精品解析：2025年湖北省随州市曾都区中考适应性考试数学试卷

曾都区2025年初中学业水平适应性考试数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，仔细观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1． 左视图如下：， 故选：B． 3. 电影《哪吒之魔童闹海》自2025年1月上映以来大受欢迎，好评如潮．截止2025年3月中旬，其票房收入（含预售）累计已达149亿元，数据149亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：149亿用科学记数法表示． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】A、与不是同类项，不可合并，此项错误； B、，此项正确； C、，此项错误； D、，此项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键． 5. 如图是一个物理实验的截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，过点作，得出，求出，即可得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， 故选：A． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 检测神舟二十号载人飞船零件的质量采用全面调查 B. “清明时节雨纷纷”是必然事件 C. 如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是调查方式选择、事件发生可能性大小及方差的应用，根据调查方式选择，事件发生可能性大小及方差的意义作出判断即可． 【详解】解：A、检测神舟十八号载人飞船零件的质量采用全面调查，正确，故本选项符合题意； B、“清明时节雨纷纷”是不确定事件，故本选项不符合题意； C、如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨，错误，故本选项不符合题意； D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，，则乙组数据较稳定，故本选项不符合题意； 故选：A． 7. 《孙子算法》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，辆车，那么可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设共有人，辆车，根据“若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行”即可得到关于、二元一次方程组． 【详解】解：设共有人，辆车， 根据每3人共乘一车，则余两辆空车，可列等式， 根据每2人共乘一车，则余9人步行，可列等式， 则可列方程组， 故选：B． 8. 如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形、三角形内心、三角形内角和定理等知识，理解并掌握圆内接四边形的性质以及三角形内心的定义和性质是解题关键．首先根据邻补角的定义以及圆内接四边形的性质确定的值，结合三角形内心的定义可知平分，平分，进而可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转至，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与图形、旋转的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，由此即可得． 详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，，且点位于第四象限， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故选：B． 10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论错误的是（ ） A. B. C. 若点和在该抛物线上，则 D. 若，则关于的一元二次方程有两个不相等实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是熟知抛物线的开口方向、对称轴判断的方法，正确判断、、的取值范围；根据二次函数各项系数的取值范围逐项判断正误即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴是直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴的正半轴， ， ， 故A选项正确； 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， 故B选项正确； 点和在该抛物线上， ，， 又， ， 故C选项错误； 把一元二次方程整理， 可得：， ， ， ， ， ， 又， ， 若，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故D选项正确． 故选：C ． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．把答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 11. 请写出一个使代数式有意义的整数的值_____． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，根据二次根式有意义的条件得出，然后求出不等式的解集，最后写一个符合解集的整数m即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， ∴整数的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 12. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 【答案】180 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：180． 13. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先将运用平方差公式进行分解，然后约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开两枚，恰好翻到棋子“”“”的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率．画出树状图，根据概率公式求解即可． 【详解】解：分别用1、2、3、4表示“”“”“”“”， 画树状图如下： 抽取两张共有12种情形，抽到1和4的情况有2种， 故恰好翻到“”“”棋子的概率是， 故答案为：． 15. 如图，有一张矩形纸片，，点为边上一点，，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点．探究发现一定是等腰三角形，指出其底边是____；若的延长线经过点，且，则_____． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义可得，即可求解．根据题意设，则，继而得，再证明，继而利用相似性质得，利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵纸片沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴一定是等腰三角形，指出其底边是， 故答案为：； ， ∴设，则， ， ， ， ∵把该纸片沿折叠，点的对应点分别为， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ∵， 即， 解得：，负值已舍去， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，二次根式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据乘方，零指数幂和绝对值的意义化简，再算加减； 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在平行四边形中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，分别与，，相交于点，，． （1）根据作图过程，可以判断与的位置关系________． （2）在图中连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）垂直 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据作图即可解答； （2）连接，．由（1）知，是的垂直平分线，得出，，证明，得出，结合，得出四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：根据作图可得垂直平分， 故与位置关系是：垂直； 【小问2详解】 证明：连接，． 由（1）知，是的垂直平分线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 18. 要测量学校旗杆的高度，两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，标杆等 测量小组 第一小组 第二小组 测量示意图 测量方案 借助太阳光线构成相似三角形：在旗杆影子的端点处立标杆，测量标杆长和影子长及． 利用锐角三角函数：在观测台的处测量旗杆顶部的仰角和底部的俯角及观测台的高度． 测量数据 ，，． ，，． 参考数据 ，． ，，，． （1）根据测量数据，第________小组的数据无法计算学校旗杆的高度； （2）请根据另一小组测量的数据求出学校旗杆的高度（结果精确到）． 【答案】（1）一 （2）约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分析第一小组题意，可得缺少中的边长，无法通过相似三角形计算长的值． （2）在和中，利用，，结合，即可求解旗杆的高度． 【小问1详解】 解：∵第一小组的数据缺少中的边长，无法计算长的值， ∴第一小组无法测量旗杆的高度． 故答案为：一． 【小问2详解】 解：第二小组方案，在中，，， 在中，， ， 答：学校旗杆的高度约为． 19. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）（时间为整数，且）进行统计调查． 【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成，，，四组：组“”，组“”，组“”，组“”． 【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是________人，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是________度； （3）若B组员工每天学习和使用时间为：63，67，70，75，78，78，78，81，84，84，85，86，86，88，求本次抽查的每天学习和使用时间的中位数，并解释其在本题中的意义； （4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 【答案】（1）40，见解析 （2）108 （3）分钟，意义是有一半人每天学习使用的时间超过分钟 （4）255人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图、求中位数、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）利用组人数除以组人数占比得出抽样调查的人数，用抽样调查的人数减去，，组的人数得出组人数，即可补全频数分布直方图； （2）利用组人数占比乘以度即可求解； （3）根据中位数的定义求出中位数，再结合中位数的意义即可解答； （4）求出每天学习和使用不少于90分钟的人数占比，再乘以600即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， 这次抽样调查的人数是40人， （人）， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：40． 【小问2详解】 解：， 组所在扇形的圆心角是108度． 故答案为：108． 【小问3详解】 解：将40个员工每天学习使用的时间从小到大顺序排列，中位数为第20位和第21位的平均数， 本次抽查的每天学习和使用时间的中位数为（分钟），意义是有一半人每天学习使用的时间超过分钟． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是255人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）点是轴上一个动点，连接，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用交点和二次函数性质求不等式范围． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出，时的的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点， ， ∴， ， 将，代入， 则：，解得：， ； 【小问2详解】 解：， ， 当时，则：， 解得：或， 当时，则：， 解得：， ， ∴或． 21. 如图，在中，，以为直径作⊙分别交，于点，，过点作于点． （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若，，求⊙的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，结合等腰三角形“三线合一”的性质可得，进而可得为的中位线，易得，可证明，即可证明结论； （2）连接，首先证明，易得，由相似三角形的性质可证明，进而证明，即为等边三角形，然后在中，由三角函数解得的值，即可获得答案． 【小问1详解】 证明：连接，，如下图， 是的直径， ， ， ，即点是的中点， ，即点是的中点， ， ，即， ，即， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图， 是直径， ，即， ， ， ， ， ，即， ， ∴， ， ， ，且， ∴是线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ∴， ， ， 又∵， ∴在中，， ， ，即的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆周角、切线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． 22. 如图是一个东西走向的斜坡，以地面的东西方向为轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，斜坡可以近似用一次函数刻画，无人机从西侧平地上距坡底点一定距离的处起飞，沿斜坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分，飞行的水平距离（米）与飞行的高度（米）的变化规律如下表： 0 10 15 20 30 35 40 45 …… 20 35 40 35 …… （1）求无人机飞行轨迹的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求无人机在斜坡上的落点的坐标； （3）有人说：当无人机到达最高点时，与斜坡的竖直距离最大，请判断这种说法是否正确，并通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不正确，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知抛物线顶点为，故可设其解析式为，然后将代入并求解即可； （2）联立与并求解，即可确定点的坐标； （3）根据题意得，结合二次函数图像的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：观察表格发现抛物线的顶点为， 设其解析式为， 将代入，得， 解得， ∴无人机飞行轨迹的解析式为； 【小问2详解】 联立与， 可得， 解得（舍去），， 把代入，得， 点的坐标为； 【小问3详解】 不正确，理由如下： 根据题意得， 当时，最大为，而当时，无人机达到最高点， 此说法不正确． 23. 已知两个完全重叠放置的三角形纸片和，，， ．现将绕点逆时针旋转，旋转角为． （1）如图1，当的直角顶点恰好落在边上时，延长交于点，求证：点在的平分线上． （2）当将绕点逆时针旋转到任意位置（如图2）时，延长交于点，请判断点是否为的中点，并说明理由． （3）如图3，当的直角顶点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，请直接写出此时的长． 【答案】（1）见解析 （2）点是的中点，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出，即可得出答案； （2）过点E作交的延长线于点H，证明，得出即可； （3）延长交于点G，连接，根据勾股定理求出，求出，根据中位线的性质求出，证明，根据，得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在的平分线上． 【小问2详解】 解：点是的中点；理由如下： 过点E作交的延长线于点H，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点为的中点． 【小问3详解】 解：延长交于点G，连接，如图所示： ∵，， ， ∴， 根据解析（1）可知，平分， ∵， ∴， 根据解析（2）可知，为的中点， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，作出辅助线． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）填空：________，________； （2）点是线段上一点，直线交抛物线于点，若，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，点为线段上任意一点（不与端点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，以，为邻边构造矩形． ①设点的横坐标为，矩形的周长为，求关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； ②当直线与①中求得的函数的图象有两个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）①；②或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法可求出答案； （2）过点M作轴于点N，证明，得出，根据，求出，得出，把代入求出，用待定系数法求出直线解析式即可； （3）①根据点E的横坐标为m，得出，，求出，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； ②先根据①的结论画出d的图形，根据题意结合图形即可得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入得： ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：过点M作轴于点N，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问3详解】 解：∵点E的横坐标为m， ∴，， 则， 根据解析（1）可知：抛物线的对称轴为直线， 当时，如图所示： 则， ∴ ； 当时，如图所示： ， ∴ ； 综上分析可知：； ②d关于m的函数图象如图所示， 当时，，此时， 当时，，此时， 由图象可知，当直线与①中求得的函数的图象有两个交点时，t的取值范围或或． 【点睛】本题主要是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，坐标与图形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，数形结合思想的运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 曾都区2025年初中学业水平适应性考试数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《哪吒之魔童闹海》自2025年1月上映以来大受欢迎，好评如潮．截止2025年3月中旬，其票房收入（含预售）累计已达149亿元，数据149亿用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个物理实验截面示意图，其中与表示互相平行的墙面，绳子一端与木杆的一端相连，另一端点固定在墙面上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 检测神舟二十号载人飞船零件的质量采用全面调查 B. “清明时节雨纷纷”是必然事件 C. 如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨 D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定 7. 《孙子算法》中记载了一个数学问题，其大意是：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则余两辆空车；若每2人共乘一车，则余9人步行，问：共有多少人，多少辆车？为解决此问题，设共有人，辆车，那么可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转至，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点位于和之间，则以下结论错误的是（ ） A. B. C. 若点和该抛物线上，则 D. 若，则关于的一元二次方程有两个不相等实数根 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．把答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 11. 请写出一个使代数式有意义的整数的值_____． 12. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 13. 计算：____． 14. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开两枚，恰好翻到棋子“”“”的概率是____． 15. 如图，有一张矩形纸片，，点为边上一点，，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点．探究发现一定是等腰三角形，指出其底边是____；若的延长线经过点，且，则_____． 三、解答题（本题共9小题，共75分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 16. 计算： 17. 如图，在平行四边形中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，分别与，，相交于点，，． （1）根据作图过程，可以判断与的位置关系________． （2）在图中连接，，求证：四边形是菱形． 18. 要测量学校旗杆的高度，两个数学研究小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺，标杆等 测量小组 第一小组 第二小组 测量示意图 测量方案 借助太阳光线构成相似三角形：在旗杆影子的端点处立标杆，测量标杆长和影子长及． 利用锐角三角函数：在观测台的处测量旗杆顶部的仰角和底部的俯角及观测台的高度． 测量数据 ，，． ，，． 参考数据 ，． ，，，． （1）根据测量数据，第________小组的数据无法计算学校旗杆的高度； （2）请根据另一小组测量的数据求出学校旗杆的高度（结果精确到）． 19. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公，极大地提高了工作效率，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）（时间为整数，且）进行统计调查． 【数据收集与整理】将调查的数据进行整理，分成，，，四组：组“”，组“”，组“”，组“”． 【数据描述与分析】根据抽查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是________人，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角是________度； （3）若B组员工每天学习和使用时间为：63，67，70，75，78，78，78，81，84，84，85，86，86，88，求本次抽查的每天学习和使用时间的中位数，并解释其在本题中的意义； （4）该公司共有600人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟人数是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）点是轴上一个动点，连接，若，直接写出的取值范围． 21. 如图，在中，，以为直径作⊙分别交，于点，，过点作于点． （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若，，求⊙的半径． 22. 如图是一个东西走向的斜坡，以地面的东西方向为轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，斜坡可以近似用一次函数刻画，无人机从西侧平地上距坡底点一定距离的处起飞，沿斜坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分，飞行的水平距离（米）与飞行的高度（米）的变化规律如下表： 0 10 15 20 30 35 40 45 …… 20 35 40 35 …… （1）求无人机飞行轨迹的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求无人机在斜坡上的落点的坐标； （3）有人说：当无人机到达最高点时，与斜坡竖直距离最大，请判断这种说法是否正确，并通过计算说明理由． 23. 已知两个完全重叠放置的三角形纸片和，，， ．现将绕点逆时针旋转，旋转角为． （1）如图1，当的直角顶点恰好落在边上时，延长交于点，求证：点在的平分线上． （2）当将绕点逆时针旋转到任意位置（如图2）时，延长交于点，请判断点是否为中点，并说明理由． （3）如图3，当的直角顶点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，请直接写出此时的长． 24. 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）填空：________，________； （2）点是线段上一点，直线交抛物线于点，若，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，点为线段上任意一点（不与端点重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，以，为邻边构造矩形． ①设点的横坐标为，矩形的周长为，求关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； ②当直线与①中求得的函数的图象有两个交点时，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$