精品解析：江西省上高二中2026届高三第九次阶段检测数学试题

2026届高三年级第九次阶段检测数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，以及不等式的解集，求得和，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由，则满足，可得，所以， 又由不等式，解得，所以， 则. 故选：A. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，故， 则． 3. 已知单位向量，，满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】通过平方，结合向量数量积运算律即可求解. 【详解】由得， 则， 即 解得． 4. 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的规则，先求出图象向右平移后的解析式，再求周期变换后的解析式． 【详解】函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到的图象； 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 故选：C. 5. 直线与圆相交于，两点，当面积最大时的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据面积公式分析可知当且仅当时，面积取到最大值，再结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为面积， 当且仅当，即为等腰直角三角形时，等号成立， 此时圆心到线的距离，所以. 故选：C. 6. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，又，故， ． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为和，右顶点为.过点作斜率为的直线，点在直线上.若，为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程即可求解. 【详解】 双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 为等腰三角形， 为钝角，因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程​， 整理得 . 因此双曲线离心率为3. 8. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，通过分析的单调性进而得到函数的正负，然后逐项分析即得. 【详解】，即，故函数为奇函数， 设，则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，有且只有一个零点，故D正确. 二、多选题 9. 如图，在直三棱柱中，．为的中点，为棱的中点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 四点共面 C. 平面 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面的基本性质判断A，利用异面直线的定义确定为异面直线判断B，应用线面平行的判定证明并判断C，由面面垂直的判定、性质证明判断D. 【详解】由，，且，平面， 所以平面，则平面，A对， 由平面，平面，则平面， 而平面，且，则为异面直线，B错， 若为的中点，连接，为的中点，则且， 而，且，即，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 由平面，平面，则平面，C对， 由直棱柱中平面，平面，则平面平面， 由，则，而平面，平面平面， 所以平面，结合C的结论，知平面，D对. 10. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 点与点关于原点对称 B. 函数是奇函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【详解】取得，，取得， 所以，，故A错误； 因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 取得， 所以， ， 所以， 若，则故C错误； ，故D正确． 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，利用斜率的几何意义得到，结合题意得到进而判断A，联立方程组结合韦达定理得到，最后结合内心的性质判断B，利用二倍角公式并结合方程得到判断C，先确定，再利用弦长公式与点到直线的距离公式得到面积解析式，最后结合角平分线定理建立方程，求解参数，进而得到三角形面积判断D即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以， 解得，则抛物线方程为, 如图，作出符合题意的图形，作轴， 对于A，设，则，由题意得是直线的倾斜角， 由斜率的几何意义得， 由诱导公式得， 由焦半径公式得，在中，可得， 则，故A正确， 对于B，设的方程为，， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则，， 由斜率公式得，， 因为，所以，可得， 则，得到被轴平分， 可得的内心在定直线上，故B正确， 对于C，因为被轴平分，所以， 设，， 因为，所以， 由二倍角公式得，解得（另一根舍去）， 则，联立方程组，解得， 此时，与不符，故C错误， 对于D，因为， 所以或（与题意不符，排除）， 设直线的方程为，设， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则， 由弦长公式得，， 由焦半径公式得，且， 而直线的方程为，设到的距离为， 由点到直线的距离公式得， 则， 因为，所以平分， 由角平分线性质得，可得， 化简得，解得，则，故D正确. 三、填空题 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 令，得， 令，得， 则. 13. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式与二倍角公式化简计算. 【详解】由同角三角函数关系可得：，代入右侧通分整理得： 因此得： 由二倍角余弦公式得： . 14. 已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______(请用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】整理变形得，则根据常数列得到，再分析得为新数列的第43项，最后利用分组求和法即可得到答案. 【详解】因为，即， 可得，可知为常数列，则， 故，根据题意， 当时，新数列中前共有数列的前项， 故为新数列的第项，当时，， 即为新数列的第43项，且与之间插入了共13项， 则. 四、解答题 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知，． （1）若，求的面积； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合角的取值范围可得出角的值，再利用三角形的面积公式可求得答案； （2）利用二倍角公式结合三角形内角的取值范围可得出，再利用正弦定了结合二倍角的正弦公式可得出的值，进而可得出的值，在利用正弦定理可求得的值. 【小问1详解】 因为，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 故的面积为. 【小问2详解】 因为，所以， 由可知为锐角，即， 又因为且余弦函数在上单调递减， 由正弦定理得，即， 所以，故， 所以 ， 由正弦定理得. 16. 已知函数. （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若存在极值，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数的图象在点处的切线的斜率，从而得到切线方程； （2）由存在极值，得有变号零点，通过分离参数，根据余弦函数给定区间上的值域可求得a的取值范围. 【小问1详解】 若，则. 所以，所以. 又，所以函数的图象在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数， 所以. 若存在极值，则有变号零点，即有解. 因为，所以，所以. 因此有解，且. 当时，在上恒成立， 所以函数是增函数，无极值； 当时，在上有解，记为. 令，则，所以在上单调递增， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，即函数有极值. 故a的取值范围是. 17. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为．过E的右焦点的直线交E于A，B两点，过E的中心的直线交E于C，D两点． （1）求E的方程； （2）若，求直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及短轴长求出即可得解； （2）分别设出直线方程，联立椭圆方程，求出，，根据平行可知，列出方程求解即可. 【小问1详解】 依题意，得 解得 所以的方程为． 【小问2详解】 因为，所以，且． 设，，，， 显然直线的斜率不为零，可设直线的方程为，直线的方程为． 由得，可得， 所以 所以． 由得，所以． 则，又因为， 所以，解得， 所以直线的方程为． 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i），；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由分布列的性质得出，再利用期望公式求解即可； （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、，利用全概率公式可得出的表达式及的取值范围； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，， 化简可得 ， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． 【小问2详解】 （i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，，． 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、、两两互斥， 所以， 由（1）得，，代入化简可得， 所以，； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由（i）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 19. 已知平面，垂足为，直线，是内的动点，且始终在的两侧． （1）若，证明：是锐角三角形； （2）若，是线段上靠近的三等分点，． （i）证明：二面角为锐角； （ii）直线与所成的角分别为，记．若平面，且不是任何一个长方体的截面，求的最小值． 【答案】（1）证明：证法一： 因为平面，，所以，． 不妨设，且， 因为，所以，，， 所以，所以为的最大内角． 由余弦定理，得， 所以，所以是锐角三角形． 证法二：因为平面，，所以，． 又因为，故可以为原点，分别为轴，轴和轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，所以，在中， ，所以为锐角， ，所以为锐角， ，所以为锐角， 所以是锐角三角形． 证法三：因为平面，，所以，． 又因为，所以在中， ，所以为锐角， ，所以为锐角， ，所以为锐角， 所以是锐角三角形． （2）（i）证明：因为，在上，且， 由对称性知在同一个轨迹上，且轨迹关于对称， 故以为原点，分别为轴和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 设，，因为，所以． 因为是线段上靠近的三等分点，故，即， 故，，， 依题意得，化简得， 且，即，故，又点不在直线上，故，同理，，且， 故在坐标平面中，是双曲线右支上的动点，且在轴的两侧，如图． 因为的两条渐近线分别为和，它们的夹角为，所以． 因为平面平面，，， 所以是二面角的平面角，所以二面角为锐角． （ii）． 【解析】 【分析】（1）证法一：不妨设，且，利用余弦定理证明；证法二：根据条件建系，利用向量数量积的坐标运算判断；证法三：利用转化法求向量数量积判断； （2）（i）建系后设，，利用空间向量夹角公式推出，，利用其代表的轨迹双曲线的渐近线夹角进行证明；（ii）解法一：将问题等价转化为在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，直线过点，，，求的最小值；解法二：运用解析法和向量的数量积运算求解；解法三：将问题等价转化为在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上，直线过点，，求的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）解法一：因为不是任何一个长方体的截面，所以是直角三角形或钝角三角形． 证明如下： 若为锐角三角形，有，，， 可令，，， 则存在以为共点棱的长方体，为该长方体的截面． 由（1）知，若是长方体的截面，则是锐角三角形， 所以不是任何一个长方体的截面等价于是直角三角形或钝角三角形． 由（i）知，，所以，又因为，， 所以，故． 因为，所以分别是直线与所成的角， 即， 不妨设，则，且，所以，， 且． 作于，因为平面，平面，平面， 所以，又，所以． 因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点， 所以，即直线过， 所以，所以， 这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上， 直线过点，，，求的最小值． 如图，不妨设点在第四象限，则，．因为都在双曲线的右支，故， 即，所以，又，， 即且，解得， 所以， 当，即时，等号成立． 故的最小值为． 解法二：因为△不是任何一个长方体的截面，所以是直角三角形或钝角三角形． 证明如下： 若为锐角三角形，有，，， 可令，，， 则存在以为共点棱的长方体，为该长方体的截面． 由（1）知，若是长方体的截面，则是锐角三角形， 所以不是任何一个长方体的截面等价于是直角三角形或钝角三角形． 作于，因为平面，平面，平面， 所以，又，所以． 因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点， 所以，即直线过． 在平面直角坐标系中，设直线的方程为， 联立得， 依题意，有且 因为，所以． 因为， 所以 ， ， 同理， 不妨设，则必有． 因为， 因为且，所以，代入上式得到 ， 所以， 又因为，所以． 因为，所以分别是直线与所成的角，即， 因为，所以，所以，所以， ， 当，即时，等号成立． 故的最小值为． 解法三：因为不是任何一个长方体的截面，所以是直角三角形或钝角三角形． 证明如下： 若为锐角三角形，有，，， 可令，，， 则存在以为共点棱的长方体，为该长方体的截面． 由（1）知，若是长方体的截面，则是锐角三角形， 所以不是任何一个长方体的截面等价于是直角三角形或钝角三角形． 由（i）知，，所以，又因为，， 所以，故． 因为，所以分别是直线与所成的角，即， 不妨设，则，且，所以，， 且． 作于，因为平面，平面，平面， 所以，又，所以． 因为是线段上靠近的三等分点，所以是线段上靠近的三等分点， 所以，即直线过， 所以，所以． 这样，问题等价于在平面直角坐标系中，在双曲线的右支上， 直线过点，，求的最小值． 如图，不妨设点在第四象限，因为，所以点在以为直径的圆内（含边界），记 圆与双曲线在第四象限的交点为，则． 因为在渐近线的上方，故，而，故， 即直线与双曲线右支有两个交点，符合条件．所以当点位于点时，最大，则最小． 联立，得，解得或（舍去）， 故当，即时，的最小值为． 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级第九次阶段检测数学试题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，，满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆相交于，两点，当面积最大时的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6. 已知数列的通项公式为，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ） A. 1013 B. 1014 C. 502 D. 503 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为和，右顶点为.过点作斜率为的直线，点在直线上.若，为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 二、多选题 9. 如图，在直三棱柱中，．为的中点，为棱的中点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 四点共面 C. 平面 D. 平面 10. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 点与点关于原点对称 B. 函数是奇函数 C. 当时， D. 当时， 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则的面积为 三、填空题 12. 若，则______. 13. 若，则___________． 14. 已知数列满足，数列满足在任意的之间插入数列的项()，从而构成一个新数列，设的前n项和为，则_______(请用数字作答). 四、解答题 15. 记的内角、、的对边分别为、、，已知，． （1）若，求的面积； （2）若，求． 16. 已知函数. （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若存在极值，求a的取值范围. 17. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为．过E的右焦点的直线交E于A，B两点，过E的中心的直线交E于C，D两点． （1）求E的方程； （2）若，求直线AB的方程． 18. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 19. 已知平面，垂足为，直线，是内的动点，且始终在的两侧． （1）若，证明：是锐角三角形； （2）若，是线段上靠近的三等分点，． （i）证明：二面角为锐角； （ii）直线与所成的角分别为，记．若平面，且不是任何一个长方体的截面，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $