精品解析：河北省石家庄精英中学2025-2026学年高二上学期第四次调研考试数学试题

石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第四次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，且，则（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 4或14 3. 已知抛物线焦点为是抛物线上一点，且，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. 6 D. 4. 已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 6. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则（ ） A B. 2 C. D. 7. 某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线上的一个动点作圆（其中为正常数）的两条切线，切点分别为，若的最小值为8，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线离心率为，则（ ） A. B. 双曲线的焦点坐标为和 C. 点在双曲线上 D. 若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知抛物线焦点到准线的距离为4，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 若是线段的中点，则直线的斜率的最大值为 D. 若直线与抛物线的准线相交于点，则轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的准线为，为抛物线上任意一点，则点到准线的距离和点到直线的距离之和的最小值为___________. 13. 数列的前30项的和为______________. 14. 已知双曲线的左、右顶点分别为，若双曲线在第一象限内存在一点 ，使得直线的斜率分别为，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为_________________ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足. （1）数列是不是等差数列?若是，证明你结论；若不是，请说明理由； （2）若，求数列的通项公式. 16. 已知在前项和为的等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求使得不等式成立的正整数的值. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程. 18. 已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. （1）证明：点的轨迹方程是； （2）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 19. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，焦点关于准线的对称点为. （1）求抛物线的标准方程； （2）从焦点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射. ①证明：反射光线平行于抛物线的对称轴； ②若直线与抛物线交于另一点（异于点），证明：抛物线在点和处的切线互相垂直，且两条切线的交点在准线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄精英中学2025~2026学年第一学期第四次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用递推关系式，先求出，即可求解. 【详解】因为且，则， ，， 故选：B 2. 已知双曲线，分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，且，则（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 4或14 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，再结合焦半径的取值范围，即可求解. 【详解】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①如图① ，若点在左支上，则，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，，所以符合题意. ②如图②，若点在右支上， 则，， 由双曲线的定义，，因为，所以. 因为，所以符合题意，综上，或14. 故选：C 3. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、焦半径公式等知识求得正确答案. 【详解】设点的坐标为，由及，可得， 在抛物线上，所以， 所以，可得点到轴的距离为. 故选：A 4. 已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与双曲线方程联立，转化为方程没有实数根，求参数的取值范围. 【详解】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 5. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可得，再由即可求. 【详解】由， 若的公差为，则. 故选：B 6. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程，由知，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系代入计算求出值. 【详解】设两点的坐标分别为，由直线的斜率为， 可得直线的方程为，整理为， 联立方程， 消去x后整理为， 所以. 又由，则， 即，可得， 故选：A. 7. 某公司购置了一台价值为300万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的10%，设备将报废.则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，问题可看作一个递减的等差数列，只需保证用了10年还正常，用了11年就报废，列不等式求d的取值范围. 【详解】设使用年后该设备的价值为，则由， 有， 又由，有，可得. 故选：D. 8. 过抛物线上一个动点作圆（其中为正常数）的两条切线，切点分别为，若的最小值为8，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆切线性质，将转化为含的表达式，结合抛物线方程化简，通过二次函数最值确定最小值对应的等式，求解出. 【详解】根据圆的切线的性质可知，， 设，有 ， 可得，可得，此时. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的离心率为，则（ ） A. B. 双曲线的焦点坐标为和 C. 点在双曲线上 D. 若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据离心率公式得到方程，求出；对于B，求出焦点坐标为和；对于C，代入可得，从而得到点不在双曲线；对于D，根据双曲线性质得到D正确. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由于，故焦点坐标为和，故B错误； 对于C，由，可得点不在双曲线上，故C错误； 对于D，由双曲线的性质，有，，故D正确. 故选：AD. 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式、求和公式及性质逐一判断各选项. 【详解】等差数列的前项和为，公差为， 对于A：若，则，A选项正确； 对于C：若，则，C选项正确； 对于B：若，则，B选项错误； 对于D：若，则，D选项正确； 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切 C. 若是线段的中点，则直线的斜率的最大值为 D. 若直线与抛物线的准线相交于点，则轴 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据根与系数的关系及向量的数量积计算可得；对于B，证明线段的中点到准线的距离等于线段长度的一半即可；对C，运用基本不等式可求其最大值；对于D，利用直线方程与准线方程联立求出点坐标，证明即可. 【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为4，可得，则，. 设两点的坐标为，直线的方程为. 联立方程，消去后整理为， 显然有，则， 可得. 对于A，由，故A错误； 对于B，由，设线段的中点为， 则点D到准线的距离为， 即以为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确； 对于C，由B项可得直线的斜率为， 因（当且仅当时取等号）， 所以，故直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，因直线的斜率为，可得直线的方程为， 令可求得点的坐标为， 又因，所以轴，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的准线为，为抛物线上任意一点，则点到准线的距离和点到直线的距离之和的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可知，点到抛物线准线的距离等于点到焦点F的距离，焦点F到直线的距离是所求距离之和的最小值，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，根据题意作图如下, 点到直线的距离为,点到准线的距离为； 由抛物线的定义知：， 点到准线的距离与点到直线的距离之和为， 最小值为点到直线的距离，即. 故答案为： 13. 数列的前30项的和为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，应用分组求和及等差数列求和公式求解即可. 【详解】， ， . 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右顶点分别为，若双曲线在第一象限内存在一点 ，使得直线的斜率分别为，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为_________________ . 【答案】 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程可得，求出，再将和用表示，由推得，进而得到，推出，即得，再利用离心率公式即可求得其取值范围. 【详解】设点的坐标为，则，且，可得， 又因，则， ， 可得，可得， 将代入，可得， 因，则有，即，又，则得， 因， 即双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列都是等差数列，公差分别为，数列满足. （1）数列是不是等差数列?若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； （2）若，求数列的通项公式. 【答案】（1）数列是等差数列， 证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合等差数列的定义，即可得证； （2）根据题意，得到数列是首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【小问1详解】 解：数列是等差数列， 证明如下： 由数列都是等差数列，公差分别为，且， 可得， 则（常数）， 所以数列是公差为的等差数列. 【小问2详解】 解：因，可得 由（1）得，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. 16. 已知在前项和为的等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求使得不等式成立的正整数的值. 【答案】（1） （2）且为正整数. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件求出公差，即可求解； （2）利用（1）中结果求得，从而将问题求解不等式，再分和两种情况，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，则，解得， 所以， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 由，即， ①当时，不等式可化为， 即，因为， 所以满足题意， ②当时，不等式，可化为， 即，解得，又，所以， 综上所述，使得不等式成立的正整数的值为且为正整数. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义得到，进而得出在椭圆上，代入计算求解即可； （2）设出直线的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理及的面积为，计算求解即可. 【小问1详解】 由题意得，所以. 设椭圆的半焦距为，由过焦点且垂直于椭圆的长轴的弦长为1，得点在椭圆上， 则. 因为，将，代入得，即， 整理得，因为，所以，. 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 依题意，设直线，，， 联立，消去整理得. 则，，. ， 两边平方得：，即， 整理得. 解得，即 所以直线的方程为或. 18. 已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，点的轨迹为. （1）证明：点的轨迹方程是； （2）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先由直线与双曲线唯一公共点可得及M点坐标，进而可求直线的方程及，从而可得点的轨迹方程； （2）先设直线的方程，再与轨迹的方程联立得根与系数关系，再由对称性可知定点必在x轴上，设定点坐标，根据三点共线可得定点坐标. 【小问1详解】 设点的坐标为，联立方程，消去后整理为， 令，可得. 所以，， 得点的坐标为.如图： 直线的方程为，整理为，可得， 有，可得，有， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 设点的坐标分别为，有，设直线的方程为.如图： 联立方程，消去后整理为， 有，. 由双曲线及对称性可知若直线过定点，定点必在轴上，设定点. 有，有，有. 有，，得， 可得点的坐标为，故直线过定点. 19. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，焦点关于准线的对称点为. （1）求抛物线的标准方程； （2）从焦点发出的光线经过抛物线上的点（不同于抛物线的顶点）反射. ①证明：反射光线平行于抛物线的对称轴； ②若直线与抛物线交于另一点（异于点），证明：抛物线在点和处的切线互相垂直，且两条切线的交点在准线上. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点关于准线的对称点为，可确定抛物线是开口向右的抛物线，即可根据题意设出抛物线的标准方程，同时可得到抛物线焦点以及准线，再根据对称性即可求解； （2）①设，过点且与抛物线相切的直线方程为，和抛物线联立消去，利用根的判别式可以求得值，过点且与直线垂直的直线方程为，可得到直线与轴交点，可求得，可得到，再根据光的反射角等于入射角可以得到，即可得到，从而即可证明； ②设点的坐标为，则抛物线在点处的切线方程为，设直线的方程为，联立方程，根据韦达定理可得到，可得到两直线的斜率之积，联立两切线方程消去，根据已知即可求出交点的横坐标，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，设抛物线的标准方程为，可得， 准线. 又由焦点关于准线的对称点为，有，可得， 故抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知抛物线焦点，准线，设，则有， 设过点且与抛物线相切的直线方程为，整理为， 联立方程，消去后整理为， 有，可得， 可得直线的方程为， 过点且与直线垂直的直线方程为，整理为， 令，可得直线与轴的交点的坐标为， 又由点到焦点距离等于点到准线距离可得， 而，则有，可得. 做反射光线，根据反射角等于入射角可得，又因， 可得 .根据内错角相等可以得到轴，而轴是抛物线对称轴， 故反射光线平行于抛物线的对称轴. ②由准线，设点的坐标为，有， 抛物线在点处的切线方程为, 设直线的方程为，联立方程，消去后整理为， 由韦达定理可知，. 由，可得抛物线在点和处的切线互相垂直， 联立方程，消去，有，解之可得，又由， 则有，故抛物线在点和处的切线的交点在准线上. 【点睛】根据对称点快速的确定抛物线方程，根据抛物线定义，能简化计算，快速的得到距离，而且要将光学问题转化为几何问题这也是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $