贵州贵阳市清华中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

贵阳市清华中学2028届高一下数学第二次月考 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U=R,集合A={x2-x-2>0},B={xx≤1}，则A∩B= A.{x|x<-1或x>1} B.{xx<-1或x>2} C.s1 D.{x<- 3+i 2.1+31 A.i B.43i C.-i D. 3-4i 5 5 3.下列为旋转体的是 A O.R 4.在△4BC中，D为边AB的中点，C正=CD,AB=a4C=b,则AE= A.1a+2五 B.1a-26 63 63 D.- 6 5.已知向量a,b满足a=(-1,3),b=(-2,1),则a在五上的投影向量为 A.（-2,1) B.（-2,3) C. 21 55 D.（-1,3) 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2,a=√7，A=60°，则c= A.1 B.2 C.3 D.√7 7.近年来，在国家一系列政策举措的支持下，新能源车的发展迅猛，同时给新型动力电池 的发展带来了巨大机遇.有关资料显示，某品牌蓄电池的容量C(单位：Ah),放电时间t (单位：h)与放电电流I(单位：A)之间存在关系C=I*t,其中k为常数.在电池容量不 变的条件下，当I=15A时，t=32h:当I=20A时，t=18h.则电池的容量C为 A.6600Ah B.6800Ah C.7000Ah D.7200Ah 试卷第1页，共4页 8.已知三棱锥P-ABC所有顶点都在球O的表面上，若平面PBCI平面ABC,AB=AC=2V2, PB=PC=2√6，∠BAC=120°，则球O的体积为 A.10v10元 B.40v10 C.50v10 D.20V10π 3 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a与6满足引a=2,b=1且|a-b=√7，则下列说法正确的是 A.向量ā与b的夹角为150 B.|a+b=3 c.向量d+46与向量a垂直 D.若k>-4,则向量2a+柘与向量a+25所成的角为锐角 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下面四个结论正确的是 A.若a cosA:=bcos B，,则△ABC一定为等腰三角形 B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 c.若B-a=25,且△ABC有两解，则6的取值范围是a2W D.若∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D,BD=1,则a+c=aC 11.正三棱柱ABC-AB,C中，AB=√2，BB=1,点P为正三棱柱表面上异于点B的点，则 C A.存在点P,使得PB⊥BC B.直线PB,与平面BB,C,C所成的最大角为45 C.若P,A,B,C不共面，则四面体PABG的体积的最大值为 6 D.若PB=V2,则点P的轨迹的长为N2+2元 6 试卷第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆锥的底面直径和母线长都是2，则该圆锥的表面积为 13.甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，始建于明万历二十六年(1598年)，是贵阳历史的见 证.为了测量甲秀楼的高度CD,某同学选取了与甲秀楼底部D在同一水平面上的A,B两点， 测得AB=20米，∠CAD=45°，∠CBD=30°，∠ADB=30°，则该同学通过计算可得甲秀楼 的高CD为 米 14.已知x,y均为正数，若xy+x+y=8,则x+4y最小值为 四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算 步骤 15.已知平面向量a=(2W3cosx,2cosx),万=(sinx,cosx),且函数f(x)=a·b-1. (1)求平面向量的模和函数f(x)的最小正周期： (2)求函数∫(x)的单调递增区间. 16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 ccosA=acosB+bcosA,且a=2. (1)求A: (2)若△ABC的面积为V5,求b,c; (3)求△ABC周长的取值范围 试卷第3页，共4页 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=AB=2, AD=2N5;点E在线段PD上，且PE=1. (1)设平面PBC∩平面PAD=I,证明：BC/Il; (2)证明：AE⊥PC: (3)线段CA上是否存在点M,使得EMII平面PBC?若存在，请证明，并求出AM的长；若 不存在，请说明理由， ,如图，在四枝锥P-ABCD中，ADBC,ADL DC,BC=CD=)AD=1,E为棱A 的中点，PA⊥平面ABCD. B (I)求证：AB∥平面PCE: (2)求证：平面PAB⊥平面PBD; (3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求四棱锥P-ABCD体积. x+1 19.已知函数f(x)=log1 x-1 (1)判断并证明f(x)的奇偶性： (2)证明：f(x)在区间(1，+w)上单调递增： (3)若关于x的方程f(x)=1og2亿+x)在(-3，-1)内有实根，求实数k的取值范围. 试卷第4页，共4页贵阳市清华中学2028届高一下数学第二次月考参考答案 一二、 选择题 题号 2 4 5 6 8 9 10 答案 0 D A A A D BC BCD 题号 11 答案 AC 三、填空题： 12.2元 13.20 14.7 15.解：(1)=1 f(x)=2v3sinxcosx+2cos2x-1=13 sin2x+cos 2x=2sin(2x+ 故函数f(x)的最小正周期为π (2》令-受+2抓≤2x+若经2e2列，解得-子a≤s名kn(keZ). 6-2 故函数f(x)的单调递增区间为 +m,+m(keZ) 3 6 16.解：(1)由正弦定理得sin4cosC+√3 sinAsinC-sinB-sinC-0 其中sinB=sim(A+C)=sinAcosC+cosAsinc, 故√3sin4sinC-cosAsinc-sinC=0, 因为C∈(0，)，所以sinC≠0，故√3in4-oos4=1, 2m4--1,所以m(4君引分 （62 因为Ae(0,),所以A-e元5m） 6(6'6 故A-及，解得A= 66 3 (2)由(1)知A=亚， 则s=sm45c=5,所以6c=4. 4 由余弦定理，d2=b2+c2-2 bccosA,又a=2, 则4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)}2-12, 解得b+c=4,所以b=c=2: 答案第1页，共4页 b 24V5 )因为A及，a=2,由正弦定理sinB si咖Csim4 2 43sinB.c=43 sinc 3 3 又因为B+C=本A:吾，所以C头-刀 3 所以b+c=4N3siB+43sin2,元B2coB+28siB=4sinB+ 3 3 6 又因为B(所以+） 6(6'6 所以好m(8+8小1，i以246n〔-周4 即2<b+c≤4，所以4<a+b+c≤6 所以三角形ABC的周长的取值范围(4,6]. (法=)因为4=号a=2,由余弦定理d-8+c2-2kco4,得4=公+62-2次 1 即4=6+e-动c,又c≤；，当且仅当6=c时等号成立 所以4=b+e-≥b+e-生-0+0，即4b+e, 4 所以b+c≤4，又因为b+c>a,所以2<b+c≤4，所以4<a+b+c≤6， 所以三角形ABC的周长的取值范围为(4,6]. 17.解：(1)因为四边形ABCD为矩形，所以BC/1AD, 因为ADC平面PAD,BC丈平面PAD,所以BCII平面PAD. 又BCc平面PBC,平面PBC∩平面PAD=I,所以BCII. (2)因为PA⊥平面ABCD,又CDC平面ABCD,所以CDL PA. 又底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD PA,ADC平面PAD,PAOAD=A,所以CD⊥平面PAD. AEC平面PAD,所以CD⊥AE. 在△PAD中，PA=2,PE=1,PD=VPA2+AD=√4+12=4， 所以PA2=PE.PD,所以AE⊥PD CD,PDc平面PCD,CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD. 又PCc平面PCD,所以AE⊥PC. 答案第2页，共4页 (3)如图：过E作EN/IPC,交CD于点N,过N作☑(/AD交AC于点M. 因为EN//PC,PCC平面PBC,ENa平面PBC,所以EN//平面PBC. 同理MNI/平面PBC. 又MN,ENC平面EMN,MNOEN=N,所以平面EMNI/平面PBC. 由(1)知，PD=4,又PE=1,则ED=3, 则S4CwPg1 MA ND ED3' 因为CD=AB=2,CA=VAB2+AD2=4+12=4 所以CM=4-1cA=1, 34 所以点M为线段CA上靠近C的四等分点，AM=3. D M 18.解：(1)因为BC∥AE且BC=AE,所以四边形BCEA为平行四边形， 则ABIIEC,又AB文平面PCE,ECC平面PCE, 所以AB∥平面PCE: (2)由PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,得PA⊥BD,连接BE, 由BCI/DE且BC=DE, 所以四边形BCDE为平行四边形，又DE⊥CD,BC=CD=1, 所以平行四边形BCDE为正方形，所以BD⊥EC, 又AB∥EC,所以BD LAB,又PA∩AB=A,PA、ABC平面PAB, 所以BD⊥平面PAB,由BDC平面PBD, 所以平面PBD⊥平面PAB: (3)由PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA、ADC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,又PDC平面PAD,所以CD⊥PD, 故∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，即∠PDA=45°， 答案第3页，共4页 在Rt△PAD中，PA=AD=2,则7-B2x2x1+2 2 19.解：(1)函数f=1og,-,则->0，解得x<-1或x>1, x+1 x+1 即函数f(x)的定义域为(n,-1)UA,+o), 又-0loo-l nx-1=-f0网 x+1 所以f(x)为奇函数. （2)证明：任取X,x3∈1，+0)，且<5，则-<0. 因为552)<0， 为+13+1(+100+1) 所以支与1 +i+i,又因为y=lg2x在区间(0，+∞)上单调递增 所以1ogd1g,日 x+1 6+i,故f)<f), 所以函数f(x)在区间(1，+w)上单调递增. (2)由方程f(x)=log2(k+x)在(-3，-1)内有实数根，则k+x>0在(-3，-1)内恒成立， 由函数y=x+k在(-3，-)上单调递增，则k-3>0,解得k>3, 将函数/)be:代入方程/)=1og,+动，整理可得1e,于 +1=1og2(k+), 3x-1 g,g*.-gg,k+.e】 =log2(k+x), -1=k+x, x+1 化简可得x2++k+1=0,则问题等价于方程x2+kx+k+1=0在(-3，-1)上有实数根， 令△≥20，k2-4h-4≥0，解得k≤2-2√5或k≥2+25，由k>3,则k≥2+22， 令到于+1.其对称销为x=育-1-万。显然4（到(. 当--3，<6时， 任+10，解得t≤2-25或k22+25, 2°，则42 h(-1)>01-k+k+1>0 故6>k≥2+2W2: 当告-3，k26时 h(-3)<0 9-3k+k+1<0 h(-1)>0' 则 1-k+k+1>0,解得k>5,故6≤k: 综上可得，k≥2+2W2 答案第4页，共4页