精品解析：贵州省务川中学2025-2026学年高一下学期质量提升测试数学试题

贵州省务川中学2028届高一年级质量提升测试试卷 数学试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ）条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既不必要也不充分 3. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 5. 若，，则是（ ） A. 第二或第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第三或第四象限角 6. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 10. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 11. 三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（ ） A. B. 有可能是的重心 C. 若为的外心，则 D. 若为的内心，则为直角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 13. 已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 14. 已知A、B为互斥事件，且，则______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. （1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. （1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； （2）求甲获胜的概率. 17. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. （1）以为基底表示和； （2）将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，设为轴上一点，若与共线，求点坐标及中点的坐标. 18. 在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； （3）甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 19. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省务川中学2028届高一年级质量提升测试试卷 数学试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 2. 若，则“”是“”的（ ）条件. A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既不必要也不充分 【答案】C 【解析】 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 3. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，以及指数和对数的函数的单调性，来确定a，b，c的大小关系. 【详解】解：是增函数 ， 是增函数. ， 又 ， . 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数和对数函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.根据题意，构造合适的对数函数和指数函数，利用指数对数函数的单调性判定的范围是关键. 4. 设，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 5. 若，，则是（ ） A. 第二或第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第三或第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出的范围，再求出的范围即可得结果. 【详解】根据三角函数的定义，由可得的终边在第三象限、第四象限或轴的负半轴， 由可得的终边在第一象限或第三象限， 所以若，，则是第三象限角，即， 所以， 当，即为偶数时，，此时是第二象限角， 当，即为奇数时，，此时是第四象限角， 综上是第二或第四象限角. 6. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由是偶函数可知，又满足， 则. 7. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数定义域列式计算求出参数. 【详解】函数在区间上单调递减， 令， 因为单调递增， 所以在区间上单调递减且， 则，所以. 故选：D. 8. 已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成与的图象有个交点，作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】令，得到，令，因为的零点个数为， 则与的图象有个交点， 当时，，易知在区间上单调递增，又时，，且，所以当时，， 当时，，作出的图象，其图象如图所示， 由图知，. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，确定每组数据中间值，以及每组数据的频率代入到求平均数的公式即可求得；对B，第75百分位数得到位于内，代入公式可计算第75百分位数值；对C，分数在区间内的频率为0.2可判断；对D，用分层随机抽样可得区间应抽取60人，即得到答案. 【详解】对A，平均成绩 为，故A错误； 对B，由频率分布直方图知第75百分位数位于内， 则第75百分位数为，故B正确； 对C，分数在区间内的频率为，故C正确； 对D，区间应抽取人，故D错误. 故选：BC 10. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法结合函数奇偶性的判断可判断选项A、B，利用函数对称性结合特殊值以及运算规律判断C、D. 【详解】对于A，令，则，又， 所以，解得：，故A正确； 对于B，令，则， 即， 又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； 对于C，若的图象关于点中心对称，则， 由，不符合题意，故C错误； 对于D，令，则， 即， 所以， ， ， ， 所以 ，故D正确. 11. 三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（ ） A. B. 有可能是的重心 C. 若为的外心，则 D. 若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 13. 已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，结合向量共线时的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得， 若，则，解得. 14. 已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2## 【解析】 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. （1）已知角的终边过，求的值． （2）角终边经过点，且．求的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义求出的值，再代入计算； （2）根据三角函数的定义求得，再分情况求解即可． 【详解】（1）已知角的终边过， ， ； （2）角终边经过点， ，， ，即，解得， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上，的值为或． 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. （1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； （2）求甲获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【小问1详解】 设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 【小问2详解】 记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 17. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. （1）以为基底表示和； （2）将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，设为轴上一点，若与共线，求点坐标及中点的坐标. 【答案】（1）；. （2）；. 【解析】 【小问1详解】 因为四边形是平行四边形，所以， 由题意得，则， 而， 代入得：. 【小问2详解】 如图所示建立平面直角坐标系，则由题意得：， 设，中点，则，， 若与共线，则有，由，解得， 所以点坐标为； 由线段中点坐标公式，可得，即中点的坐标为. 18. 在数学学科周中，举行数学素养选拔赛（满分分），为了了解本次比赛成绩的情况，随机抽取了名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）求出频率分布直方图中、的值，并估计此次比赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生，再从这名学生中随机抽取名进行交流分享，求两人至少一人在的概率； （3）甲、乙、丙名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响．求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率． 【答案】（1），，比赛成绩的平均值为分 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立求出，再用平均数公式计算即可； （2）求出人中成绩分别在、的人数，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （3）先求出甲乙丙分别解出该题事件对应概率，再结合相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 可知每组的频率依次为、、、、， 所以此次比赛成绩的平均值为（分 ）； 【小问2详解】 用分层随机抽样的方法从、两个区间共抽取出名学生， 其中成绩在内的学生人数为，分别记为、、、， 成绩在的学生人数为，记为， 则从这名学生中随机抽取名进行交流分享的总体样本空间为，共个样本点， 记事件从这名学生中随机抽取名进行交流分享，两人至少一人在内， 则，共个样本点，故. 【小问3详解】 设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件， “甲、乙、丙人中至少有人解出该题”为事件， 由题意得，解得， 所以. 19. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意； （2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案； （3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数， 所以，所以，解得， 所以， 当时，， 所以为奇函数，故； （2）有解，所以有解， 所以只需， 因为（时，等号成立）， 所以； （3）因为，所以， 可令，可得函数t在递增，即， 则，可得函数，， 由为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以时，取得最小值， 此时，解得， 所以在上的最小值为，此时． 【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $