七年级数学下学期期中模拟卷（新教材沪教版五四制第15.1～17.2章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年七年级数学下学期期中考试 提升卷·考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版七年级下册第15.1~17.2章。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下面四组a，b的值，能说明命题“若，则”是假命题的是 （　　） A．， B．， C．， D．， 3．如图，小雪为了估计池塘边A，B两点的距离，他在池塘外取一点C，测得米，米，则A，B两点的距离可能为（   ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 4．下列命题是假命题的是（  ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．若两个角的和为，则这两个角互余 D．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 5．一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，、、分别平分、、，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共12小题，每小题2分，共24分） 7．不等式的解集是______； 8．下列三种现象中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是______（填序号）． 9．如图，直线AB和CD相交于点O，，那么直线AB和CD的夹角为______． 10．若三角形三个内角满足，则______． 11．已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 12．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______． 13．为了迎接“母亲节”的到来，酒泉鑫利超市准备开展打折促销活动，现在有某件商品进价200元，标价320元出售，商场规定打折销售后利润率不能少于，若这种商品最低打x折．可列不等式为_______． 14．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 15．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为______． 16．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______； 17．当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是_____． 18．如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 三、解答题（本题共8小题，共64分） 19．（本小题6分）计算： (1)解不等式 (2)解不等式组 20．（本小题6分）如图，在中，    (1)画出点A到边的垂线，垂足为D． (2)过点A作的平行线． (3)点A到直线的距离是线段______的长度． 21．（本小题6分）如图，点E在直线上，点B在直线上，若，． 试说明：．请同学们补充下面的解答过程，并填空． 解：∵（                ）， （已知）， ∴（等量代换）． ∴______（                ）． ∴______（                ）． ∵（已知）， ∴（                ）． ∴___________（内错角相等，两直线平行）． ∴（                ）． 22．（本小题8分）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 23．（本小题8分）规定：不等式是不等式的“关联不等式”，那么不等式与其“关联不等式”组成的不等式组的解集叫做它的“关联不等式组”解集． (1)写出不等式的“关联不等式”_________； (2)求不等式的“关联不等式组”解集； (3)若不等式的“关联不等式组”解集是，则的取值范围是______． 24．（本小题8分）如图，已知直线，相交于点，平分，射线在上方，且，垂足为． (1)若，求的度数； (2)先在图中的内部作射线，再探索与之间有怎样的数量关系，并证明； (3)已知，在直线下方作射线，且，直接写出的度数． 25．（本小题10分）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 26．（本小题12分）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转）． (1)当___时，；当____时，；当____时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求的度数； (3)当边与边分别交于点M、N时，如图3，若，比较与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级数学下学期期中考试 提升卷·答案版 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 3 6 B B C 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。 7.x>-68.③ 9.30° 10.90° 11.a=6 12.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 13.320×0.1x-200≥200×20% 14.23或2615.130° 16.7017.90°或60°18.270° 三、解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.(6分) 3x>21-x) (1) 去括号，得3x>2-2x, 移项，得3x+2x>2, 合并同类项，得5x>2, 2 系数化为1，得x>5:(3分) 3x-7 ≤x-2① 2 (2) 4(x-1>4②· 解不等式①得x≤3， 解不等式②得x>2; ∴不等式组的解集为2<x≤3.(6分) 20.(6分) (1)解：如图，线段AD即为所求：(2分) 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (2)如图，AE即为所求；(4分) (3)点A到直线BC的距离是线段AD的长度，(6分) 21.(6分) 解：：∠AGB=∠DGF(对顶角相等)， ∠AGB=∠EHF(己知)， :∠DGF=∠EHF(等量代换). ∴DB∥EC(同位角相等，两直线平行)· ∴∠D=∠FEH(两直线平行，同位角相等)· :∠D=∠C(已知)， ∠FEH=∠C(等量代换)， ∴DF∥AC(内错角相等，两直线平行)· ,∠A=∠F(两直线平行，内错角相等)，(6分) 22.(8分) (1)证明：AB∥CD, .∠C=∠B :∠C+∠BEG=180°， ∴.∠B+∠BEG=180° .EG∥AB:(4分) (2)解：如图，设AD与BC的交点为O,过点O作OH∥EG, D H---- G E B:.∠AOH+∠DFG=180° ∠DFG=140°， .∠A0H=40°， :AD与BC垂直， 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AOB=90° ∴.∠BOH=∠AOB+∠AOH=130°， ,EG∥AB .OH∥AB, ∠B0H+∠B=180°， ..∠B=180°-∠BOH=50° (8分) 23.(8分) x+a>0a,b≠0) (1)解：不等式 是不等式ar+b>0的“关联不等式”， 不等式2x-1>0的“关联不等式”为-x+2>0, 故答案为：-x+2>0:(2分) (2)解：根据题意得，不等式2x+1>0的“关联不等式”为x+2>0 2x+1>0 则不等式2x+1>0的“关联不等式组”为x+2>0, 解得x>-2；(5分) (3)解：不等式 mr-1>0m≠0的“关联不等式”-x+m>0m≠0， mx-1>0 ∴，不等式mx-1>0(m≠0)的“关联不等式组”为-x+m>0, m.x-1>0 1 若m>0, -x+m>0,解得m <x<1m mx-1>0 1 若m<0, -x+m>0,解得<m且x<m, “不等式r-1>0(m≠0 的“关联不等式组”解集是x<m, m<0且msI m 解得m≤-1.(8分) 24.(8分) 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)解：∠EOF-54°，FO⊥CD, ∠D0E=90°-∠EOF=36°， :OE平分∠BOD ,∠BOD=2∠DOE=72 ·.∠AOC=∠BOD=72°；(2分) (2)解：如图所示，∠DOG=∠EOF,证明如下： B E FO⊥CD,OG⊥OE :.∠DOF=∠GOE=90° .∠DOF-∠DOE=∠GOE-∠DOE .∠DOG=∠EOF;(4分) (3)解：∠AOD=108°， .∠B0D=180°-∠AOD=72°， OE平分∠BOD ∴.∠DOE=5∠BOD=36 如图，当射线OM在∠AOD内部时， B E M :∠AOM:∠MOD=1:5 ∠D0M=3∠A0D=90°， 6 .∠EOM=∠EOD+∠DOM=126°： 如图，当射线OM在∠AOD外部时， 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M .·∠AOM:∠MOD=1:5 ∠AOM=∠AOD=27四 :.∠EOM=∠EOD+∠AOD+∠AOM=171°：(8分) 25.(10分) (1)解：设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客少人， 2x+y=140 根据题意得： 3x+4y=335, [x=45 解得：y=50. 答：每辆A型车坐满后载客45人，每辆B型车坐满后载客50人：(5分) （2)设租用m辆4型车，则租用28-m辆8型车， 45m+50(28-m)≥60+1160 根据题意得： 28-m≤3m 解得：7≤m≤36， 又m.(28-m) 均为不小于5的正整数， .7≤m≤23 :23-7+1=17(种)， .一共有17种租车方案。 .500<600 即A型车每辆租金小于B型车每辆租金， ∴.当租用A型车越多时，总租金越小， 当m=23时，28-m=28-23=5 00×23+600×5=14500( 时， 辆，总租金为 元.(10分) 答：一共有17种租车方案，当租用23辆A型车、5辆B型车时，租金费用最少，最小租金费用为14500元. 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.(12分) (1)解：①∠AFD=15°时，DE∥AB, 如图： D T■ B ∠C=90°，∠B=30°， ∠BAC=90°-30°=60°， AF平分∠CAB, ∠CAP=∠BAF=号∠BAC=30°， ∠AFC=90°-30°=60°， :∠AFD=15°，∠DFE=90°， .∠BFE=180°-∠AFC-∠AFD-∠DFE=15°， ∠B=30°， .∠GHF=∠B+∠BFE=45°， ∠E=45°， ,DE∥AB:(3分) ②∠AFD=6O°时，EF∥AB: D E 由①知∠AFC=60°， ∴当∠AFD=60°时，∠DFB=180°-∠AFC-∠AFD=60°， :∠BAF=30 .∠AOF=180°-∠BAF-∠AFD=90° .∠AOF=∠DFE=90° 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF∥AB:(6分) ③当∠AFD=30°时，DF∥AC,如图： B :∠CAF=30° ∴此时∠AFD=∠CAF=30° .DF∥AC: (2)解：①当∠PAF=∠PFA时， 由(1)可得：∠BAF=30°， .∠PAF=∠PFA=30°， ∴即∠AFD=30°： D E ②当∠APF=∠AFP时， :∠BAF=30°， ∠AFD=∠4PF-2l80-309列=75： ③当∠FAP=∠FPA=30°时， ,∠AFD=180°-2×30°=120°， 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 综上所述，∠AFD的度数为30°或75°或120°： (3)解：∠FMN=∠FNM. 理由：如图6所示：(12分) M B 图6 :∠FNM是△BMN的一个外角， .∠FNM=∠B+∠BMN, ∠B=30°， .∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMW, :∠BMF是△AFM的一个外角， .∠BMF=∠MAF+∠AFM, 即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM, 又：∠MAF=30°，∠AFM=2∠BMN, ∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN, .∠FMN=30°+∠BMN, .∠FNM=∠FMN. 8/8 2025-2026学年七年级数学下学期期中考试 提升卷·全解全析版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版七年级下册第15.1~17.2章。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ，A错误； ，B正确； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ 由，两边同乘，得 ，C错误； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变， ∴ 由，两边同除以，得 ，D错误； 综上，正确答案是B． 2．下面四组a，b的值，能说明命题“若，则”是假命题的是 （　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将选项中的值依次代入计算再逐一判断即可． 【详解】解：A、，，满足，也满足，故不能作为证明原命题是假命题的反例； B、，，满足，但不满足，故能作为证明原命题是假命题的反例； C、，，满足，也满足，故不能作为证明原命题是假命题的反例； D、，，满足，也满足，故不能作为证明原命题是假命题的反例； 故选：B． 【点睛】本题考查了判断命题与定理的真假，解题关键要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 3．如图，小雪为了估计池塘边A，B两点的距离，他在池塘外取一点C，测得米，米，则A，B两点的距离可能为（   ） A．11米 B．12米 C．13米 D．14米 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系可得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∴A，B两点的距离可能为11米． 故选：A 4．下列命题是假命题的是（  ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．若两个角的和为，则这两个角互余 D．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 【答案】D 【分析】根据对顶角性质、平行线判定、余角定义、同一平面内直线的位置关系等初中知识，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、因为对顶角的性质为对顶角相等，所以A是真命题，不符合题意； B、因为同旁内角互补，两直线平行是平行线的判定定理，所以B是真命题，不符合题意； C、因为互余的定义为：若两个角的和为，则这两个角互余，所以C是真命题，不符合题意； D、因为同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不是互相垂直，所以D是假命题，符合题意． 5．一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式的解，再根据不等式组的解判断的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组为， 由①可得，，解得， 由②可得，， ∵不等式组的解集为， ∴． 6．如图，，、、分别平分、、，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平行线的性质即可证明①正确；证明即可判断②正确；证明即可判断③正确；无法判断④． 【详解】解：， ，，故①正确， 平分，平分， ，， ， ，故②正确， 平分， ， ， ， ，故③正确， 无法判断，故④错误． 综上，正确的有①②③共3个． 二、填空题（本题共12小题，每小题2分，共24分） 7．不等式的解集是______； 【答案】 【分析】利用不等式性质变形即可得到解集． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 8．下列三种现象中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握线段的性质是解题的关键．分别判断三种现象，确定用“两点确定一条直线”来解释的现象即可． 【详解】解：①跳远测量反映的是“垂线段最短”； ②投铅球测量反映的是“两点之间，线段最短”； ③木条固定反映的是“两点确定一条直线”； 故答案为：③． 9．如图，直线AB和CD相交于点O，，那么直线AB和CD的夹角为______． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，解题的关键是利用已知角的度数，通过角的和差关系求出直线和的夹角． 先根据与的度数求出的度数，就是直线和的夹角． 【详解】解：， 直线和的夹角为． 故答案为：． 10．若三角形三个内角满足，则______． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 11．已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 【答案】6 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：设第三边长为a， 则，即， 第三边长a为整数， 第三边长． 12．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】先拆分命题“对顶角相等”的条件与结论，再按照要求改写成“如果……那么……”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，条件为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 13．为了迎接“母亲节”的到来，酒泉鑫利超市准备开展打折促销活动，现在有某件商品进价200元，标价320元出售，商场规定打折销售后利润率不能少于，若这种商品最低打x折．可列不等式为_______． 【答案】 【分析】根据利润率不低于，即利润率大于等于，结合利润、售价、进价的关系，找到不等关系即可列出不等式． 【详解】解：已知这种商品最低打折， 商品打折销售时，实际售价为标价乘以，即， 商品的利润为实际售价减去进价，即， 根据题意，打折后利润率不低于，即利润不低于进价的， 因此可得不等式：． 14．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本． 【答案】23或26 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 15．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为______． 【答案】/130度 【分析】过点G作，则有，由题意易得，则有，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点G作，则有， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______； 【答案】 【分析】根据题意得出，，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补得出，，进而求出的度数，最后求出的度数． 【详解】解：根据题意可得，，，如图： ∵， ∴，， 故； ∵， 故． 17．当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是_____． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据特殊三角形的定义，分直角为特征角和锐角是特征角，两种情况进行求解即可． 【详解】解：当直角为特征角时，一个锐角的度数为，符合题意； 当锐角为特征角时，则：， ∴， ∴； 故答案为：或． 18．如图，线段，垂足为，线段分别交，于点，，连接，．则的度数为__________． 【答案】/270度 【分析】根据三角形的内角和定理和对顶角的性质可求出，，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共64分） 19．（本小题6分）计算： (1)解不等式 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组， （1）根据解一元一次不等式的基本步骤求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集； 能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】（1）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）， 解不等式①得， 解不等式②得； ∴不等式组的解集为． 20．（本小题6分）如图，在中，    (1)画出点A到边的垂线，垂足为D． (2)过点A作的平行线． (3)点A到直线的距离是线段______的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂线的画法画图即可； （2）根据平行线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，判断即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求；    （2）如图，即为所求； （3）点A到直线的距离是线段的长度． 【点睛】本题考查了垂线，平行线，点到直线的距离，掌握相应的画法和定义是解题的关键． 21．（本小题6分）如图，点E在直线上，点B在直线上，若，． 试说明：．请同学们补充下面的解答过程，并填空． 解：∵（                ）， （已知）， ∴（等量代换）． ∴______（                ）． ∴______（                ）． ∵（已知）， ∴（                ）． ∴___________（内错角相等，两直线平行）． ∴（                ）． 【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；；两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．先根据同位角相等，两直线平行，证明，进而得出，推出，得到，根据解答过程填空即可． 【详解】解：∵（对顶角相等）， （已知）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（ 等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；；两直线平行，内错角相等 22．（本小题8分）如图，与交于点． (1)求证：． (2)若与垂直，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，根据平行线内错角相等，得；结合已知，推得，根据“同旁内角互补，两直线平行”，即可证明； （2）设与的交点为，过点作，由得；根据，可得，再根据进行计算，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）解：如图，设与的交点为，过点作， ， ， ， 与垂直， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心是平行线的性质与判定，第1问通过角的转化证平行，第2问通过作辅助线，将角度问题转化为平行线的同旁内角计算，关键是辅助线构造与角度转化． 23．（本小题8分）规定：不等式是不等式的“关联不等式”，那么不等式与其“关联不等式”组成的不等式组的解集叫做它的“关联不等式组”解集． (1)写出不等式的“关联不等式”_________； (2)求不等式的“关联不等式组”解集； (3)若不等式的“关联不等式组”解集是，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题依托新定义考查了解一元一次不等式，不等式组，以及不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义和分类讨论思想的应用． （1）根据题意即可求得“关联不等式”； （2）根据题意先得到“关联不等式”，即可得到“关联不等式组”， 解不等式组即可； （3）先求得“关联不等式组”，再分和，解得不等式组的解，再结合题意列出满足不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵不等式是不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式”为， 故答案为：； （2）解：根据题意得，不等式的“关联不等式”为 则不等式的“关联不等式组”为， 解得； （3）解：∵不等式的“关联不等式”， ∴不等式的“关联不等式组”为， 若，，解得， 若，，解得且， ∵不等式的“关联不等式组”解集是， ∴且， 解得． 24．（本小题8分）如图，已知直线，相交于点，平分，射线在上方，且，垂足为． (1)若，求的度数； (2)先在图中的内部作射线，再探索与之间有怎样的数量关系，并证明； (3)已知，在直线下方作射线，且，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）首先求出，利用角平分线的性质求出，进而得出答案； （2）根据要求作图即可；由垂直得到，进而推出； （3）首先求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分 ∴ ∴； （2）解：如图所示，，证明如下： ∵， ∴ ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ 如图，当射线在内部时， ∵ ∴， ∴； 如图，当射线在外部时， ∵ ∴ ∴； 综上所述，的度数为或． 25．（本小题10分）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 26．（本小题12分）一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转）． (1)当___时，；当____时，；当____时，； (2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求的度数； (3)当边与边分别交于点M、N时，如图3，若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)15；60；30 (2)或或 (3)，理由见解析 【分析】（1）分别画出对应的图形，根据角平分线以及三角形的内角和定理，再结合平行线的判定求解即可； （2）分三种情况讨论，①；②当；③，然后结合三角形的内角和定理求解即可； （3）由三角形的外角性质可得，，即，那么，故，再由等量代换即可求解． 【详解】（1）解：①时，， 如图： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②时，； 由①知， ∴当时，， ∵ ∴ ∴ ∴； ③当时，，如图： ∵ ∴此时 ∴； （2）解：①当时， 由（1）可得：， ∴， ∴即；    ②当时， ∵， ∴；    ③当时， ∴， 综上所述，的度数为或或； （3）解：． 理由：如图6所示： ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 是的一个外角， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $