贵州贵阳市北京师范大学贵安新区附属学校2025-2026学年高一第二学期4月月考数学试卷

**基本信息** 北师大贵安附校高一4月月考数学卷，以向量、解三角形、复数为核心，通过珠峰高程测量（题8）、缉毒船追捕（题17）等真实情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力，梯度覆盖基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量（题2）、复数（题3）、解三角形（题5）|结合正六边形向量数量积（题7）考查空间观念| |多选|3/18|向量线性运算（题11）、解三角形（题9）|设置多选项辨析（题11）培养推理意识| |填空|3/15|复数运算（题12）、解三角形（题13）|角平分线问题（题14）考查模型观念| |解答|5/77|向量表示与数量积（题15）、解三角形应用（题17、19）|缉毒船追捕（题17）体现数学语言表达现实问题，面积取值范围（题19）发展逻辑推理|

北师大贵安附校2025-2026学年度第二学期 4月月考高一数学试卷（含参考答案） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上.） 1．正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 2．在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 3．若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．（–∞，–1） B．（–∞，1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） 4．设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在△中，，则（    ） A． B． C． D． 6．△的内角的对边分别为，，，若△的面积为，则 A． B． C． D． 7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ） A．346 B．373 C．446 D．473 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求，部分选对得部分分，选错的0分.） 9在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a+b=10，c=5，sin 2B+sin B=0，则下列结论正确的是(　　) A.a=3 B.b=7 C.B=60° D.sin C= 10．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 11.设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A.若=+)，则点D是边BC的中点 B.若=，则直线AD过△ABC的垂心 C.若=2-，则点D在边BC的延长线上 D.若=x+y，且x+y=，则△BCD是△ABC面积的一半 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将所有答案写在答题卡上.） 12．是虚数单位，则的值为 . 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=45°，c=，b=3，则A= . 14．在△中，，的角平分线交BC于D，则 ． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤，请将所有答案写在答题卡上.） 15.(13分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，||=2||=2，∠BAD=，E是BC边的中点. (1)试用表示；(6分) (2)求·的值.(7分) 16.已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 17．如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为4海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 18．在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A A C C D B ABD AC ABD 填空题：12. 13.15或75 14.2 15.解　(1)=+ =+ =+) = =+ =-=+- =-. (2)由题意可知，|| ===1， =- 所以·=(-)· =--· =--||||·cos=×4-×1-×2×1×=. 16【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值. 【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值． （2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值． 【详解】解：（1）∵向量． 由， 可得：， 即， ∵x∈[0，π] ∴． （2）由 ∵x∈[0，π]， ∴ ∴当时，即x＝0时f（x）max＝3； 当，即时． 17【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 18【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 19【答案】(1) ;(2). 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】(1) [方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2) [方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则 ． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积． 因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是．      1 学科网（北京）股份有限公司 $