精品解析：山东枣庄市第十五中学2026年九年级阶段评估卷 数 学

九年级阶段评估卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：共10题，每小题3分，满分30分． 1. 如图，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B表示的数相加为0，数轴的单位长度为1，则点C对应的数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 根据最新的数据，滕州市的常住人口约为万人，数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 为响应滕州市“加强居民生活垃圾分类意识”的号召，某校全面推行生活垃圾分类管理，下列校园里常见的垃圾分类图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A. B. C. D. 9. 小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找函数值为1时的值，小亮负责找函数值为0时的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A. 小明认为只有当时，函数值为1； B. 小亮认为找不到实数，使函数值为0； C. 小花发现当取大于2的实数时，函数值随的增大而增大，因此认为没有最大值； D. 小梅发现函数值随的变化而变化，因此认为没有最小值 10. 如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 12. 若点与点关于x轴对称，则的值为__________． 13. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是______． 14. 如图，在锐角中，，，为高，连接，与四边形的面积比是________． 15. 如图，，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为直角三角形，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为_____． 16. 如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有：______．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题：共7小题，共72分．（解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 18. 由于全球汽车芯片短缺汽车生产成本增加，某汽车生产厂商计划提高汽车出厂价格，据市场反馈，某型号汽车出厂价格为8万元/辆时，其月销量为2000辆，且出厂价格每提高1万元/辆，月销量将减少300辆，设该型号汽车每辆出厂价格为x万元（x＞8）时，其月销量为y辆． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若汽车生产商计划该型号汽车的月销量不少于1400辆，在（1）的基础上，请根据函数中y的值随着x值的变化而变化的特点，求该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆多少万元？ 19. 当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下面表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 人工 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）若成绩分及以上为优秀，请你估计机器人操作次，优秀次数为多少． （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 20. 如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线，交于点C，连接，点D在上，过点D作，交于点F，作，垂足为点E．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 综合与实践 问题情境 学校准备在一面高、宽的墙上建一扇拱形门，这面墙的主视图为矩形，如图1．老师让同学们帮忙设计，要求既美观大方，又尽可能地容易通过． 方案设计 A小组设计的是半圆形拱门，如图2，以AB为直径的半圆O与矩形三边都相切． B小组设计的是抛物线形拱门，如图3，抛物线的顶点P在墙的上沿CD的中点处，且抛物线过点A和点B． 提出问题 A，B两小组设计的拱门哪个“通过性”更好呢？ 分析问题 老师建议同学们分别计算它们的“内接正方形”（正方形的两个顶点在线段AB上，两个顶点在半圆或抛物线上）面积的大小，通过比较两种设计方案的“内接正方形”的面积，判断它们的“通过性”． 解决问题 请你先分别画出两种方案的“内接正方形”的示意图，然后分别计算它们的面积，并利用计算结果说明哪个方案的拱门“通过性”更好．（） 22. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，直线与抛物线有且只有一个公共点．求点的坐标； （3）将原抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，点的坐标为，是新抛物线上一动点，以点为圆心，的长为半径的圆交轴于，两点．当点在新抛物线上运动时，求的面积． 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． （1）【问题发现】 如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为____________； （2）【问题提出】 如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明； （3）【问题解决】 如图（3），在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段评估卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：共10题，每小题3分，满分30分． 1. 如图，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B表示的数相加为0，数轴的单位长度为1，则点C对应的数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的性质，数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想解决问题是解题关键．结合相反数性质得到点A，B表示的数为，，再结合求解，即可解题． 【详解】解：因为点A，B表示的数相加为0， 所以点A，B表示的数到原点的距离相等， 又数轴的单位长度为1，， 所以点A，B表示的数为，， 因为， 所以点C对应的数是， 故选：B． 2. 根据最新的数据，滕州市的常住人口约为万人，数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：万用科学记数法表示为：． 3. 为响应滕州市“加强居民生活垃圾分类意识”的号召，某校全面推行生活垃圾分类管理，下列校园里常见的垃圾分类图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、合并同类项、单项式乘法、积的乘方与同底数幂除法的法则逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，，故不符合题意； 选项B，与不是同类项，不能合并，故不符合题意； 选项C，根据单项式乘单项式、同底数幂乘法法则，系数相乘，同底数幂指数相加，，故不符合题意； 选项D，先计算积的乘方，再计算同底数幂除法，，故符合题意． 5. 榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（ ）   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，找到从左面看到的图形即可．会从不同方向看出几何体的图形是解题的关键． 【详解】解：图2的左视图为： ， 故选：B． 6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 8. 如图，张卡片的正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图得出所有可能的结果数以及两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果数，再利用概率公式即可解答． 【详解】解：按图上顺序将张卡片分别记为，，，，则属于化学变化的有和，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的结果有种， 故这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率为． 9. 小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函数的值的情况，他们作了如下分工：小明负责找函数值为1时的值，小亮负责找函数值为0时的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A. 小明认为只有当时，函数值为1； B. 小亮认为找不到实数，使函数值为0； C. 小花发现当取大于2的实数时，函数值随的增大而增大，因此认为没有最大值； D. 小梅发现函数值随的变化而变化，因此认为没有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的最值及图象上点的坐标特点回答即可． 【详解】因为该抛物线的顶点是，所以正确； 根据二次函数的顶点坐标，知它的最小值是1，所以正确； 根据图象，知对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大，所以正确； 因为二次项系数1＞0，有最小值，所以错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与最值问题，准确分析是解题的关键． 10. 如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键． 连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质、矩形的性质求出，即旋转角为，，即弧对应的半径为，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可知，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，即旋转角为， ， 又， ， 弧的长为． 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为． 12. 若点与点关于x轴对称，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变、纵坐标互为相反数，掌握点关于坐标轴对称点的坐标特征是解决问题的关键． 根据点与点关于x轴对称，，可知，代入直接求值即可得到答案． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ， ， ∴． 故答案为：． 13. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于零，据此建立不等式求出m的取值范围，再取最大整数，即可解题． 【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得， 因此m可取的最大整数为1， 故答案为：1． 14. 如图，在锐角中，，，为高，连接，与四边形的面积比是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及含30度直角三角形的性质．根据已知条件利用含30度直角三角形的性质得到，再证明，然后利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”这一性质求出面积比，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与四边形的面积比是， 故答案为：． 15. 如图，，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为直角三角形，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，分别求出、、⋯⋯，得出规律即可得解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵是直角三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴； 同理可得，， 又⋯⋯， 所以，的边长为， 故答案：． 16. 如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有：______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定，矩形的性质与判定等等，连接，当时，即时，的最小值等于，即可判定①；延长交于点，由，，即可判定②；连接交于P，此时最小，最小值为长，则周长最小，利用勾股定理求出的长，即可求出周长最小值，即可判定③． 【详解】解：连接， ∵正方形 ∴，， ∴ ∵于点E，于点F， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴当最小时，最小， 则当时，即时， 的最小值等于，故①错误； 延长交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 在和中，，， ； 在和中，，， ，故②正确； 连接交于P，如图， ∵正方形， ∴点A与点B关于对称， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短可得，此时最小，最小值为长， ∵周长，， ∴最小时，周长最小， 在中，， ∴周长最小值． 故③正确． 故答案为：②③． 三、解答题：共7小题，共72分．（解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算或化简求值 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）依次化简计算二次根式，特殊角的函数，绝对值和零指数幂； （2）先对括号内的分式化简，再将除法改写成乘法，再约分，最后将一元二次方程化简，整体代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ． 18. 由于全球汽车芯片短缺汽车生产成本增加，某汽车生产厂商计划提高汽车出厂价格，据市场反馈，某型号汽车出厂价格为8万元/辆时，其月销量为2000辆，且出厂价格每提高1万元/辆，月销量将减少300辆，设该型号汽车每辆出厂价格为x万元（x＞8）时，其月销量为y辆． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若汽车生产商计划该型号汽车的月销量不少于1400辆，在（1）的基础上，请根据函数中y的值随着x值的变化而变化的特点，求该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆多少万元？ 【答案】（1）y＝﹣300x+4400（x＞8） （2）该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元 【解析】 【分析】（1）利用月销售量＝2000﹣300×上涨的价格，即可得出y与x之间的函数关系式； （2）（方法一）根据月销量不少于1400辆，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （方法二）由k＝﹣300＜0，可得出y随x的增大而减小，结合y的取值范围，即可得出x的最大值． 【小问1详解】 解：依题意得：y＝2000﹣300（x﹣8）， 即y＝﹣300x+4400（x＞8）． 【小问2详解】 解：（方法一）依题意得：﹣300x+4400≥1400， 解得：x≤10． 答：该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元． （方法二）∵k＝﹣300＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵y≥1400， ∴当y取得最小值时，x取得最大值． ∵当y＝1400时，﹣300x+4400＝1400，解得：x＝10， ∴该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数式，然后利用函数关系式即可解决题目的问题． 19. 当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下面表格： 平均数 中位数 众数 方差 机器人 人工 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）若成绩分及以上为优秀，请你估计机器人操作次，优秀次数为多少． （3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点（写一条即可）． 【答案】（1），，； （2）； （3） 机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定（不唯一，合理即可）． 【解析】 【分析】（1）分别根据众数、中位数以及方差的定义解答即可； （2）先计算出优秀所占的比例，再乘即可； （3）根据统计表数据解答即可． 【小问1详解】 解：在机器人数据中，出现的次数最多，故众数， 机器人的方差， 人工数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，，，其中，最中间的两个数据为，，所以中位数； 【小问2详解】 ， 答：估计机器人操作次，优秀次数约为次； 【小问3详解】 略 20. 如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线，交于点C，连接，点D在上，过点D作，交于点F，作，垂足为点E．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，， ， 在与中， ， ， ， 是的切线，点A为切点， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及解直角三角形． （1）通过证明三角形全等得到角相等，再结合切线的性质和等腰三角形的性质，证明半径与直线垂直，从而判定直线为圆的切线； （2）利用解直角三角形求出相关线段的长度，再通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质列出方程，求解圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，， ， ， ， ， 即的半径为． 21. 综合与实践 问题情境 学校准备在一面高、宽的墙上建一扇拱形门，这面墙的主视图为矩形，如图1．老师让同学们帮忙设计，要求既美观大方，又尽可能地容易通过． 方案设计 A小组设计的是半圆形拱门，如图2，以AB为直径的半圆O与矩形三边都相切． B小组设计的是抛物线形拱门，如图3，抛物线的顶点P在墙的上沿CD的中点处，且抛物线过点A和点B． 提出问题 A，B两小组设计的拱门哪个“通过性”更好呢？ 分析问题 老师建议同学们分别计算它们的“内接正方形”（正方形的两个顶点在线段AB上，两个顶点在半圆或抛物线上）面积的大小，通过比较两种设计方案的“内接正方形”的面积，判断它们的“通过性”． 解决问题 请你先分别画出两种方案的“内接正方形”的示意图，然后分别计算它们的面积，并利用计算结果说明哪个方案的拱门“通过性”更好．（） 【答案】图2中正方形的“通过性”较大． 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及简单几何体的三视图，掌握二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及简单几何体的三视图的画法是正确解答的关键．根据正方形的性质以及勾股定理求出图2中正方形的边长，在图3中建立直角坐标系，求出抛物线的关系式，再根据抛物线的对称性、正方形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征求出正方形的边长，比较图2、图3中正方形的边长的大小即可． 【详解】解：如图2，由对称性可知，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得 （取正值）， ∴正方形的边长为（m）， 如图3，建立如图所示坐标系，则点，点，顶点， 设抛物线的关系式为，由题意得，， 解得， ∴抛物线的关系式为， 设，则， 解得（取正值）， ∴正方形的边长为（m）， ∴图2中正方形的“通过性”较大． 22. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线的对称轴上，直线与抛物线有且只有一个公共点．求点的坐标； （3）将原抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，点的坐标为，是新抛物线上一动点，以点为圆心，的长为半径的圆交轴于，两点．当点在新抛物线上运动时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的性质可得对称轴为，设直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式，利用求出直线的解析式为，进一步求出； （3）根据平移的性质得到新抛物线的解析式为，过点作轴于点，连接，设，根据勾股定理可得，进而得到，再利用垂径定理得到，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线得 ， 解得， ； 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为， 设直线的解析式为， 代入点得， ， 直线与抛物线有且只有一个公共点 ，即， 直线与抛物线有且只有一个公共点， ， 解得， ， 当时，， ； 【小问3详解】 解：依题意得，新抛物线的解析式为， 过点作轴于点，连接， 设， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、垂直平分线的判定、勾股定理、二次函数的平移、垂径定理，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． （1）【问题发现】 如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为____________； （2）【问题提出】 如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明； （3）【问题解决】 如图（3），在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵是等腰三角形，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可证，运用“边角边”证明即可求解； （2）根据题意证明，得到，，再证明，由相似三角形对应角相等即可求解； （3）根据正方形的性质，可证，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，则， ∴， 同理，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，是对角线， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析，构造三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $