精品解析：湖北随州市/曾都区八角楼教联体2025-2026学年第一阶段质量监测九年级数学试卷

曾都区八角楼教联体2025-2026第一阶段质量监测 数学试卷 （试卷共4页，满分120分，时间120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 有理数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：B． 2. 如图所示几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可． 【详解】解：根据从上往下看可知有两列小正方形，左列下边有一个小正方形，右列有上下两个小正方形， 故选D 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；利用完全平方公式，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C符合题意， 与不是同类项，无法合并，则D不符合题意， 故选：C． 4. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点O作地面于点G，则，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，过点O作地面于点G，则， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是， 故选：D． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式 ，得：； 解不等式 ，得：， ∴不等式组的解集为：； 故选C． 6. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大 C. 一样大 D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算与含义，比较两组数据的波动情况，需计算它们的方差或极差，根据方差越大，波动越大判断即可. 【详解】解：最高气温数据：12，6，10， 9， 8 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：，， ， ， ， ∴方差： ∵最低气温数据：1，，， 0，2 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：， ， ， ， ， ∴方差：， ∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确； 故选：A 7. 如图，用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据题意，运用弧长公式（是扇形弧长，是扇形的圆心角的度数，是扇形半径），由此即可求解． 【详解】解：半径为，圆心角为的扇形纸板， ∴弧长为， ∴这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是， 故选：D ． 8. 如图，在中，点P是边上的动点，连接，，E，F分别是，的中点．点P从点B向点C运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增大 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得，可知点P从点B向点C运动的过程中，的长度保持不变，于是得到问题的答案． 【详解】解：，F分别是，的中点， 是的中位线， ， 点P从点B向点C运动的过程中，的长度保持不变， 故选： A． 9. 如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，连接，由切线的性质得出，求出所对的圆心角度数，再由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：连接，如解图所示，则． ． ． 点在劣弧上， 所对的圆心角为． ， 故选：A． 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先根据二次函数图象的开口向下可得，再根据对称轴可得的符号，由此可判断①；根据二次函数的对称轴可判断②；根据，，时，结合图形分别判断③④⑤． 【详解】解：此二次函数的开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ，故结论①正确， 由函数图象可知，当时，随着的增大而增大；故结论②正确， 图象过点，二次函数图象对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴当时，，故结论③错误； ∴当时，，故结论④错误； 二次函数图象对称轴为直线， 是最大值， ∴， ∴，故结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤， 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点为， ，， 则． 故答案为：． 13. 写出一个过点（0，-2），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：_______________．（填上一个答案即可） 【答案】y=-x-2 【解析】 【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质，k可取﹣1，然后把（0，﹣2）代入y=﹣x+b求出b的值即可得到一个满足条件的一次函数解析式． 【详解】设一次函数解析式为y=kx+b． ∵函数值y随自变量x的增大而减小的，∴k可取﹣1，把（0，﹣2）代入y=﹣x+b得：b=﹣2，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣2． 故答案为y=﹣x﹣2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 14. 如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮起来的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，先画出树状图，得到所有的等可能的结果数，再找到能让灯泡发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可，正确画出树状图是解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 一共有种等可能得结果，灯泡亮起来的有，，，，共种， ∴灯泡亮起来的概率是， 故答案为：． 15. 如图，正方形中，，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，连接，交于点G，将沿翻折，得到，连接，交于点N，若点F是边的中点，则①的度数为______；②线段的长是______． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】①过点E作的平行线，交于点H，交于点K，则，则四边形是矩形，过点G作于点P，于点Q，可证四边形是正方形，设，则，，根据可求x，进而可证，即可得解． ②设，则，证明，根据相似三角形的性质可求a，再根据勾股定理即可得解． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ，，， 过点E作的平行线，交于点H，交于点K，则，则四边形是矩形，过点G作于点P，于点Q，则， ，，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，， ， ∵点F是边的中点， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得（不合题意，舍去）， ，， ， ②由翻折的性质可知，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， 由翻折的性质可知，， ， 在中，． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，零指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算即可． 【详解】解： ． 17. 已知：如图，AD是的角平分线，E为AD延长线上一点，，连接BE，．求证：． 【答案】 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用三角形全等判定与性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 根据角平分线得出，再由三角形内角和定理确定，利用角边角证明，再有全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 18. 某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物的高度，已知无人机在距离水平地面空中水平飞行，无人机在，两点分别测得建筑物顶端的俯角为，，，两点的水平距离为，，，，四点在同一平面上．求建筑物的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，应用等角对等边的知识得到线段的长度是解决本题的关键．易得的度数，那么可得线段的长度，进而根据正弦值和线段的长度可得的长度，即为的高度． 【详解】解：如图所示，延长交于点，则，， ，， ， ， ， ， ． 答：建筑物的高度为． 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：______，______；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有800名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有_______人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】（1）；； （2）200 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． （1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得的值，用调查的人数乘以的频率可得的值，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用800乘以B的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， ∴，， C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：（人） 故答案为：； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，x的取值范围； （3）分别连结和，求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，根据函数图象的交点求的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得： 当时，x的取值范围是：或； 【小问3详解】 解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 21. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）在轨道距离地面 米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为最低点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求 的距离； （3）现需要在轨道下坡段 进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 【答案】（1） （2）13米 （3）时，支架最短，为12米，最低造价为600000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、正确理解题意是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可． （2）令，求出x，从而求出，即可求解． （3）设，则，表示出，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为 ， 将 代入得，， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴米． 【小问3详解】 解：设，则， ∴ ， ∵， ∴时，支架最短，为12米， 此时，最低造价为元． 23. 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：______． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，点在对角线上运动，求当四边形关于直线对称、四边形为矩形这两种情况时，线段的长度分别是多少？简述理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当四边形关于直线对称时，；当四边形为矩形时，；理由如下： ①当四边形关于所在直线对称时，如图3，此时交于点， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴ ，， ∴， ∴， ②当四边形为矩形时，如图4， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 综上所述，当四边形关于直线对称时，；当四边形为矩形时，． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，由可证，可得； （2）根据矩形的性质，通过证明，可证，即可求解； （3）①当四边形关于所在直线对称时，根据矩形的性质和轴对称的性质，证明，②当四边形为矩形时，根据矩形的性质和轴对称的性质，证明；然后根据相似三角形的性质和勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ， 即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． （1）填空：______，_____； （2）若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 【答案】（1）， （2） （3）①；②8个 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数与几何的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和待定系数法． （1）利用直线解析式求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求得二次函数解析式； （2）利用相似三角形求得线段长度，进而求得点的坐标； （3）①先求得直线的解析式，然后再分段求关于的函数关系式；②分两段进行求的取值，然后再确定的整数值即可. 【小问1详解】 解：根据直线可得： ，，将两点坐标代入可得 ，， 故答案为：，． 【小问2详解】 解： 由（1）得， 当时，，解得或， 点， 过点作轴于，则， ， ， ， 点的横坐标为，把代入得， 点． 【小问3详解】 解：①设直线的解析式为，并把点，点代入得 ， 直线的解析式为， 当时， ， 即， 当时，， 关于的函数关系式为 ， ②（i）当时， ， 当时，取最大值为， 当时，，当时，， ，其中的整数值有2，3，4三个， 对应的点有5个， （ii）当时，， ，此时随增大而增大， 当时，，当时，， ，其中的整数值有4，5，6三个，对应的点有3个， 因此，满足为整数的点的个数为8个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都区八角楼教联体2025-2026第一阶段质量监测 数学试卷 （试卷共4页，满分120分，时间120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 有理数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. 3 D. 2. 如图所示几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，当淇淇从水平位置垂直上升时，嘉嘉离地面的高度是（　　） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 6. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大 C. 一样大 D. 无法比较 7. 如图，用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点P是边上的动点，连接，，E，F分别是，的中点．点P从点B向点C运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增大 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 9. 如图，的边与相切于点，点在上，经过圆心，且，为劣弧上一动点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②当时，随着的增大而增大；③；④；⑤．其中正确结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则__________． 13. 写出一个过点（0，-2），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：_______________．（填上一个答案即可） 14. 如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮起来的概率是______． 15. 如图，正方形中，，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，连接，交于点G，将沿翻折，得到，连接，交于点N，若点F是边的中点，则①的度数为______；②线段的长是______． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 17. 已知：如图，AD是的角平分线，E为AD延长线上一点，，连接BE，．求证：． 18. 某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物的高度，已知无人机在距离水平地面空中水平飞行，无人机在，两点分别测得建筑物顶端的俯角为，，，两点的水平距离为，，，，四点在同一平面上．求建筑物的高度． 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 8 a B．人工智能机器人 b 0.25 C．语音类人工智能 28 c D．视觉类人工智能 24 0.3 （1）填空：______，______；扇形统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为________； （2）若该中学共有800名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生有_______人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了”C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，x的取值范围； （3）分别连结和，求的面积． 21. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 22. 武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）在轨道距离地面 米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了米至K点，又进入下坡段（K接口处轨道忽略不计，点H为最低点）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求 的距离； （3）现需要在轨道下坡段 进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 23. 综合与实践 （1）【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．通过观察图形，直接写出与的数量关系：______． （2）【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．请判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，点在对角线上运动，求当四边形关于直线对称、四边形为矩形这两种情况时，线段的长度分别是多少？简述理由． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． （1）填空：______，_____； （2）若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $