二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义-2026年中考数学一轮复习高频考点复习讲义

二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 考点目录 平行四边形存在性问题 菱形存在性问题 矩形存在性问题 正方形存在性问题 知识点解析 1.中点的表示：点，则、中点为. 2. 平行四边形存在性问题：若以、、、四点为顶点为平行四边形 ①先表示出，，，. ②分别先表示，，，，，的中点. ③分类讨论：若以和为对角线，则与中点相等. 若以和为对角线，则与中点相等. 若以和为对角线，则与中点相等. 3.菱形存在性问题：若以、、、四点为顶点的菱形 ①先表示出，，，. ②分别先表示，，，，，的中点. ③分类讨论：若以和为对角线，则与中点相等且. 若以和为对角线，则与中点相等且. 若以和为对角线，则与中点相等且. 4. 矩形存在性问题：若以、、、四点为顶点的矩形 ①先表示出，，，. ②分别先表示，，，，，的中点. ③分类讨论：若以和为对角线，则与中点相等且邻边垂直. 若以和为对角线，则与中点相等且邻边垂直. 若以和为对角线，则与中点相等且邻边垂直. 4. 正方形存在性问题：若以、、、四点为顶点的正方形 在对角线中点相等的前提下，任意一组邻边垂直均可. 方法一：因为正方形是一种特殊的平行四边形，同时也是菱形与矩形.所以讨论正方形的存在性问题，只需讨论平行四边形、菱形存在性问题与矩形存在性问题的公共解即可. 方法二：可利用正方形的几何性质（对角线互为垂直平分线，对角线将正方形分为两个等腰直角三角形）进行求解. 真题速递 1．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 2．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） (3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 考点一 平行四边形存在性问题 例1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图， 抛物线 与x轴交于、两点， 与y轴交于点C，连接，点P是抛物线对称轴上的一个动点，点Q是抛物线上的动点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在对称轴上运动时，求周长的最小值； (3)是否存在以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 ． 例2．（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点的坐标； (3)点在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知抛物线过点，，，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上任意一点，过点作交抛物线于点，是否存在，以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·四川眉山·月考）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点，与轴交于点，直线与抛物线相交于、两点，且与轴相交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段的一个动点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点，在新抛物线对称轴找一点，在新抛物线找一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出的坐标 ． 变式2．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 变式3．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 考点二 菱形存在性问题 例1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 变式2．（24-25九年级下·甘肃武威·月考）如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 考点三 矩形存在性问题 例1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、，已知点，作点A关于点E的对称点C，作点B关于点E的对称点D，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值． (3)当时，若抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，求m的取值范围． (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 例2．（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的4倍，我们称这个点为“四倍值点”． 【概念理解】 （1）求反比例函数上的“四倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A、B两点（B在A的左边），交y轴于点，该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点，以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． ①求点P的坐标和二次函数的解析式； ②当线段的长度最大时，求D点的坐标； ③若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点H，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点四 正方形存在性问题 例1．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图2，为抛物线上的一点，且位于直线上方，连接．当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． (3)如图3，为直线上的一点，是线段上的一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（2024·四川南充·三模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是直线下方的抛物线上一点，过点M作于点N，若，求点M的坐标； (3)点P是y轴正半轴上一点，以为边向下作正方形，当点C落在正方形的边上时，求点P的坐标． 变式1．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与直线只有一个交点，求m的值； (3)Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标； (4)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由． 变式2．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m． ①当四边形为正方形时，求m的值； ②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 考点目录 平行四边形存在性问题 菱形存在性问题 矩形存在性问题 正方形存在性问题 知识点解析 +x五当+y2 1.中点的表示：点4(，B(,则A、B中点为2,2 2.平行四边形存在性问题：若以A、B、C、D四点为顶点为平行四边形 ①先表示出Ax,),B(x,),A(6,),D(x4y4) ②分别先表示AB,AC,BC,BD,CD,AD的中点. ③分类讨论：若以AB和CD为对角线，则AB与CD中点相等. 若以AC和BD为对角线，则AC与BD中点相等. 若以BC和AD为对角线，则BC与AD中点相等」 3.菱形存在性问题：若以A、B、C、D四点为顶点的菱形 ①先表示出Ax),B(x,),A(x,).D(x4y4) ②分别先表示AB,AC,BC,BD,CD,AD的中点 ③分类讨论：若以AB和CD为对角线，则AB与CD中点相等且AB⊥CD 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 若以AC和BD为对角线，则AC与BD中点相等且AC⊥BD 若以BC和AD为对角线，则BC与AD中点相等且AC⊥BD, 4.矩形存在性问题：若以A、B、C、D四点为顶点的矩形 ①先表示出A,),B(x2),A(,),D(xy) ②分别先表示AB,AC,BC,BD,CD,AD的中点. ③分类讨论：若以AB和CD为对角线，则AB与CD中点相等且邻边垂直. 若以AC和BD为对角线，则AC与BD中点相等且邻边垂直. 若以BC和AD为对角线，则BC与AD中点相等且邻边垂直. 4.正方形存在性问题：若以A、B、C、D四点为顶点的正方形 在对角线中点相等的前提下，任意一组邻边垂直均可. 方法一：因为正方形是一种特殊的平行四边形，同时也是菱形与矩形所以讨论正方形的存在性问题，只需讨论平 行四边形、菱形存在性问题与矩形存在性问题的公共解即可. 方法二：可利用正方形的几何性质（对角线互为垂直平分线，对角线将正方形分为两个等腰直角三角形）进行求 解 真题速递 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 1 1.(2025四川广安中考真题)如图，二次函数y=x+br+C(b,c为常数)的图象交x轴于A,B两点，交y 2 箱于点C,已知点B的坐标为90，点C的坐标为0-引，连接4C,BC, B 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标. (3)将抛物线沿射线C4的方向平移20 个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴 上的一点，若以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标. =128 【答案】(y=3-3-3 4175 (2)点P的坐标为8-3到或4'16 0点￡的坐标为-54安188或引 日x9+9b+c=0 【详解】（)解：把20，C0,-到代入到y-+x+c中得： 3 c=-3 bs、8 3 c=-3’ 128 抛物线解析式为y=2x2-)x-3； 33 (2)解：如图2-1所示，当点P在BC下方时， 3 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 B x D 图2-1 ∠PCB=∠OBC, PC∥OB, ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， 8 ~抛物线对称相为直线=2 3=4 3 点P的坐标为8-3到， 如图2-2所示，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于H, :∠PCB=∠OBC, :.CH=BH, CH2=BH2 设H川m0) 0-m2+-3-02=(9-m2, 解得m=4, .H4,0) 设直线PC解析式为)=x+b(k≠0)】 4k+b=0 ·b=-3, 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 小b=-3 直线pC解析式为y 4-3, 3 41 y=二x-3 x= 4 联立 ,解得了 4 5或∫x=0(舍去)， x-3 3 y=16 y=-3 4175 点P的坐标为4'16： 4175 综上所述，点P的坐标为(8，-3)或4'16： H B 图2-2 (3)解：由(2)可得原抛物线对称轴为直线x=4, B(9,0) 由对称性可得-1,0) OA=1, C0,-3 :0C=3, 4C=JO+0C=10 ~将抛物线沿射线C4的方向平移210 个单位长度后得到新抛物线， 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， 商豹物线解析式为y+2-x+2引-3+6--子 331, 当BE为对角线时，平行四边形对角线互相平分， ·BE,CF的中点坐标相同， xE+90+4 2 2 .E=-5 e=x-2-4×-5列-1=14 3 3 此时点E的坐标为 -5,14 当BF为对角线时，，平行四边形对角线互相平分， ·BF,CE的中点坐标相同， xE+09+4 2 2 片13 、=×1323×131=38 此时点E的坐标为13,38， 当BC为对角线时，，平行四边形对角线互相平分， ·BC,EF的中点坐标相同， xE+4_9+0 22’ E=5 1 2 、、yE=云×52-万×5-1=3， 3 2 此时点E的坐标为 5 6 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 袋上所达，点E的半标为-514或139或5引 2.(2024四广元中考真题)在平面直角坐标系0中，已知抛物线F:y=-r+hc+c经过点4-3，-，与y 轴交于点8(02) (I)求抛物线的函数表达式： CD (②)在直线AB上方抛物线上有一动点C,连接0C交4B于点D,求OD的最大值及此时点C的坐标： ③)作抛物线F关于直线'=一上一点的对称图象F',抛物线F与F'只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为 直线AB上一点，H为抛物线F'对称轴上一点，若以B,E,G,H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标. 【答案】()y=-2-2x+2 9 7311 (2)最大值为8，C的坐标为2’4： (3)点G的坐标为 -2,0)（2,4（4,6] 【详解)（1)解：1-3，-，B0,2代入y=-+bx+e, -9-3b+c=-1 b=-2 得： c=2,解得：c=2, 抛物线的函数表达式为'=-r-2x+2 (2)解：如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点M. 7 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 图1 CM∥y 轴， ÷△CDM∽△ODB, CDCMCM *ODOB-2’ 设AB的解析式为y=mr+n, -3m+n=-1 把A-3,-1,B(0,2)代入解析式得n=2, m=1 解得：n=2, y=x+2 设C,-1-21+2,则M(,+2, w-. :-3<t<0,-1<0, 当t= 2时，CM最大，最大值为CM=9 4· CD 9 (311 :OD的最大值为8，此时点C的坐标为24 (3)解：由中心对称可知，抛物线F与F'的公共点E为直线'=一与抛物线F的右交点， y=-1 -x2-2x+2=-1 8 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 3 (舍)，51 E(1,-1 抛物线F:y=-2x+2的顶点坐标为-3) 抛物线F'的顶点坐标为35)， “抛物线F'的对称轴为直线x=3。 如图2，当E为对角线时，由题知。-。=4，=3 图3 :2 G-2,0) 如图3，当BE为边时，由题知-。=g-a=1, 图3 9 二次函数综合：特殊四边形存在性问题复习讲义 。=2 G2,4) 如图4，由题知。-h=e-x2=1 图4 XG=4 G4,6) 综上：点G的坐标为-2,0)，(2,4(4,6) 3.(2024·黑龙江绥化中考真题)综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线”=-+x+C与直线相交于4，B两点，其中点43,4)，B(0,1 B 备用图 (1)求该抛物线的函数解析式 2过点B作BC∥r箱交抛物线于点c,连接AC,在抛物线上是否存在点p使m∠8CP-。m∠ACB.若存在， 6 o