江西抚州市金溪县第一中学2025-2026学年下学期高三数学学科阶段性作业

2025-2026学年下学期高三数学学科阶段性作业 参考答案与解析 1．D【解析】由集合，得． 故选D． 2．A【解析】，所以z 的虚部为，故选A. 3．B【解析】抛物线可化为，焦点在轴上，，则，所以焦点到准线的距离为．故选B. 4．D【解析】由点在角的终边上，可得，则.故选D. 5．C【解析】数据，，，，，10，，20，，已是由小到大的排列，数据共个，中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为，由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即，得，解得，故选C． 6．D【解析】由题意可知， 当 时，在上单调递减,，则的解集为； 当 时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为； 所以的解集是的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是．故选D. 7．B【解析】根据题意分组的方法有两种，第一种：3、1、1，第二种：2、2、1， 第一种方案共有：，第二种方案共有：， 故总体的分配方案共有150种，又A,B不去同一个景区，则在第一种方案中A,B在同一景区的方案有：，在第二种方案中A,B在同一组的方案有：，故符合题意得方案有：,故选B. 8.C【解析】由，得， 又，所以，则.设，则，所以在上单调递增，所以，则，所以，则. 设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为.故选C. 9．ABD【解析】是任意正实数，，对于A，由，得，A正确；对于B，由，得，B正确；对于C，当时，，C错误；对于D，由，得，D正确.故选ABD. 10.BD【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故B正确；对于C，当时，，即经过74.58年后，样本中的氚的质量变为原来的，故C错误； 对于D，由题意，化简得，将代入其中，可得，故D正确.故选BD. 11.AB【解析】四面体外接球即为正三棱柱外接球， 因为外接圆的半径，且，设正三棱柱外接球的半径为，设正三棱柱的高为h＝，则由得，故其体积为，故A正确； 取的中点，连接，，，，由正三棱柱的性质可知平面平面，所以当点与重合时，最小为∠，， 当点与重合时，最大为，， 所以，，易求得，，故B正确； 将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则(或其补角)为异面直线与所成的角，，， ∵，∴，∴， 所以，即，故C错； 因，故要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如图所示， ∵，∴AP⊥EF，∴点在以为直径的圆上， ∴点到底面距离的最大值为， ∴三棱锥的体积的最小值为，故D错误； 故选ABD． 12．【解析】，依题意得. 13.【解析】由题意知，又因为，所以，所以，所以，所以，所以. 14.【解析】由双曲线的光学性质可知，直线的交点为双曲线的左焦点，在中，由正弦定理得，则，设，，在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得，两式作商得，设，， 由双曲线的定义可知，，， 解得，则，，，， 所以，则，即， 在中，，则，则，所以双曲线C的渐近线的斜率为. 15.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，①（2分） 由成等比数列，可得，即，②（4分） 由①②解得，（6分） 所以数列的通项公式为.（7分） （2）由（1）知（10分） 则.（13分） 16．【解析】（1）在长方体中，连接，则，（2分） 由平面，平面，得，（4分） 而平面，因此平面，（6分） 又平面，所以.（7分） （2）如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    则， 可得，（9分） 设平面的法向量，则， 令，则，可得，（13分） 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.（15分） 17.【解析】（1）.（3分） （2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3.（4分） 因为，（5分） ，（6分） ，（7分） .（8分） 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （10分） （3）因为，， 所以，（11分） 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，（13分） 故，（14分） 所以.（15分） 18．【解析】（1）由已知得，（2分） 解得，，,（3分） 所以椭圆的方程为.（4分） （2）设的中点为，因为是椭圆上的点， 所以，所以， 因为是的中点，所以，（6分） 又以长轴为直径的圆的圆心为，半径为，（7分） 以为直径的圆的圆心为，半径为； 所以，（9分） 所以两圆相内切； 即以为直径的圆和以长轴为直径的圆内切.(10分) （3）由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消整理得，， 设、，则，.（12分） 因为的方程为，的方程为 两直线方程联立得 因为.所以， 解得. 所以动点的轨迹方程为，（14分） 由椭圆的对称性不妨设，直线、的倾斜角为，， 由图可知，且，因为，则， 因为，， 所以 当且仅当时等号成立，此时，，所以的最大值为.（17分）    19．【解析】（1）函数的定义域为，（1分） 则，（2分） 因，由得，由得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得极大值，且极大值为.（4分） （2）（ⅰ）由可得，依题意方程有两个解， 设，则，且在上有两个零点. 当时，，故在上单调递增，则在上最多只有一个零点，不合题意；（6分） 当时，由得，由得， 即在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值. 要使在上有两个零点，需使，即，解得. 当时，因，又，则， 又在上单调递增，所以在有唯一零点；（8分） 当时，令，则， 再令，则， 故在上单调递增，则，即， 故在上单调递增，则， 因，所以，即，即，即， 故， 又在上单调递减，故在上有唯一零点. 综上，当时，在上有两个零点， 即方程有两个解，故a的取值范围为.（10分） （ⅱ）由（ⅰ）可得，且，故， 因，则，即，也即， 故有，设，则，于是可得，即.（12分） 设，则， 因时，， ①当时，在上恒成立，故函数在上为增函数， 即，即在上恒成立；（14分） ②当时，，而，当时，，（16分） 故存在，使得，使得，故在上为减函数，故，矛盾. 综上，可得，即.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 金溪一中2025-2026学年下学期高三数学学科阶段性作业 说明:1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 2.本试卷为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试题卷上作答不给分。 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，则 A．B．C． D． 2．已知复数z满足z·(1+i) =1-2i，则z的虚部为 A. B. C. D. 3．抛物线的焦点到准线的距离为 A． B． C．1 D． 4．已知点在角的终边上，则的值为 A． B． C． D． 5．一组从小到大排列的数据：，，，，，10，，20，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为 A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为 A．B．C． D. 7.含A，B，C，D在内的5位同学决定在五一假期期间打卡大觉山、麻姑山、曹山寺这三个抚州的知名景区，若要求每位同学恰好打卡一个景区，每个景区至少安排一位同学打卡，且A,B不去同一个景区，则不同的打卡方案种数为 A.90 B.114 C.132 D.150 8．已知实数满足，则的最大值为 A．e B． C． D． 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有 A． B．C．D． 10．氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则 （参考数据：） A．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 B．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的氚的质量变为原来的 D．若年后，样本中氚的质量为，则 11.已知三棱柱为正三棱柱，且A，D是的中点，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是 A．四面体外接球的体积为 B．若直线PB与底面ABC所成角为θ，则cosθ取值范围为， C．若，则异面直线AP与所成的角为 D．过BC且与AP垂直的截面α与AP交于点E，则棱锥P－BCE体积最小值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．） 12．已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，则的值为 13．已知向量与共线，则__________. 14. “双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线C的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线C上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线C的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线C的渐近线的斜率为________． 四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(13分)已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．(15分)如图，在长方体中，，，点在线段上. (1)求证：； (2)当是的中点时，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，点为椭圆C上的动点，椭圆C的离心率为，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：以为直径的圆和以椭圆C的长轴为直径的圆内切； (3)，为椭圆的左，右顶点，点，当不与，重合时，射线交椭圆于点，直线，交于点，求的最大值. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)已知关于x的方程有两个解 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围． 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $