精品解析：河北省石家庄二中铭德学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

石家庄二中2024级12月月考 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知等差数列中，，则前项和的值为（ ） A. 80 B. 40 C. 20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质与求和公式计算即得. 【详解】因是等差数列，则， 故. 故选：B. 2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的定义化简已知，即可求解. 【详解】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 3. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可. 【详解】，， 又，. 故选：B． 4. 已知数列满足，，则数列前2023项的积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到数列的周期，然后求得数列前2023项的积. 【详解】依题意，，， 所以，， 所以数列是周期为的周期数列， ，， 所以数列前项的积为. 故选：B 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ） A. 1 B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】设切线的斜率为， ，，将代入，得， 又切线与直线垂直，则，，解得. 故选：C. 6. 已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出，求得，令，求得答案. 【详解】由题可得， ， 令，即，，解得， 又，所以满足的正整数的最大值为12. 故选：B. 7. 已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为. 如图： 依圆的知识可知，四点共圆，且， 所以， 而， 当直线时，最小，此时最小， 所以当直线时，最小. 此时斜率为1，故方程为， 联立，解得，即， 所以，中点 故以为直径的圆的方程为， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B 8. 给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前n项和为．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到，从而到，两边取对数得到，再由等比数列求和公式计算可得. 【详解】由题意得，则， 所以， 则两边取对数可得，即， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． 所以. 故选：B 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列的通项与前项和的关系式，可判断各个选项. 【详解】对于A：由  可得：， 因此，选项 A 正确： 对于B：由  可得： 因为 ，所以 ， 因此，选项 B 正确： 对于C：由  和 ，可得：， 则，故，因此，选项C错误； 对于D：由等差数列的前项和公式可得：， 由选项C可知：， 所以，因此，选项 D 正确. 故选：ABD 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线定义分析判断；对于B：根据双曲线方程求得，即可求解渐近线方程；对于C：根据直线与双曲线的位置关系以及渐近线的性质分析判断；对于D：可知在双曲线的渐近线上方，结合双曲线定义分析判断. 【详解】由双曲线C的方程可知：，且焦点在x轴上， 则，双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项C：当过M的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过M的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过M点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当M，P，三点共线时，取得等号，故D正确.    故选：ABD. 11. 设首项为1的数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是单调递增数列 D. 若，则正整数的最小值为19 【答案】BCD 【解析】 【分析】由递推公式依次计算可求出；分为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而利用分组求和法及等比数列求和公式求为偶数、奇数时的前项和，再结合单调性确定的值即可． 【详解】由，得，，，，，A错， 当为偶数时，，则，又， 此时是首项为4，公比为2的等比数列，则，； 当为奇数时，，则，又， 此时是首项为4，公比为2的等比数列，则，，B对， 综上，，且， 则，且， 所以是单调递增数列且各项均为正，则数列单调递增，C对， 当为奇数时， ，又， 当为偶数时， ，又， 所以正整数的最小值是19，D对. 故选：BCD 三、填空题（每题6分，共15分） 12. 设数列的前项和为，且（），则______. 【答案】 【解析】 【分析】由与的关系，通过作差法即可求解. 【详解】由（）， 可得，， 两式作差可得：，， 又当时，，符合上式， 所以， 故答案为： 13. 已知椭圆，若斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先写出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再根据向量相等的性质列出方程，进而求出的值. 【详解】直线过点且斜率为，则直线的方程为. 令，得，. 联立直线与椭圆方程，整理得：. 设，则. ，. ，，即. 又，代入整理得：，. 故答案为： 14. 若，设不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先代入转化不等式，针对分奇偶讨论符号，然后分别求奇偶项对应数列的最值，确定的上下限，最后取两种情况的交集，得到的最终取值范围. 【详解】首先，将代入不等式右边，得，原不等式化为 对任意正整数均成立，分奇偶讨论： 当为奇数时，，不等式变为，需小于等于所有奇数项的最小值， 通过计算（对所有），知严格递增， 故奇数项最小值为，即， 当为偶数时，，不等式变为，即， 需大于等于所有偶数项的最大值，因严格递增， 偶数项最小值为，故最大值为，即， 综上，需同时满足上述两个条件，故取值范围为两者的交集，即. 故答案为： 四、解答题 15. 等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前99项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量列出等式求解即可； （2）通过分组求和即可求解. 【小问1详解】 等差数列的前项和为，， ，即， 又，，即， 解得，， 【小问2详解】 记数列的前项和为， 即. 16. 已知函数，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）由（1）知，， 所以. 故， 又 ， 所以数列是递增数列. 当时，取得最小值，又， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用函数的性质求出的值，结合数列的特点进行计算. （2）求出数列的前项和的表达式，根据数列的单调性证明不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 又， 所以， 两式相加得， 由可得，， 所以，故. 【小问2详解】 略 17. 已知首项为的数列的前项和为，且. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知结合递推关系式求解； （2）利用已知结合递推关系式构造等比数列，进而求出的通项公式； （3）由等比数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 ，， ，，，，． 【小问2详解】 ，，又， 数列 是首项为，公比为的等比数列，即， ． 【小问3详解】 由（2）可得： . 18. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点，，…，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积. （3）记数列的前项和为且，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明为等差数列，求解通项公式即可； （2）记梯形的面积为，根据题意得，再根据错位相减法求和即可得面积； （3）结合题意，进而根据裂项求和的方法得，再根据恒成立问题转化为，最后根据数列的单调性求的最小值即可得答案. 【小问1详解】 解：∵，， ∴，∴为等差数列， 首项为，公差为1， ∴，∴. 【小问2详解】 解：过，，，……向轴作垂线，垂足分别为，，……， 由（1）得，则 记梯形的面积为.由题意得： ， 所以 ① 又② ①－②得 所以. 所以由该折线与直线，所围成的区域的面积. 【小问3详解】 解：由（1）知 则， 由恒成立，即恒成立， 即恒成立，由单调递增， 故当时，，故，即， 所以的最大值为. 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中2024级12月月考 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知等差数列中，，则前项和的值为（ ） A. 80 B. 40 C. 20 D. 10 2. 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 已知数列为等比数列，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4. 已知数列满足，，则数列前2023项的积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值（ ） A. 1 B. C. D. -1 6. 已知等比数列的首项为64，公比为，记为数列的前项积，则当时正整数的最大值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 已知圆，为直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前n项和为．则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. 过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D. 的最小值为 11. 设首项为1的数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是单调递增数列 D. 若，则正整数的最小值为19 三、填空题（每题6分，共15分） 12. 设数列的前项和为，且（），则______. 13. 已知椭圆，若斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于，两点，若，则的值为______. 14. 若，设不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前99项和. 16. 已知函数，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 17. 已知首项为的数列的前项和为，且. （1）求，的值； （2）求数列的通项公式； （3）求. 18. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）如图，在平面直角坐标系中，若，依次连接点，，…，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积. （3）记数列的前项和为且，若恒成立，求实数的最大值． 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $