2.6.3函数的最值（第1课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第6节 用导数研究函数的性质 6.3 函数的最值 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解函数的最值的概念． 2、了解函数的最值与极值的区别与联系． 3、会用导数求在给定区间上函数的最值． 1、会用导数求在给定区间上函数的最值． 1、理解函数的最值的概念． 2 新 知 引 入 在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的____________，其函数值f(x0)为函数的___________. 在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y = f(x)的___________，其函数值f(x0)为函数的___________. 函数的极大值点与极小值点统称为___________， 极大值与极小值统称为_________. 1、回顾一下上一节可我们学习的极值的概念： 极大值点 极大值 极小值点 极小值 极值点 极值 新 知 引 入 （1）求出_______________. （2）解方程_____________. （3）对于每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号（即f(x)的单调性）， 确定极值点： ①若f'(x)在x0附近的符号“左正右负”，则x0为_____________； ②若f'(x)在x0附近的符号“左负右正”，则x0为_____________； ③若f'(x)在x0附近的符号相同，则x0________________. 2、求函数极值点的步骤 导数f'(x) f'(x)=0 极大值点 极小值点 不是极值点 新 知 引 入 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质而不是函在定义域内的整体性质.  但实际问题中，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.  3、函数y=f(x)的极大值点为___________________，极大值为____________________. 极小值点为___________________，极小值为____________________. d、f、h f(d)、f(f)、f(h) f(c)、f(e)、f(g) c、e、g 学 习 新 知 最大值与最小值 函数的极值不一定是最值，最值不一定是极值. 注意：1、 2、 3、 4、 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的. 如果函数f(x)的定义域内存在一点，使得对任意 总有 那么 为函数在定义域上的最大值. 如果函数f(x)的定义域内存在一点，使得对任意 总有 那么 为函数在定义域上的最小值. 函数的极值可以有多个，但最大（小）值至多只能有一个. 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得. 学 习 新 知 最大值与最小值 如果函数f(x)的定义域内存在一点，使得对任意 总有 那么 为函数在定义域上的最大值. 如果函数f(x)的定义域内存在一点，使得对任意 总有 那么 为函数在定义域上的最小值. 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，其值必在极值点或区间端点处取得. 注意：5、 6、 当图象连续不断的函数在区间上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. 学 习 新 知 求函数f(x)在[a，b]的最大(小)值的步骤： （1）求f(x)在开区间(a，b)内所有 的根。   （2）计算函数在 处的函数值和端点的函数值， 最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 典 例 引 路 例1、求函数f(x)=x3-2x2+5在区间［-2,2］内的最值. 解：f (x)=3x2-4x. 由方程f (x)=0，得 x1=0，x2= . 计算函数f(x)在导数零点x1=0和x2= 和区间端点x3=-2和x4=2处的值: f(0)=5，f()= ，f(-2)=-11，f(2)=5. 比较这4个数的大小,可知： 函数f(x)=x3-2x2+5在区间［-2,2］内的最大值是5,最小值是-11. 同 步 练 习 解： 令 得 或 （舍）  在[0，3]上，   又∵   ∴函数f(x)在[0，3]的最大值是4，最小值是 练1、求 在[0，3]上的最大值与最小值. 典 例 引 路 例2、求函数 的最大值。 的定义域为 由 得 x=e 当 当 时，   ∴函数 在(0，e)上单调递增，在 上单调递减 ∴当x=e时，取最大值为 同 步 练 习 练2、求函数 f(x)= 的最大值。 解：函数f(x)的定义域为R. f＇(x) = 由f＇(x)＞0,得x＜2 由f＇(x)＜0,得x＞2 ∴f(x)在（-∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减. ∴f(x)max = f(2) = 典 例 引 路 例3、求证: ex≥x+1 解:令f(x)=ex-x-1，则f＇(x)=ex-1， 由f＇(x)＞0,得x＞0 由f＇(x)＜0,得x＜0 ∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， ∴f(x)min = f(0) = e0-0-1 = 0 即ex-x-1≥0， ∴ex≥x+1. 同 步 练 习 练3、求证: x-1≥lnx 解：令g(x) = x-1-lnx (x＞0)，则g＇(x) = 1- = 由g＇(x)＞0,得x＞1 由g＇(x)＜0,得0＜x＜1 ∴g(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 ∴g(x)min = g(1) = 1-1-ln1 = 0 ∴g(x)≥0即x-1-lnx≥0 ∴x-1≥lnx 典 例 引 路 例4、求函数 在 上的最大值 解：.  令 则 = -2（x-1)-ex-1 ∵函数 在 内是减函数，且  ∴在 内，总有 . ∴h(x)在 上是减函数 ∵ ∴当 时， 从而 ，这时函数f(x)单调递增； 当x∈(1,2)时， 从而 ，这时函数f(x)单调递减. ∴ 同 步 练 习 练4、已知函数f(x)=x2+cosx-4，f＇(x)是f(x)的导函数. (1)求f＇(0)+f＇(π)的值； (2)求f(x)的最值. 解:（1）∵f(x)=x2+cosx-4，∴f＇(x)=2x-sinx. ∴f＇(0)+f＇(π)=0+2π=2π. （2）由（1）知f＇(x)=2x-sinx. 令g(x)=2x-sinx，则g＇(x)=2-cosx＞0， ∴g(x)在R上单调递增，且g(0)=0， ∴当x＜0时，g(x)＜0即f＇(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞0时，g(x)＞0即f＇(x)＞0，f(x)单调递增， ∴f(x)min = f(0) = - 3 当x→±∞时，f(x)→+∞,所以f(x)无最大值. 典 例 引 路 例5、已知a是实数，函数f (x)＝x2(x－a)，求f (x)在区间[0，2]上的最大值． 解：f ′(x)＝3x2－2ax.令f ′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝ . ①当≤0，即a≤0时，f (x)在[0，2]上单调递增，从而f (x)max＝f (2)＝8－4a. ②当≥2，即a≥3时，f (x)在[0，2]上单调递减，从而f (x)max＝f (0)＝0. ③当0＜ ＜2，即0＜a＜3时，f (x)在[0, ]上单调递减，在[,2]上单调递增， 从而f (x)max＝ 综上所述，f (x)max＝ 同 步 练 习 练5、函数 是否存在实数a，b， 使f(x)在[-1,2] 上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 解：显然 , f＇(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4) 令 得： (舍去) 当 时，f(x)在[-1,0]单调递增 ，在[0,2]上单调递减 f(x)max=f(0) = b = 3 , ∵ ∴f(x)min=f(2)=-29, ∴a=2 当 时，f(x)在[-1,0]单调递减 ，在[0,2]上单调递增 f(x)min=f(0)=b=-29,   ∵  ∴f(x)max=f(2)=3, ∴a=-2 综上所述： 或， 典 例 引 路 例6、研究函数f(x)=的性质，并画出它的大致图象. 解：函数f(x)的定义域为R, 由f(-x)=-f(x)知，函数f(x)为奇函数且经过原点, 函数图象关于原点对称. 在x＞0时,f(x)＞0,函数f(x)的图象恒在x轴上方; 在x＜0时,f(x)＜0,函数f(x)的图象恒在x轴下方. f(x) =  = = . 令f (x)=0,解方程，得x=±1. 由f (x)＞0,解得-1＜x＜1,因此,(-1,1)为函数f(x)的单调递增区间. 由f (x)＜0,解得x＞1或x＜-1,因此，(1,+∞),(-∞,-1)为函数f(x)的单调递减区间. ∴ x = -1为函数f(x)的极小值点，其对应的极小值f(-1)= - ; x = 1为函数f(x)的极大值点,其对应的极大值f(1)= ; 由以上的分析，可以得到函数f(x)的大致图象如图. 同 步 练 习 练6、给定函数f(x)=(x+1)ex. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数. 解:（1）函数f(x)=(x+1)ex的定义域为R，求导得f＇(x)=(x+2)ex， 由f＇(x)＞0，得x＞-2，由f＇(x)＜0，得x＜-2， ∴函数f(x)的单调递增区间为(-2,+∞)；单调递减区间为(-∞,-2). （2）由（1）知，函数f(x)在x=-2处取得最小值f(-2) = - ,且f(-1)=0 当x＜-1时，f(x)＜0， 由以上的分析，可以得到函数f(x)的大致图象如图. （3）方程f(x)=a解的个数等价于函数y=f(x)的图象 与直线y=a的交点个数。 当a＜- 时，方程f(x)=a的解为0个； 当a= - 或a≥0时，方程f(x)=a的解为1个; 当 - ＜a＜0时，方程f(x)=a的解为2个. 同 步 练 习 一、函数的最值的概念 二、最值与极值的区别与联系 三、求函数最值的方法 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $