2.6.2 函数的极值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“函数的极值”，系统讲解极值概念、判定及求法。以苏轼诗句“横看成岭侧成峰”类比引入，通过问题导思衔接导数与单调性知识，搭建从已有认知到新知的学习支架。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，任务驱动设计（概念理解、极值点求法、极值计算）强化逻辑推理，典例与分层评价结合提升数学运算能力。如通过导函数图象判断极值点实例，助学生直观想象，既提升学生核心素养，又为教师提供系统教学方案。

6.2　函数的极值 　 第二章　§6　用导数研究函数的性质 学习目标 1.通过实例了解极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，培养数学抽象、直观想象的核心素养.　 2.会利用导数求函数的极大值、极小值，提升数学运算、逻辑推理的核心素养.　 3.体会导数与极值的关系. 内容索引 任务一　函数极值的概念 1 任务二　求函数极值点 2 任务三　求函数的极值 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　函数极值的概念 返回 　　苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧 成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高 低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的 顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？我们把这个问题放到数学中来看. 问题1.观察右列图形，函数y＝f(x)在x＝d，e，f，g，h， i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 提示：以x＝d，e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函 数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在点x＝e附近其他点的函数值都大. 问题导思 问题2.函数y＝f(x)在点x＝d，x＝e处的导数值是多少？在点x＝d，x＝e附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ 提示：函数y＝f(x)在点x＝d，x＝e处的导数值是0；在点x＝d附近的左 侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0.类似地，在点x＝e附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0. 1.函数极值的概念 (1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在_______________ _____的函数值都______点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. (2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在_______________ _____的函数值都______点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. (3)极值：极大值与极小值统称为______，极大值点与极小值点统称为________. 新知构建 任何不为x0的一 点处 小于 任何不为x0的一 点处 大于 极值 极值点 2.函数的单调性与极值 (1)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)上_________，在区间(x0，b)上_________，则x0是极大值点，f(x0)是________. (2)若函数y＝f(x)在区间(a，x0)上_________，在区间(x0，b)上_________，则x0是极小值点，f(x0)是________. 单调递增 单调递减 极大值 单调递减 单调递增 极小值 (1)极值点不是点.极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.(2)极值是函数的局部性质.(3)函数的极值不唯一.极大值与极小值两者的大小不确定.(4)在连续可导函数f(x)中，若f'(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f'(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f'(x)的变号零点，才是函数f(x)的极值点. 微提醒 (多选题)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断，正确的是 A.函数y＝f(x)在区间(3，5)上单调递增 B.函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增 C.当x＝－时，函数y＝f(x)取极大值 D.当x＝2时，函数y＝f(x)取极大值 √ 典例 1 √ 对于A，当x∈(3，4)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(4，5)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以A错误；对于B，当x∈(－2，2)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以B正确；对于C，当x∈(－2，2)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，故当x＝－时，函数y＝f(x)不取极大值，所以C错误；对于D，当x∈(－2，2)时，f(x)单调递增，当x∈(2，4)时，f(x)单调递减，所以当x＝2时，函数y＝f(x)取极大值，所以D正确.故选BD. 　　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值. 规律方法 对点练1.已知函数y＝f'(x)的图象如图所示，则关于函数y＝f(x)的说法正确的是 A.函数y＝f(x)有3个极值点 B.函数y＝f(x)在区间(－∞，－4)上单调递增 C.函数y＝f(x)在区间(－2，＋∞)上单调递增 D.当x＝0时，函数y＝f(x)取得极大值 √ 结合导数与函数单调性的关系可知，当x＜－5时，f'(x)＞0，函数单调递增，当－5＜x＜－2时，f'(x)＜0，函数单调递减，当x＞－2时，f'(x)≥0，函数单调递增，故当x＝－5时，函数取得极大值，当x＝－2时，函数取得极小值，所以D错误；故函数y＝f(x)有2个极值点，故A错误；函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)，(－2，＋∞)；单调递减区间为(－5，－2)，故B错误，C正确.故选C. 返回 任务二　求函数极值点 返回 问题3.你能求出函数f(x)＝x3－3x的极值点吗？并判断是极大值点还是极小值点. 提示：f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f'(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(－1，1)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.则函数f(x)＝x3－3x的极大值点为x＝－1；极小值点为x＝1. 问题导思 求函数极值点的步骤 1.求出导数f'(x). 2.解方程f'(x)＝0. 3.对于方程f'(x)＝0的每一个实数根x0，分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点： (1)若f'(x)在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点； (2)若f'(x)在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点； (3)若f'(x)在x0附近的符号相同，则x0不是极值点. 新知构建 设x0是f(x)的一个极值点，并求出了f(x)的导数f'(x)，则f'(x0)＝0.反之不一定成立.例如，对于f(x)＝x3，虽然f'(0)＝0，但是x＝0不是极 值点. 微提醒 (链教材P80例2)求函数f(x)＝3x3－x＋1的极值点. 解：f'(x)＝9x2－1， 令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝. 当x＜－时，f'(x)＞0，函数在上单调递增； 当－＜x＜时，f'(x)＜0，函数在上单调递减，所以x1＝－是函数的极大值点. 当x＞时，f'(x)＞0，函数在上单调递增，所以x2＝是函数的极小值点. 典例 2 变式探究 (变条件)求函数f(x)＝xex－x2－2x的极值点. 解：函数f(x)＝xex－x2－2x的定义域为R，f'(x)＝ex－2x－2＝， 令f'(x)＝0可得x＝－1或x＝ln 2，列表如下： 所以，函数f(x)的极大值点为－1，极小值点为ln 2. x (－∞，－1) －1 (－1，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 减 极小值 增 一般地，求函数y＝f(x)的极值点的方法 　　解方程f'(x)＝0，当f'(x0)＝0时： 1.如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么x＝x0是极大值点. 2.如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么x＝x0是极小值点. 规律方法 对点练2.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)， f'(－1)＝f'(1)＝0，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； 解：f'(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由f'(－1)＝f'(1)＝0， 得3a＋2b＋c＝0，① 3a－2b＋c＝0，② 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1，③ 联立①②③解得a＝，b＝0，c＝－. (2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点. 解：由(1)可得f(x)＝x3－x， 所以f'(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1). 当x＜－1或x＞1时，f'(x)＞0； 当－1＜x＜1时，f'(x)＜0， 所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减. 所以x＝1是函数的极小值点，x＝－1是函数的极大值点. 返回 任务三　求函数的极值 返回 (链教材P81例3)求下列函数的极值： (1)f(x)＝(x3－1)2＋1； 解：因为f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2， 所以f'(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1). 令f'(x)＝0，得x＝0或x＝1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以当x＝1时，f(x)有极小值，为f(1)＝1，f(x)无极大值. 典例 3 x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 － 0 ＋ f(x) ↘ 2 ↘ 1 ↗ (2)f(x)＝＋3ln x. 解：函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f'(x)＝－＋＝. 令f'(x)＝0，得x＝1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值. x (0，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 3 ↗ 求函数极值的步骤 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求方程f'(x)＝0的根； 第三步：用方程f'(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； 第四步：由f'(x)在方程f'(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 规律方法 对点练3.求下列函数的极值： (1)f(x)＝－2； 解： 因为f'(x)＝＝. 令f'(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 由上表看出，当x＝－1时，f(x)取得极小值f＝－3； 当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝－1. x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 －3 单调递增 －1 单调递减 (2)f(x)＝. 解：函数f(x)＝， 且f'(x)＝.令f'(x)＝0，解得x＝e. 当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表： 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f＝，没有极小值. x (0，e) e (e，＋∞) f'(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 单调递减 返回 课堂小结 任务 再现 1.函数极值的定义.2.函数极值点与极值的判定及求法 方法 提炼 定义法、数形结合思想、方程思想 易错 警示 忽视求定义域；导数值为零不是此点为极值点的充要条件 随堂评价 返回 1.(多选题)若函数f(x)的导函数的部分图象如图所示，则 A.x1是f(x)的一个极大值点 B.x2是f(x)的一个极小值点 C.x3是f(x)的一个极大值点 D.x4是f(x)的一个极小值点 √ √ 对于A，由图可知，在x1左右两侧，函数f(x)左增右减，故x1是f(x)的一个极大值点，故A正确；对于B，由图可知，在x2附近的左右两侧，函数f(x)左减右增，故x2是f(x)的一个极小值点，故B正确；对于C，由图可知，在x3附近的左右两侧，函数f(x)单调递增，故x3不是f(x)的一个极值点，故C错误；对于D，由图可知，在x4左右两侧，函数f(x)左增右减，故x4是f(x)的一个极大值点，故D错误.故选AB. 2.已知f(x)在R上连续可导，且f'(x)是f(x)的导数，p：f'(x0)＝0，q：f(x)在x＝x0处取到极值，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 依题意f(x)在R上连续可导，且f'(x)是f(x)的导数，f'(x0)＝0，则x＝x0不一定是极值点，f(x)在x＝x0处取到极值，则f'(x0)＝0，所以p是q的必要不充分条件.故选B. 3.(双空题)函数f(x)＝x3－x2－3x＋6的极大值为_____，极小值为_______. －3 f'(x)＝x2－2x－3.令f'(x)＞0，得x＜－1或x＞3；令f'(x)＜0得－1＜x＜3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(3)＝－3. 4.函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为_____. 0 因为x＞0，f'(x)＝a－＝，所以当a≤0时，f'(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点. 返回 课时分层评价 返回 1.已知函数f(x)的导函数f'(x)＝x2·，则f(x)的极值点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 由f'(x)＝0得x1＝x2＝0，x3＝1，x4＝2，x＜0或0＜x＜1时，f'(x)＞0，0不是极值点，0＜x＜1或x＞2时，f'(x)＞0，1＜x＜2时，f'(x)＜0，因此1，2都是极值点.极值点有2个.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝x＋2cos x在上的极小值点为 A. B. C. D. √ 对于函数f(x)＝x＋2cos x，f'(x)＝1－2sin x，因为x∈，当0≤x＜时，f'(x)＞0，当＜x＜时，f'(x)＜0，当＜x≤π时，f'(x)＞0，所以f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，在上是增函数.因此，函数f(x)＝x＋2cos x在.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)＝(x－1)2(2－x)3，则f(x)的极大值点为 A.1 B. C.－1 D.2 √ 因为f'(x)＝2(x－1)(2－x)3－3(x－1)2(2－x)2＝(x－1)(2－x)2(7－5x)，所以f(x)在(－∞，1)，上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的极大值点为.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)对于函数f(x)＝x3－3x2，下列说法正确的是 A.f(x)是增函数，无极值 B.f(x)是减函数，无极值 C.f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2) D.f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值 √ √ f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f'(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f'(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，f(0)＝0为极大值，f(2)＝8－3×4＝－4为极小值.故选CD. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.函数f(x)的导函数为y＝f'(x)，函数g(x)＝f'(x)的图象如图所示，下列说法正确的是 A.x＝2是y＝f(x)的零点 B.x＝2是y＝f(x)的极大值点 C.x＝1是y＝f(x)的极大值点 D.x＝－2是y＝f(x)的极大值点 √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 对于A，x＝2不一定为y＝f(x)的零点，故A错误；对于 B，在x＝2附近的左侧，f'(x)＜0，故f'(x)＞0，在 x＝2附近的右侧，f'(x)＞0，故f'(x)＞0，故x＝2两 侧f'(x)＞0，故x＝2不是y＝f(x)的极大值点，故B错误； 对于C，因为f'(1)＝0，在x∈(－2，1)时，f'(x)＞ 0，故f'(x)＜0，在x∈(1，2)时，f'(x)＜0，故f'(x)＞0，故x＝1是y＝f(x)的极小值点，故C错误；对于D，因为f'＝0，在x∈(－2，1)时，f'(x)＞0，故f'(x)＜0，在x＝－2左侧，f'(x)＜0，故f'(x)＞0，故x＝－2是y＝f(x)的极大值点，故D正确.故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的导函数y＝f'(x)的图象如图所 示，则 A.f(x)在(x2，0)上单调递增 B.f(x)有4个极值点 C.f(x)在(x3，x4)上单调递减 D.f(x3)＜f(x5) √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 观察图象知，当a＜x＜x1，0＜x＜x4，x4＜x＜x6时， f'(x)＜0，当x1＜x＜0，x6＜x＜b时，f'(x)＞0，所以 函数f(x)在上单调递增，而x2∈，则 f(x)在(x2，0)上单调递增，故A正确；f(x)在(0，x4) 上单调递减，而x3∈(0，x4)，所以f(x)在(x3，x4)上单调递减，故C正确；函数f(x)在x1，x6处都取得极小值，在0处取得极大值，有3个极值点，故B不正确；因为当0＜x＜x6时，f'(x)≤0，当且仅当x＝x4时取“＝”，即f(x)在(0，x6)上单调递减，而0＜x3＜x5＜x6，则有f(x3)＞f(x5)，故D不正确.故选AC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.函数f(x)＝的极小值是______. 0 因为x＞0，且f(x)＝·，所以f'(x)＝2＋＝，令f'(x)＝0，可得x＝或2，列表如下： 所以函数f(x)的极小值为f(2)＝0. x 2 f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 减 极小值 增 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.函数f(x)＝xsin x＋cos x－3x2的极值点为______. 0 由已知得f'(x)＝sin x＋xcos x－sin x－6x＝x(cos x－6)，所以当x＜0时，f'(x)＞0，当x＞0时，f'(x)＜0，即函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在x＝0处取得极大值. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知函数f(x)＝x3－3ax＋b的单调递减区间为(－1，1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是________. 6 依题意知，f(x)的单调递减区间为(－1，1).由f'(x)＝3x2－3a＝3(x－)(x＋)，可得a＝1.由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，可得1－3＋b＝2，解得b＝4.所以f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)(2024·九省适应性测试)已知曲线y＝f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点处的切线与直线2x＋3y＝0垂直. (1)求a； 解：因为 f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2， 所以f'(x)＝＋2x＋a， 则f'(2)＝＋2×2＋a＝＋a， 由题意函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点处的切线与直线2x＋3y＝0垂直， 可得×＝－1，解得a＝－3. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)求f(x)的单调区间和极值. 解：由a＝－3，得f(x)＝ln x＋x2－3x＋2， 所以f'(x)＝＋2x－3＝ ＝，x＞0， 所以当0＜x＜时，f'(x)＞0，当＜x＜1时，f'(x)＜0，当x＞1时，f'(x)＞0， 故f(x)的单调递增区间为，f(x)的单调递减区间为， 故f(x)有极大值f＝ln ＋－3×＋2＝－ln 2， f(x)有极小值f(1)＝ln 1＋12－3×1＋2＝0. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.设x1，x2是函数f＝x3＋ax2＋x＋1的两个极值点，若x1＋3x2＝－2，则a＝ A.0 B.1 C.2 D.3 √ 由题意得f'＝3x2＋2ax＋1，又x1，x2是函数的两个极值点，则x1，x2是方程3x2＋2ax＋1＝0的两个根，故x1＋x2＝－，x1x2＝，又x1＋3x2＝－2，则x1＝－3x2－2，即x1x2＝(－3x2－2)x2＝，则x2＝－，则x1＝－1，所以x1＋x2＝－1－＝－，解得a＝2，此时Δ＝42－4×3×1＝4＞0，符合题意.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2a，若不等式f(x)＞0的解集为{x｜1＜x＜2}，则函数y＝xf(x)的极值点的个数为 A.1 B.2 C.0 D.不能判断 √ 由题意知解得a＝－1，即f(x)＝－x2＋3x－2.于是y＝xf(x)＝－x3＋3x2－2x，y'＝－3x2＋6x－2.由Δ＞0，得y'＝0有两个相异的实根，故函数y＝xf(x)有两个极值点.故选B. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(多选题)已知函数f(x)＝xe2x－x2－x－，则 A.－和0是函数f(x)的极值点 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)的极大值为－ D.f(x)的极小值为－ √ √ √ 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 由题得f'(x)＝e2x＋2xe2x－2x－1＝e2x(2x＋1)－(2x＋1)＝(2x＋1)(e2x－1)，当x＜－或x＞0时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；当－＜x＜0时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减.所以－和0分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，故A正确；所以f(x)在上单调递减，故B错误；函数的极大值为f(－)＝－×e－1－＋－＝－，故C正确；函数的极小值为f(0)＝－，故D正确.故选ACD. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)(开放题)在“①f(－1)＝－4，f'(1)＝0，②f(1)＝0，f'(0)＝1，③f(x)的图象在(－1，f(－1))处的切线方程为y＝8x＋4”这三个条件中任选一个，补充在下面的横线处，并求解. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且__________. (1)求函数f(x)的极值； 解：选择①， 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx， 所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b， 由已知可得 解得 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 所以f(x)＝x3－2x2＋x，f'(x)＝3x2－4x＋1， 令f'(x)＝0，解得x1＝，x2＝1， 根据x1，x2列表如下，分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点. 因此f(x)的极大值为f＝，f(x)的极小值为f(1)＝0. 选择②， 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx， 所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b， x 1 (1，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由已知可得 下同①. 选择③， 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx， 所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b， 因为函数f(x)的图象在(－1，f(－1))处的切线方程为y＝8x＋4， 所以 下同①. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)画出函数f(x)的大致图象. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：由(1)可以得到函数f(x)的大致图象如图所示. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小 值，则 A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，则f'(x)＝－－＝.因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实数根x1，x2，于是即有b2＋8ac＞0，ab＞0，ac＜0，显然a2bc＜0，即bc＜0，故A错误，B、C、D正确.故选BCD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(新定义)材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的函数，如函数f(x)＝xx(x＞0)，我们可以作变形：f(x)＝xx＝()x＝＝et(t＝xln x)，所以f(x)可看作是由函数y＝et和t＝xln x复合而成的，即f(x)＝xx(x＞0)为初等函数. 根据以上材料： (1)直接写出初等函数f(x)＝xx(x＞0)的极值点； 解：极小值点为x＝，无极大值点. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求初等函数h(x)＝(x＞0)的极值. 解：h(x)＝＝(eln x＝(x＞0)， 所以h'(x)＝·(·ln x)'＝·(－·ln x＋)＝·(－ln x＋1)， 令h'(x)＝0得x＝e， 当0＜x＜e时，h'(x)＞0， 此时函数h(x)单调递增； 当x＞e时，h'(x)＜0， 此时函数h(x)单调递减. 所以h(x)有极大值且为h(e)＝，无极小值. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 6.2　函数的极值 返回 $