精品解析：四川省内江市威远中学2025-2026学年高一下学期第一次学情调研数学试卷

威远中学校2025级高一下期第一次学情调研 数学试卷 一、单选题（本题共计 8 个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共计 40 分） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个向量平行是这两个向量相等的充要条件 B. 相反向量就是方向相反的向量 C. 与同向，且，则 D. 平行向量就是共线向量 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知则等于（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 在中，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知函数满足，若函数在区间上单调，且，当取得最大值时，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 二、多选题（本题共计 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分） 9. 已知是两个单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为60° D. 的最大值是2 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为 11. 已知函数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 B. 若，且的最小值为，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围为 D. 在只有3个零点，则8< 三、填空题（本题共计 3 个小题，每小题 5 分，共计 15 分） 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 13. 若，是第三象限的角，则______. 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 四、解答题（本题共计 5 个小题，共计 77 分） 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求实数t的值． 16. 已知，为锐角，，. （1）求的值； （2）求角 17. 已知函数. （1）求的对称中心和单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 18. 已知函数，且函数的最小正周期为. （1）求函数的解析式及其对称轴； （2）若函数在区间上恰有个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）当座舱距离地面的高度超过92.5m时，人的心跳速度就会加快，因此这段时间被称为“心跳加速时刻”，求游客甲在开始转动一周的过程中，处于“心跳加速时刻”的时间段； （3）①请利用所学知识证明； ②若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（，精确到）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2025级高一下期第一次学情调研 数学试卷 一、单选题（本题共计 8 个小题，每个小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共计 40 分） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个向量平行是这两个向量相等的充要条件 B. 相反向量就是方向相反的向量 C. 与同向，且，则 D. 平行向量就是共线向量 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：两个向量平行只是方向相同或者相反，长度不一定相等，所以不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则两个向量平行，所以两个向量平行是两个向量相等的必要不充分条件 选项B：相反向量是长度相等且方向相反的向量 选项C：向量既有大小又有方向，所以向量之间不能比较大小 选项D：根据向量的定义，平行向量也称为共线向量 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的公式列出方程组求解即可. 【详解】因为 所以 则 故选：D. 3. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得结果. 【详解】由，可得， . 故选：A. 4. 已知则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：A 5. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. 6. 在中，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先利用三角形内角和求出，再结合正切的和角公式推出与的关系，最后代入化简即可. 【详解】在中，，因为，所以， 所以，整理得：， 所以. 7. 已知函数满足，若函数在区间上单调，且，当取得最大值时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过三角函数性质求出，再求取最大值时的取值，最后计算所求的三角函数值. 【详解】，其中， 因为，所以，， 即，，所以，， 所以， 令，，则，， 所以的对称中心为，， 因为在上单调，且， 所以与关于对称中心对称，的最大值为， 所以当取最大值时，，， 即，， 此时. 8. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 二、多选题（本题共计 3 个小题，每小题 6 分，共计 18 分） 9. 已知是两个单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为60° D. 的最大值是2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】若，则，故A正确； 若，则或，故B错误； 已知向量在向量上的投影向量为，则， 可得，所以，， 代入公式，得， 所以向量与向量的夹角为60°，故C正确； ， 因为，所以，所以，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 点是函数的图象的对称中心 C. 函数在区间上是增函数 D. 将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据函数的最大值，最小正周期，特殊点处的函数值，数形结合，即可求得函数解析式；对B：求得所有的对称中心的横坐标，再检验点是否满足即可；对C，根据的范围，求得的范围，再根据正弦函数的单调性，即可判断；对D，求得平移后函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求解即可. 【详解】对A：由图可知的最大值为，又，故； 的最小正周期，又，故可得； 又过点，由五点作图法可知，，故； 故，A正确； 对B：令，解得，当时，解得， 故是函数的图象的对称中心，B正确； 对C：当，，而在不单调，故C错误； 对D：将函数的图象向右个单位后所得的函数解析式为， 因为其为偶函数，故，解得， 又，故当时，取得最小值为，故D正确. 11. 已知函数，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则将图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 B. 若，且的最小值为，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围为 D. 在只有3个零点，则8< 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性和零点取值进行求解, 【详解】利用辅助角公式将化简为：. A选项，若，则，将图象向左平移个单位长度后得到的图象为， 因为为奇函数，所以图像关于原点对称，所以A选项正确； B选项，，则，若，则必有一个取最大值2，另一个取最小值，因为对应的的最小值为，所以，解得：，所以B选项正确； C选项，当时，则，若单调递增，则，解得：，所以C选项错误； D选项，令，得：，解得：，其中， 代入区间得：，即：， 所以在区间内有且仅有三个整数解， 由于该区间中心是，区间长度为，当恰有3个整数时，只能为连续的3个整数， 即，所以，同时成立， 解得：，所以D选项正确. 三、填空题（本题共计 3 个小题，每小题 5 分，共计 15 分） 12. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 13. 若，是第三象限的角，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式的平方关系和商数关系、正弦二倍角公式、余弦二倍角公式分析求解即可. 【详解】因为是第三象限的角，， 所以， 所以 . 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 四、解答题（本题共计 5 个小题，共计 77 分） 15. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求实数t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求出，再由向量的夹角公式代入即可得出答案. （2）由题意可得，代入化简即可得出答案. 【小问1详解】 因为， 所以，即，所以， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，且， 所以． 即，解得． 16. 已知，为锐角，，. （1）求的值； （2）求角 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，为锐角，则，利用同角的三角函数关系求解即可； （2）先求得，再由求解即可. 【小问1详解】 因为，为锐角，所以，则， 因为，所以. 【小问2详解】 因为为锐角，，所以， 所以， 因为为锐角，所以. 17. 已知函数. （1）求的对称中心和单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意，，求实数的最小值. 【答案】（1）；单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得，最后利用正弦函数的性质求对称中心和单调递减区间即可. （2）根据函数平移及伸缩求出的解析式，求解即可. 【小问1详解】 . 由，解得，∴对称中心为. 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即， 当时，，则，则， 对任意的，， 则， 故实数的最小值为. 18. 已知函数，且函数的最小正周期为. （1）求函数的解析式及其对称轴； （2）若函数在区间上恰有个零点. （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 【答案】（1）；，； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先将三角函数变形，再解方程求出，最后求出对称轴； （2）将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，求出参数的范围，从而推导出三个零点之间的数量关系，最后求值. 【小问1详解】 ， 因为，，所以，故， 令，，解得，， 所以的对称轴为，； 【小问2详解】 （i）由（1）得：， 当时，， 设，则， 在区间上恰有个零点等价于，与恰有个不同的交点； 画出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与恰有个不同的交点， 所以实数的取值范围为； （ii）设与的个不同的交点分别为， 则，， 所以， 即， 整理得，， 所以 . 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要. （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）当座舱距离地面的高度超过92.5m时，人的心跳速度就会加快，因此这段时间被称为“心跳加速时刻”，求游客甲在开始转动一周的过程中，处于“心跳加速时刻”的时间段； （3）①请利用所学知识证明； ②若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（，精确到）. 【答案】（1）， （2）第到 （3） ①因为， 所以 . ②， 【解析】 【分析】（1）以轴心为原点建立平面直角坐标系，结合初始位置、角速度等条件，用正弦型函数刻画座舱高度随时间的变化，即可将圆周运动转化为三角函数模型； （2）通过高度建立不等式，结合正弦函数的单调区间，求解对应的时间范围即可； （3）①利用两角和与差的正弦公式展开并合并同类项，即可进行推导； ②先根据相邻座舱的圆心角确定乙的高度函数，再做差得到高度差表达式，然后结合和差化积公式化简并求解最大值. 【小问1详解】 如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系. 当时，，此时游客甲位于点， 取以为终边的角为，根据摩天轮转一周大约需要， 可知座舱转动的角速度约为， 所以，. 【小问2详解】 由得：， 即，解得：， 故第到为“心跳加速时刻”. 【小问3详解】 ①略 ②如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，则， 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后， 此时乙距离地面的高度为， 则甲、乙距离地面的高度差： 利用， 可得，. 当（或），即（或）时，的最大值为， 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $