精品解析：四川省内江市威远中学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

高2026届第二学期5月月考数学（学科）试题 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3. 答非选择题时，将答案写在答题卡规定的位置上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得出，解出m即可． 【详解】； ； ． 故选D． 【点睛】本题考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系． 2. 已知，则的实部是（ ） A. B. i C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得. 【详解】因为，所以z的实部是0. 故选：C． 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 于是，而，则， 所以是等腰三角形. 故选：A 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可解得，代入余弦定理整理计算． 【详解】由得，或（舍），. 故选：A． 5. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 6. 化简（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简即得. 【详解】 . 故选：C. 7. 在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先由共线定理得出，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为为上任意一点，， 因为三点共线，所以由共线定理得， 则， 当且仅当且，即时取等号，此时的最小值是12． 故选：C 8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解 【详解】设为斜边上的高，则圆的半径， 设为斜边的中点，，则， 因为，， 则 ，故当时， 的最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D. 为纯虚数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项. 【详解】对A，，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第象限，故A错误； 对B，根据复数模的公式，，故B正确； 对C，，而，故C错误； 对D，，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数量积的运算律可判断A，根据模长公式可判断B，根据向量夹角公式可判断C，根据投影向量的定义可求解D. 【详解】由得， 对于A. ，故A错误， 对于B. ，故B正确， 对于C. ，由于，所以向量与的夹角为，故C错误， 对于D. 向量在上的投影向量为，故D正确， 故选：BD 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，则正确的结论有（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则一定是等腰三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，得到，结合正弦定理，可判定A正确；由为锐角三角形，得到，结合函数的单调性，可判定B正确；由，利用正弦定理可得，可判定C正确；由，得到或，可判定D不正确. 【详解】对于A中，因为，可得，所以， 所以，所以A正确； 对于B中，由为锐角三角形，可得，则， 因为，可得， 又由函数在上为单调递增函数，所以， 所以B正确； 对于C中，由，由正弦定理可得， 所以则为直角三角形，所以C正确； 对于D中，由，可得或， 可得或，所以一定是等腰三角形，所以D不正确. 故选：ABC. 12. O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ） A. O为的外心 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量数量积可证垂直，进而可求解A，根据垂直关系，结合内角和即可判断B，根据锐角三角函数即可判断C，由面积公式结合奔驰定理即可求解D. 【详解】因为， 同理，，故O为的垂心，故A错误； 根据垂心可得，，所以， 又，所以，又， 所以，故B正确； ，同理，延长CO交AB于点P(如图)，则，同理可得，所以，故C正确； 设，，的面积分别为，，，则 ， 同理可得，所以，又，所以， 故D正确. 故选:BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 复数是纯虚数，则实数______． 【答案】1 【解析】 【分析】结合纯虚数的定义，即可求解． 【详解】是纯虚数， 则，解得． 故答案为：1． 14. 已知非零向量，的夹角为，，，则____________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据垂直的向量表示结合数量积的定义，即可求得答案. 【详解】因为，故， 即， 故答案为：6 15. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系计算即得. 【详解】在中，由正弦定理，得， 在中，（）. 故答案为： 16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理及已知可得，结合锐角三角形得、，再由正弦边角关系、三角恒等变换得，即可求范围. 【详解】由，则，故， 所以，又为锐角三角形，则，且，则， 而，则，， 所以， 又，且， 所以，则. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用正弦定理以及三角恒等变换得，再求出角的范围，利用正切函数的值域即可得到答案. 四、解答题：17题10分，18—22题每题12分，共6题，总共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与平行，求实数的值． 【答案】（1）证明：由向量 可得， ， 所以，可得，又因为和有公共点， 所以三点共线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，得出，根据共线向量定理，即可证得三点共线． （2）根据题意，得到存在实数，使得，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由向量与平行，则存在实数，使得， 即， 又是不共线的两个非零向量，可得，解得， 所以实数的值为. 18. 已知． （1）求及的值； （2）若，，，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将弦化切，即可求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得； （2）首先求出、、，再由两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以， . 【小问2详解】 因为，，所以， 由，解得或（舍去）， 又，，所以， 所以. 19. 已知，，，求： （1）； （2）与的夹角. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的平方等于向量的模的平方可计算得到，从而可计算； （2）利用向量的夹角公式可求得夹角大小. 【小问1详解】 由得，平方得：， 又因为，，所以， 则. 【小问2详解】 ， 设与的夹角为，则， 又因为，所以，即与的夹角为. 20. 如图，在平面四边形中，，，，，． （1）求边的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理可得解； （2）在中，先由余弦定理得，进而得，最后利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 ． ∴． ∴． 21. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若角为钝角，直接写出的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，整理化简得，由推得，求得角； （2）由余弦定理和题设条件，求出，代入三角形面积公式计算即得； （3）由正弦定理化边为角，再消去角，整理得，利用时正切函数的值域即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由和正弦定理得，， 因， 则有，因，则， 又，故. 【小问2详解】 由余弦定理，，代入得，， 因，则有，即得， 故的面积. 【小问3详解】 由正弦定理，可得， 因，代入化简得： 因为钝角，故由可得， 则，，即，故的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在求角、面积和解析式范围上的应用，属于难题. 解题思路即是遇到与三角形中的边相关的解析式求范围问题时，一般运用正、余弦定理将其化成内角的三角函数式，利用三角函数的有界性求其范围. 22. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答． 已知，若______，则唯一确定． （1）求的解析式； （2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选择②③，结合三角函数的图象与性质，求得的值，即可求得函数的解析式；但选择①②或①③无法确定的值. （2）由，再由，求得，根据题意，转化为恒成立，令，结合为单调递增函数，求得，即可求解. 【小问1详解】 若选择①②： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 因为，可得或者，则无法确定； 若选择②③： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由，可得， 因为函数在为单调递增函数，则满足，解得， 所以，所以； 若选择①③： 由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 又由函数在为单调递增函数，可得，解得， 又由，可得， 因为函数在为增函数，则满足， 解得，所以， 即，解得， 综上，则无法确定，则无法确定. 【小问2详解】 解：由， 因为，可得，所以，即， 又由对任意的，不等式恒成立， 即不等式恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令在上为单调递增函数，则，所以， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届第二学期5月月考数学（学科）试题 满分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2. 答选择题时，必须用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3. 答非选择题时，将答案写在答题卡规定的位置上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 2. 已知，则的实部是（ ） A. B. i C. 0 D. 1 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 化简（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若复数为的共轭复数，则以下正确的是（ ） A. 在复平面对应的点位于第二象限 B. C. D. 为纯虚数 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，则正确的结论有（ ） A. 若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，则为直角三角形 D. 若，则一定是等腰三角形 12. O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（ ） A. O为的外心 B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 复数是纯虚数，则实数______． 14. 已知非零向量，的夹角为，，，则____________. 15. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m. 16. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围为______. 四、解答题：17题10分，18—22题每题12分，共6题，总共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与平行，求实数的值． 18. 已知． （1）求及的值； （2）若，，，求． 19. 已知，，，求： （1）； （2）与的夹角. 20. 如图，在平面四边形中，，，，，． （1）求边的长； （2）求的面积． 21. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若角为钝角，直接写出的取值范围. 22. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答． 已知，若______，则唯一确定． （1）求的解析式； （2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $