专题26.2 反比例函数的图像与性质（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题26.2反比例函数的图像与性质 教学目标 1.  会用描点法画双曲线，归纳图象与性质； 2. 理解反比例函数图像的性质，根据 k 定象限、增减性，或根据图象定 k 符号； 3. 渗透数形结合与分类讨论思想，提升直观想象与数学运算能力. 教学重难点 重点、难点 1.增减性的准确表述：必须强调“在每个象限内”，避免笼统说增减； 2. k 的几何意义与图形面积的综合计算. 知识点01 反比例函数的图像和性质 1. 反比例函数 y= 图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称，且关于直线y=x和y=-x轴对称； 2. 两支曲线无限接近坐标轴但永不相交(坐标轴是渐近线)； 3. k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； 4. k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； 注意：谈论增减性时必须强调“在每个象限内”,跨象限不能直接比较。 【即学即练】 例1 当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 解：设菱形的面积为，则， ∴， ∴是的反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限，的值随的增大而减小， ∴描点正确的是C， 知识点02 k的几何意义 过双曲线 y= 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。若连接该点与原点，则与坐标轴围成的直角三角形面积为|k|. 【即学即练】 例2如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 解：记交轴于点，如图所示： 由知，, 的面积是， , ， ， 知识点03 数形结合法解决问题 1. 反比例函数与一次函数图像交点问题 （1） 求交点：联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标。 （2） 利用图象解不等式：在平面直角坐标系中，比较两个函数图象的上下位置，从而确定自变量的取值范围。 2. 比例函数与几何综合 常结合三角形、矩形、梯形等图形，利用点坐标表示线段长，建立方程求解。涉及面积时，通常利用k的几何意义或割补法。 例3 如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． （1）解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）解：如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 点的坐标为， ， ， （3）解：由题意得，， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 题型01 反比例函数的图像的辨析 【典例1】反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 【变式1】反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象的性质，根据反比例函数的，可知反比例函数的图象是双曲线且在第一、三象限，根据各选项的图象和图象所在的象限判断即可． 【详解】解：反比例函数的大致图象是双曲线，且在第一、三象限， A选项，是正比例函数图象，故A选项不符合题意； B选项：是正比例函数图象，故B选项不符合题意； C选项：是双曲线，且在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：是双曲线，但是在第二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】从贵港乘车到南宁，路程一定，行车的速度和行车时间之间的函数图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列反比例函数关系式、反比例函数图象等知识点，根据题意列出函数解析式是解题的关键． 先根据题意列出函数解析式，然后结合解析式以及实际意义即可解答． 【详解】解：设从贵港乘车到南宁的距离为常数S，则， ∴，是反比例函数，且图象为双曲线在第一象限的那一支． 故选A． 【变式3】一台印刷机每年印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当时，，则y与x的函数图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与解析式，掌握反比例函数的形式及图像特征是解题的关键．根据反比例函数的图像的特点直接进行判断即可． 【详解】解：∵书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系， ∴在范围内，y随x的增大而减小，呈平滑的曲线状， ∴A、B选项错误， ∵当时，， ∴C选项错误． 故选：D． 【变式4】．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．分为及分类讨论，分别求出函数关系式，再求出的取值范围，再判断即可． 【详解】解：当时，函数关系式为，则有； 当时，函数关系式为，则有， 故选项C符合， 故选：C． 题型02 反比例函数与一次函数图像的综合判断 【典例1】函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合； 当时，， ∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合． 故选：． 【变式1】如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了依据正比例函数与反比例函数的图像所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图像与字母系数的关系是解题的关键． 根据正比例函数和反比例函数图像经过的象限，再对照四个选项中的图像即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数在第二，四象限内，且过原点， 函数 在第一，三象限内， 故选项 B符合题意； 故选：B． 【变式2】函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，由函数知直线必过这一点，据此可得． 【详解】解：由函数知直线必过这一点， 故选：C． 【变式3】正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质，由正比例函数中，如果随增大而增大，可得，得到反比例函数过一、三象限，据此判断即可． 【详解】解：∵正比例函数中，如果随增大而增大， ∴，图象过一、三象限， ∴反比例函数在一三象限， 故选：A． 【变式4】已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型03 反比例函数的增减性 【典例1】关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．，y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，当时，图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：由于，则当时，随的增大而增大，故D正确． 【变式1】已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质比较y的大小即可． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点A，B都在第三象限，可得，，排除A，B选项； ∵当时，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小. 又∵， ∴， 综上可得． 【变式2】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可判断反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标可判断三个点所在的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点A和点B在第二象限，点C在第四象限， ∴． 【变式3】反比例函数 的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A．图象分布在第二、四象限 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据点判断出函数的值，结合函数图像和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点， 故， 解得，故B选项正确； ∵， ∴函数图象分布在第二、四象限，故选项A正确， 在各象限内，随的增大而增大，故C正确，选项D错误． 【变式4】在反比例函数中，若，则y的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，结合x的取值范围，通过不等式变形求出y的取值范围． 【详解】∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， 又∵当时，，当时，， ∴当时，． 题型04 由反比例函数的图像和性质确定k的值 【典例1】已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数图象位于第一、第三象限的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴ 故选：D． 【变式1】若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象在第一，三象限，即可得出，得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴， 解得． 故选：C． 【变式2】若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数系数的符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数 ，， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限． 【变式3】已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式即可求出k值； （2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定，进而可得k的取值范围． 【详解】（1）1）把点（k，—1）代入，得， ∴． （2）∵在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【变式4】反比例函数的图象经过点， (1)求这个函数的解析式； (2)请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质； （1）代入到，求出的值即可； （2）代入到反比例函数解析式，求出对应的值即可判断； （3）根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：代入到，得， 解得， ∴这个函数的解析式为； （2）解：不在，理由如下： 当时，， ∴点不在这个反比例函数的图象上； （3）解：∵， ∴在每一个象限内随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，的取值范围为． 题型05 “k” 的几何意义 【典例1】如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【分析】（1）利用正方形的性质得到点坐标，再把点坐标代入即可得到的值；然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）设正方形的边长为，利用正方形的性质易表示点的坐标为， 然后把点坐标代入反比例函数解析式中，再解关于的一元二次方程即可得到正方形的边长． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 【变式1】如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可，要注意图象所在的象限． 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， ∴． 【变式2】如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例系数的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标的特征．过作轴于，证明，求得，，得到，即可确定的值． 【详解】解：过作轴于，如图： 轴，轴， ， ， ，点是的中点， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：C． 【变式3】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象，连接，设与轴交点为，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出的值，再结合函数图象即可得到答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得，（舍去）． 故选：B． 题型06 反比例函数与一次函数图像的交点问题 【典例1】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 【变式1】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（  ） A．两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B．直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C．由图象可知，当时， D．当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、将分别代入两个解析式得，，所以两个函数图象在第一象限的交点坐标为，正确，不符合题意； B、将分别代入两个函数解析式，得，，则，正确，不符合题意； C、当时，；当时，，故原说法错误，符合题意； D、当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】 如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标与不等式解集之间的关系，先求出反比例函数解析式，进而求出点M的横坐标，然后结合图象进行判断即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， 把代入得， 解得， ∴不等式 的解集为或， 故选：A． 【变式3】一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，与不等式的关系，解题的关键是正确运用数形结合的思想． 的解集即为直线在双曲线上方时对应交点的横坐标的取值范围，据此结合图象即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，当时，则或， 故选：D． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，再求出一次函数的解析式即可； （2）利用勾股定理求得，进而即可求得点的坐标； （3）根据函数的图象和点的坐标得出答案即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 即反比例函数的表达式是， 把点，与代入， 得， 解得， 一次函数的表达式是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点 P 是y 轴上的一点， ∴或． （3）解：根据图象可知：在第二象限中，当时x 的取值范围为： ． 题型07 数形结合法解决问题 【典例1】一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合： （1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可． 【详解】（1）解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； （2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 的值为4． 【变式2】已知直线与双曲线在第一象限交于A点，且点A的横坐标为4， 点B在双曲线上． (1)求直线的函数解析式； (2)若点B的纵坐标为8，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点A的横坐标为4，可得点A的纵坐标，将点A的坐标代入一次函数解析式，可得k的值，进而可求得直线的函数解析式； （2）根据点B在双曲线上，可求得点B的坐标，进而可求得的长，可得为直角三角形，进而可求得面积． 【详解】（1）解：如图， 设直线的函数解析式   ∵ 直线与双曲线在第一象限交于A点，且点A的横坐标为4 ∴ 点A的纵坐标为2 ∴点A坐标为，     ∴， 解得， ∴ 直线的函数解析式为 ． （2）解：∵点B在双曲线上，且点B的纵坐标为8， ∴ 点B的横坐标为1， ∴点B坐标为， ∴， ∵ 点A坐标为， ∴， ， ∴，   ∵，   ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，勾股定理的逆定理，三角形面积的计算，数形结合是解题的关键． 【变式3】已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设点，根据点是的中点，可得到，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）设点D的坐标为，可得，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：设点， ∵点是的中点，， ∴， 解得：， ∴点， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）设点D的坐标为， ∵点， ∴，， ， 由题意知，则分两种情况讨论： ①当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； ②当是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∵当时，与重合，故舍去， ∴点D的坐标为． 综上所述：点D的坐标为或． 【变式4】．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【答案】(1)，，； (2)不变， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，在反比例函数的图像上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论，，两种情况，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数图形上的动点， ∴， ∴点， ∵轴，轴， ∴，， ∵在反比例函数的图像上， ∴，， 即：点，点； （2）解：的面积不变，为，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：若以为直角边的和全等， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴， 解得：，（舍）， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴，解得：，（舍）， 综上所述：或时，以为直角边的和全等． 1．下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故A选项错误； 反比例函数在每一个象限内随的增大而减小，不连续，并非随的增大而减小．故B选项错误； 在反比例函数中，，且， ∴函数图象与轴、轴均无交点，故C选项错误； 当时，， ∴点在该函数图象上，故D选项正确． 故选：D． 2．若反比例函数的图象过点，则该图象也经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数解析式，求反比例函数值．熟练掌握反比例函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数的图象经过点，求反比例函数解析式，然后根据该反比例函数图象上任意点的横坐标与纵坐标乘积为，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点 ∴将，代入，得 ∴该反比例函数图象上任意点的横坐标与纵坐标乘积为， ∵选项B中，符合条件 ∴该图象经过点， 故选项B符合题意， 选项A、C、D均不符合题意， 故选：B． 3．双曲线位于第二、第四象限，则下面说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C． D． 【答案】D 【分析】对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵双曲线位于第二、第四象限， ∴，故C说法错误，D说法正确 ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，而A、B两个选项都没有指明是在同一个象限内，故都错误． 4．如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数中与几何图形面积的计算，根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象与几何图形的面积的关系可得，，且反比例函数图象在第一象限，即， ∴， 解得，， 故选：C ． 5．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 6．函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【答案】D 【分析】分两种情况讨论直线和双曲线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一，三象限，函数位于第一，三象限，则（2）符合题意； 当时，函数经过第二，四象限，函数位于第二，四象限，则（4）符合题意， 所以函数与在同一坐标平面的大致图象是（2）和（4）． 7．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的函数识别，根据方体污水处理池的容积等于底面积乘深度，且容积一定，故，，即可作答． 【详解】解：由题意可知： ， ∴中，当的值一定时，是h的反比例函数， ∴函数的图象：当时是“双曲线”在第一象限的分支． 故选：C． 8．一次函数与反比例函数 的图象交于点，，当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是 （    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】画出一次函数和反比例函数的图象，根据图象解答即可． 【详解】解：如图所示： 由图象可知，当时，一次函数值大于反比例函数值． 9．若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质判断时随的变化趋势即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，随的增大而增大． 10．已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】< 【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出，从而可得，再由反比例函数的性质得出反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大，最后结合即可得出结果． 【详解】解：∵方程的有两个不相等的实数根，． ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大， ∵而点，为反比例函数的图象上两点，且， ∴． 11．已知反比例函数的图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析，第四象限内，y随x的增大而增大 (3)点不在这个函数的图像上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数的图象，以及判断反比例函数的增减性，熟知用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）直接把点代入，求出k的值即可； （2）用描点法画出函数图象，根据图象判断增减性即可； （3）把代入解析式，求出函数值即可判断． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：列表， x … 1 2 4 … y … … 函数图像如下： 在第四象限内，y随x的增大而增大； （3）解：将代入中，可得， ∴点不在这个函数的图像上． 12．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图像上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图像上．    (1)求点A、B坐标． (2)联结并延长，交反比例函数的图像于点，求． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合运用． （1）由反比例函数关系式求出点A，再由点A平移得到点B的坐标，将点B代入反比例函数表达式即可求解； （2）根据反比例函数图象与性质可得点B与点C关于原点对称，从而得到点C的坐标，由A、C的坐标，运用待定系数法即可求得直线的解析式，进而得到直线与y轴的交点D的坐标，作轴，轴，再由即可求解． 【详解】（1）∵点在反比例函数上的图像上， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， ∵点A先向右平移1个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到B， ∴点B的坐标为， ∵恰好落在反比例函数的图像上， ∴， 解得 ∴点B的坐标为． （2）由反比例函数性质可得点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得 ∴直线的解析式为， 令，则， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， 过点作轴于点E，过点作轴于点F， ∵，，，，    ∴ ． 13．如图，正比例函数 与反比例函数 的图像相交于点A，其中点A 的横坐标为2，点C 是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作 ，轴，垂足分别为点D、点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)如果，求点 D的坐标； (3)取的中点M，连结，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)是等腰直角三角形 【分析】（1）根据点在上，且横坐标为2，求出点，再代入即可求解． （2）根据题意求出点，在中，求出，设，表示出，，在中，根据，列出方程求出，即可求解． （3）在中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出 ， 根据等边对等角得出，，再根据直线是第一，三象限角平分线，证出，即可得出是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：∵点在上，且横坐标为2， ， 把代入得， ； （2）解：∵轴，且， 点横坐标为4， 在中，令，则， ， 在中，， ， ∵点D在直线上，设， ， ，， 在中，， 即， 整理得， 解得：（舍去，不符合题意），， ， ． （3）解：是等腰直角三角形． 理由如下：在中，为斜边的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 设， ， ∵， ∴， 设， ， ， ∵直线是第一，三象限角平分线， ， 即， ∴， ∴是直角三角形， 综上：是等腰直角三角形． 【点睛】该题考查了反比例函数解析式求解，反比例函数和正比例函数交点问题，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 14．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，平行四边形的性质，学会构建方程组确定交点坐标，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）分别将点B和点A的坐标代入中可得，，即可得反比例函数的解析式； （2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，设点D的坐标为，利用面积和与差即可解答； （3）先根据平移可得函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：，分三种情况：①如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等，②如图3，四边形是平行四边形，③如图4，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F， 设点D的坐标为， ∵， ∴， ， ， ，， 经检验均是方程的解， ∴点D的坐标为； （3）由题意得：函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：， 当时，， ∴， 分三种情况： 如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等， ∴设，， ∵， ∴， 解得：（舍），， 经检验：是原方程的解， ∴； 如图3，四边形是平行四边形， 由①知，， ∴， ∴，（舍）， 经检验：是原方程的解， ∴点P的坐标为； ③如图4，四边形是平行四边形， ∵B，C关于原点对称， ∴P，Q关于原点对称， 设点Q的坐标为，则点P的坐标为， ∵点P在直线上， ∴， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 15．如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）将点代入解析式可求k的值，即可求解； （2）先求出求出，再根据四边形是矩形，，求出点C，D两点坐标，可得结论； （3）当时，得出，构建方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵点A的纵坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是长方形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．已知点在双曲线上，将点A向右平移5个单位得到点B． (1)当点B在直线上时，求直线的表达式； (2)当线段被直线分成两部分，且这两部分长度的比为时，求b的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点在双曲线上，求出点A坐标，根据点平移得到点B的坐标，将点B的坐标代入直线解析式即可得到答案； （2）根据，，得到，根据线段被分得的两段的长度比为，得到分割点坐标分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴，即， 又∵将点A向右平移5个单位得到点B， ∴， 当点B在直线上时，有，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∵线段被分得的两段的长度比为， 故分割点为或， 当分割点为时，，得， 当分割点为时，，得， 综上，或； 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合题，解题的关键是根据反比例函数求出点的坐标，代入直线解出直线解析式． 17．如图，已知点B是一个反比例函数的图象与正比例函数的图象的公共点，垂直于x轴，垂足A的坐标为．    (1)求这个反比例函数的解析式． (2)在x轴正半轴上截取，分别再过C、E、G作x轴的垂线，与反比例函数图象交于点D、F、H，联结、、，求的面积． (3)如果点M在这个反比例的图象上，且的面积为6，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）由点A坐标得到点B的横坐标，代入正比例函数求得点B的坐标，再将点B代入反比例函数即可求解； （2）由题意可得，得到点G的横坐标，即可求得点G的坐标，根据三角形面积公式求解即可； （3）求出的长度，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为 ∵A的坐标为， ∴点B的横坐标为2， ∴，点， 将点B坐标代入，可得， ∴； （2）解：∵A的坐标为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点H的坐标为，， ∴的面积为； （3）∵，， ∴， 在中，设边上的高为h， 则，解得： 则点M的横坐标为：或， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为：或． 【点睛】本题考查反比例函数综合问题以及正比例函数，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． (1)求反比例函数的解析式 (2)点B在x轴上，且，反比例函数图像上有一点C，且，求点C坐标． (3)在（2）的条件下，连接，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求解，再把代入反比例函数解析式，从而可得答案； （2）过点A作于D，根据等腰三角形三线合一可得，求出B点坐标，利用两点间距离公式表示出、和，根据利用勾股定理列出方程，解方程即可解决问题； （3）如图，延长与轴交于点，求解直线为；可得，利用，再计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， ∴， 将点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）过点A作于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设点C坐标为， 则， ， ， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或， 经检验，：或均是分式方程的解， ∵， ∴， ∴点C坐标为； （3）如图，延长与轴交于点， ∵，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为； 当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理以及解分式方程和一元二次方程等知识，灵活运用相关知识进行推理计算是解答本题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2反比例函数的图像与性质 教学目标 1.  会用描点法画双曲线，归纳图象与性质； 2. 理解反比例函数图像的性质，根据 k 定象限、增减性，或根据图象定 k 符号； 3. 渗透数形结合与分类讨论思想，提升直观想象与数学运算能力. 教学重难点 重点、难点 1.增减性的准确表述：必须强调“在每个象限内”，避免笼统说增减； 2. k 的几何意义与图形面积的综合计算. 知识点01 反比例函数的图像和性质 1. 反比例函数 y= 图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称，且关于直线y=x和y=-x轴对称； 2. 两支曲线无限接近坐标轴但永不相交(坐标轴是渐近线)； 3. k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； 4. k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； 注意：谈论增减性时必须强调“在每个象限内”,跨象限不能直接比较。 【即学即练】 例1 当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 k的几何意义 过双曲线 y= 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。若连接该点与原点，则与坐标轴围成的直角三角形面积为|k|. 【即学即练】 例2 如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 知识点03 数形结合法解决问题 1. 反比例函数与一次函数图像交点问题 （1） 求交点：联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标。 （2） 利用图象解不等式：在平面直角坐标系中，比较两个函数图象的上下位置，从而确定自变量的取值范围。 2. 比例函数与几何综合 常结合三角形、矩形、梯形等图形，利用点坐标表示线段长，建立方程求解。涉及面积时，通常利用k的几何意义或割补法。 例3 如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 题型01 反比例函数的图像的辨析 【典例1】反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】反比例函数的大致图象是（   ） A．B． C． D． 【变式2】从贵港乘车到南宁，路程一定，行车的速度和行车时间之间的函数图象是（    ） A．B．C． D． 【变式3】一台印刷机每年印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当时，，则y与x的函数图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 题型02 反比例函数与一次函数图像的综合判断 【典例1】函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【变式1】如果 ，那么函数与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A．B．C．D． 【变式2】函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C． D． 【变式3】正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型03 反比例函数的增减性 【典例1】关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．，y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【变式1】已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式3】反比例函数 的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A．图象分布在第二、四象限 B． C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【变式4】在反比例函数中，若，则y的取值范围是______． 题型04 由反比例函数的图像和性质确定k的值 【典例1】已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式1】若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【变式2】若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式3】已知反比例函数 (1)如果这个函数的图象经过点，求k的值； (2)如果在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围． 【变式4】反比例函数的图象经过点， (1)求这个函数的解析式； (2)请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． (3)当时，直接写出的取值范围． 题型05 “k” 的几何意义 【典例1】如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【变式1】如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式3】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 题型06 反比例函数与一次函数图像的交点问题 【典例1】如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（  ） A．两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B．直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C．由图象可知，当时， D．当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 【变式2】 如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式3】一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 题型07 数形结合法解决问题 【典例1】一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【变式2】已知直线与双曲线在第一象限交于A点，且点A的横坐标为4， 点B在双曲线上． (1)求直线的函数解析式； (2)若点B的纵坐标为8，求的面积． 【变式3】已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【变式4】．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 1．下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 2．若反比例函数的图象过点，则该图象也经过点（　　） A． B． C． D． 3．双曲线位于第二、第四象限，则下面说法正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C． D． 4．如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 5．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 6．函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 7．某公司计划新建一个容积一定的长方体污水处理池，池的底面积与深度之间的函数表达式为．这个函数的图象大致是（   ）． A．B．C．D． 8．一次函数与反比例函数 的图象交于点，，当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是 （    ） A． B． C． D．或 9．若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 10．已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则________（填“”或“”或“”）． 11．已知反比例函数的图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． x … 1 2 4 … y … … 12．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上的图像上，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移个单位长度后得到，点恰好落在反比例函数的图像上．    (1)求点A、B坐标． (2)联结并延长，交反比例函数的图像于点，求． 13．如图，正比例函数 与反比例函数 的图像相交于点A，其中点A 的横坐标为2，点C 是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作 ，轴，垂足分别为点D、点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)如果，求点 D的坐标； (3)取的中点M，连结，试判断的形状，并证明你的结论． 14．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 15．如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 16．已知点在双曲线上，将点A向右平移5个单位得到点B． (1)当点B在直线上时，求直线的表达式； (2)当线段被直线分成两部分，且这两部分长度的比为时，求b的值． 7．如图，已知点B是一个反比例函数的图象与正比例函数的图象的公共点，垂直于x轴，垂足A的坐标为．    (1)求这个反比例函数的解析式． (2)在x轴正半轴上截取，分别再过C、E、G作x轴的垂线，与反比例函数图象交于点D、F、H，联结、、，求的面积． (3)如果点M在这个反比例的图象上，且的面积为6，求点M的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点． (1)求反比例函数的解析式 (2)点B在x轴上，且，反比例函数图像上有一点C，且，求点C坐标． (3)在（2）的条件下，连接，，求的面积． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $