC=60°， 故选：C 3.(2025四川中考真题)如图，点A,B,C在00上，若∠0=64°，则∠A=() 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 B A.16 B.32° C.48° D.64 【答案】B 【详解】解：：∠0=64°， 1 LA=5∠0=32°. 2 故选：B. 4.(2025·四川巴中中考真题)如图，A、B、C是O0上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D,使 AD=AC,连接CD,则∠ACD为() D A.70° B.50° C.45° D.40° 【答案】C 【详解】解：：BC是圆的直径， ∠BAC=90°， ∠CAD=90°， AD=AC, ·∠D=∠ACD=180°-∠CAD =45°， 故选：C 5.(2025四川内江中考真题)如图，AB是00的弦.半径0C1AB于点D,且AB=8,0C=5.则DC的长是 D 【答案】2 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 【详解】解：：OC⊥AB,AB=8, 1 AD=AB=4,∠AD0=90°， 2 .0C=5, .0A=5, 在Rt△AD0中，OD=VOA2-AD2=3, CD=0C-0D=5-3=2, 故答案为：2. 6.(2024黑龙江牡丹江中考真题)如图，在⊙0中，直径AB⊥CD于点E,CD=6,BE=1,则弦AC的长为」 A D B 【答案】310 【详解】解：：AB⊥CD,CD=6, CE=ED-CD- 设O0的半径为r,则OE=OB-EB=r-1, 在Rta0ED中，由勾股定理得：0E2+DE2=0D2,即(r-1)2+32=r2, 解得：r=5, ∴.OA=5,OE=4, AE=0A+0E=9, 在RIAAEC中，由勾股定理得：AC=√CE2+AE2=V32+92=3V0, 故答案为：3√10. 7.(2025江苏盐城中考真题)如图，四边形ABCD内接于O0,∠A=110°，连接OB、0D,则∠B0D=°. D 【答案】140 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 【详解】解：：四边形ABCD内接于OO, .∠A+∠BCD=180°， ∠BCD=180°-∠A=180°-110°=70°， 由圆周角定理得：∠B0D=2∠BCD=2×70°=140°， 故答案为：140. 6 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 考点一 垂径定理 【例题分析】 例1.(25-26九年级上山东聊城期末)如图，AB是O0的直径，CD是弦但不是直径，AB⊥CD于点E,连接 OC,则下列结论不一定正确的是() A.CE=ED B.A0=CO C.OE=BE D.AC=AD 【答案】C 【详解】解：AB⊥CD于点E,AB是OO的直径， CE DE,AC=AD,AO=CO, 无法证明OE=BE, C不正确，符合题意；A、B、D正确，不符合题意； 故选：C. 例2.(25-26九年级上山西晋城期末)如图，AB是⊙0的弦，若弦AB的长为16，圆心0到弦AB的距离0C为6， 则该⊙0的半径0A的长为() A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【详解】解：：圆心O到AB的距离OC为6， 0C⊥AB,即∠AC0=90°， :.AC=1AB=8, -21 ∴0A=V0C2+AC2=10, 00的半径为10， > 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 故选：D. 例3.(25-26九年级上·福建宁德·期末)如图，AB是⊙0的弦，OC⊥AB于点C,若AB=6,OC=4,则半径OB的 长是 A 【答案】5 【详解】解：：AB是⊙0的弦，OC1AB于点C, ABC5AB=3,∠0cB=90 .OB=BC2+OC2=32+42=5, 故答案为：5. 例4.(25-26九年级上山东东营·期末)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如 图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图(1)所示的A、B、E 三个接触点，该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知OO的直径就是铁球 的直径，AB是O0的弦，CD切OO于点E,AC⊥CD、BD⊥CD,若CD=I6cm,AC=BD=4cm,则这种铁球 的直径为 cm. B B E 图1) 图(2) 【答案】20 【详解】解：如图，连接OA,OE,OE与AB交于点F, 6 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 A B F ◇ C E D .AC⊥CD、BD⊥CD, AC∥BD, AC BD 4cm 四边形ABDC是平行四边形， 又：AC⊥CD, 平行四边形ABDC是矩形， .AB=CD=16cm,AB∥CD, :CD切OO于点E, .OE⊥CD, .OE⊥AB, :四边形ACEF是矩形， .EF AC =4cm, 又：OE是⊙0的半径， 4F-48=m, 设00的半径为cm,则OA=0E=rcm, .OF=OE-EF =(r-4)cm, 在RtaA0F中，0F2+AF=0A2,即(r-4+82=r2, 解得r=10, :这种铁球的直径为2x10=20(cm), 故答案为：20 例5.(24-25九年级上江西上饶期末)如图，⊙0的直径CD=10cm,AB是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E, 0E:0C=3:5. 9 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 OE B (1)线段CE的长为多少？ (2)弦AB的长为多少？ 【答案】(1)2cm (2)8cm 【详解】(1)解：：O0的直径CD=10cm, :o0的半径为5cm, :0E:0C=3:5, OE=3,OC=5, .CE 2cm (2)解：连接OA, OE B AB是OO的弦，AB⊥CD, .AB=2AE,∠AE0=90°， OA=5cm,OE =3cm, .AE =0A2-0E2 =4cm, .AB =8cm 例6.(25-26九年级上·浙江绍兴·月考)如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E,连接 AC、OC、BC,若AE=2,BE=8, C 4 D (1)求圆的半径OA; (2)求弦CD的长. 【答案】(1)5 10圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 圆：垂径定理、圆周角定理复习讲义 考点目录 垂径定理 圆周角定理 知识点解析 1. 垂径定理 （1）定理内容：在圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的优弧与劣弧。 （2）几何符号表示： 设中，直径弦于点，则： · （平分弦） · ，（平分两条弧） （3）核心条件： · 直线过圆心（是直径 / 半径 / 过圆心的直线） · 直线垂直于弦 （4）常用推论： · 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的弧。 · 弦的垂直平分线必过圆心，并平分弦所对的弧。 · 平分一条弧的直径，必垂直平分该弧所对的弦。 （5）常用公式（弦长计算）： 设圆半径为 r，弦长为 L，圆心到弦的距离为 d，则：（由垂径定理与勾股定理直接得出） 2. 圆周角定理 （1）定理内容：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 （2）常用推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等. ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径. 3.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角对角互补，且内接四边形任意一个角的外角都等于这个角的对角. 真题速递 1．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 2．（2025·新疆·中考真题）如图，是的直径，是弦，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·中考真题）如图，点A，B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 7．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则 ． 考点一 垂径定理 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，是的直径，是弦但不是直径，于点，连接，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，是的弦，若弦的长为16，圆心到弦的距离为6，则该的半径的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 例3．（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是的弦，于点．若，则半径的长是 ． 例4．（25-26九年级上·山东东营·期末）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知的直径就是铁球的直径，是的弦，切于点E，、，若，，则这种铁球的直径为 ． 例5．（24-25九年级上·江西上饶·期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为E，． (1)线段的长为多少？ (2)弦的长为多少？ 例6．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， (1)求圆的半径； (2)求弦的长． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，是弦，，，则等于（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·广东珠海·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离为3，则的半径为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，点C，点D都在上，．若的半径为1，，则的长为 ． 变式4．（25-26九年级上·山东威海·期末）为了测量一个球体零件的直径，将该零件放入工件槽内，现测得有关数据如图所示（单位：），则该球体零件的直径为 ． 变式5．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）如图，在 中，是直径，是弦，且于点 E，若，求的长． 变式6．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图， 在中，是直径，是弦，且于点 E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 考点二 圆周角定理 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，是的半径，是的弦，于点D，的延长线与的延长线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，是的直径，，弦，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，正五边形内接于，点是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，内接于，是直径，若，则 °． 例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，是的直径，，则 °． 例6．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，线段是的直径，点在上，，则的大小为 ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，是的直径，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，点，在上且位于的异侧．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接．若，则的度数为 ． 变式5．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，点A，B在上．若，，则 ． 变式6．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点.若，则的半径为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $