6.4.3.1余弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习 目标 6.4.3.1 余弦定理 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(重难点) 3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.(重点) 新课导入 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系. 例如：直角三角形中，勾股定理、锐角三角函数. 一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法. 这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的. 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法研究这个问题. 想要解决这一实际问题可以将其转化为怎样的数学问题呢? A B 已知一个三角形两边及其夹角，求出的第三边是唯一确定的吗？ 如图，一架飞机从 A 地飞往 B 地，两地相距700km.飞行员为了避开雷雨云层，飞机起飞后，先沿与原方向成30°的方向飞行了500km，再改变方向，沿直线飞行抵达终点．这次飞行路程比原来的700km远了多少呢？ 问题1 已知三角形的两边a，b及它们的夹角C，如何求第三边c？ 几何法 c b a 同理可得 于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余弦定理. 向量法 4 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 符号语言： （余弦定理适用于任何三角形） 1.余弦定理 文字语言： c b a 问题2 公式的结构特征怎样？ （1）轮换对称，简洁优美; （2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一. 5 c b a 问题3 观察定理，你是否发现与学过的某个定理相似？ 追问：勾股定理与余弦定理有何关系？ 勾股定理是余弦定理的特例， 余弦定理是勾股定理的推广. 6 2.余弦定理的推论 已知三条边求任意角 （SSS） 推论： 已知两边夹一角求第三边 （SAS） 问题4 利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 一般地，三角形的三个角A, B, C 和它们的对边a, b, c 叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 7 一、已知两边及一角解三角形 例1 在△ABC 中，C＝，AB＝7，BC＝3，解这个三角形 练1 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B )＝，则cos B＝　　　　.  练2 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C 满足 求cosB . 8 二、已知三边解三角形 例2 在△ABC 中，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，则A＝　　　.  练3 在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，且a＋b＝2，ab＝2， 2cos(A＋B)＝1，则C 的大小为　　　，AB＝　　　　.  练4 在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则 △ABC 的最小角为 A. B. C. D. 9 问题5 如何利用余弦定理判断角的形状? 10 例3 在△ABC 中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状. 三、利用余弦定理判断三角形的形状 练5 在△ABC中，若c 2＝bccos A＋accos B＋abcos C，试判断该三角形的形状. 练6 在△ABC 中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 11 例4 在△ABC 中，角A，B ，C所对的边分别为a，b，c， 若(a+b+c)(a-b+c)=ac ，（1）求B；（2）若 ，求C. 四、余弦定理的综合应用 练7 在△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a，b，c，若 ，c=4，a + b=5，求a，b 的值. 【注】余弦定理的三个公式中，每个公式都有四个元素（三边及一角），故在已知一角的情况下常用余弦定理构建和边相关的方程，通过解方程或方程组来求边. 12 课堂小结 1.余弦定理： 2. 余弦定理的推论： 3. 用余弦定理可以解决两种解三角形的题型： (1) 已知两边及一角解三角形． (2) 已知三边解三角形． 13 $