第26章 反比例函数（复习讲义，3知识&7题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第26章 反比例函数（复习讲义） 1.理解反比例函数的概念，掌握其解析式 （）及定义域 。 2.会画反比例函数图像（双曲线），掌握k的符号与图像象限、增减性的关系。 3.能用待定系数法求解析式，理解k的几何意义（过双曲线上任一点作坐标轴垂线，矩形面积为|k|）。 4.能解决反比例函数与一次函数的综合题及简单实际应用（面积、行程、工程等）。 知识点01反比例函数的概念 定义：形如 （ 为常数，）的函数，叫反比例函数； 为比例系数，定义域 ，值域 。 等价形式：、（）。 判定：两个变量的乘积为非零常数，则成反比例关系。 知识点02反比例函数的图像与性质 图像特征：双曲线，分两支，不与坐标轴相交，关于原点、直线y=x、直线y=−x对称。 性质表（核心） k的符号 图像所在象限 增减性（每一象限内） 对称性 第一、三象限 y随x增大而减小 关于原点、y=x、y=−x对称 第二、四象限 y随x增大而增大 关于原点、y=x、y=−x对称 k的几何意义：点 在 上，作 轴、 轴，则矩形 面积 ；。 知识点03反比例函数的应用 解题步骤：审（找变量关系）→设（）→求（待定系数法求k）→定（自变量范围）→解（用性质求解）→验（实际意义检验）。 常见模型 面积/体积：矩形面积 （S定值）→ ；三角形面积 → 。 行程：路程 （s定值）→ 。 工程：工作总量 （W定值）→ 。 题型一 反比例函数的概念（基础） 【例1】（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）若是反比例函数，则的值为________． 题型二 反比例函数解析式（基础） 【例2】（24-25八年级上·上海·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 题型三 反比例函数的图像（重点） 【例3】（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）反比例函数的图象在第一、三象限，那么______． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海·月考）已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 题型四 反比例函数增减性比较（重点） 【例4】（24-25八年级上·上海·月考）已知反比例函数的图像上有两点，，且，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与之间的大小关系不能确定 【变式4-1】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在反比例函数的图象上有三点，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 【变式4-3】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 题型五 k的几何意义（重点） 【例5】如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式5-1】（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】（24-25八年级上·上海·月考）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________． 【变式5-3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 题型六 反比例函数与一次函数综合（难点） 【例6-1】（25-26八年级下·上海·月考）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【例6-2】（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【变式6-3】（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【变式6-4】（24-25八年级上·上海·月考）如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4． (1)k的值为_____，点B的坐标为_____． (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积． (3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 题型七 反比例函数的实际应用（中档） 【例7】（25-26八年级下·上海·月考）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【变式7-2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 【变式7-3】（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海普陀·月考）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数； B．等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长； C．一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积； D．货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 4．（24-25八年级上·上海·单元测试）下列点不在y= 的图象上的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海·月考）如图，函数，若，则的取值范围是________． 6．（24-25八年级上·上海·期末）在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 _____． 7．（24-25八年级上·上海·月考）如果点在正比例函数的图像上，那么反比例函数的图像所在的象限是________． 8．（25-26八年级下·上海·月考）函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 9．（24-25八年级上·上海·月考）已知与成反比例，与成正比，如果当时，，那么当时，______． 10．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）若三个点，，都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是_____． 三、解答题 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 12．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系内，函数和交于、两点，已知． (1)求点的坐标； (2)点在坐标轴上，且时，求点的坐标． 14．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A；直线：与x轴交于点B，且与直线交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)若反比例函数经过点C，求反比例函数解析式． 15．（24-25八年级上·上海·期末）已知正比例函数过第一象限一点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，且的面积为，正比例函数与反比例函数交于、两点． (1)求正比例函数解析式； (2)求、两点坐标． 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·上海普陀·月考）已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 2．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（   ） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B．当时，甲醛检测仪会报警 C．当时，的阻值为 D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 3．（24-25八年级上·上海·期末）如果反比例函数的图像经过点、、，且，那么与的大小关系是____________．（填“”，“”或“”） 4．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则_______，_____________________． 5．（25-26八年级上·上海·月考）观察反比例函数的图像可以发现直线是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图像时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是________． 6．（25-26八年级上·上海·期中）如图，函数的图像经过点，为函数图像上除外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若的面积为2，则点B坐标为___________． 7．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 9．（24-25八年级上·上海·单元复习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 10．（25-26八年级下·上海·开学考试）如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 反比例函数（复习讲义） 1.理解反比例函数的概念，掌握其解析式 （）及定义域 。 2.会画反比例函数图像（双曲线），掌握k的符号与图像象限、增减性的关系。 3.能用待定系数法求解析式，理解k的几何意义（过双曲线上任一点作坐标轴垂线，矩形面积为|k|）。 4.能解决反比例函数与一次函数的综合题及简单实际应用（面积、行程、工程等）。 知识点01反比例函数的概念 定义：形如 （ 为常数，）的函数，叫反比例函数； 为比例系数，定义域 ，值域 。 等价形式：、（）。 判定：两个变量的乘积为非零常数，则成反比例关系。 知识点02反比例函数的图像与性质 图像特征：双曲线，分两支，不与坐标轴相交，关于原点、直线y=x、直线y=−x对称。 性质表（核心） k的符号 图像所在象限 增减性（每一象限内） 对称性 第一、三象限 y随x增大而减小 关于原点、y=x、y=−x对称 第二、四象限 y随x增大而增大 关于原点、y=x、y=−x对称 k的几何意义：点 在 上，作 轴、 轴，则矩形 面积 ；。 知识点03反比例函数的应用 解题步骤：审（找变量关系）→设（）→求（待定系数法求k）→定（自变量范围）→解（用性质求解）→验（实际意义检验）。 常见模型 面积/体积：矩形面积 （S定值）→ ；三角形面积 → 。 行程：路程 （s定值）→ 。 工程：工作总量 （W定值）→ 。 题型一 反比例函数的概念（基础） 【例1】（24-25八年级上·上海·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 反比例函数的标准形式为， 选项A：，为一次函数，不符合； 选项B：，为正比例函数，不符合； 选项C：，为y与成反比，不符合； 选项D：，符合形式，其中； 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期中）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误； B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误； C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确； D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误. 故选：C 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期中）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海·期中）若是反比例函数，则的值为________． 【答案】 【详解】解：函数是反比例函数， 且， 解得， 故答案为：． 题型二 反比例函数解析式（基础） 【例2】（24-25八年级上·上海·期末）已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【答案】 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， 不妨设，， ∵， ∴， ∵当时，；当时，． ∴， 解得， 故关于的函数解析式． 【变式2-1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【详解】解：∵与成反比例，与成正比列， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 即． 【变式2-2】（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知，并且与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式： (2)求时的函数值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，． 题型三 反比例函数的图像（重点） 【例3】（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：反比例函数的图象有一支在第四象限， ， ， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点在正比例函数的图象上， 点在第一象限． 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：D ． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）反比例函数的图象在第一、三象限，那么______． 【答案】 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴，即：， 则， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海·月考）已知反比例函数的图像在第一、三象限，则的值为________． 【答案】3 【详解】解：∵反比例函数， ∴， 解得：， ∵它的两个分支分别在第一、三象限， ∴，即， 则． 故答案为：3． 题型四 反比例函数增减性比较（重点） 【例4】（24-25八年级上·上海·月考）已知反比例函数的图像上有两点，，且，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与之间的大小关系不能确定 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， 当位于第二象限，位于第四象限时，，则； 当，这两点位于同一象限时，，则； 由于，这两点的位置，故由无法判断与之间的大小关系， 故选：D． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）在反比例函数的图象上有三点，若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象上有三点， ∴此函数图像在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第四象限，在第二象限， ∴，， ∴的大小关系为． 故选：B． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海·期末）若是反比例函数图象上的两点，则____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：反比例函数中，，在时，y随x增大而减小． ∵点的横坐标满足， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且， ∴在每个象限内随增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 k的几何意义（重点） 【例5】如图，点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴，垂足为，设的面积是，那么与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：点在反比例函数第一象限的图象上，垂直轴， ， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， ， 故选：C． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海·期末）如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示： ， ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴设点A的坐标为，其中， 又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点，点， ， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 故选：． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海·月考）如图，在反比例函数的图像上，有一系列点、、、…、、，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．分别过点、、、…、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为、、、…、，则________． 【答案】 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26八年级下·上海·月考）如图，正方形、的顶点、、在坐标轴上，点在上，点、在函数的图像上，已知正方形的面积为． (1)求的值和直线的解析式； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) 【详解】（1）解：正方形的面积为， ， 点坐标为， 把代入得，， ； 设直线的解析式为， 把代入得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：设正方形的边长为，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 题型六 反比例函数与一次函数综合（难点） 【例6-1】（25-26八年级下·上海·月考）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【答案】D 【详解】解：当时，函数经过第一，三象限，函数位于第一，三象限，则（2）符合题意； 当时，函数经过第二，四象限，函数位于第二，四象限，则（4）符合题意， 所以函数与在同一坐标平面的大致图象是（2）和（4）． 【例6-2】（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，    设点P的坐标为，则， 对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵，的面积等于10， ∴， 解得：（舍去）， ∴点P的坐标为； （3）解：设点D的坐标为，点Q的坐标为， 若以为对角线时， ，解得：， ∴点Q的坐标为；此时，共线，经检验不符合题意； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海闵行·期中）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D（点C在第一象限，点D在第三象限），作轴于点E，，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出和的交点D的坐标，并根据图像法观察，直接写出当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1）解：在中，，， 故点A、B的坐标分别为、， 将点A、B的坐标代入直线的表达式得，， 解得：， 故直线的表达式为； 当时，， 点C的坐标为， 将点C的坐标代入反比例函数表达式得， 解得：， 故反比例函数的解析式； （2）解：直线分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线分别交于点C，D， 联立， 解得：或 ， 点C在第一象限，点D在第三象限， 点D坐标为， 观察图象知，当时，x的取值范围是或． 【变式6-2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； （2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； （3）解：如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． 【变式6-3】（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F， 设点D的坐标为， ∵， ∴， ， ， ，， 经检验均是方程的解， ∴点D的坐标为； （3）由题意得：函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：， 当时，， ∴， 分三种情况： 如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等， ∴设，， ∵， ∴， 解得：（舍），， 经检验：是原方程的解， ∴； 如图3，四边形是平行四边形， 由①知，， ∴， ∴，（舍）， 经检验：是原方程的解， ∴点P的坐标为； ③如图4，四边形是平行四边形， ∵B，C关于原点对称， ∴P，Q关于原点对称， 设点Q的坐标为，则点P的坐标为， ∵点P在直线上， ∴， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【变式6-4】（24-25八年级上·上海·月考）如图所示，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4． (1)k的值为_____，点B的坐标为_____． (2)若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积． (3)过原点的另一条直线交双曲线于、两点（点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标． 【答案】(1)8； (2)15 (3)或 【详解】（1）解：∵点A横坐标为4， ∴把代入得：， ∴， ∵点A是直线与双曲线的交点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为：； （2）解：如图，    ∵点C在双曲线上，纵坐标为8， ∴把代入得：， ∴点C的坐标为， 过点A、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形， 则，，，，，， ∴ ； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为（且），则， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图所示，    ∵， ∴， ∴． ∴，（舍去）， ∴； 若，如图所示，    ∵， ∴． ∴， 解得，（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 题型七 反比例函数的实际应用（中档） 【例7】（25-26八年级下·上海·月考）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【变式7-2】（24-25八年级上·上海黄浦·期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克／立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示，请根据图中信息，回答下列问题： (1)施工过程中关于的函数解析式是______； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克／立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ (3)施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到） 【答案】(1) (2)个月 (3) 【详解】（1）当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工过程中关于的函数解析式是， （2）当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以施工结束后关于的函数解析式为， 当时，，解得， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住； （3）当时，， 当时，， 设这个降低的百分率为，根据题意得， ， 解得或（不合题意，舍去） ∴这个降低的百分率为． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列函数一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，函数不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海普陀·月考）下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数； B．等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长； C．一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积； D．货物的总价一定时，货物的单价与货物的数量． 【答案】D 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系，故A错误； B、等腰三角形周长一定时，它的腰长与它底边的长成一次函数关系；故B错误； C、一个因数（不为零）不变时，另一个因数与它们的积成正比例关系；故C错误； D、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故D正确． 故选D 3．（24-25八年级上·上海普陀·期末）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．比例系数为 C．当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D．如果点和点在该函数的图象上，那么 【答案】D 【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意； ∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意； 故选D． 4．（24-25八年级上·上海·单元测试）下列点不在y= 的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、当时，， 点，在的图象上； B、当时，， 点，在的图象上； C、当时，，无意义， 点不在的图象上； D、当时，， 点在的图象上； 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级上·上海·月考）如图，函数，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【详解】解：由图象可知：时，或； 故答案为：或． 6．（24-25八年级上·上海·期末）在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 _____． 【答案】4 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数都经过点， ∴，， ∴， 故答案为：4． 7．（24-25八年级上·上海·月考）如果点在正比例函数的图像上，那么反比例函数的图像所在的象限是________． 【答案】第二，四象限 【详解】解：∵点在正比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的图像所在的象限是第二，四象限， 故答案为：第二，四象限。 8．（25-26八年级下·上海·月考）函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大，那么的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得：． 9．（24-25八年级上·上海·月考）已知与成反比例，与成正比，如果当时，，那么当时，______． 【答案】 【详解】解：∵与成反比例，即设，与成正比例，即设， ∴，即与成反比例关系， ∴把代入得， ∴与成反比例关系式为， ∴当时，， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）若三个点，，都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是_____． 【答案】 【详解】解：， 函数图象位于二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ，， 点，位于第二象限， ，， ， ， ， 点位于第四象限， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 12．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； （2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 的值为4． 13．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系内，函数和交于、两点，已知． (1)求点的坐标； (2)点在坐标轴上，且时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）解：∵函数和交于、两点，． 根据图象的中心对称性，得． （2）解：当点C在x轴上时，设，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴, ∴或， 故点C的坐标为或； 当点C在y轴上时，设，且， ∴或， 故点C的坐标为或． 故点C的坐标为或或或． 14．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A；直线：与x轴交于点B，且与直线交于点C． (1)求点A、点B、点C的坐标； (2)若反比例函数经过点C，求反比例函数解析式． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：对于直线， 令, 得， 解得， ， 对于直线， 令, 得， 解得， ， 联立两直线方程：， 解得，， ； （2）解：设反比例函数解析式为， 反比例函数经过点， ， 解得， 反比例函数解析式为． 15．（24-25八年级上·上海·期末）已知正比例函数过第一象限一点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，且的面积为，正比例函数与反比例函数交于、两点． (1)求正比例函数解析式； (2)求、两点坐标． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：点的横坐标为，且的面积为， 如图所示： ， ， 点的纵坐标为， ， 正比例函数过第一象限一点， ， ， 正比例函数解析式为； （2）解：由（1）知，， 反比例函数解析式为， 正比例函数与反比例函数交于、两点， ， 解得：， ，． 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·上海普陀·月考）已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴函数的图象在第一、三象限，函数的图象经过第一、三象限， ∴D选项满足题意． 故选：D． 2．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（   ） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B．当时，甲醛检测仪会报警 C．当时，的阻值为 D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海·期末）如果反比例函数的图像经过点、、，且，那么与的大小关系是____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵在第四象限， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵、在反比例函数的图象上，且， ∴； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海杨浦·月考）在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为，且以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点、、、、、作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则_______，_____________________． 【答案】 5 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：；． 5．（25-26八年级上·上海·月考）观察反比例函数的图像可以发现直线是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图像时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是________． 【答案】13 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象上横纵坐标都为整数的点有，， 设经过点的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点的正比例函数解析式为， 同理可得经过点的正比例函数解析式为， 经过点的正比例函数解析式为， 经过点的正比例函数解析式为， 由正比例函数和反比例函数的对称性可知，横纵坐标互为相反数的两个点所在的直线一定经过原点，则这8个点分别在经过原点的四条直线上， ∴这四条直线的斜率的和是， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·期中）如图，函数的图像经过点，为函数图像上除外任意一点，过点B作y轴的垂线段，垂足为C，若的面积为2，则点B坐标为___________． 【答案】或 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵的面积为2， ∴， 即， ∴， ∴ 解得或， ∵， ∴或， ∴点B的坐标为或． 故答案为：或． 7．（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【详解】（1）解：由题意，连线作图如下． （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， ∴可设， 又∵图象过， ∴． ∴， 代入上式，均符合． ∴函数关系式为． （3）解：由题意，∵8分钟内将货物运送至2400米， ∴（米/秒）． ∴此时机器狗能承载的最大货物重量（千克）． 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 8．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）如图．已知直线与双曲线交于A、B两点．点C在x轴正半轴上，为等腰直角三角形，． (1)求k的值； (2)若双曲线上一点D的纵坐标为8，求的面积； (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（点P在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为12．求点P的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标是或 【详解】（1）解：设， 过A作于H， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 把代入得，， ∴； （2）解：∵双曲线上一点D的纵坐标为8， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作轴于G， 则， ∴的面积=四边形的面积； （3）解：∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点P的横坐标为且， 得， 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， ∴， 若，如图， ∵， ∴． ∴． ∴（舍去）， ∴； 若，如图， ∵， ∴． ∴， 解得（舍去）， ∴． ∴点P的坐标是或． 9．（24-25八年级上·上海·单元复习）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于它到点的距离？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或；； (3)或或或 【详解】（1）解：， 点A的纵坐标为3， 正比例函数的图象经过点A， 当时，， ∴， ， 设反比例函数的解析式为， ∵该反比例函数过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：轴于点，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， ∴在中，， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离等于它到点的距离，即， ∴， ∴或， 综上所述，满足要求的点的坐标为或； （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴或； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 综上所述：或或或． 10．（25-26八年级下·上海·开学考试）如图，已知点在函数的图像上，长方形的边在x轴上，函数的图像又经过点A，A的纵坐标为，且． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵点A的纵坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是长方形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $