2.6.3 函数的最值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“用导数研究函数的最值”，通过“群山穿梭找最高山峰和最低山谷”的情境导入，衔接上节课极值知识，搭建从极值到最值的认知支架，系统讲解定义、求法及综合应用。 其亮点在于以直观想象创设情境，通过典例与变式训练培养数学运算和逻辑推理素养，融入音乐函数等跨学科案例。学生能提升思维能力，教师可获得系统教学资源，高效开展分层教学。

6.3　函数的最值 　 第二章　§6　用导数研究函数的性质 学习目标 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，培养数学抽象、直观想象的核心素养.　 2.体会导数与最大(小)值的关系.　 3.能利用导数求简单的含参函数的最值问题，提升数学运算的核心素养.　 4.能利用导数研究与函数极值、最值等相关的问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　函数的最值 1 任务二　综合应用 2 课时分层评价 4 随堂评价 3 任务一　函数的最值 返回 　　同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们要寻找最高的山峰和最低的山谷，这其实就是我们今天要探究的函数的最值. 问题　如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象. (1)观察在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ 提示：极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4). 问题导思 (2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 提示：存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3). (3)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 提示：不一定，也可能是区间端点的函数值. 1.最值点 (1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都________f(x0). (2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都________f(x0). 2.最值：函数的________和________统称为最值. 新知构建 不超过 不小于 最大值 最小值 对函数最值的两点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(2)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件. 微提醒 函数极值与最值有何关系？ 提示：(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值. 微思考 (链教材P82例4)求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； 解：f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以当x＝4时，f(x)取得最大值35， 当x＝－2时，f(x)取得最小值－37. 典例 1 x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 (2，4) 4 f'(x)   ＋ 0 － 0 ＋   f(x) －37 ↗ 极大值3 ↘ 极小值－5 ↗ 35 (2)f(x)＝. 解：f(x)＝的定义域为R. f'(x)＝＝， 当f'(x)＝0时，x＝2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝. x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 单调递减 求函数最值的四个步骤 第一步：求函数的定义域； 第二步：求f'(x)，解方程f'(x)＝0； 第三步：列出关于x，f(x)，f'(x)的变化表； 第四步：求极值、端点值，确定最值. 规律方法 对点练1.求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3＋x2－2x＋1，x∈[－2，1]； 解：求导得f'(x)＝3x2＋x－2. 令f'(x)＝0，则x1＝－1，x2＝. 由于x1和x2都在区间[－2，1]内，所以可列表如下： 又f(－2)＝－1，f(1)＝，将它们与极值比较可得， 该函数在[－2，1]上的最大值为，最小值为－1. x [－2，－1) －1 f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ (2)f(x)＝(x2－1)－ln x. 解：由已知可得，f(x)＝(x2－1)－ln x的定义域为(0，＋∞)， 且f'(x)＝x－＝. 当x＞1时，有f'(x)＞0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增； 当0＜x＜1时，f'(x)＜0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减. 所以f(x)在x＝1处取得唯一极小值，也是最小值f(1)＝×(12－1)－ln 1＝0，f(x)没有最大值. 返回 任务二　综合应用 返回 应用1　求含参数的函数的最值 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值. 解：f'(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a＞0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(a)＝－a3. ②当a＝0时，f'(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝0. ③当a＜0时，f(x)在上单调递减， 典例 2 在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝a3. 综上所述，当a＞0时，f(x)的最小值为－a3； 当a＝0时，f(x)的最小值为0； 当a＜0时，f(x)的最小值为a3. 变式探究 (变条件)当a＞0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值. 解：f'(x)＝(3x＋a)(x－a)(a＞0)， 令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝a. 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在[a，2a]上单调递增. 因为f(－a)＝－a3，f＝a3， f(a)＝－a3，f(2a)＝2a3， 所以f(x)max＝f(2a)＝2a3. f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3. 含参数的函数最值问题的两类情况 1.能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题. 2.对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. [占领思想高点]　含参数的函数最值问题体现分类讨论的数学思想. 规律方法 对点练2.已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的极值； 解：由f(x)＝(x－k)ex，可得f'(x)＝(x－k＋1)ex，令f'(x)＝0，解得x＝k－1， 当x变化时，f(x)与f'(x)的变化情况如下表： 所以f(x)的单调递减区间是；单调递增区间是. 所以f(x)有极小值f(k－1)＝－ek－1，无极大值. x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ f(x) ↘ －ek－1 ↗ (2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值. 解：当k－1≤0，即k≤1时， f'(x)＝(x－k＋1)ex≥0在x∈[0，1]上恒成立， 则函数f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时，f'(x)＝(x－k＋1)ex≤0在x∈[0，1]上恒成立， 则函数f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上，当k≤1时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为－k； 当1＜k＜2时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为－ek－1； 当k≥2时，f(x)在区间[0，1]上的最小值为(1－k)e. 应用2　由最值求参数的值或取值范围 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值. 解：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾. 求导得f'(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4). 令f'(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去). ①当a＞0，且当x变化时， f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 典例 3 x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 f'(x)   ＋ 0 －   f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1，2]上的最大值， 所以f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3＜f(－1)， 所以f(2)＝－16a＋3＝－29， 解得a＝2，符合题意. ②当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在 [－1，2]上的最小值， 所以f(0)＝b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29＞f(－1)， 所以f(2)＝－16a－29＝3， 解得a＝－2，符合题意. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 　　已知函数在某区间上的最值求参数的值(或取值范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. 规律方法 对点练3.已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求实数k的取值范围. 解：因为h(x)＝x3＋3x2－9x＋1， 所以h'(x)＝3x2＋6x－9. 令h'(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝1. 当x变化时，h'(x)，h(x)的变化情况如下表： 所以当x＝－3时，h(x)取极大值28； x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) h'(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗ 当x＝1时，h(x)取极小值－4. 而h(2)＝3＜h(－3)＝28， 所以如果h(x)在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3. 所以实数k的取值范围为(－∞，－3]. [教材拓展5]　与ex，ln x有关的几类函数(源于教材P84A组T4(1)) (1)函数f＝的大致图象是 典例 4 √ 当x＜0时，f＝＜0，故B、D错误；又f'＝，当0＜x＜1时，f'＜0，当x＞1时，f'＞0，故x＞0时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确.故选C. (2)对于函数f＝xln x，以下判断正确的是 A.f在上是减函数 B.f有极小值无极大值 C.f有两个不同的零点 D.f的图象在点处的切线的斜率为0 √ 由题意可知f'＝1＋ln x，显然f'＝1，即f处的切线的斜率为1，故D错误；令f'＞0⇒x∈，f'＜0⇒x∈，即f上单调递减，在区间上单调递增，当x＝时，f'＝0，由上可知此时f取得极小值，故A错误，B正确；令f＝xln x＝0，且x＞0，可得ln x＝0⇒x＝1，即f只有一个零点1，故C错误.故选B. 返回 课堂小结 任务 再现 1.函数最值的定义.2.求函数的最值.3.由最值求参数的值或取值范围 方法 提炼 分类讨论思想、转化与化归思想 易错 警示 忽视函数的最值与极值的区别与联系 随堂评价 返回 1.下列结论正确的是 A.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D.若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 √ 函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而连续函数f(x)在[a，b]上一定存在最大值和最小值.故选D. 2.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是 A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19 √ f'(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f'(x)＝0，解得x＝－1或1(舍去).又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3，所以最大值为3，最小值为－17.故选C. 3.函数f(x)＝的最大值为 A.a B.e C.e1－a D.ea－1 √ f(x)＝，则f'(x)＝，所以当x＜1－a时，f'(x)＞0，当x＞1－a时，f'(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1－a)上单调递增，在(1－a，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f＝ea－1.故选D. 4.(双空题)已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上有最小值－37，则a的值为_______，f(x)在[－2，2]上的最大值为_______. 3 3 f'(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).由f'(x)＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x＝0时，f(x)取得最大值3. x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 f'(x)   ＋ 0 － 0 f(x) －40＋a ↗ 极大值a ↘ －8＋a 返回 课时分层评价 返回 1.下列命题中，真命题是 A.函数的最大值一定不是该函数的极大值 B.函数的极大值可以小于该函数的极小值 C.函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值 D.函数在开区间内不存在最大值和最小值 √ 函数的最大值有可能是函数的极大值，故A错误；函数的极大值可以小于该函数的极小值，故B正确；函数在某一闭区间上的极小值不一定是该函数的最小值，故C错误；函数在开区间内有可能存在最大值和最小值，故D错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝x3－3x，则下列结论正确的是 A.有最大(小)值，但无极值 B.有最大(小)值，也有极值 C.既无最大(小)值，也无极值 D.无最大(小)值，但有极值 √ f'(x)＝3x2－3＝3，当x∈时，f'(x)＜0，所以f(x)在上单调递减，因此函数f(x)无最大值和最小值，也无极值.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数f(x)＝x＋2cos x在区间上的最小值是 A.－ B.2 C.＋ D.＋1 √ f'(x)＝1－2sin x，因为x∈，所以sin x∈[－1，0]，所以－2sin x ∈[0，2]，所以f'(x)＝1－2sin x＞0在上恒成立，所以f(x)在 上单调递增，所以f(x)min＝f＝－＋2cos ＝－.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'(x)＜g'(x)，则f(x)－g(x)的最大值为 A.f(a)－g(b) B.f(b)－g(b) C.f(a)－g(a) D.f(b)－g(a) √ 令F(x)＝f(x)－g(x)，因为f'(x)＜g'(x)，所以F'(x)＝f'(x)－g'(x)＜0，所以F(x)在[a，b]上单调递减，所以F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知函数f(x)＝x＋e－x，则函数f(x)在上的最小值为 A.1 B.1＋ C.－1＋e D.1－ √ f(x)＝x＋e－x，x∈，则f'(x)＝1－e－x＝，x∈，当－1≤x＜0时，f'(x)＝＜0，f(x)单调递减；当0＜x≤1时，f'(x)＝＞0，f(x)单调递增.则f(x)在x＝0时取得最小值f(0)＝0＋e0＝1.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是 A.f(x)＞0的解集是{x｜0＜x＜2} B.f(－)是极小值，f()是极大值 C.f(x)没有最小值，也没有最大值 D.f(x)有最大值无最小值 √ √ √ 由f(x)＞0得0＜x＜2，故A正确；f'(x)＝(2－x2)ex，令f'(x)＝0，得x＝±，当x＜－或x＞时，f'(x)＜0，当－＜x＜时，f'(x)＞0，所以当x＝－时，f(x)取得极小值，当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确；当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→－∞，且f()＞0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确.故选ABD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.函数f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值是__________. e－1 由题意得f'(x)＝ex－1.令f'(x)＝0，得x＝0.当x∈[－1，0)时，f'(x)＜0；当x∈(0，1]时，f'(x)＞0.所以f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增.又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，所以f(－1)－f(1)＝2＋－e＜0，所以f(－1)＜f(1).所以f(x)max＝f(1)＝e－1. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.函数f(x)＝ex－｜x｜＋(1－e)x的最小值为_______. 0 当x≤0时，f(x)＝ex＋(2－e)x＞0；当x＞0时，f(x)＝ex－ex，f'(x)＝ex－e，当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x≥1时，f'(x)≥0，f(x)单调递增.又f(1)＝0，所以f(x)min＝f(1)＝0. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(双空题)设函数f(x)＝，x∈[1，4]，则f(x)的最大值为______，最小值为_____. 0 由f(x)＝得f'(x)＝，令f'(x)＞0，则1－ln x＞0，解得0＜x＜e；令f'(x)＜0，则1－ln x＜0，解得x＞e，所以函数f(x)在[1，e]上单调递增，在[e，4]上单调递减.又f(1)＝0，f(4)＝＞0，所以f(x)的最大值为f(e)＝＝，f(x)的最小值为f(1)＝0. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知函数f(x)＝x3－x2－4x＋5. (1)求函数f(x)的单调区间； 解：f(x)的定义域为R，f'(x)＝2x2－2x－4＝2. 令f'(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝2. 当x＜－1时，f'(x)＞0，当－1＜x＜2时，f'(x)＜0，当x＞2时，f'(x)＞0， 所以函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 解：由(1)知，当x在区间上变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示： 所以函数f(x)在区间上的最小值为－10，最大值为. x －3 (－3，－1) －1 (－1，2) 2 (2，3) 3 f'(x)   ＋ 0 － 0 ＋   f(x) －10 单调递增 单调递减 － 单调递增 2 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(新角度)音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数y＝Asin ωx的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍.当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如二分之一、三分之一……)也在振动，所以我们听到声音的函数是y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x＋…，则声音函数y＝sin x＋sin 2x在[0，2π]上的最大值是 A. B. C. D.1 √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 y'＝cos x＋cos 2x＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)，x∈[0，2π].令y'＝0，即(2cos x－1)(cos x＋1)＝0，解得cos x＝或cos x＝－1，所以x＝或x＝π或x＝，又当x＝时，y＝；当x＝π时，y＝0；当x＝时，y＝－；当x＝2π时，y＝0；当x＝0时，y＝0，所以ymax＝.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. √ f'(x)＝2x＋(a－1)－＝，设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24＞0，因此g(x)＝0有两个不同实根，又g(0)＝－3＜0，因此g(x)＝0的两根一正一负，由题意正根在(1，2)内，所以解得－＜a＜2.故选A. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知函数f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝e－x－a，∀x1∈[－1，1]，∃x2∈[0，2]，使不等式f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是__________. 由题意，可得f(x)min≥g(x)min，当－1≤x≤1时，f'(x)＝，由f'(x)＜0，可得－1≤x＜0，由f'(x)＞0，可得0＜x≤1，所以函数f(x)在[－1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.因为g(x)＝－a，所以g(x)在[0，2]上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝－a，所以0≥－a，解得a≥.所以实数a的取值范围是. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知函数f(x)＝2ex(x＋1). (1)求函数f(x)的极值； 解：f'(x)＝2ex(x＋2)， 由f'(x)＞0，得x＞－2； 由f'(x)＜0，得x＜－2. 所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 在(－∞，－2)上单调递减. 所以f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞－3)上的最小值g(t). 解：由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 在(－∞，－2)上单调递减. 因为t＞－3，所以t＋1＞－2. ①当－3＜t＜－2时，f(x)在[t，－2)上单调递减，在(－2，t＋1]上单调递增， 所以g(t)＝f(－2)＝－2e－2. ②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增， 所以g(t)＝f(t)＝2et(t＋1). 综上，g(t)＝ 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a＞1)，若对于任意的x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为______. 4 由题意得，f'(x)＝3ax2－3，当a＞1时，令f'(x)＝3ax2－3＝0，解得x＝±，±∈[－1，1].①当－1≤x＜－时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；②当－＜x＜时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；③当＜x≤1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.所以只需f≥0，且f(－1)≥0即可，由f≥0，得a·－3·＋1≥0，解得a≥4，由f(－1)≥0，可得a≤4，综上可得a＝4. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R). (1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值； 解：因为a＝1，所以g(x)＝ln x＋x2－3x， 所以g'(x)＝＋2x－3＝， 因为x∈[1，e]，所以g'(x)≥0， 所以g(x)在[1，e]上单调递增， 所以g(x)max＝g＝e2－3e＋1. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a). 解：g(x)的定义域为，g'(x)＝＋2x－(a＋2)＝＝. ①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1； ②当1＜＜e，即2＜a＜2e时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，h(a)＝g＝aln －a2－a； ③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g＝a＋e2－2e. 综上，h(a)＝ 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 6.3　函数的最值 返回 $