2.6.3函数的最值（第2课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第6节 用导数研究函数的性质 6.3 函数的最值 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、函数最值在不等式中的应用。 2、利用导数求函数零点个数、方程根的个数、两个函数图象交点个数。 1、函数最值在不等式中的应用。 2、利用导数求函数零点个数、方程根的个数、两个函数图象交点个数。 1、函数最值在不等式中的应用。 2、利用导数求函数零点个数、方程根的个数、两个函数图象交点个数。 2 新 知 引 入 恒成立问题是指在一定条件下，函数在整个定义域内始终满足某个不等式或等式。这类问题通常出现在高等数学的考试中，特别是在涉及函数性质、极值点、最值等问题时。 需要注意的是，在解决恒成立问题时，要根据所给问题的特点选择合适的方法，并能够在解题过程中依据解题的进程合理地调整解题策略。 学 习 新 知 恒成立问题的转化： ① a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min ② a ≥ f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min 典 例 引 路 例1、若∀x∈(0,+∞),不等式ex+λ-lnx+λ≥0恒成立，则实数λ的取值范围是______． 解：ex+λ-lnx+λ≥0⇔ex+λ-lnx+λ+x≥x ⇔ex+λ+λ+x≥x+lnx⇔ex+λ+lnex+λ≥x+lnx 构造函数f(x)=x+lnx,x＞0 ∴f＇(x)= 1 + ＞0 ∴f(x)单调递增 ∵f(ex+λ)=ex+λ+lnex+λ≥x+lnx=f(x) ∴ex+λ≥x ∴x+λ≥lnx 即λ≥lnx-x 构造函数g(x)=lnx-x ∴g＇(x)= -1 = 由g＇(x)＞0,得0＜x＜1;由g＇(x)＜0,得x＞1 ∴g(x)在（0,1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减 ∴g(x)max=g(1)=-1 ∴λ≥-1 同 步 练 习 练1、已知函数f(x)=e1-x+tlnx(t∈R)在定义域内单调递增，则t的 最小值为（     ） A. B. 1 C. D. e 解:由题意f(x)定义域为(0,+∞)且单调递增， ∴f＇(x)=-e1-x + ≥0在(0,+∞)上恒成立 ∴t≥xe1-x在(0,+∞)上恒成立 构造函数g(x)=xe1-x ∴g＇(x)=(1-x)e1-x 由g＇(x)＞0，得0＜x＜1，由g＇(x)＜0，得x＞1 ∴g(x)在(0,1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减 ∴g(x)max=g(1)=1 ∴t≥1 B 学 习 新 知 能成立问题（存在型问题）的转化： ① a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min；a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max ② a ≥ f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max 典 例 引 路 例2、已知函数f(x)=xcosx-sinx，若存在x∈(0,2π)，使得f(x)≤t成立，则实数t的最小值是________. 解:由 f(x) = xcosx-sinx，得 f＇(x) = -xsinx， 当x∈(0,π)时，f＇(x)＜0，故f(x)在(0,π)上单调递减， 当x∈(π,2π)时，f＇(x)＞0，故f(x)在(π,2π)上单调递增， 故当x∈(0,2π)时，f(x)min = f(π) = -π， 而存在实数x∈(0,2π)，使得f(x)≤t成立， 故-π≤t，即实数t的最小值是 -π. 同 步 练 习 练2、已知函数f(x)=x2-2lnx，若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解，则实数m的取值范围是________． 解：f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解 ⇔m≤f(x)在[1,e]上有实数解 ⇔m≤f(x)max f＇(x)= 2x - = = ∵x∈[1,e] ∴f＇(x)＞0 ∴f(x）在[1,e]上单调递增 ∴f(x)max=f(e)=e2-2 ∴m≤e2-2 学 习 新 知 ①设函数f(x)、g(x)，对任意的x1∈[a,b]，任意的x2∈[c,d]，使 得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)max ②设函数f(x)、g(x)，对任意的x1∈[a,b]，任意的x2∈[c,d]，使 得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min 典 例 引 路 例3、已知函数f(x)=x+(a＞0),g(x)=x+lnx,若∀x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围为________． 解:原命题等价于f(x)min≥g(x)max 当x∈[1,e]时，g＇(x)= 1+ ＞0 , g(x)单调递增，g(x)max= g(e) = e+1 当x∈[1,e]时，f＇(x)= ①当a＜1时，f＇(x)＞0恒成立 ∴f(x)在[1,e]上单调递增 ∴f(x)min=f(1)=a2 由 a2＞e+1 得 a＞,此与a＜1矛盾。 ②当1≤a≤e时，由f＇(x)＞0得a＜x＜e ; 由f＇(x)＜0得1＜x＜a ∴f(x)在（1，a)上单调递减，在（a,e)上单调递增 ∴f(x)min=f(a)=2a ∴由2a≥e+1 得 a≥ ∴≤a≤e ③当a＞e时，f＇(x)＜0恒成立 ∴f(x)在[1,e]上单调递减 ∴f(x)min=f(e)=2e＞e+1=g(x)max 综上所述a≥ 同 步 练 习 练3、已知函数f(x)=alnx-x+1(a＞0)，g(x)=x-lnx，若∀x1,x2∈(0,+∞),f(x1)＜g(x2)恒成立，则实数a的取值范围是______. 解：∀x1,x2∈(0,+∞),f(x1)＜g(x2)恒成立等价于f(x)max＜g(x)min g＇(x)= ,由g＇(x)＞0得x＞1 ; 由g＇(x)＜0得0＜x＜1 ∴g(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 ∴g(x)min=g(1)=1 f＇(x)= ,由f＇(x)＞0得0＜x＜a ; 由f＇(x)＜0得x＞a ∴f(x)在（0,a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减 ∴f(x)max=f(a)=alna-a+1 ∴alna-a+1＜1 ∴0＜a＜e 学 习 新 知 ①设函数f(x)、g(x)，对任意的x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使 得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min， ②设函数f(x)、g(x)，对任意的x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使 得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)max 典 例 引 路 例4、已知函数f(x)=x3+x2+ax,g(x)= ,若∀x1∈[,2],∃x2∈[,2]使得f＇(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是________. 解：∀x1∈[ ,2],∃x2∈[ ,2]使得f＇(x1)≤g(x2)成立⇔f＇(x)max≤g(x)max ∵f＇(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在[ ,2]上单调递增 ∴f＇(x)max = f＇(2) = 22+2×2+a = 8+a g＇(x)= 由g＇(x)＞0,解得x＜1,由g＇(x)＜0,解得x＞1 ∴g(x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴g(x)max = g(1) = ∴8+a≤ ∴a≤ - 8 同 步 练 习 练4、设函数f(x)=x3-4x+，g(x)=x2-2bx+1,若对于∀x1∈[1，2], ∃x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立，则实数b的取值范围是__________. 解：∀x1∈[1，2],∃x2∈[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)min f＇(x)=x2-4=(x+2)(x-2) ∴当x∈[1，2]时，f＇(x)＜0 ∴f(x)在[1，2]上单调递减 ∴f(x)min=f(2)=-5 g(x)=(x-b)2+1-b2 ∴当b≤0时，g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)min=g(0)=1 ∴-5≥1不成立 当0＜b＜1时，g(x)在[0,b)上单调递减，在(b,1]上单调递增，g(x)min=g(b)=1-b2， ∴-5≥1-b2，解得b≤-或b≥,不合题意 当b≥1时，g(x)在[0,1]上单调递减，g(x)min=g(1)=2-2b ∴-5≥2-2b,解得b≥ 综上所述，b的取值范围是[,+∞) 学 习 新 知 ①设函数f(x)、g(x)，存在x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使 得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)max≥g(x)min ②设函数f(x)、g(x)，存在x1∈[a,b]，存在x2∈[c,d]，使 得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)min≤g(x)max 典 例 引 路 例5、已知 f(x) = xex++e2, g(x) = -x2-2x-1+a,若存在x1∈R，x2∈(-1,+∞)，使得f(x1)＜g(x2)成立，则实数a的取值范围是____. 解:依题意，f＇(x)=(x+1)ex， 由f＇(x)＜0，得x＜-1，所以f(x)在(-∞,-1)是单调递减； 由f＇(x)＞0，得x＞-1，所以f(x)在(-1,+∞)是单调递增； 所以当x=-1时，f(x)min=f(-1)= -e-1 + + e2 = e2 由函数g(x)=-x2-2x-1+a在(-1,+∞)上单调递减，得g(x)max=g(-1)=a； ∵存在x1∈R，x2∈(-1,+∞)，使得f(x1)＜g(x2)成立 ∴f(x)min＜g(x)max ∴e2＜a即a＞e2 同 步 练 习 练5、函数f(x)=e|x-1|，函数g(x)=lnx-x+a，若存在x1,x2,使得 f(x1)＜g(x2)成立，则a的取值范围是__________． 解:∵存在x1,x2,使得 f(x1)＜g(x2)成立 ∴f(x)min＜g(x)max ∵f(x)=e|x-1|= ∴f(x)在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 ∴f(x)min=f(1)=1 ∵g＇(x)= - 1 = ∴由g＇(x)＞0，得0＜x＜1,由g＇(x)＜0,得x＞1 ∴g(x)在（0,1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减 ∴g(x)max=g(1)= -1+a ∴1＜-1+a ∴a＞2 学 习 新 知 ①若不等式f(x)＞g(x)在区间D上恒成立⇔在区间D上函数 y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象上方。 ②若不等式f(x)＜g(x)在区间D上恒成立⇔在区间D上函数 y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象下方。 典 例 引 路 例6、已知函数f(x)=ex-1-, (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线 l 的方程; (2)证明y=f(x)的图像在直线l的上方（切点除外）. 解：(1)∵ f＇(x)=ex-1 - , f(1)=0 ∴切线 l 的斜率为f＇(1)= ∴ 切线 l 的方程为y-0= (x-1)即x-2y-1=0 (2)要证明y=f(x)的图像在直线l的上方（切点除外） 即证明ex-1-≥(x-1)即证明ex-1-- (x-1)≥0 设g(x)=ex-1-- (x-1),则g＇(x)=ex-1- - ,且g＇(1)=0 令h(x)=g＇(x),则h＇(x)=ex-1+＞0,则h(x)单调递增，即g＇(x)单调递增 ∴当x∈(0,1)时，g＇(x)＜0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时，g＇(x)＞0,g(x)单调递增 ∴g(x)min=g(1)=0 ∴g(x)≥0 又∵g(0)= ＞0 ∴当x≥0时，g(x)≥0（仅在x=1时取得等号） ∴y=f(x)的图像在直线l的上方（切点除外） 同 步 练 习 练6、对x∈D，如果函数F(x)的图像在函数G(x)的图像的下方，则称函数F(x)在D上被函数G(x)覆盖.求证：函数f(x)=x+2lnx在区间x∈(1,+∞)上被函数g(x)=x3覆盖. 证明：由题意知，只需证x3＞x+2lnx对x∈(1,+∞)恒成立 令h(x)=x3-x-2lnx (x≥1) ∴h＇(x)= 3x2-1- = ∵x＞1 ∴x-1＞0,3x2+3x+2＞0 ∴h＇(x)＞0对x∈(1,+∞)恒成立 ∴h(x)单调递增 ∴h(x)＞h(1)=0 ∴x3＞x+2lnx即函数f(x)=x+2lnx在区间x∈(1,+∞)上被函数g(x)=x3覆盖. 学 习 新 知 函数的零点个数问题、方程的根的个数问题、两个图像的交点个数问题通常的解决办法是：利用导数研究函数的性质，从而画出函数的图像，利用图像来解决。 典 例 引 路 例7、已知f(x)=x3-ax+2有三个零点，则a的范围是________． 解:函数f(x)=x3-ax+2有三个零点，等价于关于x的方程ax=x3+2有三个实根． 显然x≠0， ∴方程a= x2 + 有三个根，等价与函数h(x) = a 和g(x)= x2 + 的图像 有三个交点。 g＇(x)=2x - = 由g＇(x)＞0，得x＞1 ; 由g＇(x)＜0，得x＜0或0＜x＜1 ∴g(x)在（-∞，0）上递减，在（0,1）上递减，在（1.+∞）上递增 ∵x→-∞时，g(x)→+∞ ； x→-0时，g(x)→-∞, x→+0时，g(x)→+∞ ； g(1)=3 ； x→+∞时，g(x)→+∞ ∴画出函数g(x)的图像。由图像可知：a＞3 同 步 练 习 练7、若函数f(x)=aex-x2+3恰有两个不同的零点，则a的取值范围是______. 解：函数f(x)=aex-x2+3恰有两个不同的零点 ⇔方程a = 有两个不同的根⇔函数h(x)=a与函数g(x)= 的图像有两个交点。 g＇(x)= 由g＇(x)＞0，得-1＜x＜3 ; 由g＇(x)＜0，得x＜-1或x＞3 ∴g(x)在（-∞，-1）上递减，在（-1,3）上递增，在（3，+∞）上递减 ∵x→-∞时，g(x)→+∞ ; g(-1)=-2e ; g(3)= ; x→+∞时，g(x)→0且g(x)＞0 ∴函数g(x)的图像如图所示： ∴a的取值范围是（-2e,0)∪{} 同 步 练 习 全 课 总 结 1、 a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min 2、 a ≥ f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min 3、 a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min；a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max 4、 a ≥ f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max 5、设函数f(x)、g(x)，∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，使 得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)max 6、设函数f(x)、g(x)，∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min 7、设函数f(x)、g(x)，∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，使 得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min 8、设函数f(x)、g(x)，∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)max 9、设函数f(x)、g(x)，∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，使 得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)max≥g(x)min 10、设函数f(x)、g(x)，∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)min≤g(x)max 11、若不等式f(x)＞g(x)在区间D上恒成立⇔在区间D上函数 y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象上方 12、若不等式f(x)＜g(x)在区间D上恒成立⇔在区间D上函数 y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象下方 13、函数的零点个数问题、方程的根的个数问题、两个图像的交点个数问题通常的解决办法是：利用导数研究函 数的性质，从而画出函数的图像，利用图像来解决。 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 26 $