2.6.2函数的极值课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第6节 用导数研究函数的性质 6.2函数的极值 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解极大值、极小值的概念． 2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 3、会用导数求函数的极大值、极小值． 1、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2、会用导数求函数的极大值、极小值． 1、了解极大值、极小值的概念． 2 新 知 引 入 （1）若在某个区间内，函数的导数_____________， 则在这个区间内，函数单调递增； （2）若在某个区间内，函数的导数_____________， 则在这个区间内，函数单调递减. 1、函数的单调性： 新 知 引 入 A B D C E 2、群山连绵起伏，蔚为壮观！ 山峰B、C、D、E虽然不是最高的山峰，但它们却是其附件最高的峰顶。 山谷M、N虽然不是山脉的最低处，但它们却是其附件最低的地方。 M N 新 知 引 入 3、观察函数y=f(x)的图像： 函数值分别在______________________达到其附件的最高点； 在______________________达到其附近的最低点。 d、f、h c、e、g 学 习 新 知 在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. 在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y = f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点， 极大值与极小值统称为极值. 极大值与极小值 注意：1、 2、 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质. 一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值. 学 习 新 知 在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. 在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y = f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点， 极大值与极小值统称为极值. 极大值与极小值 注意：3、 4、 5、 对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. 极值点是一个数字，而不是点. 学 习 新 知 函数y=f(x)的极大值点为___________________，极大值为____________________. 极小值点为___________________，极小值为____________________. d、f、h f(d)、f(f)、f(h) f(c)、f(e)、f(g) c、e、g 新 知 引 入 在区间（c,d)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（d,e)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（e,f)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（f,g)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（g,h)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（h,+∞)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 递增 递减 递增 递增 递减 递减 ＞ ＜ ＞ ＞ ＜ ＜ 函数y=f(x)在 x=d 处取得___________。 函数y=f(x)在 x=f 处取得____________。 函数y=f(x)在 x=h 处取得___________。 f＇(d) = ____ f＇(f) = ____ f＇(h) = ____ 0 0 0 极大值 极大值 极大值 新 知 引 入 在区间（-∞,c)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（c ,d)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（d,e)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（e,f)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（f,g)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 在区间（g,h)上f(x)单调________即f＇(x)_____0. 递增 递减 递增 递增 递减 递减 ＞ ＜ ＞ ＞ ＜ ＜ 函数y=f(x)在 x=c 处取得_____________。 函数y=f(x)在 x=e 处取得_____________。 函数y=f(x)在 x=g 处取得_____________。 f＇(c) = ____ f＇(e) = ____ f＇(g) = ____ 0 0 0 极小值 极小值 极小值 学 习 新 知 若函数y=f(x)在区间(a,x0)内单调递增, 在区间(x0,b)内单调递减， 则x0是极大值点,f(x0)是极大值. 若函数y=f(x)在区间(a,x0)内单调递减, 在区间(x0,b)内单调递增， 则x0是极小值点,f(x0)是极小值. x (a,x0) x0 (x0,b) f＇(x) + 0 - y=f(x) 递增 极大值 递减 x (a,x0) x0 (x0,b) f＇(x) - 0 + y=f(x) 递减 极小值 递增 学 习 新 知 求函数极值点的步骤 1、求出导数f'(x). 2、解方程f'(x)=0. 3、对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号（即f(x)的单调性）， 确定极值点： （1）若f'(x)在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点； （2）若f'(x)在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点； （3）若f'(x)在x0附近的符号相同，则x0不是极值点. 设x0是f(x)的一个极值点，则f'(x0)=0.反之不一定成立. 即f＇(x0)=0是 y=f(x)在这点处取极值的必要不充分条件. 例如，对于f(x)=x3,虽然f'(0)=0,但是x=0不是极值点. 注意：1、 典 例 引 路 例1、已知函数f(x)的导函数y=f＇(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．f(x)在区间(x1,x3)上单调递减 B．f(x)在x=x5处取得极大值 C．f＇(x)在区间(x3,x4)上单调递减 D．f＇(x)在x=x6处取得极小值 解:对A，当x∈(x1,x2)时，f＇(x)＞0 ，此时f(x)单调递增， 当x∈(x2,x3)时，f＇(x)＜0，此时f(x)单调递减，故A错误； 对B，在x=x5附近，导函数符号不变，则f(x)在x=x5处取不到极大值，故B错误； 对C，当x∈(x3,x4)时，此时f＇(x)单调递增，故C错误； 对D，由图知(x6,f＇(x6))为附近的最低点，则f＇(x)在x=x6处取得极小值，故D正确. D 同 步 练 习 练1、（多选题）导函数y=f＇(x)的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确 的是（     ） A．x4是导函数y=f＇(x)的极大值 B．x1是导函数y=f＇(x)的极小值 C．x3是函数y=f(x)的极大值 D．x5是函数y=f(x)的极小值 解:根据导函数f＇(x)的图象可知：x1,x4的两侧的小区域内，f＇(x)的图象左减右增， 所以在x1，x4处导函数y=f＇(x)有极小值；x2的两侧的小区域内，f＇(x)左增右减， 所以在x2处导函数y=f＇(x)有极大值. 根据导函数f＇(x)的图象可知：x3的左侧导数大于零，在(x3,x5)内导数y=f＇(x)小于零， 所以在x3处函数y=f(x)有极大值. 在(x5,+∞)上f＇(x)导数大于零，所以在x5处函数y=f(x)有极小值. 而x1,x2,x4左右两侧导函数符号相同，原函数f(x)不取得极值. BCD 典 例 引 路 例2、求函数f(x)= 2x3-3x2-36x+16的极值点. 解：f＇(x) = 6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3). 由方程f＇(x)=0得到了两个实数根个x1=-2和x2=3. 当x＜-2时，f＇(x)＞0,函数f(x)在区间（-∞,-2）内单调递增； 当-2＜x＜3时,f＇(x)＜0,函数f(x)在区间（-2,3）内单调递减， 因此,x1=-2是函数f(x)的极大值点. 当-2＜x＜3时,f＇(x)＜0,函数在（-2,3）内单调递减； 当x＞3时,f＇(x)＞0,函数f(x)在区间（3, +∞）内单调递增， 所以x2=3是函数f(x)的极小值点. 同 步 练 习 练2、设函数f(x)=alnx + -3x+1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处取得极值. (1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值点. 解:（1）函数f(x)= alnx + -3x + 1的定义域为（0，+∞） f＇(x) = - - 3 因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处取得极值，所以f＇(1)=0，所以a-4=0，解得a=4， ∴ f(x)= 4lnx + - 3x + 1 , f＇(x)= 当 ＜x＜1时，f＇(x)＞0;当x＞1时，f＇(x)＜0 ∴ x=1为函数y=f(x)的极值点，满足条件，所以a=4. (2)由（1）可知f＇(x)= 由f＇(x)＞0可得:＜x＜1，由f＇(x)＜0可得0＜x＜或x＞1 ∴y=f(x)在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减. ∴故f(x)的极大值点为x=1，极小值点为 x = . 典 例 引 路 例3、求函数f(x)=3x3一3x+1 的极值，并画出函数的大致图象. 解：f＇(x)=9x2-3. 由f＇(x)=0,得x1= - ,x2= . 如下表,分析f＇(x)的符号、f(x)的单调性和极值点. x （-∞，- ） - （- ，） （，+∞） f＇(x) + 0 - 0 + y=f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 根据上表可知， x1= - 为函数f(x)=3x3-3x+1的极大值点，函数f(x)在该点的取值（极大值）为f(- )=1+ ; x2= 为函数f(x)的极小值点，函数f(x)在该点的取值（极小值）为f()=1- . 函数f(x)的大致图象如图. 同 步 练 习 练3、求函数 的极值. 解：的定义域为{x|x≠0}.  令 得 从上表可以看出，当x = -1时，f(x)有极大值-2 当 x=1 时，f(x)有极小值2. x (-∞,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+∞) f＇(x) + 0 - - 0 + f(x) ↗ -2 ↘ ↘ 2 ↗ 典 例 引 路 例4、已知函数f(x)=x3-3a2x．若a＞0，f(x)存在极小值且极小值小于-2，求a的取值范围． 解:f＇(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)，令f＇(x)=0可得x=±a， 列表如下： x (-∞,-a) -a (-a,a) a (a,+∞) f＇(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 2a3 ↘ -2a3 ↗ 所以，函数f(x)存在极小值， 且极小值为f(a)= -2a3 ＜-2，解得a＞1. 因此，实数a的取值范围是(1,+∞). 同 步 练 习 练4、已知函数f(x)=+x(a∈R),若函数f(x)有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围. 解:函数f(x)= +x的定义域为R， f＇(x)= 1 - = 当a≤0时，f＇(x)＞0成立，函数f(x)在R上单调递增，f(x)无极值； 当a＞0时，由f＇(x)＜0，得x＜lna；由f＇(x)＞0，得x＞lna， 函数f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增， 则f(x)在x=lna处取得极小值f(lna)=1+lna， 由1+lna＜0，解得0＜a＜ 同 步 练 习 全 课 总 结 一、极大值点和极小值点的概念. 二、极大值和极小值的概念. 三、求极值点或极值的步骤. THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $