精品解析：湖北武汉市江夏区2026年中考一模考试数学试题

九年级数学试题 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是6 D. 购买一张彩票，中奖 3. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年阜新市春耕备耕工作已全面展开．今年我市将完成粮食作物播种面积560万亩以上、产量53亿斤的目标任务，其中53亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，点为光线延长线上的一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 随着米兰冬奥会圣火缓缓熄灭，中国体育代表团创下冬奥会境外参赛历史最好成绩．明明和亮亮准备分别从短道速滑、花样滑冰、速度滑冰和单板滑雪四个项目中随机选择一个观看决赛回放，则他们选择同一个项目的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（ ） A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 9. 如图，已知内接于，，交弧于点，过点作，垂足为．若，．则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 不少于2个但有限个 D. 无数个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果向北走50米记作米，那么向南走38米应记为______米． 12. 在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是_________． 13. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值为________． 14. 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 15. 如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=6.点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN=______ 16. 二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③关于的方程（为常数）有实数根；④若一元二次方程两根为，，则，．其中正确的是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组： 18. 如图，是的对角线，于点，于点． （1）求证：； （2）连接，，添加一个条件，能使四边形为菱形吗，请说明理由． 19. 为了倡导“全民阅读”，某校为调查了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成统计图表如下： 类别 家庭藏书m本 学生人数 A 16 B a C 50 D 70 根据以上信息，解答下列问题 （1）共抽样调查了______名学生，______； （2）在扇形统计图中，“D”对应扇形的圆心角为______； （3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书超过60本的人数． 20. 如图，内接于，是的直径，是的中点，连接与交于点，延长至点，连接，使得． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的半径． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点，，在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条． （1）如图1，先画点，使得点绕点逆时针旋转得到点；连，，直线交于点，再在上找一点，使； （2）如图2，为上一点，先画出将线段沿方向平移的线段（点与点对应，点与点对应），再画出线段的中点． 22. 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． （2）求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 23. 探究正方形与矩形背景下的三角形及线段之间的关系，并完成以下问题 （1）如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接，过点作，，分别交直线于点、．求证：； （2）将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，， ①如图2，求的值； ②如图3，连接，若，直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，直接写出的取值范围； （3）当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形是指在平面内，一个图形绕着某个点旋转后，能与原图形完全重合的图形，这个点称为对称中心.轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形来求解． 【详解】A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B.、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C.、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D.、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是6 D. 购买一张彩票，中奖 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件与随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，根据概念对各选项进行判断即可． 【详解】解：任意三角形的内角和为，是一定成立的，因此A是必然事件； 射击运动员射击一次命中靶心，可能发生也可能不发生，因此B是随机事件； 掷一枚骰子向上一面点数为6，可能发生也可能不发生，因此C是随机事件； 购买一张彩票中奖，可能发生也可能不发生，因此D是随机事件； 答案选A． 3. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形． 故选：B． 4. 2025年阜新市春耕备耕工作已全面展开．今年我市将完成粮食作物播种面积560万亩以上、产量53亿斤的目标任务，其中53亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，要求，为整数，解题需先将53亿化为原数，再按要求确定和即可． 【详解】解：∵， 根据科学记数法的要求可得， 5. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，计算正确； 选项B：，计算正确； 选项C：，计算错误； 选项D：，计算正确． 6. 光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，点为光线延长线上的一点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合对顶角的性质计算出的度数． 【详解】解：∵水面与底面平行， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴， ∴． 7. 随着米兰冬奥会圣火缓缓熄灭，中国体育代表团创下冬奥会境外参赛历史最好成绩．明明和亮亮准备分别从短道速滑、花样滑冰、速度滑冰和单板滑雪四个项目中随机选择一个观看决赛回放，则他们选择同一个项目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出他们选择同一个项目的概率． 【详解】解：设短道速滑、花样滑冰、速度滑冰和单板滑雪分别用、、、表示， 树状图如下所示， 由上可得，一共有16种等可能性，其中他们选择同一个项目的可能性有4种， 他们选择同一个项目的概率为， 8. 如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（ ） A. 该长方体金属块的重力是 B. 该长方体金属块的高度是 C. 传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D. 当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 【答案】D 【解析】 【分析】当时，F的值即为金属块的重力的值，据此可判断A；F的值开始不随深度的变化而变化时的值即为金属块的高度的值，据此可判断B；根据函数图象可判断C；利用待定系数法求出当时，F关于h的关系式，再求出时，F的值即可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，，则金属块浸入水中的深度为时，，故该长方体金属块的重力是，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，从开始，F不再随浸入深度的增大而变化，则从开始金属块完全浸没，故该长方体金属块的高度是，原说法错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小，当，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化，原说法错误，不符合题意； D、当时，设， 把代入得， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为，原说法正确，符合题意． 9. 如图，已知内接于，，交弧于点，过点作，垂足为．若，．则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设，运用圆周角定理得，利用勾股定理表示出，故，同理得，结合圆周角性质和三角函数建立方程求解，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 设， ， ，， ， ， 由图可知共线且在上， 为直径， ， 在中，， 在中，，   ①  ， 在和中，  ， 即 ② 将②代入①得：， 解得， 即， ∵ 如图，作于， ， 在中，， 在中， ， 即 ， ， ， ， 解得， ． 10. 已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 不少于2个但有限个 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不定方程问题，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是反证法的应用． 由直线，可得，如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，可得，都是整数，即可得，都是偶数，与中13为奇数矛盾，即可得出答案． 【详解】解：由直线， 得， 如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点， 得，都是整数， 得，都是偶数， 与中13为奇数矛盾， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果向北走50米记作米，那么向南走38米应记为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相反意义的量，熟练掌握概念是解题的关键． 根据相反意义的量可进行求解． 【详解】解：∵向北走50米记作米， ∴向南走38米应记为米， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，则，反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则，据此作答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， ∴即可， ∴， 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】先将原分式方程化为整式方程，根据分式方程无解确定方程的增根，再将增根代入整式方程求解的值即可. 【详解】解：， 去分母得，， 移项整理得，， 解得：， 原分式方程无解， 分母， 解得， 将代入得： ， 解得：. 故答案为 14. 某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=6.点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN=______ 【答案】12或 【解析】 【分析】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM＝∠PFN＝90°，由矩形的性质得出AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝6，∠A＝∠C＝90°，得出AB＝CD＝，BD＝＝20，证明△PDF∽△BDA，得出，求出PF＝3，证出CE＝2CD，由等腰三角形的性质得出MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，证出△PNF∽△DEC，得出＝2，求出NF＝2PF＝6，即可得出答案； ②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，由①得：PF＝3，MF＝6，设MN＝PN＝x，则FN＝6−x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】分两种情况： 则①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示： 则∠PFM＝∠PFN＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝6，∠A＝∠C＝90°， ∴AB＝CD＝2，BD＝＝20， ∵点P是AD的中点， ∴PD＝AD＝， ∵∠PDF＝∠BDA， ∴△PDF∽△BDA， ∴，即， 解得：PF＝3， ∵CE＝2BE， ∴BC＝AD＝3BE， ∴BE＝CD， ∴CE＝2CD， ∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN， ∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC， ∵∠PFN＝∠C＝90°， ∴△PNF∽△DEC， ∴＝2， ∴MF＝NF＝2PF＝6， ∴MN＝2NF＝12； ②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示： 由①得：PF＝3，MF＝6， 设MN＝PN＝x，则FN＝6−x， 在Rt△PNF中，32＋（6−x）2＝x2， 解得：x＝，即MN＝； 综上所述，MN的长为12或 故答案为：12或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 16. 二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③关于的方程（为常数）有实数根；④若一元二次方程两根为，，则，．其中正确的是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可得，，，即可判定①；根据二次函数的对称性及其中的一个交点位置可知抛物线与轴的另一个交点横坐标在和之间，得到当时，，据此即可判定②；根据二次函数的顶点坐标公式得，进而代入一元二次方程根的判别式可得，即可判定③；由二次函数的顶点式可知二次函数的图象向左平移两个单位长度，得到抛物线，即得一元二次方程两根即为抛物线与轴交点的横坐标，进而结合平移前抛物线与轴的交点位置即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，， ∴， 又∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点横坐标在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点横坐标在和之间， ∴当时，，即， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴关于的方程（为常数）有实数根，故③正确； ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点式为， 把二次函数的图象向左平移两个单位长度，得到抛物线， ∴一元二次方程两根即为抛物线与轴交点的横坐标， ∵平移前抛物线与轴的交点分别在和之间及和之间， ∴抛物线向左平移个单位长度后，抛物线与轴的交点分别在和之间及和之间， ∵一元二次方程两根为，， ∴，，故④正确； 综上，结论正确的是②③④． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①： 解不等式②： 所以不等式组的解集为． 18. 如图，是的对角线，于点，于点． （1）求证：； （2）连接，，添加一个条件，能使四边形为菱形吗，请说明理由． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）不能， 理由：如图， ∵， ∴（垂线段最短）， 故当、重合时，， 而此时四边形不存在， 故添加一个条件，不能使四边形为菱形. 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形边角性质得到等角与等边，结合垂直得到直角，通过证明三角形全等，由全等对应边相等证． （2）根据垂线段最短得出，则当、重合时，，而此时四边形不存在，即可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为了倡导“全民阅读”，某校为调查了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成统计图表如下： 类别 家庭藏书m本 学生人数 A 16 B a C 50 D 70 根据以上信息，解答下列问题 （1）共抽样调查了______名学生，______； （2）在扇形统计图中，“D”对应扇形的圆心角为______； （3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书超过60本的人数． 【答案】（1）200，64 （2） （3）1200人 【解析】 【分析】（1）用C组人数除以C组所占的百分比就是抽样调查学生数；用总人数乘B组占总人数的百分比即可求出a值； （2）用D组人数与总人数的比乘就是“D”对应扇形的圆心角的度数； （3）用全校总人数乘家庭藏书超过60本的人数与总人数200的比即可． 【小问1详解】 解：（人），（人）， 故答案为：200，64； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校学生中家庭藏书超过60本的人数约为1200人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，内接于，是的直径，是的中点，连接与交于点，延长至点，连接，使得． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的半径． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的直径， ∴是的切线； （2）10 【解析】 【分析】（）由直径的性质可得，则，又是的中点，则，即，从而有，再证明，即，最后由切线的判定即可求证； （）在中，，，设，则，，，再证，得到，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ，， ， ，，， ， ，， ， ， 的半径为10． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点，，在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条． （1）如图1，先画点，使得点绕点逆时针旋转得到点；连，，直线交于点，再在上找一点，使； （2）如图2，为上一点，先画出将线段沿方向平移的线段（点与点对应，点与点对应），再画出线段的中点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知为等腰直角三角形且为直角顶点，利用斜边可求出的长，继而借助网格可画出点，然后再根据三角形的三条高线交于一点确定点； （2）首先借助网格可画出平移后的线段，进而可以确定的中点，然后利用的交点以及的中点，结合相似三角形的知识可确定线段的中点． 【小问1详解】 解：如图1，设每个小网格的边长为1，则 ，， ， ∴点P满足使． 如图1可知是的高，因为三角形的三条高线交于一点，则连接并延长交于点F，则点F即为所求； 图略； 【小问2详解】 解：图略； 如图2， 在和中， ， ， 线段即为所求； ， ． ， ， ， ，即， ，即H是线段的中点． 22. 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图2，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息1：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息2：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． （2）求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 【答案】（1）；洒水车喷出水的最大射程为 （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，即可求得抛物线的解析式；令，求得x的值，即可确定最大射程； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即可得点B的坐标； （3）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：，，且是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ，解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则，解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为. 【小问2详解】 解：∵， ∴的对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：由题意可得，当点与点重合时，最小， 点的坐标为， ， 的最小值为， 当点在抛物线上时，最大，也最大 ， 点的纵坐标为， 当时，解得或（舍去）， 的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为：． 23. 探究正方形与矩形背景下的三角形及线段之间的关系，并完成以下问题 （1）如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接，过点作，，分别交直线于点、．求证：； （2）将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，， ①如图2，求的值； ②如图3，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先得出，，则，再利用定理即可得证； （2）①先得出，则可得，再得出，根据相似三角形的性质即可得； ②过点作于点，先求出的长，再根据相似三角形的性质可得，的长，然后根据即可得． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作于点， 在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）①得：， ∴，即， ∴， 由（2）①得：，， ∴，即， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，直接写出的取值范围； （3）当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在；，理由如下： ， 当时， ，直线恒过C点2， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设抛物线和直线交点，， 联立抛物线和直线解析式得，整理，得： ， ， ， 假设存在点，使得总是平分，则一定在下方，过点作，过点作， 平分， ， ， ， 设，则：， ， ， ， ， 整理得： ， ， ， 当时，等式一定成立， 抛物线的对称轴上存在，使得总是平分. 【解析】 【分析】（1）用配方法把一般式转化为顶点式，求解即可； （2）先求出的坐标，联立抛物线和直线的解析式，结合根的判别式求解即可； （3）利用角平分线得到的两个等角的正切值相等，构建方程，联立抛物线和直线的解析式，结合根与系数的关系求解． 【小问1详解】 解： 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，则：， 令，则，令，则， ，， ， 顶点在直线上移动， 与线段有公共点， 联立，整理，得： ， ，即：， ， 此时抛物线为 与直线的交点横坐标为，此时交点在线段上，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， 当过点时， ， 解得：或， 当时，抛物线与线段有公共点； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $