专题26.3 反比例函数的应用（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题26.3反比例函数的应用 教学目标 1.  能从实际问题中识别反比例关系，并确定函数表达式； 2. 结合图像与性质（增减性、象限、取值范围）解决实际问题； 3. 体会反比例函数在生活、物理、工程、经济中的应用，培养严谨、应用意识. 教学重难点 重点 从实际问题中抽象出反比例模型，并用图像与性质解决实际问题； 难点 复杂情境中寻找变量关系，正确辨析自变量和函数值的取值范围. 知识点 反比例函数应用的解题步骤梳理 1. 审：审题，找出两个变量的关系，分析数量关系； 2. 设：设反比例函数表达式y= （k）； 3. 求：利用待定系数法求出k的值，确定函数表达式； 4. 定：结合实际问题定自变量取值范围； 5. 解：根据图像和性质求函数值（或范围），解决具体问题； 6. 验：检验实际结果是否符合实际情境. 题型01 几何类应用 【典例1】一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 【变式1】已知长方形的两条边长为、，面积是4，那么关于的函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形的面积公式得出，即，且，据此即可求解． 【详解】解：依题意，即，且， ∴关于的函数的图像是反比例函数图像，且图像在第一象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质和图像是解题的关键． 【变式2】下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长 1 2 3 4 5 宽 2 1 设为这8个矩形的公共角，画出这8个矩形，然后取的8个对角的顶点，并把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来．设矩形的长为（单位：），宽为（单位：），则这条曲线对应的函数表达式为___________．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是根据矩形面积相等得出长和宽的反比例关系，进而确定函数表达式． 根据矩形面积相等，长与宽满足反比例关系，由表中数据求面积后确定函数表达式． 【详解】解：设矩形面积为S，则，由表可知，当时，，代入得，因此，即， 故曲线对应的函数表达式为． 故答案为：． 【变式3】当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中的解析式，即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 即这个三角形的底边长为． 【变式4】如图，在中，，，．动点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.8个单位每秒；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.5个单位每秒．设运动时间为秒，记点到直线的距离为，与的面积之比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，分两种情况分析当时，当时，写出分段函数解析式，根据面积比得到； （2）描点画出两个函数图象即可； （3）根据两个函数图象的交点，先估计当时的取值，再写解集即可． 【详解】（1）∵中，，，， ∴， 秒后，，， 当时，即，解得， 当时，， ， 点到直线的距离为， 当时，， ， 点到直线的距离为， 则； 过作，， 则， ， 所以； （2） 函数的性质：当时，随增大而增大， 当时，随的增大而减小； 函数的性质：时，随增大而增大； （3）由图象可知， 时，， 时，． 题型02 物理压强类问题 【典例1】根据物理学知识，压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．P关于S的函数关系式为，； B．当时，物体所受的压强是； C．当时，受力面积是； D．压强随着面积的增大而增大． 【答案】D 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数解析式，再利用函数解析式和函数图象分别进行解答即可． 【详解】解：把代入得到，， ∴P关于S的函数关系式为，， 故A正确； 当时，物体所受的压强是，故B正确； 当时，，解得，即受力面积是；故C正确； ∵， ∴在压力不变的情况下，某物体承受的压强随着面积的增大而减小，故D错误． 故选：D 【变式1】生活中有很多人体验过：若针尖刺到手指上会很痛．其实这个体验与物理中压力、压强与受力面积有关，它们关系式为：，当为定值时，如图，大致表示压强与受力面积之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实际问题中的反比例函数的图象，掌握以及反比例函数的定义，是解题的关键．根据反比例函数的定义与图象，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：， 则函数图象是双曲线，同时自变量是正数． 故选：A． 【变式2】某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力与人的质量的关系图象如图1所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系图象如图2所示，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（   ） A．由图1，可知人对木板的压力与人的质量成正比 B．四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差 C．当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D．图2中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，压力与质量成正比例，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图可得：人对木板的压力与人的质量的比值一定，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故A正确，不符合题意； 由题意得：小明对木板的压强，小亮对木板的压强，则四边形的面积，也说明小明对木板的压力为，小亮对木板的压力，那么小明、小亮两人对木板的压力相差，故B错误，符合题意； 设 ∵经过点, ， 解得：， ， 当时，， 当时，， ∵木板面积为， ∴小明对木板的压强， 小亮对木板的压强， ， ∴当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大， ∴C正确，不符合题意； 小明和小亮的质量分别为和，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：，结合图2可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图2中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，D正确，不符合题意； 故选: B． 【变式3】如图，一块砖的三个面的面积之比为．已知压强的计算公式为，其中p是压强，F是压力，S是受力面积．如果三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，那么的大小关系为________________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确把握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵，，三个面的面积比是， ∴，，的大小关系是：， 故答案为：. 【变式4】阅读与思考 下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是2025年3月28日（星期五），在下午实践活动课上，我们小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强与受力面积之间的函数关系”的数学活动． 第一步：如图，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录相应的桌面所受的压强与受力面积． 第二步：数据整理．收集记录的数据如下表． 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 桌面所受的压强 300 200 150 120 80 75 第三步：在数据分析中，我们发现一组数据可能有明显错误，我们对此重新进行了实验，并证明了我们的猜想是正确的，于是对数据进行了修改．实验结束后，大家有很多收获，每个人都撰写了数学日记．    任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的？请写出是哪组，并求出关于的函数表达式． (2)如果要求压强不超过，那么长方体的受力面积至少为多少？请直接写出答案． 【答案】(1)第五组； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）计算两个变量的乘积，判定第五组乘积不同，根据乘积为定值，构成反比例函数，写出解析式即可． （2）如果要求压强不超过，那么长方体的受力面积至少为多少？请直接写出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 只有第五组，显然错误， 根据题意，反比例函数的解析式为． （2）解：由， 当时， ． 故面积最小为． 题型03 物理杠杆问题 【典例1】古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据阻力阻力臂动力动力臂，且杠杆左侧阻力与阻力臂都不变即可得到结论．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，阻力阻力臂动力动力臂，且阻力与阻力臂都不变， 右侧动力与动力臂满足为定值， 右侧力与力臂满足的函数关系是反比例函数关系， 故选：C． 【变式1】杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂．若某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和0.5，则这一杠杆的动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】， ， 故选：A． 【变式2】杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 【答案】关于的函数关系式为 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求解反比例函数是解题的关键． 首先设，结合题意将，代入即可求解关于的函数关系式． 【详解】解：由题意可设， ∵在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量， ∴将，代入，得：， ∴关于的函数关系式为． 【变式3】杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系式为 (2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为 【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论． 【详解】（1）依题意，得． ∴． 答：动力F与动力臂l的函数关系式为． （2）当时， 解得． ∵小华最多能使出的力， ∴． 答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为． 【变式4】【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则： ①关于的函数解析式是____________． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a      2 b … _______；______． ③在图的直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2) ①； ②，； ③见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． ()根据公式进行计算即可； ()①根据公式即可得到； ②根据①所求求出的值即可； ③先描点，再连线，画出函数图象即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：． （2）解：①∵， ∴，即， 故答案：， ②由①得：当时，； 当时，， 答案：，． ③函数图象如图所示： 题型04 物理功率问题 【典例1】在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）    A．P与t的函数关系式为 B．当时， C．当时， D．p随t的增大而减小 【答案】C 【分析】求得解析式，进而根据反比例函数的图象，即可求解． 【详解】解：功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系， 设解析式为， ∵过点， ∴， ∴解析式为，故A选项正确，不合题意， 当时，，故B选项正确，不合题意， 当时，，故C选项不正确，符合题意， ∵ ∴在第一象限，p随t的增大而减小，故D选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】反比例函数的应用，关键是求得解析式． 【变式1】某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 则功率与做功的时间之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，关键是运用待定系数法求函数解析式. 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把代入得， ∴， 故选A. 【变式2】在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 【变式3】在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，P与t之间的函数关系如图所示．求当时，P的值． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用． 根据图象可得点在反比例函数图象上，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得当时的P值即可． 【详解】解：由图象知，点在反比例函数图象上， 设反比例函数的解析式为，则， ∴该反比例函数的解析式为， 当时，． 【变式4】汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 【答案】(1)， (2)当它所受的牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时 (3)若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合函数图像分析出相关信息是解题的关键． （1）函数图像过点， 将点的坐标代入函数关系式，即可求得功率，进而写出函数解析式； （2）将代入函数解析式，即可求出速度v的大小； （3）汽车的速度不超过30米/秒，即，结合函数解析式，解不等式即可求出F的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数表达式为， 把代入，得， （瓦）， ∴． （2）解：当牛时， （米/秒）（千米/时）， 即当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时． （3）解：由，得． 所以，若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛． 题型05 工程、行程问题 【典例1】体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（  ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可． 【详解】解；∵甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上， ∴设这个反比例函数表达式为， 若甲，乙，丙，丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丁点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示，      ∵、、、在反比例函数图象上， ∴， 由图可知，，， ∴，， 由题意可知，训练中跑的路程为：， ∴甲和丙训练跑的路程相等，乙训练跑的路程小于甲和丙训练跑的路程，丁训练跑的路程大于甲和丙训练跑的路程， ∴丁训练跑的路程最多， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用，理解题意，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键． 【变式1】下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（  ） A．正方形的周长 C 与边长 ． B．汽车匀速行驶时，路程与行驶时间 ． C．某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数． D．圆的面积与半径． 【答案】C 【分析】根据反比例关系指两变量乘积为常数，逐一判断解答即可． 本题考查了反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 正方形的周长 C 与边长 即，不是反比例关系，不符合题意． B. 汽车匀速行驶时，路程与行驶时间即，不是反比例函数，不符合题意． C. 某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数，，符合题意； D. 圆的面积与半径即，不符合题意， 故选：C． 【变式2】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．函数表达式为 B．已知机器狗无载重时的最快移动速度为，则机器狗的质量为 C．机器狗的质量越大，其移动速度越快 D．要使机器狗的最快移动速度不低于，其载重后总质量不能大于 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是根据函数图象中的数值求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断． 【详解】解：A选项：设与的函数关系式是， 由图可知，当时，， 可得：， 解得：， 与的函数关系式是， 故A选项正确； B选项：当时， 可得：， 解得：， 机器狗的质量为， 故B选项正确； C选项：， 在第一象限内随着的增大而减小， 机器狗的质量越大，其移动速度越慢， 故C选项错误； D选项：机器狗的最快移动速度不低于， ， 解得：， 要使机器狗的最快移动速度不低于，其载重后总质量不能大于， 故D选项正确． 故选：C． 【变式3】镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货． 现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间（小时）和卸货速度（吨小时）之间的函数关系如图．    (1)写出与之间函数表达式为______． (2)如果用小时卸完所有货物，求卸货速度； (3)若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要______台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）？ 【答案】(1) (2)卸货速度为吨小时； (3) 【分析】（1）观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点，即可求解； （2）将代入，即可求解； （3）根据（1）可得货物的重量，设需要台吊机同时作业，根据题意，列出不等式，不等式即可求解． 【详解】（1）解：观察图象是反比例函数，设函数解析式为，代入点， ， ∴与之间函数表达式为， 故答案为：． （2）将代入， 解得， 答：用小时卸完所有货物，求卸货速度为吨小时； （3）解：∵只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时， ∴每台吊机的卸货速度吨小时， 由（1）可得货物的重量为吨 设需要台吊机同时作业 ∴为了实现小时内完成卸货， 解得： ∵为正整数， ∴最小为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式4】12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 请根据以上知识解决下列问题： (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶，通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则t随v的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴的范围为； （2）解：前用时， 剩余，用时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 题型06 结合反比例函数图像与性质解决实际问题 【典例1】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 【变式1】某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)该企业4月份的生产数量为多少万支？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 【答案】(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支 (2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支 【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的y的值即可； （2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴，得， ∴， 当时，， 即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支； （2）设技术改造完成后对应的函数解析式为, ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴技术改造完成后对应的函数解析式为， ， 解得， 经检验符合题意， ∵x为正整数， ∴， 答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支． 【变式3】通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 【变式4】研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． （1）根据图像经过点和点，利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式即可； （2）分当，即时，当，即时，两种情况根据眼疲劳系数恰好减少了4，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间不大于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， ∵图像经过点， ∴． 解得． ∴眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为； 当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， ∵图像经过点和， ∴， ∴解得， ∴眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时， ∵小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4， ∴， 解得：（舍去）； 综上所述，． 1．已知三角形面积一定，则它的底边a上的高h和底边a之间的函数关系图像大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出． 【详解】解：已知三角形的面积s一定， 则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为，即； 该函数是反比例函数，且，； 故其图象只在第一象限． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，且当S=0.1时，P=1000．下列说法中，错误的是( ) A．P与S之间的函数表达式为 B．当S=0.4时，P=250 C．当受力面积小于时，压强大于 D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大 【答案】D 【分析】依据题意，先设出P与S的函数表达式，得到P与S之间的函数表达式为：，然后代入求值及利用反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：设， 当时，， 即， ∴ ∴P与S之间的函数表达式为：， ∴故A说法正确，不符合题意； 当时，，故B说法正确，不符合题意； 当时，，所以受力面积小于时，压强大于， 故C说法正确，不符合题意； ∵当时，P随S的增大而减小，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 3．某电动机工作时功率P保持恒定，其输出力F与速度v的关系如图所示，根据图象可知，当输出力F超过时，速度v可能的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出时，的值，根据增减性，进行求解即可． 【详解】解：由题意，设，把代入，得， ∴， ∴当， ∴， ∴当输出力F超过时，． 4．随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意得：， 解得：， 当时，． 故选：A 5．已知压强的计算公式是，我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利，能正确解释刀具变得锋利这一现象的序号是_______． ①当压力一定时，压强是受力面积的正比例函数 ②当压力一定时，压强是受力面积的反比例函数 ③当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小 ④当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大 【答案】②④ 【分析】本题考查反比例函数的判定，反比例函数的性质，根据反比例函数的定义与性质即可解答． 【详解】解：对于压强公式， 当压力F一定时，压强p是受力面积S的反比例函数，且压强p随受力面积S的减小而增大． 故答案为：②④ 6．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，人和木板对湿地的压强（单位：）是关于木板面积（单位：）的反比例函数．当时，．若人和木板对地面的压强不超过，则木板面积至少为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题．由题意得，待定系数法求得解析式，进而将代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，将代入得． 当时，． ，当时，随的增大而减小，且， ． 故答案为：． 7. 如图，在▱ABCD中，设BC边的长为x（cm），BC边上的高线AE长为y（cm），已知▱ABCD的面积等于24cm2． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求当3＜y＜6时x的取值范围． 【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）当3＜y＜6时x的取值范围为4＜x＜8． 【分析】（1）利用平行四边形的面积公式列出函数关系式即可； （2）根据x的取值范围确定y的取值范围即可． 【详解】（1）∵BC边的长为x（cm），BC边上的高线AE长为y（cm），已知▱ABCD的面积等于24cm2． ∴根据平行四边形的面积计算方法得：xy＝24， ∴y＝（x＞0）； （2）当y＝3时x＝8，当y＝6时x＝4， 所以当3＜y＜6时x的取值范围为4＜x＜8． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用及平行四边形的性质的知识，解题的关键是根据题意列出函数关系式． 8．甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 【答案】(1) (2)车到达B地所需的最短时间为 (3)乙车的速度为 【分析】本题考查反比例函数、分式方程的应用，掌握反比例函数的增减性和分式方程的解法是解题的关键． （1）根据“时间＝路程÷速度”解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和x的取值范围计算即可； （3）根据题意，得乙车的速度为，由“A、B两地的距离÷甲车的速度两地的距离÷乙车的速度”列方程并求解，从而求出乙车的速度即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y值最小， ， ∴甲车到达B地所需的最短时间为． （3）解：乙车的速度为． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：乙车的速度为． 9．推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定，当受力面积为时，压强为． (1)求与的函数表达式； (2)若某工地地面压强超过时会发生塌陷事故，为确保安全，施工过程中受力面积应不小于多少？ 【答案】(1) (2)施工时地面受力面积至少为． 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，利用反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，代入，， 得， 所以； （2）解：当时，解得， ∵在中，当时，p随S增大而减小， 所以当时，， ∴施工时地面受力面积至少为． 10．中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． (1)求与之间的函数关系式及的值； (2)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 【答案】(1)， (2)面条的总长度至少为 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，求不等式的解集，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，求不等式的解集是解题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式为：，将代入可得解析式，再把将代入解析式可得的值； （2）厨师做出的面条横截面面积不超过，可得列式得，解不等式即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为：， 将代入可得：， ∴y与S之间的函数表达式为：； 将代入可得； （2）解：∵厨师做出的面条横截面面积不超过， ∴， 故面条的总长度至少为． 11．公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． (1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； (2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，可得出与l的 数关系式； （2）将代入可求出即可． 【详解】（1）解：，则； （2）解：当时，，则． 12．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． （1）由题意可知y与x成反比例关系，设，将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 结合表格数据，该函数图象过点 ， 与的函数表达式为． 故答案为：； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 答：当砝码的质量为24g时，托盘与点之间的距离是． 13．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，所受的重力为，木桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长为．杆与水平线的倾斜角为．设在杆的另一端施加的压力为，压力作用点到支点的距离为（杆自身所受的重力略去不计）． (1)求p关于d的函数表达式． (2)若，则杆的另一端所加压力为多少牛？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据动力动力臂阻力阻力臂，可得关于的函数解析式； （2）将的值代入，可得的值． 【详解】（1）解：由题意得，， 则． （2）解：当时，． 所以杆的另一端所施加的压力为． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，属于数学与物理结合型题目，体现了学科间的综合，立意新颖． 14．如图1，琪琪同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验，在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．嘉嘉将实验数据记录如右表： (1)在记录的过程中，一个数据被墨汁覆盖，则被覆盖的数值应为______： … 5 10 15 20 25 … … 12 4 3 … (2)把右表中的的各组对应值作为点的坐标，在如图2的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点，观察所画的图象，猜测与之间的函数关系类型，求出函数关系式并加以验证： (3)当砝码的质量为40g时，为了使仪器左右平衡，求活动托盘与点的距离是多少cm？ 【答案】(1)6 (2)图象见解析，与之间的函数关系式为，验证见解析； (3)当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及反比例函数的图象和性质，是解题的关键． （1）由表可知，活动托盘与点的距离与活动托盘中砝码的质量的乘积为定值60，即可解答； （2）由表可知，活动托盘与点的距离与活动托盘中砝码的质量的乘积为定值60，则y与x的函数关系为反比例函数；根据表中的数据描点，再用平滑的曲线连接起来，即可画出图象；用待定系数法即可求出函数表达式； （3）把代入到，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：由表可知，活动托盘与点的距离与活动托盘中砝码的质量的乘积为定值60， ∴被覆盖的数值应为， 故答案为：6； （2）解：∵由表可知，活动托盘与点的距离与活动托盘中砝码的质量的乘积为定值60， ∴y与x的函数关系为反比例函数； 画出函数图象如图所示： 设 把，代入得：， 解得： ∴， 将其余各点代入验证，均满足函数关系式 ∴与之间的函数关系式为； （3）解：把代入到得： 解得 当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是． 15．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 16．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 17. 五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 【答案】(1) (2)不加油不能到达洞头D处，还需加油升以上 【分析】（1）利用公式：路程总容积平均耗油量，即可得的函数关系式； （2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）从杭州到温州 A 处，一共耗油升， 从 处： ， 一共耗油升， ∴不加油不能到达洞头D处，还需：升 答：不加油不能到达洞头D处，还需加油 5升 以上． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系． 18．在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)直线与y轴交于D，与（1）中的函数交于E、F（E的横坐标小于F的横坐标）两点，点P是y轴上的点，的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的应用，根据三角形的面积公式求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可； （3）求得于D，E，F的坐标，利用割补法求得，根据设点P的坐标为，则，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2， ∴， ∴， ∴y关于x的函数关系式是， x的取值范围为， ∴y关于x的函数关系式是； （2）解：列表得： x 1 2 4 6 y 6 4 2 1 描点，连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示． ； （3）解：联立，即， 解得或， 当时，；时，；时，； ∴，，， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 由题意得，即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3反比例函数的应用 教学目标 1.  能从实际问题中识别反比例关系，并确定函数表达式； 2. 结合图像与性质（增减性、象限、取值范围）解决实际问题； 3. 体会反比例函数在生活、物理、工程、经济中的应用，培养严谨、应用意识. 教学重难点 重点 从实际问题中抽象出反比例模型，并用图像与性质解决实际问题； 难点 复杂情境中寻找变量关系，正确辨析自变量和函数值的取值范围. 知识点 反比例函数应用的解题步骤梳理 1. 审：审题，找出两个变量的关系，分析数量关系； 2. 设：设反比例函数表达式y= （k）； 3. 求：利用待定系数法求出k的值，确定函数表达式； 4. 定：结合实际问题定自变量取值范围； 5. 解：根据图像和性质求函数值（或范围），解决具体问题； 6. 验：检验实际结果是否符合实际情境. 题型01 几何类应用 【典例1】一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知长方形的两条边长为、，面积是4，那么关于的函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下表是8个面积相等的矩形的长与宽． 长 1 2 3 4 5 宽 2 1 设为这8个矩形的公共角，画出这8个矩形，然后取的8个对角的顶点，并把这8个点用平滑的曲线顺次连接起来．设矩形的长为（单位：），宽为（单位：），则这条曲线对应的函数表达式为___________．（不用写自变量的取值范围） 【变式3】当三角形的面积一定时，它的底边长与底边上的高之间满足反比例函数关系，已知当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一个三角形底边上的高为，求这个三角形的底边长． 【变式4】如图，在中，，，．动点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.8个单位每秒；同时，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为0.5个单位每秒．设运动时间为秒，记点到直线的距离为，与的面积之比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 题型02 物理压强类问题 【典例1】根据物理学知识，压强就是单位面积上受到的压力，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P是它的受力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．P关于S的函数关系式为，； B．当时，物体所受的压强是； C．当时，受力面积是； D．压强随着面积的增大而增大． 【变式1】生活中有很多人体验过：若针尖刺到手指上会很痛．其实这个体验与物理中压力、压强与受力面积有关，它们关系式为：，当为定值时，如图，大致表示压强与受力面积之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力与人的质量的关系图象如图1所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系图象如图2所示，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（   ） A．由图1，可知人对木板的压力与人的质量成正比 B．四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差 C．当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D．图2中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 【变式3】如图，一块砖的三个面的面积之比为．已知压强的计算公式为，其中p是压强，F是压力，S是受力面积．如果三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，那么的大小关系为________________（用“<”连接）． 【变式4】阅读与思考 下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天是2025年3月28日（星期五），在下午实践活动课上，我们小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强与受力面积之间的函数关系”的数学活动． 第一步：如图，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录相应的桌面所受的压强与受力面积． 第二步：数据整理．收集记录的数据如下表． 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 桌面所受的压强 300 200 150 120 80 75 第三步：在数据分析中，我们发现一组数据可能有明显错误，我们对此重新进行了实验，并证明了我们的猜想是正确的，于是对数据进行了修改．实验结束后，大家有很多收获，每个人都撰写了数学日记．    任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的？请写出是哪组，并求出关于的函数表达式． (2)如果要求压强不超过，那么长方体的受力面积至少为多少？请直接写出答案． 题型03 物理杠杆问题 【典例1】古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【变式1】杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂．若某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和0.5，则这一杠杆的动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 【变式3】杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【变式4】【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则： ①关于的函数解析式是____________． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a      2 b … _______；______． ③在图的直角坐标系中画出该函数的图象． 题型04 物理功率问题 【典例1】在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率（）与做功所用的时间（）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（    ）    A．P与t的函数关系式为 B．当时， C．当时， D．p随t的增大而减小 【变式1】某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 则功率与做功的时间之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【变式3】在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，P与t之间的函数关系如图所示．求当时，P的值． 【变式4】汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 题型05 工程、行程问题 【典例1】体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（  ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1】下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（  ） A．正方形的周长 C 与边长 ． B．汽车匀速行驶时，路程与行驶时间 ． C．某村的总耕地面积固定，人均耕地面积与该村总人数． D．圆的面积与半径． 【变式2】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的是（   ） A．函数表达式为 B．已知机器狗无载重时的最快移动速度为，则机器狗的质量为 C．机器狗的质量越大，其移动速度越快 D．要使机器狗的最快移动速度不低于，其载重后总质量不能大于 【变式3】镇江港是长江三角洲重要的江海河、铁公水联运综合性对外开放港口，目前共有台吊机可同时作业，对停靠的万吨以上货轮均可实现小时内完成卸货． 现有一艘货轮来到镇江港需要卸货，卸完所有货所需时间（小时）和卸货速度（吨小时）之间的函数关系如图．    (1)写出与之间函数表达式为______． (2)如果用小时卸完所有货物，求卸货速度； (3)若只用台吊机同时作业，则卸货速度是吨小时，为了实现小时内完成卸货，至少需要______台吊机同时作业（假设每台吊机的卸货速度相同）？ 【变式4】12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 请根据以上知识解决下列问题： (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶，通过该路段的时间为，求的值． 题型06 结合反比例函数图像与性质解决实际问题 【典例1】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【变式1】某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【变式2】某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)该企业4月份的生产数量为多少万支？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 【变式3】通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【变式4】研究表明，科学家发现人的眼疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间在时，眼疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼疲劳系数为0，根据图象回答下列问题： (1)求眼疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式； (2)小明睡眠了小时后，再连续睡眠了4小时，此时他的眼疲劳系数恰好减少了4，求t的值． 1．已知三角形面积一定，则它的底边a上的高h和底边a之间的函数关系图像大致为（    ） A．B．C．D． 2．在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，且当S=0.1时，P=1000．下列说法中，错误的是( ) A．P与S之间的函数表达式为 B．当S=0.4时，P=250 C．当受力面积小于时，压强大于 D．该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大 3．某电动机工作时功率P保持恒定，其输出力F与速度v的关系如图所示，根据图象可知，当输出力F超过时，速度v可能的范围是（  ） A． B． C． D． 4．随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A． B． C． D． 5．已知压强的计算公式是，我们知道，刀具在使用一段时间后，就会变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利，能正确解释刀具变得锋利这一现象的序号是_______． ①当压力一定时，压强是受力面积的正比例函数 ②当压力一定时，压强是受力面积的反比例函数 ③当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小 ④当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大 6．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力（单位：）一定时，人和木板对湿地的压强（单位：）是关于木板面积（单位：）的反比例函数．当时，．若人和木板对地面的压强不超过，则木板面积至少为__________． 7. 如图，在▱ABCD中，设BC边的长为x（cm），BC边上的高线AE长为y（cm），已知▱ABCD的面积等于24cm2． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求当3＜y＜6时x的取值范围． 8．甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 9．推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定，当受力面积为时，压强为． (1)求与的函数表达式； (2)若某工地地面压强超过时会发生塌陷事故，为确保安全，施工过程中受力面积应不小于多少？ 10．中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． (1)求与之间的函数关系式及的值； (2)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 11．公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． (1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； (2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 12．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 13．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，所受的重力为，木桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长为．杆与水平线的倾斜角为．设在杆的另一端施加的压力为，压力作用点到支点的距离为（杆自身所受的重力略去不计）． (1)求p关于d的函数表达式． (2)若，则杆的另一端所加压力为多少牛？ 14．如图1，琪琪同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验，在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边的活动托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．嘉嘉将实验数据记录如右表： (1)在记录的过程中，一个数据被墨汁覆盖，则被覆盖的数值应为______： … 5 10 15 20 25 … … 12 4 3 … (2)把右表中的的各组对应值作为点的坐标，在如图2的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点，观察所画的图象，猜测与之间的函数关系类型，求出函数关系式并加以验证： (3)当砝码的质量为40g时，为了使仪器左右平衡，求活动托盘与点的距离是多少cm？ 15．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 16．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 17. 五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 18．在中，BC的长为x，BC边上的高为y，的面积为2． (1)y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)直线与y轴交于D，与（1）中的函数交于E、F（E的横坐标小于F的横坐标）两点，点P是y轴上的点，的面积等于的面积，求点P的坐标． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $