第2章 6.3 函数的最值-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数的最值，涵盖概念理解、与极值的区别联系及导数求法。通过观察函数图像结合极值定义提问，搭建从极值到最值的学习支架，帮助学生衔接旧知。 其亮点是以核心素养为导向，情境导入培养数学眼光，典例分类（如含参数最值、逆向探讨）发展逻辑推理，通性通法总结强化数学运算。例如通过含参数问题分类讨论，引导学生严谨推理，学生能掌握解题步骤，教师可直接用于教学提升效率。

6.3　函数的最值 1 1.理解函数的最值的概念（数学抽象）. 2.了解函数的最值与极值的区别与联系（逻辑推理）. 3.会用导数求在给定区间上函数的最值（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极 值的定义，回答下列问题： 【问题】　（1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？ （2）图中所示函数的最值点与最值分别是什么？ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 知识点　函数的最值 1. 最大值点与最小值点 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f（x）在这个 区间上所有点处的函数值都 ⁠. 函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f（x）在这个 区间上所有点处的函数值都 ⁠. 不超过f（x0）　 不低于f（x0）　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 最大值与最小值 最大（小）值在导数的零点取得，或者在区间的端点取得.要想求函数的 最大（小）值，一般首先求出函数导数的零点，然后将所有 ⁠ 与 的函数值进行比较，其中最大（小）的值即为函数的最大 （小）值. 函数的最大值和最小值统称为 ⁠. 导数零点　 区间端点　 最值　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：函数的极值与最值的区别与联系：①极值是对某一点附近（局 部）而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言；②在函数的定义区 间[a，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值至 多一个；③函数f（x）的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间 的端点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想一想， 在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？ 提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f（x）在 [a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f（x）在[a， b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f（x）在（a，b） 上为单调函数时，它既没有最值也没有极值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数的最大值不一定是函数的极大值. （　√　） （2）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取 得. （　×　） （3）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. （　×　） √ × × 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数f（x）＝x－ sin x，x∈ 的最大值是（　　） A. π－1 B. －1 C. π D. π＋1 解析： ∵f'（x）＝1－ cos x，当x∈ 时，f'（x）＞0，∴f （x）在 上单调递增，∴f（x）的最大值为f（π）＝π－ sin π＝π， 故选C. √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数f（x）＝ x3－x2－3x＋6在[－4，4]上的最大值为 　 　，最小 值为 ⁠. 解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x） ＜0，得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递 增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝ ，极小 值为f（3）＝－3，又f（－4）＝－ ，f（4）＝－ ，故f（x）的最大 值为f（－1）＝ ，最小值为f（－4）＝－ . 　 － 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜求函数的最值 角度1　不含参数的最值问题 【例1】　（1）y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2，1]上的最小值为（　C　） A. B. 2 C. －1 D. 4 C 解析：　y'＝3x2＋2x－1＝（3x－1）（x＋1），令y'＝0，解得x＝ 或x ＝－1.当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝ 时，y＝ ； 当x＝1时，y＝2，所以函数的最小值为－1，故选C. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ①求f（x）的单调区间； ②在x∈[－ ，3]时，求f（x）的最大值与最小值. 解：①f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）， 当x＜－1或x＞1时，f'（x）＞0，当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.所以f （x）的单调递增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞），单调递减区间为 （－1，1）. ②由①知x∈[－ ，3]时，f（x）的极大值为f（－1）＝2，f（x）的 极小值为f（1）＝－2， 又f（－ ）＝0，f（3）＝18. 所以f（x）的最大值为18，f（x）的最小值为－2. （2）已知函数f（x）＝x3－3x，x∈R. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求函数最值的四个步骤 （1）求函数的定义域； （2）求f'（x），解方程f'（x）＝0； （3）列出关于x，f（x），f'（x）的变化表； （4）求极值、端点值，确定最值. 提醒：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 角度2　含参数的最值问题 【例2】　已知函数f（x）＝（x－k）ex. （1）求f（x）的单调区间； 解： 由f（x）＝（x－k）ex，得f'（x）＝（x－k＋1）ex， 令f'（x）＝0，得x＝k－1. 当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表： x （－∞，k－1） k－1 （k－1，＋∞） f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ －ek－1 ↗ 所以f（x）的单调递减区间是（－∞，k－1）；单调递增区间是（k－ 1，＋∞）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求f（x）在区间[0，1]上的最小值. 解： 当k－1≤0，即k≤1时，函数f（x）在[0，1]上单调递增.所以 f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝－k； 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时， 由（1）知f（x）在[0，k－1）上单调递减，在（k－1，1]上单调递增， 所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k－1）＝－ek－1； 当k－1≥1，即k≥2时，函数f（x）在[0，1]上单调递减. 所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）＝（1－k）e. 综上可知，当k≤1时，f（x）min＝－k； 当1＜k＜2时，f（x）min＝－ek－1； 当k≥2时，f（x）min＝（1－k）e. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性发生变化，从而 导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的最小 值. 解：f'（x）＝3x2－2ax－a2＝（3x＋a）（x－a），令f'（x）＝0，得x1 ＝－ ，x2＝a. ①当a＞0时，f（x）在[0，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增， 所以f（x）min＝f（a）＝－a3； 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ③当a＜0时，f（x）在［0，－ ）上单调递减，在［－ ，＋∞）上单 调递增. 所以f（x）min＝f（ － ）＝ a3. 综上所述，当a＞0时，f（x）的最小值为－a3； 当a＝0时，f（x）的最小值为0； 当a＜0时，f（x）的最小值为 a3. ②当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0，f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以f （x）min＝f（0）＝0； 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜求函数在开区间或无穷区间上的最值 【例3】　求下列函数的最大值与最小值： （1）f（x）＝ ； 解： 函数的定义域为R，f'（x）＝ ， 令f'（x）＝0，得x＝－1或3，容易验证函数在x＝－1 处取得极小值f（－1）＝－ ，在x＝3处取得极大值f（3）＝ ，又知f（0）＝－ ，f（1）＝0.当x＜1时，f（x）＜0；当x＞1时，f（x）＞0.据此可以画出函数的大致图象，如图所示.由图象可知，函数的最大值为f（3）＝ ，最小值为f（－1）＝－ . 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）f（x）＝（x2－3）ex. 解： 函数的定义域是R，且f'（x）＝2x·ex＋ （x2－3）ex＝ex（x2＋2x－3），令f'（x）＞0， 得x＞1或x＜－3；令f'（x）＜0，得－3＜x＜1. 所以函数f（x）在（－∞，－3）和（1，＋∞）内 单调递增，在（－3，1）内单调递减，因此函数f（x）在x＝－3处取得极大值，极大值f（－3）＝6e－3；在x＝1处取得极小值，极小值f（1）＝－2e.又由f（x）＞0，得x＞ 或x＜－ ；由f（x）＜0得，－ ＜x＜ .所以函数的大致图象如图所示.从函数图象可得函数f（x）的最小值就是函数的极小值f（1）＝－2e，而函数无最大值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 求函数在开区间或无穷区间上最大（小）值的方法 求函数在无穷区间或开区间上的最大（小）值，不仅要研究其极值情况， 还要研究其单调性，先通过极值情况，确定相应极值点、极值，再根据函 数解析式确定函数图象与坐标轴的交点，然后结合单调性画出函数的大致 图象，借助图象观察得到函数的最大（小）值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 关于开区间上单调函数和单峰函数的最值 （1）开区间上连续的单调函数无最值.若f（x）在（a，b）上是连续曲 线且单调递增（减），则f（x）在开区间（a，b）上无最值，其值域为 （f（a），f（b））（（f（b），f（a）））； （2）开区间上连续的单峰函数的极大（小）值，也是最大（小）值，但 它没有最大（小）值. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数y＝ 的最大值为（　　） A. e－1 B. e C. e2 D. 解析： 　函数的定义域为（0，＋∞），令y'＝ ＝ ＝ 0，则可得x＝e.当x＞e时，y'＜0；当0＜x＜e时，y'＞0，故x＝e时，y取 极大值，y极大值＝ ，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝ . √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝ 的最大值是 　 　，最小值是 　－ 　. 解析：令y'＝ ＝ ＝0，可得x＝－ 1或x＝1.当x＜－1或x＞1时，y'＜0，当－1＜x＜1 时，y'＞0，∴当x＝－1时，y极小值＝－ ，当x＝1时y极大值＝ .又知f（0）＝0，当x＜0时，y＜0，当x＞0时y＞0.结合单调性画出函数图象，如图所示，可知ymax＝ ，ymin＝－ . 　 － 　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜最值背景下的逆向探讨 【例4】　已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3， 最小值为－29，则a＋b＝（　D　） A. 5 B. －27 C. －27或1 D. 5或－31 解析：　由题设知a≠0，否则f（x）＝b为常函数，与题设矛盾.对f （x）求导得f'（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4），令f'（x）＝0，得x1 ＝0，x2＝4（舍去）. D 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （1）当a＞0，且x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x －1 （－1，0） 0 （0，2） 2 f'（x） ＋ 0 － f（x） －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f（x）取得极大值b，也就是函数f（x）在[－ 1，2]上的最大值，∴f（0）＝b＝3. 又f（－1）＝－7a＋3，f（2）＝－16a＋3＜f（－1）， ∴f（x）在[－1，2]上的最小值为f（2），f（2）＝－16a＋3＝－29， 解得a＝2. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f（x）取得极小值b，也就是函 数f（x）在[－1，2]上的最小值，∴f（0）＝b＝－29.又f（－1）＝－ 7a－29，f（2）＝－16a－29＞f（－1），∴f（x）在[－1，2]上的最大 值为f（2），f（2）＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.故a＋b＝5或a＋b＝－31. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 已知函数最值求参数的步骤 （1）求导数f'（x），并求极值； （2）利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最 值，若参数的变化影响函数的单调性，要对参数进行分类讨论； （3）利用最值列关于参数的方程（组），解方程（组）即可. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝（4x2＋4ax＋a2） ，其中a＜0. （1）当a＝－4时，求f（x）的单调递增区间； 解： f（x）的定义域为[0，＋∞）， 当a＝－4时，f'（x）＝ ， 令f'（x）＞0，得x∈（ 0， ）或x∈（2，＋∞）， 故函数f（x）的单调递增区间为（ 0， ）和（2，＋∞）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值. 解： f'（x）＝ ，a＜0， 由f'（x）＝0得x＝－ 或x＝－ . 当x∈（ 0，－ ）时，f（x）单调递增；当x∈（ － ，－ ）时，f （x）单调递减；当x∈（ － ，＋∞）时，f（x）单调递增. ①当－ ≤1，即－2≤a＜0时，f（x）在[1，4]上的最小值为f（1），由 f（1）＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2 －2，均不符合题意. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ②当1＜－ ≤4，即－8≤a＜－2时，此时 ＜－ ≤ ，f（x）在[1，4] 上的最小值为f（ － ）＝0，不符合题意. ③当－ ＞4，即a＜－8时，f（x）在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x ＝4处取得，而f（1）＝8时没有符合题意的a值，由f（4）＝2（64＋16a ＋a2）＝8得a＝－10或a＝－6（舍去），当a＝－10时，f（x）在[1， 4]上单调递减，f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）＝8，符合题意. 综上知，a＝－10. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 1. 函数y＝4x－3x3在区间[0，2]上的最大值是（　　） A. B. C. 0 D. －16 解析： 设f（x）＝4x－3x3，∴f'（x）＝4－9x2＝（2－3x）（2＋ 3x）.∵x∈[0，2]，∴当x＝ 时，f'（x）＝0，f（x）取得极大值.又f （0）＝0，f ＝ ，f（2）＝－16，∴函数y＝4x－3x3在区间[0，2] 上的最大值是 . √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 〔多选〕如图所示，函数f（x）的导函数的图象是一条直线，则 （　　） A. 函数f（x）有最大值 B. 函数f（x）没有最大值 C. 函数f（x）有最小值 D. 函数f（x）没有最小值 解析： 　由导函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取 得最小值，没有最大值. √ √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其 最小值为 ⁠. 解析：f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.由f'（x）＝0得x＝3 或x＝－1.又f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，f（－1）＝k＋5，f （4）＝k－20.∴f（x）max＝k＋5＝10，∴k＝5，∴f（x）min＝k－76 ＝－71. －71　 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知函数h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k 的取值范围. 解：∵h（x）＝x3＋3x2－9x＋1， ∴h'（x）＝3x2＋6x－9. 令h'（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1， 当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表： x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞） h'（x） ＋ 0 － 0 ＋ h（x） ↗ 28 ↘ －4 ↗ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 当x＝－3时，取极大值28； 当x＝1时，取极小值－4. 而h（2）＝3＜h（－3）＝28， 如果h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3. ∴k的取值范围为（－∞，－3]. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 下列结论正确的是（　　） A. 若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B. 若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C. 若f（x）在[a，b]上有极值，则极值一定是在x＝a和x＝b处取得 D. 若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定存在最大值和 最小值 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　函数f（x）在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定 是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值 和最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数f（x）＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是 （　　） A. 1，－1 B. 1，－17 C. 3，－17 D. 9，－19 解析： 　f'（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1），令f'（x）＝0，得x＝ ±1.又f（－3）＝－27＋9＋1＝－17，f（0）＝1，f（－1）＝－1＋3＋1 ＝3，1∉[－3，0].所以函数f（x）的最大值为3，最小值为－17.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 若函数f（x）＝a sin x＋ sin 3x在x＝ 处有最值，则a＝（　　） A. 2 B. 1 C. D. 0 解析： 　∵f（x）在x＝ 处有最值，∴x＝ 是函数f（x）的极值点. 又∵f'（x）＝a cos x＋ cos 3x（x∈R），∴f' ＝a cos ＋ cos π＝0， 解得a＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数f（x）＝x3－3x在区间（－2，m）上有最大值，则m的取值范围 是（　　） A. （－1，＋∞） B. （－1，1] C. （－1，2） D. （－1，2] 解析： 　由于f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）·（x －1），故函数在（－∞，－1）和（1，＋∞）上 单调递增，在（－1，1）上单调递减，f（－1） ＝f（2）＝2，画出函数图象如图所示，由于函数 在区间（－2，m）上有最大值，根据图象可知m∈（xB，xA]，即m∈（－1，2]，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表： x －1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1 f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的结论正 确的是（　　） A. 函数f（x）的极大值点有2个 B. 函数f（x）在[0，2]上单调递减 C. 当x∈[－1，t]时，若f（x）的最大值是2，则t的最大值为4 D. 当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题中f'（x）的图象可知，当x＝0时，函数f（x）取得极大 值；当x＝4时，函数f（x）取得极大值，即函数f（x）有2个极大值点， 故A中结论正确；易知函数f（x）在[0，2]上单调递减，故B中结论正 确；当x∈[－1，t]时，若f（x）的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的 最大值是5，故C中结论错误；令y＝f（x）－a＝0，得f（x）＝a，当f （2）≤1，1＜a＜2时，易知f（x）＝a有四个根；当1＜f（2）＜2，1 ＜a＜2时，易知f（x）＝a不一定有四个根，故函数y＝f（x）－a有4 个零点不一定正确，故D中结论错误，故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕若函数f（x）＝3x－x3在区间（a2－12，a）上有最小值，则 实数a的可能取值是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由f'（x）＝3－3x2＝0，得x＝±1. 当x变化时，f'（x）及f（x）的变化情况如下表： x （－∞，－1） －1 （－1，1） 1 （1，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） ↘ －2 ↗ 2 ↘ 由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜ . 又当x∈（1，＋∞）时，f（x）单调递减，且当x＝2时，f（x）＝－ 2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 设0＜x＜π，则函数y＝ 的最小值是 　　​ 　　. 解析：y'＝ ＝ .因为0＜x＜π，所以当 ＜x＜π 时，y'＞0；当0＜x＜ 时，y'＜0.所以当x＝ 时，ymin＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知函数f（x）＝x3－ ax2＋b（a，b为实数，且 a＞1）在区间[－ 1，1]上的最大值为1，最小值为 －2，则a－b＝ ，f（x）的解析式 为 ⁠. 　 f（x）＝x3－2x2＋1　 解析：f'（x）＝3x2－3ax＝3x（x－a），令f'（x）＝0得x1＝0，x2＝ a，当x∈[－1，0]时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，当 x∈（0，1] 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（0）＝b＝1，因 为f（－1）＝－ a，f（1）＝2－ a，所以f（x）min＝f（－1）＝－ a，所以－ a＝－2，即a＝ ，所以a－b＝ －1＝ ，所以f（x）＝x3 －2x2＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 设函数f（x）＝ x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成 立，则实数m的取值范围是 ⁠. 解析：f'（x）＝xex＋ x2ex＝ ·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝ －2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 f'（x） 0 － 0 ＋ f（x） ↘ 极小值0 ↗ （－∞，0）　 ∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒 成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知函数f（x）＝ln x＋ . （1）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间； （1）因为a＜0，所以f'（x）＞0，故函数在其定义域（0，＋∞）上单调 递增. 所以f（x）的单调递增区间为（0，＋∞），无单调递减区间. 解：函数f（x）＝ln x＋ 的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解：当x∈[1，e]时，分以下情况讨论： ①当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）＝a ＜1， 这与函数在[1，e]上的最小值是 相矛盾； ②当a＝1时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为f（1）＝1， 同样与最小值是 相矛盾； ③当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，f（x）单调递减， （2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是 ，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 在（a，e]上有f'（x）＞0，f（x）单调递增， 所以函数f（x）的最小值为f（a）＝ln a＋1，由ln a＋1＝ ，得a＝ ； ④当a＝e时，函数f（x）在[1，e]上有f'（x）≤0，f（x）单调递减， 其最小值为f（e）＝2，这与最小值是 相矛盾； ⑤当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减， 其最小值为f（e）＝1＋ ＞2，仍与最小值是 相矛盾. 综上所述，a的值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知函数y＝ （x＞1）有最大值－4，则a的值为（　　） A. 1 B. －1 C. 4 D. －4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　依题意得y'＝ '＝ ＝ ＝ ， 令y'＝0，解得x＝2或x＝0（舍去）.若函数在区间（1，＋∞）上有最大 值－4，则最大值必然在x＝2处取得，所以 ＝－4，解得a＝－1，此时y' ＝ ，当1＜x＜2时，y'＞0，当x＞2时，y'＜0，可以验证当x＝2 时y取得最大值－4，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕下列关于函数f（x）＝（2x－x2）ex的判断正确的是 （　　） A. f（x）＞0的解集是{x｜0＜x＜2} B. f（－ ）是极小值，f（ ）是极大值 C. f（x）没有最小值，也没有最大值 D. f（x）有最大值无最小值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 由f（x）＞0得0＜x＜2，故A正确.f'（x）＝（2－x2）ex， 令f'（x）＝0，得x＝± ，当x＜－ 或x＞ 时，f'（x）＜0，当－ ＜x＜ 时，f'（x）＞0，∴当x＝－ 时，f（x）取得极小值，当x ＝ 时，f（x）取得极大值，故B正确.当x→－∞时，f（x）＜0，当 x→＋∞时，f（x）＜0，且f（ ）＞0，结合函数的单调性可知，函数f （x）有最大值无最小值，故C不正确，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知函数f（x）＝2x2－ln x，若f'（x0）＝3，则x0＝ ，若在其定 义域的一个子区间（k－1，k＋1）内存在最小值，则实数k的取值范围 是 ⁠. 解析：∵函数f（x）＝2x2－ln x，x∈（0，＋∞），∴f'（x）＝4x－ ＝ ，由f'（x0）＝3，x0＞0，解得x0＝1.令f'（x）＝0得x＝ ，当0 ＜x＜ 时，f'（x）＜0，当x＞ 时，f'（x）＞0，∴当x＝ 时，f（x） 取得极小值，由题意可知 解得1≤k＜ ，∴实数k的 取值范围是 . 1　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝ex cos x－x. （1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； 解： 因为f（x）＝ex cos x－x，所以f'（x）＝ex（ cos x－ sin x）－ 1，f'（0）＝0.又因为f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f （0））处的切线方程为y＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）在区间 上的最大值和最小值. 解： 设h（x）＝ex（ cos x－ sin x）－1，则h'（x）＝ex（ cos x－ sin x－ sin x－ cos x）＝－2ex sin x. 当x∈ 时，h'（x）≤0，所以h（x）在区间 上单调递减.所 以对任意x∈ 有h（x）≤h（0）＝0，即f'（x）≤0.所以函数f （x）在区间 上单调递减. 因此f（x）在区间 上的最大值为f（0）＝1，最小值为f ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f'（x），f'（x）在 （a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成 立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”.已知当m≤2时，f （x）＝ x3－ mx2＋2x＋2在（－1，2）上是“凸函数”，则f（x）在 （－1，2）上（　　） A. 既没有最大值，也没有最小值 B. 既有最大值，也有最小值 C. 有最大值，没有最小值 D. 没有最大值，有最小值 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　f'（x）＝ x2－mx＋2，f″（x）＝x－m.∵函数f（x）在（－ 1，2）上是“凸函数”，∴f″（x）＝x－m＜0在（－1，2）上恒成立， ∴m＞x在（－1，2）上恒成立，∴m≥2，又m≤2，∴m＝2.∴f'（x） ＝ x2－2x＋2＝ （x－2）2＞0在（－1，2）上恒成立，∴f（x）在（－ 1，2）内单调递增，∴该函数在该区间上既没有最大值，也没有最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝2ex（x＋1）. （1）求函数f（x）的极值； 解： f'（x）＝2ex（x＋2）， 由f'（x）＞0，得x＞－2； 由f'（x）＜0，得x＜－2. ∴f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减. ∴f（x）的极小值为f（－2）＝－2e－2，无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）在区间[t，t＋1]（t＞－3）上的最小值. 解： 由（1）知，f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，在（－∞， －2）上单调递减. ∵t＞－3，∴t＋1＞－2. ①当－3＜t＜－2时，f（x）在[t，－2）上单调递减，在（－2，t＋1]上 单调递增，∴f（x）min＝f（－2）＝－2e－2. ②当t≥－2时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增， ∴f（x）min＝f（t）＝2et（t＋1）， ∴f（x）min＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $