精品解析：上海市民办尚德实验学校2025-2026学年九年级下学期4月素养测评数学试卷

2025学年第二学期4月素养测评（初三年级） 满分150 考试时间：100分钟 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列实数中，一定是无限不循环小数的是（ ） A. B. C. D. 0.2022022022… 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数，无理数的定义进行判断即可． 【详解】是整数，不是无限不循环小数，A选项不符合题意； 是分数，不是无限不循环小数，B选项不符合题意； 是无限不循环小数，C选项符合题意； 0.2022022022…是无限循环小数，D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，涉及求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的运算法则逐个选项计算即可求出答案． 【详解】A. ，选项错误，不符合题意； B. ，选项正确，符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. ，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 3. 下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在一次函数y=kx+b中，k大于0时，y随x增大而增大，k小于0时，y随x增大而减小；在反比例函数(x>0)中，k大于0时，函数图像在第一象限，y随x增大而减小，k小于0时，函数图像在第三象限，y随x增大而增大；在二次函数y=ax2+h中，a大于0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，对每个选项进行判断． 【详解】A.，x系数为大于0，y随x增大而增大，与题意不符，错误； B.y=-x+1，x系数为-1小于0，y随x增大而减小，与题意相符，正确； C.，因为-2<0，x>0，函数图像在第三象限，y随x增大而增大，与题意不符，错误； D.，x2系数为1大于0，对称轴为x轴，当时，函数图像在对称轴右侧，y随x增大而增大，与题意不符，错误； 故选 B． 【点睛】本题考查了函数的图像及性质，熟练掌握各种函数的图像及性质是解题关键． 4. 2019年1月1日“学习强国”学习平台正式上线，每天登录“学习强国”APP学习可以获得积分.小张在今年5月份最后几天每天的学习积分依次为50，46，44，43，42，46，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 44和50； B. 44和46； C. 45和46； D. 45和50. 【答案】C 【解析】 【分析】先将这组数据从小到大排序，再根据中位数和众数的概念进行求解即可． 【详解】将这组数据从小到大排序为：42，43，44，46，46，50， 其中，46出现两次， 众数为46； 中位数为； 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数为出现次数最多的数，熟练掌握知识点是解题的关键． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 圆的任意一条直径都是它的对称轴 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆的轴对称性对B进行判断；根据圆心角定理对C进行判断；根据垂径定理的推论对D进行判断． 【详解】A．不共线的三点确定一个圆，故A是假命题； B．对称是直线，而圆的直径是线段，故B是假命题； C．弧相等，则弧所对的圆心角相等，故C是真命题； D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故D是假命题． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题、真命题和假命题的概念，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6. 已知四边形中，，下列判断中的正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是等腰梯形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果AC平分BD，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A． 如果BC=AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误； B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是矩形，错误； C． 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确； D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误； 故选：C． 【点睛】此题考查等腰梯形的判定，关键是根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理解答． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，准确的计算是解决本题的关键． 根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 代数式有意义，那么x的取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】由代数式有意义，可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“被开方数为非负数”是解本题的关键． 9. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用，得出或，再求解并验根即可． 【详解】∵， ∴或， ∴或， 得或， 经检验，时，不满足题意，时符合题意， ∴． 10. 小徐在端午节煮了20个粽子，其中10个鲜肉粽，6个红枣粽，剩下的是赤豆粽，这些粽子除馅料不同外其它都相同．小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率计算，根据题目信息，计算出赤豆棕的数量，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵20个粽子中有个赤豆粽， ∴小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是， 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根． 12. 小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该校区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约____千克. 【答案】90 【解析】 【分析】根据题意先算出50户家庭可回收垃圾为15千克，再用300户家庭除以50户家庭乘以15即可解答 【详解】100×15％=15千克 ×15=90千克 故答案为90千克 【点睛】此题考查扇形统计图，解题关键在于看懂图中数据 13. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 14. 一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向上，即， ∵二次函数的顶点在y轴正半轴上， ∴，即，， ∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键． 15. 如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则___________（结果用含，的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 是上一点，， ， ， ， 故答案为：． 16. 在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为___________． 【答案】． 【解析】 【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在上，得到此半径为5，再根据和相交，得到的半径长的范围即可； 【详解】解：在矩形中， ∴ ∵点A在上， ∴的半径为5， ∵如果与相交， ∴的半径r满足， ∵点B在内， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是读懂题意． 17. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，若是“匀称三角形”，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】作的三条中线AD，BE，CF，由题中定义得当BE为的中线时，为“匀称三角形”，设AC=2a，则CE=a，BE=2a，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，即可得． 【详解】解：如图所示，作的三条中线AD，BE，CF， ∵， ∴， 即CF不能为匀称三角形中线， 在中，， 即AD不能成为“匀称三角形”的中线， ∴当BE为的中线时，为“匀称三角形”， 设AC=2a，则CE=a，BE=2a， 在中，根据勾股定理得， ， 在中，根据勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，解题的关键是理解新定义． 18. 我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本主要考查三角形重心以及点与圆的位置关系，根据重心的性质得由勾股定理求出，运用面积法求出，从而得出结论 【详解】解：设点O为的重心， ∵为中线， ∴ 连接则 ∴, 过点作于点E，F， ∴ ∵, ∴ ∴ ∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或 故答案为：或 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用绝对值，分数指数幂，二次根式，零指数幂化简，再进行加减即可． 【详解】解： ． 20. 解方程： 【答案】 或 【解析】 【分析】将方程组化为两个二元一次方程组，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴原方程组可化为或， 解得或. 21. 如图，分别是边上的高和中线，已知，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是边上的高得到，由，，得到则，即可得到答案； （2）过点E作于点F，由分别是边上的中线，得到，由得到，勾股定理求出，再由勾股定理得到，即可得到的值． 【小问1详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作于点F， ∵分别是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴. 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 22. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 【答案】（1）； （2）；，理由见解析；的长为． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形． （）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （）延长至点，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； 过作于，根据三线合一性质可求出，由可得，在中，根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 理由：延长至点，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，； 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故的长为． 23. 如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，且． （1）求证：； （2）连接 、，如果，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，先证明得，再证明，得，从而得出，即可由比例的性质得出结论． （2）由平行线分线段使得，即 ，由（1）知，从而得，即可得出，再证明，得出，，从而得出，可由菱形的判定得出结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【小问2详解】 证明：如图， ∵ ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∴ ∴ ∵∵ ∴ ∴ 在与中， ∴ ∴，， ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，全等三我的判定与性质，菱形的判定．熟练掌握相似三角形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如图，点B的坐标为 ①求点A的坐标和n的值； ②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与y轴相交于点E，如果且点B在线段上，求m的值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①把代入得，即可求出答案；②根据平行四边形的性质得出，可知抛物线向上平移了7个单位，即可直接写出平移后的新抛物线的解析式； （2）先求出，，，然后利用待定系数法求出直线的解析式，根据表示出直线的解析式，将代入，求出的值，再检验点B是否在线段上即可． 【小问1详解】 解：①把代入，得：， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴， 把代入，得：， 故答案是，； ②如图1， ∵四边形为平行四边形，，新抛物线与x轴的一个交点为D， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴抛物线向上平移后的新抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图2， ∵， ∴，，， 设直线的解析式为，把代入，得： ， ∵， ∴可设直线的解析式为，把代入，得： ， 解得：， 当时，，，， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴点B在线段上，符合题意； 当时，，，， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴点B不在线段上，不符合题意，舍去； 故． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象平移，互相平行的两条一次函数图象间的关系是解题的关键，对求出的值进行检验是解题的难点和易错点． 25. 已知是的一条弦，点C 在上，连结并延长，交弦于点D，且． （1）如图1，如果平分，求证：； （2）如图2，如果，求的值； （3）延长线段交弦于点E，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等： （1）由等边对等角和角平分线的定义证明，进而证明，即可证明； （2）根据等边对等角得到，，进而证明，则，进一步可求出，过点D作，垂足为点H，则 ；证明，得到，由，得到，则； （3）分情况讨论两种情况：时或时两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点D作，垂足为点H， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）； 当时， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期4月素养测评（初三年级） 满分150 考试时间：100分钟 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列实数中，一定是无限不循环小数的是（ ） A. B. C. D. 0.2022022022… 2. 下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 3. 下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 4. 2019年1月1日“学习强国”学习平台正式上线，每天登录“学习强国”APP学习可以获得积分.小张在今年5月份最后几天每天的学习积分依次为50，46，44，43，42，46，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 44和50； B. 44和46； C. 45和46； D. 45和50. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 圆的任意一条直径都是它的对称轴 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 6. 已知四边形中，，下列判断中的正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是等腰梯形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果AC平分BD，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算__________． 8. 代数式有意义，那么x的取值范围____________． 9. 方程的解是______． 10. 小徐在端午节煮了20个粽子，其中10个鲜肉粽，6个红枣粽，剩下的是赤豆粽，这些粽子除馅料不同外其它都相同．小明随意吃一个，吃到赤豆粽的概率是__________． 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 12. 小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该校区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约____千克. 13. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 14. 一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________． 15. 如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则___________（结果用含，的式子表示）． 16. 在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为___________． 17. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，若是“匀称三角形”，那么_______． 18. 我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程： 21. 如图，分别是边上的高和中线，已知，，． （1）求的长； （2）求的值． 22. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图所示的个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 写出图中相等的角 ，并说明理由； 若，，，求的长（用含，，的式子表示）． 23. 如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，且． （1）求证：； （2）连接 、，如果，求证：四边形是菱形． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，异于顶点A的点在该抛物线上． （1）如图，点B的坐标为 ①求点A的坐标和n的值； ②将抛物线向上平移后的新抛物线与x轴的一个交点为D，顶点A移至点，如果四边形为平行四边形，求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与y轴相交于点E，如果且点B在线段上，求m的值． 25. 已知是的一条弦，点C 在上，连结并延长，交弦于点D，且． （1）如图1，如果平分，求证：； （2）如图2，如果，求的值； （3）延长线段交弦于点E，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $