第33讲 图形的平移与旋转（复习讲义，2考点8题型2重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第33讲 图形的平移与旋转 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 16 命题点一 图形的平移 题型01 平移的点的坐标变化 题型02 利用平移的性质求解 题型03 平移作图 命题点二 图形的旋转 题型01 旋转的点的坐标变化 题型02 旋转作图 题型03 求旋转中心和旋转角 题型04 利用旋转的性质求解 题型05 利用旋转的性质证明 05·重难突破·思维进阶 74 突破一 平移综合问题 突破二 旋转综合问题 06·优题精选·练能提分 99 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 图形的平移 辽宁省卷 T8 辽宁省卷 T12 营口卷T12 理解平移的概念，掌握方向、距离两要素。 探索并掌握平移的基本性质。 能在平面直角坐标系中写出点平移后的坐标，描述图形的平移变换。 能按要求画出平移后的图形，解释生活中的平移现象。 运用平移的性质解决坐标变化、面积等计算问题。 图形的旋转 辽宁省卷 T22 辽宁省卷 T22 丹东卷T25 沈阳卷T25 营口卷T16 鞍山卷T16 盘锦卷T25 阜新卷T23 锦州卷T24 抚顺、葫芦岛卷T16 抚顺、葫芦岛卷T25 本溪、铁岭、辽阳卷T18 本溪、铁岭、辽阳卷T25 理解旋转的概念，掌握旋转中心、方向、角度三要素。 探索并掌握旋转的基本性质。 能在平面直角坐标系中描述图形绕原点旋转90°、180°、270°的坐标变换。 能按要求画出旋转后的图形，确定旋转中心与旋转角。 运用旋转的性质解决角度计算、全等证明、最值等问题。 命题预测 图形的平移与旋转考点为每年辽宁中考的必考点，难度跨度较大，题型考查也较为多样，注重综合能力的运用。图形的平移以考查点坐标的平移问题为主，要能根据平移规律求平面直角坐标系中的点的坐标变化，难度较低，为中考的必拿分。图形的旋转以线段或三角形的旋转为主要背景，强化与全等、相似、等腰三角形的结合，考查与特殊几何图形结合的综合压轴题，常涉及到结合几何图形图象分类讨论等。 考点一 图形的平移 1.平移的定义 在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移。它是由移动方向和距离决定的。 2.平移的性质 （1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等； （2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等； （3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离。 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 2．（2024·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标． 【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点， ∴向上平移2个单位后得到点， 故答案为：． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 4．（2025·辽宁·模拟预测）将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征，先根据平移规律得到的坐标，再利用y轴上点横坐标为0的性质列方程求出，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度得到， ∴的坐标为，即， ∵在轴上，轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：， 将代入点的坐标： ，， ∴点的坐标是． 故选：B 考点二 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 2.旋转的三要素 旋转中心、旋转方向和旋转角度． 3.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等． 1．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可； （2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）∵，即， ∴，，， 作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）设， 由旋转的性质得，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即， ∴． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【详解】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为，首先得到，求出，，然后得到，，然后利用三角函数求出，设，则，勾股定理求出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为， 四边形是菱形， ，， ∴， ，， ， 由旋转得，， ，即， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，可得， 解得， ，， ∴点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______． 【答案】或 【分析】设，由旋转的性质可知，，，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：设，则， 由旋转的性质可知，，， ①当时，是等腰三角形，则， 在中，， ， ， 解得； ②当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得（负值舍去）， ③当时，过点E作于点F，如图 ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 即， 解得，不符合题意，舍去； 综上可知，的长为或． 命题点一 图形的平移 ►题型01 平移的点的坐标变化 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为________________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点A平移前后的坐标，得到其平移方式，即可得到点B的对应点的坐标． 【详解】解：平移后得到的对应点的坐标为， 平移方式为向右平移了个单位，向上平移了个单位， 的对应点坐标为，即， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）把平面直角坐标系中点向上平移3个单位得到点B，若点B在x轴上，则______． 【答案】 【分析】本题考查由平移方式确定点的坐标，解题的关键是根据平移方式求出平移后的点的坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．由平移方式可得平移后的坐标为，再根据x轴上的点的纵坐标为0求出n的值，即可得出点B的坐标． 【详解】解：把平面直角坐标系中点向上平移3个单位得到点B， ， 点B在x轴上， ， 解得， 故答案为：． 【变式】1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）对于点与点，下列说法不正确的是（   ）． A．将点A向下平移5个单位长度可得到点B B．A、B两点的距离为5 C．点A到y轴的距离为2 D．直线与x轴平行 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，直接表示出点到点的横坐标与纵坐标的变化方法，然后根据平移规律解答．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点与点， 将点向下平移5个单位长度可得到点，、两点的距离为5，点到轴的距离为2，直线与轴平行． 故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 【变式】2．（2026·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横纵坐标相等，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律先求出点B的坐标，再根据点B的横纵坐标相同列出方程求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，将点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B的横纵坐标相等， ∴， ∴， 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·二模）第一象限内有两点，将线段平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是________________． 【答案】或 【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上． 【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′． 分两种情况： ①P′在y轴上，Q′在x轴上， 则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∵0-（n-2）=-n+2， ∴n-n+2=2， ∴点P平移后的对应点的坐标是（0，2）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上， 则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∵0-m=-m， ∴m-3-m=-3， ∴点P平移后的对应点的坐标是（-3，0）； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，2）或（-3，0）． 故答案为（0，2）或（-3，0）．    【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． ►题型02 利用平移的性质求解 【典例】1．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，得阴影矩形的宽为，长为，解答即可． 本题考查了平移的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得阴影图形是矩形，且矩形的宽为，长为， 故面积为， 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点C做出轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标． 【详解】   如图过点C作轴垂线，垂足为点E， ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ， 则 , ∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到， ∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到， ∵点A坐标为(0，3)， ∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意， 故答案选D 【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向左平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，平移的性质，由平行四边形的性质得到，由菱形的性质可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解；∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵将线段水平向左平移个单位长度得到线段， ∴， 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为______． 【答案】24 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可．掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点． 将沿边向右平移2个单位长度得到， ，， ，， ， ，即， ． 故答案为：24． 【变式】3．（2025·辽宁·一模）如图，的周长为8cm，将三角形沿BC方向平移得到，连接AD，则阴影部分的周长为________cm． 【答案】8 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的想性质得出，，从可求阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：∵平移， ， ∴阴影部分的周长为， ， ， ， ∵的周长为， ， ∴阴影部分的周长为． 故答案为：8． ►题型03 平移作图 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）网格中每个小正方形的边长表示1，有和半径为2的．所有的已知点都在格点上． (1)将进行平移，使点A平移到点D，画出平移后的图形； (2)以点M为位似中心，在网格中将放大到原来的2倍，画出放大后的图形，并在放大后的图形中标出线段的对应线段； (3)在（2）所画的图形中，求线段截所得的弦长．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)线段截所得的弦长为 【分析】本题考查了图形的平移、位似以及垂径定理等． （1）根据平移的规律求出各个对应点的坐标或位置作图即可． （2）根据位似中心作图的方法，找到扩大2倍后对应点，顺次连接即可． （3）利用垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：平移后的图案如图所示； ； （2）解：如图，和线段即为所求． （3）解：设线段分别交于点M，N，连接． ∵的半径为2， ∴． 取格点Q， 则，， ∴， 由勾股定理得， ， ∴， ∴线段截所得的弦长为． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； (1)平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； (2)将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，点坐标为 (2)作图见解析，坐标为 (3)旋转中心P点的坐标 【分析】本题主要考查了平移、旋转作图，求旋转中心，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （2）先作出点A、B、C旋转后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标； （3）根据图形得出旋转中心P点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，点坐标为； （2）解：如图，即为所求，坐标为； （3）解：如图，连接、、交于一点，该点为旋转中心P，其坐标为． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，则该点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，中心对称图形，解题的关键是数形结合． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的定义作图即可； （3）求出某对对应点的中点坐标，即为旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点、， 、的中点坐标为，即， 旋转中心的坐标为， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称．    【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0． 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点， 得到A1B1C1即为所求； （2）如图所示，分别确定旋转后的对应点， 得到A2B2C2即为所求；    （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0） （1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（，0）． 【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接； （2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形； （2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形； （3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4）， ∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16， 令y=0，则x=， ∴P点的坐标（，0）． 【点睛】考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题． 命题点二 图形的旋转 ►题型01 旋转的点的坐标变化 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，将线段绕点旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． 当顺时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解； 当逆时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解． 【详解】 解：①当线段顺时针旋转时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接， 点的坐标为， ， 由旋转可得：， ， ， 轴 在和中 点的坐标为 ②当线段逆时针旋转时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，连接 点的坐标为， ， 由旋转可得： ，， 轴 在和中， 的坐标为 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，正方形的两边分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把绕点顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作CD′⊥CD交x轴于点D′，证△OCD′≌△BCD即可得知△CDB绕点C顺时针旋转90°点D的对应点即为D′，由OA=OC=OB=5、AD=3知OD′=BD=2，即可得出答案． 【详解】如图，作CD′⊥CD交x轴于点D′， ∴∠D′CO+∠OCD=90°， ∵四边形OABC是正方形，D（5，3）， ∴∠OCD+∠DCB=90°，∠B=∠COD′=90°，OA=OC=OB=5，AD=3， ∴∠OCD′=∠BCD，BD=2， 在△OCD′和△BCD中， ∵， ∴△OCD′≌△BCD（ASA）， ∴CD=CD′，OD′=BD=2， ∴△CDB绕点C顺时针旋转90°点D的对应点即为D′，其坐标为（-2，0）， 故选B. 【点睛】本题主要考查图形的旋转及旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁大连·一模）如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点作轴于点C，根据题意证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点作轴于点C ∵、 ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转得到点，左平移8个单位长度得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识， 利用旋转变换、平移变换的性质作出图形，可得结论．解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，． 故选：A． 【变式】3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，，两点的坐标分别为，，线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化−−旋转，根据题意画出旋转后的线段即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点， ∴线段绕原点按顺时针方向旋转后得到线段，如图所示： 根据图形可知：点的对应点的坐标是． 故答案为：． ►题型02 旋转作图 【典例】1．（2026·辽宁·模拟预测）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出绕点顺时针旋转后得到； (2)在（1）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)点旋转到点的过程中所经过的路径长为 【分析】本题考查作图题旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． (1)根据旋转的性质作图即可； (2) 利用勾股定理求出OA的长，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）即为所画． （2）∵ ∴． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)在（1）的条件下，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． (3)在x轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，求弧长，勾股定理的应用，一次函数的性质，掌握旋转的性质并作图，坐标与图形，弧长公式的应用是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据弧长的计算方法求解即可； （3）如图所示，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P即为所求，然后求出的表达式，然后令即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：将绕原点顺时针旋转得到，如图即为所求； （2）解：由勾股定理可得：， ∵绕到的过程中所经过的路径长等于以为圆心，半径为，圆心角为的弧长． ∴弧； （3）如图所示， 由对称得，， ∴ ∴与x轴的交点P即为所求， 设所在直线的表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线的表达式为 ∴当时， 解得 ∴． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求作的三角形；    （2）如图，即为所求作的三角形，    【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键． 【变式】2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）．请解答下列问题： (1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标； (2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转至A2经过的路径长． 【答案】(1)图见详解，点C1的坐标为（1，3）； (2)图见详解， 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的定义作出三顶点绕原点O逆时针旋转90°后得到的对应点，然后顺次连接，再根据弧长公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1如图所示： 点C1的坐标为（1，3）． （2）解：△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如（1）图所示： ∵OA=， ∴点A经过的路径长为：． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕点E顺时针旋转得到，画出； (3)若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图； （2）解：如图 （3）解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． ►题型03 求旋转中心及旋转角 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线，交于点B，    ∴点B为旋转中心． 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁·一模）两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．由旋转的性质和直角三角形的性质可证是等边三角形，可得，从而得出旋转的度数． 【详解】解：三角板是两块大小且含有的角， ， 将绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点恰好落在上， ， 是等边三角形， ， ； 故选：A． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·三模）在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是______，旋转角是______． 【答案】 点 【分析】连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，可知绕点顺时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点， 则绕点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角是． 故答案为：点；． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画旋转图形，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握画旋转图形的方法及步骤． （1）连接对应点，则对应点连线的交点即为旋转中心； （2）将点分别绕原点旋转，得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：旋转中心即为所求； （2）解：如图，即为所求； ►题型04 利用旋转的性质求解 【典例】1．（2025·辽宁丹东·一模）如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，特殊角的三角函数值，等边对等角．根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出，据此求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到（，），连接，，当为直角三角形时，的长度是_______． 【答案】或9 【分析】根据旋转得到对应边，，和，分两种情况：当点E、点A和点B三点共线时，根据即可；当时，可判定，则有，结合解直角三角形得，点A作交线段于点F，结合为等腰三角形得，利用则，解得，在中，即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，旋转角为， ∴，，， 如图，当点E、点A和点B三点共线时， ∵， ∴， 则； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作交线段于点F，如图， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， 则，解得， ∴， 在中，， 综上所述，的长度是或9， 故答案为：或9． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、平行线的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形，解题的关键是熟悉旋转的性质和分类讨论思想的应用． 【变式】1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、图形的旋转，探索图形的规律，根据点的坐标可知是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线，根据点的坐标和菱形的性质可知点的坐标是，根据每秒旋转可知每秒旋转一圈，秒时菱形旋转了圈又秒，根据秒菱形旋转的角度，判断点所在的象限，根据象限求出坐标． 【详解】解：设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线， 四边形是菱形， 点是的中点， 点的坐标是， ， 旋转秒时点回到初始位置， ， 第秒时，点旋转了圈又秒， ， 点旋转到第四象限， 点的坐标是． 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意可知，要求周长最小，实际是求最小，先找出点运动轨迹，过点作，交、与E、F，过点M作于点G，由旋转的性质，利用证明，进而推出点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可． 【详解】解：过点作，交、于E、F，过点M作于点G，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形和是矩形， ∴， ∵将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，点M是边的中点， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点M关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时取得最小值，即周长最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴，即周长最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径问题等，正确添加辅助线找出点运动轨迹是解题的关键． 【变式】3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在等边三角形中，点在上，点在上，与交于点，． (1)求证：； (2)若，则__________； (3)如图2，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转，使与重合，点的对应点为，的延长线交的延长线于点， ①求证：； ②求的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)①答案见解析；② 【分析】（1）先证，再根据证明即可； （2）过点E作于点H，根据三角函数求出，的长，最后根据勾股定理求解即可； （3）①由旋转的性质求出，再求出，根据内错角相等，两直线平行，可得答案；②过点B作于点M，求出的长，再求出和，根据三角形相似得，求出，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 又， ， ， 在和中： ； （2）解：如下图，过点E作于点H， ，， ， 在中，， ， ， 在中，； （3）解：①由旋转的性质可知：， 由（1）知：，， ∴， ， ， ； ②， ， 如下图，过点B作于点M， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判断与性质，平行线的判定，三角函数，勾股定理，旋转的性质，三角形相似的判断与性质，解题的关键是作合适的辅助线． ►题型05 利用旋转的性质证明 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【答案】(1)答案不唯一，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论； （3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长，再根据勾股定理算出，即可求出面积． 【详解】（1）解：选择小辉同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 选择小光同学的解题思路． 证明：如图3，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2）证明：如图4，过作于，过作于． ，， ， ，，， ， ，． ，，， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ，， ， ，即， ； （3）解：如图5，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ， 根据勾股定理得，， ． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点为中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图，过点作于点，于点，试判断与之间的数量关系．并说明理由． (3)如图，延长，交于点，，． ①求的值； ②在①的条件下，从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，交平行四边形的边于另一点，若该点分所在边的两条线段比值为，则称这个平行四边形为“垂平行四边形”，称垂足为“垂点”．如图，在中，点分线段为，因为，所以为“垂平行四边形”，垂足为“垂点”． 如图，从中得到，于点．在以为边的“垂平行四边形”四边形中，垂足为“垂点”，点在的边上．过点作，交的一边于点，将沿翻折得到，连接，，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②或 【分析】（1）由题意，通过旋转的性质可得，，易证，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作，交的延长线于点，先证明，得，由为中点，可得，易得，，因此，易得，得，通过等面积法可得，即可证明； （3）①延长交于点，由，可得，易证，则，得， 则，，由四边形是平行四边形，所以，，由即可求出的值；②在①的条件下，分两种情况画出以为边的“垂平行四边形”四边形，第一种情况：过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于，则四边形为以为边的“垂平行四边形”；第二种情况：过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，则四边形为以为边的“垂平行四边形”，再分别进行求解． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； ②由上可知，，，，，即， ∴， ∴，， ∴， 第一种情况：如图所示，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于，则四边形为以为边的“垂平行四边形”， 过点作，交的一边于点，将沿翻折得到，连接，，过点作于点，交于点， ，， ， ∴， 将沿翻折得到， 点、、三点共线， ， ，即， ，， ， 由题意得，点分线段为，因为， ， ， ，即， ， ， ， ； 第二种情况：如图所示，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，则四边形为以为边的“垂平行四边形”， 过点作，交的一边于点，将沿翻折得到，连接，，过点作于点，交于点， ，， ， ∴， 将沿翻折得到， 点、、三点共线， ， ，即， ，， ， 由题意得，点分线段为，因为， ， ， ，即， ， ， ， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了图形的变换—旋转、图形的变换—对称、平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、三角函数等知识点，熟练掌握以上知识点，具备一定的画图能力，会用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·二模）发现问题 （1）如图1，在中，，点为线段上的点，，则和的数量关系是_______； 应用问题 （2）在中，，点在线段上，点在的延长线上，点，点在线段同侧，，将线段绕点旋转使点的对应点落在线段上，且． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，点，点为直线，上的两个动点，，点为的中点，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）；（2）①见解析；②5 【分析】（1）由等腰三角形性质可得，再通过三角形内角和定理可得，，则有，所以，从而求解； （2）①取中点，连接，，通过证明，则有，，结合为斜边的中点，则，故有，然后通过三角形外角的性质和角度和差得出，得出，最后利用等量代换即可证明；②作于点，连接、、，利用等腰三角形的性质和三角函数的知识求出，，利用垂线段最短性质得出当时，有最小值，得到，再利用直角三角形的性质得到，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）①证明：如图，取中点，连接，， ∵ ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②解：如图，作于点，连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 由①中的结论得，， 当时，有最小值，此时， ∴， ∵，，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，有最小值，为， 又∵， ∴， ∴线段的最小值为5． 【点睛】本题考查了旋转的性质、线段最值问题、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点，结合图形构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 【变式】2．（2025·辽宁本溪·一模）在中，，将绕点顺时针旋转，得到，以和为边作（点与点不重合），直线与射线交于点．          (1)如图1，当是直角三角形，时，求证：； (2)如图2，当是锐角三角形时，求证：四边形是菱形； (3)直线与射线交于点，若，直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)或1 【分析】（1）根据题意可证平行四边形是菱形，再证，可得，由此即可求解； （2）延长至点H，使得，连接，可得是等边三角形，因此，，由旋转得，，，从而证得．证明，得到，即可推出，证得，因此四边形是平行四边形，进而根据菱形的定义得证结论； （3）分两种情况求解：①直线与线段交于点；②直线与线段的延长线交于点． 【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若直线与线段交于点， 由（2）有， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， 由（2）有是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②如图，若直线与线段的延长线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， 延长至点N，使得，连接，， 由（2）有是等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）有四边形是菱形，且， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图．在中，，，为线段上一点，直线经过点，且，为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：． (2)如图2，作的平分线，交直线于点，当点落在上时；猜想与的数是关系，并证明． (3)已知，作射线交直线于点． ①如图3，若，当为线段的中点时，求线段的长； ②如图4，点在直线的下方，且，以为边在的右侧作正方形，当点落在射线上时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)①；②或 【分析】（1）由旋转的性质得到，，再利用全等三角形的判定得到，即可证明； （2）利用角平分线的定义得到，利用等角对等边得到，由（1）中的结论，再利用线段的和差即可得出结论； （3）①过点作交于点，交于点，通过证明得到，利用矩形的判定得到四边形是矩形，得到，同理得到，得到，利用题目的数据求出、的长，再利用勾股定理即可求解；②作交延长线于点，由（1）得，先证明四边形是矩形，得到，，设，表示出、、，通过证明得到，解出的值即可解答． 【详解】（1）证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ，， ， ， ， ， ． （2）解：，证明如下： 是的平分线，点落在上， ， 又， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ． （3）解：①如图，过点作交于点，交于点， ， ，， ， 为线段的中点， ， 又， ， ， ， 四边形是矩形， ， 同理可得：， ， 又，， ，， ， 由（1）得，，， ， 线段的长为； ②如图，作交延长线于点，则， 由（1）得，， ，， ， 四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 正方形， ， 点落在射线上， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 解得：，， 线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、正方形的性质、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 突破一 平移综合问题 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(    ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为(2,3-m)，代入解析式即可求出m． 【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图， ∴∠ABM+∠BAM=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=DA， ∴∠DAO+∠BAM=90°， ∴∠DAO=∠ABM， 在△DAO和△ABM中， ， ∴△DAO≌△ABM(AAS)， ∴OA=BM，OD=AM， ∵B(3,1)， ∴BM=1，OM=3， ∴OA=1， ∴AM=OM-OA=2， ∴OD=2， 同理可证△CDN≌△DAO， ∴DN=OA=1，CN=DO=2， ∴ON=OD+DN=3， ∴C(2,3)， ∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上， ∴3k+4=1， ∴k=-1， ∴直线l的解析式为y=-x+4， 设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3-m)， ∵点C在直线l上， ∴-2+4=3-m， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．    (1)如图1，平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ； (2)如图2，平移线段到线段，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内． ①此时点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ； ②连接，，若的面积为7，求点C，D的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使与的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；；②， (3)存在点P，其坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）①根据点可得平移规律，即可作答；②连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标； （3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为的坐标为， 平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，， 点平移后的对应点； （2）①点在轴上，点在第二象限，，， ∴点向左平移个单位， ∴点向左平移个单位，横坐标为：， 即点的横坐标为， ∵对应点在第二象限，点D的纵坐标为y， ∴设点向上平移了个单位， 线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， ∴，，即点C的纵坐标用y的代数式表示为， 故答案为：，； ②如图所示，连接， ∴， ∴， ， ， ，； （3）由（2）得， ∵，， ∴， ①当P在x轴上方时，如图1， ， ， ∴； ②当在轴下方时，如图2， ， ， ∴， 存在点，其坐标为或． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分为圆在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：∵圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径2， ∵当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 综上所述，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为1或5． 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且B点坐标是，，延长，与x轴相交于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)将菱形沿x轴向右平移得菱形，设，菱形与重叠部分的面积为S． ①如图2，当点在y轴上时，求S的值； ②当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）连接交轴于点，根据菱形的性质求出，再由待定系数法求解函数解析式； （2）①先证明为等边三角形，则，那么，，则，故，过点作于点，可得，故，证明四边形为平行四边形，则； ②当重叠部分为五边形时，过点作于点，表示出，，则，证明为等边三角形，则，故，则，然后表示，则，过点作于点，同理可得，，然后计算，而，最后由建立方程求解；当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意． 【详解】（1）解：连接交轴于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线， ∴， ∴， ∴直线； （2）解：①在图1中，∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形，且平移后的为菱形 ∴,， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 过点作于点 ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②当重叠部分为五边形时，如图： 过点作于点 由①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 过点作于点， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意， 综上：当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，二次根式的混合运算，平移的性质，等边三角形的判定与性质等知识点． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线，直线上点A的横坐标为2，过点A作轴交直线于点B．以长为边向上构造矩形 (1)当直线在直线的上方时，求自变量x的取值范围； (2)将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点A的对应点落在直线上． ①求n关于m的函数关系式； ②直线交直线于点P，交直线于点Q，当点P和Q关于点成中心对称时，求m的值； ③直线，直线与矩形的边，分别交于点M，N，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)① ；②；③或 【分析】（1）先求出交点坐标，然后集合图象即可求解； （2）①表示出点的坐标，然后代入直线即可求解； ②先表示出点P和点Q的坐标，然后根据中心对称的性质求解即可； ③先表示出点M和点N的坐标，然后根据两点间的距离公式求解即可 【详解】（1）解，得， ∴交点坐标为， ∴当直线在直线的上方时，自变量x的取值范围是； （2）①∵直线上点A的横坐标为2， ∴， ∴ 由平移的性质得， ∵点落在直线上 ∴ ∴； ②∵轴 ∴轴，点B纵坐标为5， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵以长为边向上构造矩形 ∴ ∴，， ∴，， ∵， ∴，． ∵直线交直线于点P，交直线于点Q，轴， ∴，， ∴，． ∵点P和Q关于点成中心对称， ∴， ∴； ③∵， ∴ ∵直线与矩形的边交于点M， ∴， ∴ ∴， 同理可求： ∵ ∴ 解得或， ∴或 【点睛】本题考查了坐标与图形变换－平移，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，中心对称的性质等知识，掌握平移的性质是解答本题第二问关键． 突破二 旋转综合问题 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·三模）如图，在中，，，，P是边上一动点，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，找出动点的运动轨迹是解题的关键． 延长至点，使得，连接，过点作于点，证明，则，那么当时，最短，然后解和解即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接，过点作于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最短， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁阜新·二模）在数学课上，同学们探索正多边形中隐藏的变化规律．已知正边形每个内角的度数为，点在上，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接，探究的度数和的关系． 【问题初探】 小明同学就等边三角形．给出了方法：如图1，在上截取，连接，易证，．在小明的启发下，同学们顺利地求出了正方形和正五边形等正多边形中的度数． （1）图2和图3分别是正方形和正五边形，分别写出的度数；图2中______，图3中______，正边形中______； 【类比探究】 （2）如图4，是等边三角形，点在的延长线上，过点作的垂线，点在上，且，连接，将射线绕点顺时针旋转，交直线于点，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在矩形中，交于点．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接并延长，交于点，连接．若，求的面积． 【答案】（1）；；；（2）见解析；（3） 【分析】（1）当探究的图形为正方形时，在上截取，连接，先证明，可得，再由，可得，再求解即可得出结论，再用类似方法对正五边形及正n边型中求解； （2）过点P作于点E，先证明，再利用全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，先在中，由勾股定理得，再证明，可得，再证明，再利用相似三角形性质可得，再求解即可． 【详解】解：（1）当探究的图形为正方形时，如图，在上截取，连接， 根据题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当探究的图形为正五边形时，如图，在上截取，连接， 根据题意得，， 易证， ， ， ， ； 综上所述，在正n边形中，， 故答案为：；；． （2）如图，过点P作于点E， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图，在上截取，连接， 四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， 由旋转可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形及多边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算． 【变式】1．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．    【答案】/ 【分析】根据题干条件可得，所以≌，得到，又证明得≌，，所以≌，；设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据∽，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，≌， ， , ， 、是等腰直角三角形， ； 连接、, ≌， ， 连接， ，， ≌， ， ， 又，， ≌，， 连接、， ，， ≌，， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 得， ， 解得（舍），， ，，， 又∽， ， ，    故答案是．   【点睛】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出双勾股方程计算求解是解题的关键． 【变式】2．（2023·辽宁·中考真题）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．        (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)仍然成立，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）可证得，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结果； （2）连接、，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出； （3）分为两种情形∶当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，，进一步得出结果． 【详解】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，    ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：如图，当点在的延长线上时，作⟂于，    ∵， ∴，， ∴， ∴． 由（）知∶， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在上时，作于，        由上知∶， ∴， ∴， ∴， 综上所述∶或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，，点F在边上，，交于点E． (1)求的长． (2)将图1中的绕点B顺时针旋转得到，点E，F的对应点分别为M，N，连接． ①如图2，连接，求的值； ②在绕点B旋转的过程中，C，M，N三点第一次共线时，求的长； ③连接，P是线段的中点，当点M，N都在的外部，且时，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②；③的面积为或 【分析】（1）证明得出，代入数据求出结果即可； （2）①根据旋转得出，，，证明，得出．根据勾股定理求出，得出答案即可； ②根据C、M、N三点第一次共线时，求出，根据勾股定理求出，根据，求出结果即可； ③分两种情况讨论：当在直线的上方时，当在直线的下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：①由（1）知， ∴， ∵由旋转得来， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． ②当C、M、N三点第一次共线时， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理，得． 由①知， ∴； ③在中，， 由旋转知：， ∴， ∴， ∵， ∴． 如图1，当在直线的上方时，过点M作交的延长线于点Q． ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴，， ∴， 过点P作于点G，于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P是线段CM的中点，， ∴，， ∴， ∴， 如图2，当在直线的下方时，过点M作于点Q，过点P作交的延长线于点G，于点H． ∴四边形是矩形． ∴． 同理可得，， ∴， ∵P是线段CM的中点，， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，三角形面积计算，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似的判定方法． 1．如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（　 　  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据将向右平移得到，得出，，结合的周长是，得出，再代入数值到的周长，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将向右平移得到， ∴， ∵的周长是， ∴， 则四边形的周长 ． 故选：C 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 3．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 4．如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得，， ． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，其中点，，，将的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得平移的方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，再根据点的坐标的平移规律计算即可得解． 【详解】解：∵将的顶点A平移至点的位置， ∴平移的方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后点C的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据点A及点的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． 【详解】解：∵，且平移后点A的对应点的坐标为， ∴线段向右平移了2个单位，向上平移了一个单位， ∴的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 7．将点向右平移n个单位长度到达点Q，若点Q的横坐标和纵坐标相等，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，表示出点Q的坐标，再结合点Q的横坐标和纵坐标相等建立关于n的等式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将点向右平移n个单位长度到达点Q， 则点Q的坐标为， 点Q的横坐标和纵坐标相等， ， 解得，， 故答案为：． 8．已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查平移的坐标与图形变化，根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”得出平移规律，求出的值即可解答． 【详解】解：由题可得，， 解得：，， ∴ 故答案为：． 9．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分面积为______． 【答案】18 【分析】根据平移的性质得出，，则，则，根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解:由平移的性质知，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出是解题的关键． 10．如图，中，，将绕点顺时针旋转角得到，点和点是对应顶点，设，当时，与之间的数量关系为______． 【答案】 【分析】由平行线的性质求得，由旋转的性质得到，，再根据等边对等角和三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， 由三角形内角和定理得， ∴， ∴． 11．在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 【答案】或或 【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，则：， ∴， ∴， 画图如下： 当正方形绕点A顺时针旋转， ①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，如图，作轴， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的对应点的坐标为； ②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，如图， ， 点C的对应点的坐标为； ③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，如图， 同①可知： ， ，，， ∴点横坐标为， 点C的对应点的坐标为； 综上所述：点C的对应点的坐标为或或 故答案为：或或 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 12．平面直角坐标系中，将一个点先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度．我们把这样的变换叫做点的变换．例如，点按变换后得到点．若点按变换后得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，点绕原点按逆时针方向旋转得到点，得出，据此求解即可． 【详解】解：作轴于点， 根据题意，点向上平移2个单位长度后得到点，点绕原点按逆时针方向旋转角度得到点， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作直线于，设 ，构建辅助线和设定未知数，由线段旋转性质得出， ，通过角度关系证明 ，证明 ，得到对应边相等关系．根据矩形边长及全等三角形对应边相等，计算出、、、关于的表达式． 在中，依据勾股定理建立关于的表达式，再通过配方转化为顶点式，结合二次函数性质求出的最小值． 【详解】如图，过点作直线于， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 设长为，在矩形中，，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、三角形全等判定及性质、勾股定理和二次函数求最值 ，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用相关性质建立线段长度表达式并求其最小值． 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出； (3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)旋转中心的坐标为，旋转角的度数为 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则可由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P， 则可由绕点P逆时针旋转得到， ∴旋转中心的坐标为，旋转角的度数为． 15．如图1，在四边形中，，． (1)用等式写出和的数量关系是______； (2)如图2，连接，．求证：平分； (3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到． ①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状； ②如图4，当交于点时，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①正方形，见解析；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据四边形内角和即可解答； （2）过点作交延长线于点，证明即可解答； （3）①先证明四边形为矩形，由（2）可得，平分，即可解答； ②过点作于点，交于点，则四边形是矩形，证明，，利用相似三角形的性质得到，即可得到，再根据题意得到，设，，则，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：根据四边形内角和为， 可得， 故答案为：； （2）解：如图，过点作交延长线于点， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ，， ， 即平分； （3）解：①由（1）得，， ， ， ， 四边形是矩形， 绕点旋转得到， ， 如图，过点作交延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 即平分， ， ， ， ， 矩形是正方形． ②如图，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， 设，，则， 在中，， ， 同理，， ， 解得，， ． 16．如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则______．      【答案】 【分析】连接，证明是等边三角形，则，，设，则，取的中点H，连接，求出，设，则，证明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，进一步即可得到答案． 【详解】解：连接，      ∵将绕着点C按顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设，则， 取的中点H，连接， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 即， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 17．在中，，，，点D是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．    (1)在菱形绕点D旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值； (2)当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)（1）中结论成立，证明见解析； (3)或 【分析】（1）根据，即可得出答案； （2）证明，即可求解； （3）证明、均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，，则，在等边三角形中，，则，则，进而求解；当B、F重合时，也符合题意，由（1）、（2）知，，根据，在中，用解直角三角形的方法即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，， 则， 点D是的中点， ， 则， , 为等边三角形， ； （2）解：（1）的结论成立，理由： 证明：延长交于点T，交于点N，   ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接，    根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是的中点， 则F、G、C共线，分别过点G、E作的垂线，垂足分别为H、M，交于点P， ， 则， 则, 即，均为等边三角形， ， 由（1）知为等边三角形， 则，则A、M、P、G共线， 由（1）、（2）知，， 则， 在等边三角形中，， 则， ， ； 当B、F重合时，也符合题意，如下图：    在中，， ， 由（1）、（2）可知，， ， 设，则， ， ， 即， 解得：， ； 综上，的面积为：或． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、解直角三角形、面积的计算、勾股定理的运用，题目难度很大，分类求解是本题解题的关键． 18．【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知；    如图2，当时，则与的数量关系为 ；    （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；    【拓展应用】 （3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明，可得，再证得出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，在中，利用余弦定义可求，即可得出，然后把代入计算即可； （2）仿照（1）的思路即可解答； （3）方法一：如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，可求，得出，设，则，利用平行线分线段成比例得出，则可求，，，，，在中，利用勾股定理构建方程，求出．证明，利用相似三角形的性质即可求解； 方法二：如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，利用等腰三角形的性质与判断，平行线的性质可证明，，证明，可得出．设，则，设，则，利用平行线分线段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理构建方程，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图，过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 又， ∴； （2）解：； 如图，过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． （3）． 方法一： 如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，    ∴． ∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴． ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，， ∴． ∴，解得． ∴． ∵， ∴． 方法二： 如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，    ∴． ∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴． ∵， ∴，． ∴． 设，则， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． 在中，，， ∴． ∴，解得． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判断与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 19．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． (1)如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有t的值 ． 【答案】(1) (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或5． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积，代定系数法求一次函数的解析式等知识，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 20．【定义】：以线段l的一个端点为旋转中心，将这条线段逆时针旋转再沿水平向右的方向平移个单位后得到线段（若，表示沿水平向右的方向平移，若，则表示沿水平向左平移个单位），称线段到线段的变换为．如图，是线段以为旋转中心经变换后得到线段的过程． 【操作】：（1）如图是边长为的正方形网格，线段的端点在格点上，以为旋转中心，在图中画出线段经过变换后的对应线段． 【理解】：（2）如图，，，其中为水平线段，将线段以为旋转中心作变换得到线段，连接，求四边形的面积． 【提升】：（3）如图，中，，，，其中为水平线段，是否存在这样的变换，使线段以为旋转中心，经过变换后对应线段的一个端点落在点处，若存在，直接写出所有的变换； 【答案】（）见解析；（）；（）或 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． [操作]（）以为旋转中心，将线段逆时针旋转，再沿水平向右的方向平移个单位后得到线段； [理解]（）由题可知，为水平线段，将线段以为旋转中心作变换得到线段，证明为等边三角形和为等腰直角三角形，然后由即可求解； [提升]（）以点为圆心，以为半径作圆，过点作的平行线交圆于点，两点即旋转后的对应点，平移即可与重合，过点作，垂足为点，作，垂足为点，设为，则，求出，，，可得到，，，，从而求解． 【详解】解：[操作]（）以为旋转中心，将线段逆时针旋转，再沿水平向右的方向平移个单位后得到线段，如图， ∴即为所求； [理解]（）如图，由题可知，为水平线段，将线段以为旋转中心作变换得到线段， ∴，，，四边形为平行四边形， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴四边形的面积 ， [提升]（）如图，以点为圆心，以为半径作圆，过点作的平行线交圆于点，两点即旋转后的对应点，平移即可与重合， 过点作，垂足为点， ∵中，，，， 作，垂足为点，设为，则， 根据勾股定理得：， ∴，解得：， 即，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴使线段以为旋转中心，经过变换或变换后对应线段的端点落在点处． 1．（2025·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变， ∴平移后的点坐标为， 故选：B． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点在新坐标系中的第一象限，且与原来横纵坐标互换，均为正数，即可求出． 【详解】解：将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置， ∴此时点在新坐标系中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴点在新坐标系中的坐标为， 故选：B． 3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 4．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 7．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程． 9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查矩形的性质，旋转的性质，全等、相似三角形的判定与性质，找到全等三角形和相似三角形建立线段之间的等量关系是解题关键． 先通过矩形的性质求出的长，再取与的交点为M，通过旋转和矩形的对角线相等且互相平分，证明，再利用等边对等角和对顶角，三角形内角和，推出，通过已知条件得到相似比，建立线段之间的等量关系，最后列方程求出对应的值即可． 【详解】解：如图，取与的交点为M， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是矩形的对角线，的交点， ∴， ∴， 由旋转的性质，可知，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， ∴， ， ∴的周长为， 故选：B． 10．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 11．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 【答案】 【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结， ∴ ∵面积为24， ∴ ∴， 过点C向上作线段，使得， ∵ ∴ 即 ∴， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点D在以为直径的圆上， ∵， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键． 12．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： ∵， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 13．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下： (1)若时， 如图①，点D在延长线上时，易证：； 如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键． （1）①由，，得到是等边三角形，从而∴，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；②由，，得到是等边三角形，从而，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论； （2）同（1）思路即可求解． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ， ∴， ∴． ②解：，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ， ∴， ∴． 14．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【分析】（1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长； （2）将绕点B逆时针旋转得，连接，先由旋转性质可得：，根据全等三角形的性质可得，，，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再根据平行线的性质可得，进而可证明，再利用勾股定理可求解； （3）先利用正方形的性质，结合，可得同H为中点，是等腰直角三角形，从而可得，再根据中位线定理可得，，从而可说明是等腰直角三角形，再根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，于是就有，进而求得，再证明，列出比例式，求得的值． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至， ∴，，，， ∴，， ∴点M在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴成立； ②∵，，， ， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为； （2），理由如下： 将绕点B逆时针旋转得，连接，如图： 由旋转性质可得：， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）过C作于H，连接，设交于K，如图： ∵四边形是正方形，， ∴H为中点，是等腰直角三角形， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形综合应用，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质． 15．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第33讲 图形的平移与旋转 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 图形的平移 题型01 平移的点的坐标变化 题型02 利用平移的性质求解 题型03 平移作图 命题点二 图形的旋转 题型01 旋转的点的坐标变化 题型02 旋转作图 题型03 求旋转中心和旋转角 题型04 利用旋转的性质求解 题型05 利用旋转的性质证明 05·重难突破·思维进阶 21 突破一 平移综合问题 突破二 旋转综合问题 06·优题精选·练能提分 26 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 图形的平移 辽宁省卷 T8 辽宁省卷 T12 营口卷T12 理解平移的概念，掌握方向、距离两要素。 探索并掌握平移的基本性质。 能在平面直角坐标系中写出点平移后的坐标，描述图形的平移变换。 能按要求画出平移后的图形，解释生活中的平移现象。 运用平移的性质解决坐标变化、面积等计算问题。 图形的旋转 辽宁省卷 T22 辽宁省卷 T22 丹东卷T25 沈阳卷T25 营口卷T16 鞍山卷T16 盘锦卷T25 阜新卷T23 锦州卷T24 抚顺、葫芦岛卷T16 抚顺、葫芦岛卷T25 本溪、铁岭、辽阳卷T18 本溪、铁岭、辽阳卷T25 理解旋转的概念，掌握旋转中心、方向、角度三要素。 探索并掌握旋转的基本性质。 能在平面直角坐标系中描述图形绕原点旋转90°、180°、270°的坐标变换。 能按要求画出旋转后的图形，确定旋转中心与旋转角。 运用旋转的性质解决角度计算、全等证明、最值等问题。 命题预测 图形的平移与旋转考点为每年辽宁中考的必考点，难度跨度较大，题型考查也较为多样，注重综合能力的运用。图形的平移以考查点坐标的平移问题为主，要能根据平移规律求平面直角坐标系中的点的坐标变化，难度较低，为中考的必拿分。图形的旋转以线段或三角形的旋转为主要背景，强化与全等、相似、等腰三角形的结合，考查与特殊几何图形结合的综合压轴题，常涉及到结合几何图形图象分类讨论等。 考点一 图形的平移 1.平移的定义 在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动一定的距离，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移。它是由移动方向和距离决定的。 2.平移的性质 （1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等； （2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等； （3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离。 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·模拟预测）将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点二 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 2.旋转的三要素 旋转中心、旋转方向和旋转角度． 3.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等． 1．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 3．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______． 命题点一 图形的平移 ►题型01 平移的点的坐标变化 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移后点的对应点是，则点的对应点的坐标为________________． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）把平面直角坐标系中点向上平移3个单位得到点B，若点B在x轴上，则______． 【变式】1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）对于点与点，下列说法不正确的是（   ）． A．将点A向下平移5个单位长度可得到点B B．A、B两点的距离为5 C．点A到y轴的距离为2 D．直线与x轴平行 【变式】2．（2026·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横纵坐标相等，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·二模）第一象限内有两点，将线段平移使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是________________． ►题型02 利用平移的性质求解 【典例】1．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，将线段水平向左平移个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为______． 【变式】3．（2025·辽宁·一模）如图，的周长为8cm，将三角形沿BC方向平移得到，连接AD，则阴影部分的周长为________cm． ►题型03 平移作图 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）网格中每个小正方形的边长表示1，有和半径为2的．所有的已知点都在格点上． (1)将进行平移，使点A平移到点D，画出平移后的图形； (2)以点M为位似中心，在网格中将放大到原来的2倍，画出放大后的图形，并在放大后的图形中标出线段的对应线段； (3)在（2）所画的图形中，求线段截所得的弦长．（结果保留根号） 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，； (1)平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标； (2)将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标； (3)已知将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心P点的坐标． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，则该点的坐标为________． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称．    【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0） （1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标． 命题点二 图形的旋转 ►题型01 旋转的点的坐标变化 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，将线段绕点旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，正方形的两边分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把绕点顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是 A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁大连·一模）如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转得到点，左平移8个单位长度得到点，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，，两点的坐标分别为，，线段绕原点按顺时针方向旋转后，点的对应点是点，则点的对应点的坐标是__________． ►题型02 旋转作图 【典例】1．（2026·辽宁·模拟预测）在如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出绕点顺时针旋转后得到； (2)在（1）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将绕原点O顺时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为、、． (1)请你在图中画出； (2)在（1）的条件下，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． (3)在x轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【变式】2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）．请解答下列问题： (1)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标； (2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转至A2经过的路径长． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． (1)画出关于原点O对称的； (2)将绕点E顺时针旋转得到，画出； (3)若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为 ． ►题型03 求旋转中心及旋转角 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【典例】2．（2025·辽宁·一模）两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·三模）在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是______，旋转角是______． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在网格（每个小正方形的边长都是一个单位长度）中建立平面直角坐标系，的三个顶点，，都在格点（网格线的交点）上． (1)通过旋转，可使与重合，请在图中标出旋转中心． (2)将绕原点旋转，得到，请画出． ►题型04 利用旋转的性质求解 【典例】1．（2025·辽宁丹东·一模）如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到（，），连接，，当为直角三角形时，的长度是_______． 【变式】1．（2026·辽宁阜新·一模）如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为______． 【变式】3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在等边三角形中，点在上，点在上，与交于点，． (1)求证：； (2)若，则__________； (3)如图2，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转，使与重合，点的对应点为，的延长线交的延长线于点， ①求证：； ②求的面积． ►题型05 利用旋转的性质证明 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：． ①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (2)【类比分析】 李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：． (3)【学以致用】 如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点为中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图，过点作于点，于点，试判断与之间的数量关系．并说明理由． (3)如图，延长，交于点，，． ①求的值； ②在①的条件下，从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，交平行四边形的边于另一点，若该点分所在边的两条线段比值为，则称这个平行四边形为“垂平行四边形”，称垂足为“垂点”．如图，在中，点分线段为，因为，所以为“垂平行四边形”，垂足为“垂点”． 如图，从中得到，于点．在以为边的“垂平行四边形”四边形中，垂足为“垂点”，点在的边上．过点作，交的一边于点，将沿翻折得到，连接，，请直接写出的值（用含的代数式表示）． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·二模）发现问题 （1）如图1，在中，，点为线段上的点，，则和的数量关系是_______； 应用问题 （2）在中，，点在线段上，点在的延长线上，点，点在线段同侧，，将线段绕点旋转使点的对应点落在线段上，且． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，点，点为直线，上的两个动点，，点为的中点，直接写出线段的最小值． 【变式】2．（2025·辽宁本溪·一模）在中，，将绕点顺时针旋转，得到，以和为边作（点与点不重合），直线与射线交于点．          (1)如图1，当是直角三角形，时，求证：； (2)如图2，当是锐角三角形时，求证：四边形是菱形； (3)直线与射线交于点，若，直接写出的值． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图．在中，，，为线段上一点，直线经过点，且，为直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：． (2)如图2，作的平分线，交直线于点，当点落在上时；猜想与的数是关系，并证明． (3)已知，作射线交直线于点． ①如图3，若，当为线段的中点时，求线段的长； ②如图4，点在直线的下方，且，以为边在的右侧作正方形，当点落在射线上时，求线段的长． 突破一 平移综合问题 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为(    ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．    (1)如图1，平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，则点D的坐标为 ； (2)如图2，平移线段到线段，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内． ①此时点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为y，点C的纵坐标用y的代数式表示为 ； ②连接，，若的面积为7，求点C，D的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使与的面积之比为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且B点坐标是，，延长，与x轴相交于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)将菱形沿x轴向右平移得菱形，设，菱形与重叠部分的面积为S． ①如图2，当点在y轴上时，求S的值； ②当时，请直接写出t的值． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线，直线上点A的横坐标为2，过点A作轴交直线于点B．以长为边向上构造矩形 (1)当直线在直线的上方时，求自变量x的取值范围； (2)将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点A的对应点落在直线上． ①求n关于m的函数关系式； ②直线交直线于点P，交直线于点Q，当点P和Q关于点成中心对称时，求m的值； ③直线，直线与矩形的边，分别交于点M，N，当时，求点的坐标． 突破二 旋转综合问题 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·三模）如图，在中，，，，P是边上一动点，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为________． 【典例】2．（2025·辽宁阜新·二模）在数学课上，同学们探索正多边形中隐藏的变化规律．已知正边形每个内角的度数为，点在上，连接，将绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接，探究的度数和的关系． 【问题初探】 小明同学就等边三角形．给出了方法：如图1，在上截取，连接，易证，．在小明的启发下，同学们顺利地求出了正方形和正五边形等正多边形中的度数． （1）图2和图3分别是正方形和正五边形，分别写出的度数；图2中______，图3中______，正边形中______； 【类比探究】 （2）如图4，是等边三角形，点在的延长线上，过点作的垂线，点在上，且，连接，将射线绕点顺时针旋转，交直线于点，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在矩形中，交于点．点在上，连接，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点，连接并延长，交于点，连接．若，求的面积． 【变式】1．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．    【变式】2．（2023·辽宁·中考真题）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．        (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请直接写出的长． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，，点F在边上，，交于点E． (1)求的长． (2)将图1中的绕点B顺时针旋转得到，点E，F的对应点分别为M，N，连接． ①如图2，连接，求的值； ②在绕点B旋转的过程中，C，M，N三点第一次共线时，求的长； ③连接，P是线段的中点，当点M，N都在的外部，且时，求的面积． 1．如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是（　 　  ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图，将绕点旋转至，点在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，其中点，，，将的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是______． 6．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 7．将点向右平移n个单位长度到达点Q，若点Q的横坐标和纵坐标相等，则______． 8．已知点，，将线段平移至，点的对应点分别为点，若，，则的值是______． 9．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿方向平移到的位置，，平移距离为4，则阴影部分面积为______． 10．如图，中，，将绕点顺时针旋转角得到，点和点是对应顶点，设，当时，与之间的数量关系为______． 11．在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为____________________． 12．平面直角坐标系中，将一个点先向上平移个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转角度．我们把这样的变换叫做点的变换．例如，点按变换后得到点．若点按变换后得到点，则点的坐标为_____． 13．如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出； (3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数． 15．如图1，在四边形中，，． (1)用等式写出和的数量关系是______； (2)如图2，连接，．求证：平分； (3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到． ①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状； ②如图4，当交于点时，若，，求的值． 16．如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则______．      17．在中，，，，点D是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．    (1)在菱形绕点D旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值； (2)当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积． 18．【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知；    如图2，当时，则与的数量关系为 ；    （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；    【拓展应用】 （3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．    19．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． (1)如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有t的值 ． 20．【定义】：以线段l的一个端点为旋转中心，将这条线段逆时针旋转再沿水平向右的方向平移个单位后得到线段（若，表示沿水平向右的方向平移，若，则表示沿水平向左平移个单位），称线段到线段的变换为．如图，是线段以为旋转中心经变换后得到线段的过程． 【操作】：（1）如图是边长为的正方形网格，线段的端点在格点上，以为旋转中心，在图中画出线段经过变换后的对应线段． 【理解】：（2）如图，，，其中为水平线段，将线段以为旋转中心作变换得到线段，连接，求四边形的面积． 【提升】：（3）如图，中，，，，其中为水平线段，是否存在这样的变换，使线段以为旋转中心，经过变换后对应线段的一个端点落在点处，若存在，直接写出所有的变换； 1．（2025·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 5．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（  ） A．3 B．2 C．1 D． 6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________． 12．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 13．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下： (1)若时， 如图①，点D在延长线上时，易证：； 如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． (2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 14．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 15．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $