第15讲 二次函数与几何综合（复习讲义，7考点8题型1重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数与几何综合，覆盖新定义、最值、线段、面积等八大命题点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析及题型预测，形成“梳理-指导-训练”系统复习链，针对性突破中考压轴题难点。 亮点在于“新定义问题情境化教学”和“分层训练体系”，如通过“升幂函数”真题培养抽象能力与推理意识，设基础巩固到全国新趋势三级练习。教师可依托典例变式把控节奏，助力学生高效提升代数几何综合应用能力。

第三章 函数 第15讲 二次函数与几何综合 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 新定义问题 题型01 新定义问题 命题点二 最值问题 题型01 最值问题 命题点三 线段长度问题 题型01 线段长度问题 命题点四 面积问题 题型01 面积问题 命题点五 特殊三角形问题 题型01 特殊三角形问题 命题点六 特殊四边形问题 题型01 特殊四边形问题 命题点七 角度问题 题型01 角度问题 命题点八 相似三角形问题 题型01 相似三角形问题 05·重难突破·思维进阶 35 突破一 二次函数与几何图形交点问题 06·优题精选·练能提分 39 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 新定义问题 / 辽宁省卷 T23 / 熟练掌握并利用二次函数图象与性质，理解与新定义问题中的出现的新概念结合应用，掌握二次函数与几何图形的结合，体会熟练代几综合问题，着重考查知识迁移、逻辑推理和综合应用能力。 最值问题 辽宁省卷 T23 / / 线段周长问题 / / 鞍山卷T26 抚顺、葫芦岛卷T26 面积问题 / / 盘锦卷T26 阜新卷T24 特殊四边形问题 / / 丹东卷T26 锦州卷T25 本溪、铁岭、辽阳卷T26 相似三角形 问题 / / 沈阳卷T25 角度问题 / / 营口卷T25 命题预测 二次函数的与几何综合为中考必考题，考查形式以解答压轴题为主，覆盖代数综合与几何综合核心考点，考查二次函数代数内容与几何图形模型结合的应用意识，题型多变，难度较大，要注意图形的多解情况，及验证解的合理性。 考点一 新定义问题 1．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式； (3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 3．（2025·辽宁丹东·一模）定义：为函数的“基因数”，若点（k为常数且）在这个函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如的“基因数”是，点是函数的2倍值点，的“基因数”是，点是函数的倍值点． (1)若函数的“基因数”是，则函数向上平移1个单位，得到函数，则函数的“基因数”是________； (2)若函数的“基因数”是，将函数的图象沿x轴翻折，得到的函数的图象，则函数的“基因数”是________； (3)若函数的“基因数”是，且图象过点，点，点，当时，求n的取值范围； (4)设函数的“基因数”是，点A是在第一象限的1倍值点，作射线，在射线上取一点，，过点B作y轴的平行线交的图象于点C，过点C作x轴的平行线交的图象于点D，以，为边作矩形． ①求矩形周长最大时点C的坐标； ②在①的结论下，矩形不动，将的图象沿方向平移个单位得到，在上恰存在的k倍值点M，使直线将矩形的面积均分，请直接写出点M的横坐标． 考点二 最值问题 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）． (1)①判断：函数 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的明德点是 ___________； (2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围； (3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值． 3．（2025·辽宁阜新·二模）定义：点是轴上一点，函数的图象与函数的图象关于点中心对称，将这一变换称为“变换”．将函数的图象在直线的左侧部分与函数的图象在直线上及右侧部分组成的新图象记为对应的函数为． (1)若，函数图象上的点经过变换后的坐标为______； (2)若函数为直线为直线，则点的坐标为______； (3)已知，且 ①若图象上的三个点，且的面积为2，求的值； ②当时，图象上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为，求关于的函数关系式． 考点三 线段周长问题 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为________． 2．（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”． (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标． (3)在（）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围． (4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点， ，与y轴交于点C，连接，，点P为第三象限抛物线上一动点，过点P作 轴交直线 于点 M，过点 P作 交x轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图1，求 的最大值及此时点 P的坐标． (3)如图2，当点M在抛物线的对称轴上时，若点 Q，E分别在对称轴和抛物线上，且 ，，求点E的坐标． 考点四 面积问题 1．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是__________． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）一般地，在实数范围内的两个变量x，y，以及对应关系f，对于每一个实数x，y都有唯一确定的实数与之对应，则称f为定义在实数范围内的一个函数，即（x为使对应关系成立的全体实数）．例如：若，则；若，则．如图，函数的图象与x轴交于点A，且，与y轴交于点C，且．函数的图象经过点A和点C． (1)求的表达式． (2)如图，若为函数图象上的一点，作垂直x轴，垂足为E，延长交的图象于点F，此时称点D与点F互为“垂直点”，两垂直点函数值的差，即称为“垂直差”．当时，求的最大值以及此时的值． (3)若是函数图象上不与点B重合的一点，当的面积与的面积相等时，求出的值． 3．（2025·辽宁鞍山·三模）定义：若点（k为常数且）在函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如：点是函数的2倍值点，点是函数的倍值点． (1)若点B是函数的2倍值点，求点B的坐标； (2)已知函数有且只有一个k倍值点C，求k的值； (3)函数图象与函数图象交于D，E两点，函数有D，F两个k倍值点，求的面积． 考点五 特殊四边形问题 1．（2025·辽宁大连·一模）抛物线（，为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)求，的值； (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； (4)在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为． ①求关于的表达式； ②点是平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．（2025·辽宁锦州·三模）如图①，在平面直角坐标系中，若菱形满足，轴，则称该菱形为“标准可放缩菱形”．抛物线与轴交于点，，顶点为点，与轴交于点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若菱形的顶点与点重合，点恰好落在抛物线上，求点的坐标； (3)如图②，已知抛物线的顶点为点，其中，直线与抛物线，对称轴右侧的曲线分别交于点，，且，两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点，重合，求的值和点的坐标． 3．（2025·辽宁·模拟预测）【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： (1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； (2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值． ②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点六 相似三角形问题 1．（2024·辽宁·一模）如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到，连接．在线段上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△相似，则点P的坐标为________． 2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点七 角度问题 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，且点A在点B左侧，与y轴相交于点C，顶点为点D，点，是此二次函数的图象上的两个动点． (1)若点C的坐标为． ①求二次函数的表达式； ②如图1，当点P在直线BC上方，且时，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，交线段于点F，连接，，，求证：． (2)当四边形的面积为，且时，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，连接，，若，求m的值． 2．（2025·辽宁营口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接其中点的坐标为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，点为轴上的一个动点，过点作轴交于点当的长度最大时，求出此时点的坐标及的最小值； (3)如图，在的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接交线段于点，且满足，请直接写出符合条件的点的坐标． 3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC． (1)求抛物线y1的解析式； (2)如图1，点D是直线上方抛物线上的一点，过点D作交于点E，连接，求的最大值； (3)如图2，只将图1中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F，连接，点G是抛物线第二象限上的一点，连接．若，请求出点G的坐标． 命题点一 新定义问题 ►题型01 新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）与二次函数的二次项系数相同的二次函数统称为“系二次函数”．由初中阶段学习可知，二次函数的二次项系数决定函数图象的开口方向和大小，所以“系二次函数”的图象与的图象开口方向相同，形状相同；从平移变换角度来看，“系二次函数”可以看作是由二次函数的图象沿轴和轴作平移变换得到的．如“1系二次函数”是由沿轴向下平移2个单位距离后得到的． (1)如图1，已知“系二次函数”是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到，其中点平移后的对应点为，连接，，得到四边形，若四边形的面积为18，求的值； (2)如图2，已知为上的点，为等腰直角三角形，，将作平移变换后得到“系二次函数”（为大于零的常数），该函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点平移后的对应点分别为，直线与轴交于点． ①求点的纵坐标； ②若，求的值； ③在②的条件下且时，连接．点分别从点以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行，当点到达原点时，两点停止运动，过点的直线轴，交直线于点，求的面积与点的运动时间（秒）的函数关系式，并求出的最大值． 【典例】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为理想函数，这两个点称为函数，的一对理想点．例如，函数与函数为理想函数，点和点是这两个函数的一对理想点． (1)请写出函数与函数的一对理想点 ；（写出一对即可） (2)若对于任意实数k，函数与始终为理想函数，求b的值； (3)若函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，求的取值范围． 【变式】2．（2025·辽宁本溪·三模）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行，则称该矩为点的“对角矩形”． (1)如图2，点的坐标为． ①若点的坐标为，则点的“对角矩形”的周长为___________； ②直线与轴交于点，与轴交于点，在线段上存在点，使点的“对角矩形”为正方形，请求出点的坐标； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若点的“对角矩形”面积为9，求的值； (3)已知，点是抛物线上的点． ①若，点在第一象限，且点在点的上方，当时，求点的“对角矩形”的周长的最大值及点的坐标； ②若，当点的“对角矩形”与抛物线存在两个交点时，求出的取值范围． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·二模）已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“级函数”，点和点分别在函数和的图象上，此时称点为点关于的“级点”．例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”，点为点关于的“2级点”． (1)如图，点在反比例函数的图像上，当点为点关于的“级点”时，求点的坐标； (2)函数是函数的“级函数”，并且经过点． ①求的值； ②若点在函数的图像上，点为点关于的“级点”，当点在点上方时且，请直接写出点的坐标_________； (3)函数为函数的“级函数”，点在函数的图象上，点为点关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求的值； ②记函数为函数、中的较大值，若，求的值． 命题点二 最值问题 ►题型01 最值问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，当 点满足时，称点是点的“差反点”． (1)判断点， 哪个是点的“差反点”？ (2)若直线上的点A 是点的“差反点”，求点A的坐标； (3)抛物线上存在两个点是点的“差反点”，求p 的取值范围； (4)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t 的值． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)求函数的“最优值”； (3)已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·三模）已知，，如果点的坐标满足，，就称点C是点A，B的“巧合点”，例如：，，当满足，时，则点是点A，B的“巧合点”． (1)已知点，，点C是点A，B的“巧合点”，求C的坐标． (2)如果点，点的“巧合点”是，求点E和点F的坐标． (3)已知点是直线上的一动点，点是抛物线上一动点，点是点M，N的“巧合点”，请求出Q中y关于x的函数表达式（表达式中含有a），并根据表达式判断，该函数图象是否有最低点，如果有，请写出最低点坐标；如果没有，请说明理由． (4)在（3）y关于x的函数中，当自变量时y的最大值与最小值的差为16，求a的值． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（为任意实数）对称，则称该函数为“函数” (1)下列函数：①；②；③．其中是“函数”的是________（填序号）． (2)若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于，两点（点在点的左侧），函数图象的顶点为点，当时，求，的值． (3)若关于的函数是“函数”，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求的值． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求n的值． 命题点三 线段长度问题 ►题型01 线段长度问题 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上在上方一个动点，连接交于点，则最大值是______． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·二模）在平面直角坐标系中，点和点都在抛物线上，点在抛物线对称轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为． (1)当时，求点的纵坐标； (2)若点的纵坐标为，求点的坐标； (3)当点不在轴上时，过点作轴于点． ①当点在轴上方，且抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求点的坐标； ②当点在抛物线对称轴右侧时，直线交直线于点，点是点关于轴的对称点．若的周长是周长的倍，直接写出的值． 【变式】1．（2025·辽宁阜新·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点． (1)当时，求的面积； (2)请求出的面积关于的函数表达式； (3)如果直线与函数的图象有四个交点，从左到右依次记为为，，，，若，为线段的三等分点，求的值． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）阅读理解： 如图所示，在平面直角坐标系中，可以将函数通过“坐标特定变化”得到它的“变化函数”，即将函数图像上的各点横坐标不变，纵坐标都乘以m（m为常数，且，）得到函数，或者将函数图像上的各点纵坐标不变，横坐标都乘以n（n为常数，且，）得到函数，则称函数和均为函数的“变化函数”．如：将函数图像上各点的纵坐标都乘以3，横坐标不变，得到函数；或将图像上各点的横坐标都乘以，纵坐标不变，得到函数，我们称函数和均为函数的“变化函数”．类似的，我们也可以对其它函数进行变化．实践应用： (1)求出将图像上各点的纵坐标都乘以4，横坐标不变得到的“变化函数”的表达式； (2)求出将反比例函数图像上各点的横坐标都乘以5，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； (3)已知函数， ①求出将函数的图像上各点的横坐标都乘以2，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； ②点A是①中“变化函数”图像上位于x轴下方的一个动点，设动点A的横坐标为a，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作轴于点B，轴于点C．设矩形的周长为y，求y关于a的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数y的图像相交，且截得的线段长为时，请直接写出t的值． 命题点四 面积问题 ►题型01 面积问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4，连接交y轴于点C，连接，，点E是抛物线上一动点，的面积与的面积相等，则点E的横坐标为________． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）与二次函数的二次项系数相同的二次函数统称为“系二次函数”．由初中阶段学习可知，二次函数的二次项系数决定函数图象的开口方向和大小，所以“系二次函数”的图象与的图象开口方向相同，形状相同；从平移变换角度来看，“系二次函数”可以看作是由二次函数的图象沿轴和轴作平移变换得到的．如“1系二次函数”是由沿轴向下平移2个单位距离后得到的． (1)如图1，已知“系二次函数”是由的图象沿轴向上平移一段距离后得到，其中点平移后的对应点为，连接，，得到四边形，若四边形的面积为18，求的值； (2)如图2，已知为上的点，为等腰直角三角形，，将作平移变换后得到“系二次函数”（为大于零的常数），该函数与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其中点平移后的对应点分别为，直线与轴交于点． ①求点的纵坐标； ②若，求的值； ③在②的条件下且时，连接．点分别从点以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行，当点到达原点时，两点停止运动，过点的直线轴，交直线于点，求的面积与点的运动时间（秒）的函数关系式，并求出的最大值． 【变式】1．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为________． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数在直线下方的图象关于直线对称的图形，与原函数中剩下部分共同组成一个新的函数图象，则称这个函数为原函数关于的“镜面函数”． (1)图1是函数的图象，则它关于直线（x轴）的“镜面函数”的图象如图2所示，它的表达式为直线与该“镜面函数”交于A，B两点，求线段AB的长． (2)如图3，函数，求其关于直线的“镜面函数”与x轴围成的图形的面积． (3)已知函数． ①当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求a的值． ②如图4，函数的顶点为A，与直线交于B，D两点（点B在点D的左侧），点A关于直线的对称点为点C，AC与BD的交点为E，点M在函数关于直线的“镜面函数”上，直线AM与线段ED的交点为P，过点P作交BC于点Q，连接AQ，当四边形ABCD为正方形时，设的面积为，正方形ABCD的面积为，当时，求点M的横坐标． 【变式】3．（2025·辽宁辽阳·二模）综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为 ． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 命题点五 特殊三角形问题 ►题型01 特殊三角形问题 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴的负半轴交于点B，点B坐标为，如果点P在轴上，且是等腰三角形，则P的坐标为________． 【典例】2．（2025·辽宁锦州·二模）定义：在平面直角坐标系中，关于与的函数图象，当时，将函数对应的图象向上平移个单位长度，当时，将函数对应的图象向下平移个单位长度，变化后的图象所对应的函数表达式为，我们称函数为函数的“对称平移函数”，为函数的“对称平移距离”．若函数的“对称平移函数”经过原点． (1)求函数的“对称平移距离”； (2)若函数的“对称平移函数”在范围内的最大值比最小值大，求的值； (3)函数的“对称平移距离”为，它的“对称平移函数”与函数的“对称平移函数”的交点为（点在点的左侧），与轴交点为轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）定义：如果一个等腰三角形的顶角为，则称该等腰三角形为等腰三角形，称这个等腰三角形的顶角顶点为等腰点，过等腰点的函数叫做这个三角形的破角函数． 如图，平面直角坐标系中，点，点 (1)若点C是的等腰点，一次函数是的破角函数，直接写出的解析式； (2)点Q是y轴正半轴上一点，平行于y轴，是等腰三角形，P是等腰点，反比例函数是的破角函数，求的解析式； (3)如图2，二次函数与x轴交于A，D两点，与y轴交于点E，是等腰三角形，M是等腰点，且，是的破角函数． ①求的解析式； ②当时，的最大值为，最小值为4，直接写出m的取值范围； ③把线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，在对称轴左侧，是等腰三角形，N点落在对称轴上时，求N点坐标． 【变式】3．（2025·辽宁本溪·一模）定义：在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某三角形的腰，且该等腰三角形底边与轴垂直，则称这个等腰三角形为点，的“逐梦三角形”．设等腰三角形的底边长为，底边上的高为，把叫等腰三角形的“胖瘦度”． (1)如图1，在中，，，，求该三角形的“胖瘦度”； (2)如图2，若，是直线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的右侧，若，，求值； (3)若，是抛物线上的两点，点，的“逐梦三角形”以为底，且，均在点的同侧（左侧或右侧），点的横坐标是点的横坐标的2倍，设点的横坐标为． ①若，求的值； ②过，分别作垂直于轴的直线，，该抛物线在，之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为，直接写出与之间函数关系式．（不用写出自变量的取值范围） 命题点六 特殊四边形问题 ►题型01 特殊四边形问题 【典例】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，（）是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点B，C的坐标； (2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围； (3)过点M作轴交于点D，过点N作轴交于点E，设四边形的周长为． ①求与m之间的函数关系式； ②若四边形为菱形，求m的值； ③若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）将函数在y轴一侧的部分沿y轴对折，对折后的图象与对折前的图象构成一个新的函数图象，我们将这样的函数图象称为“偶函数图象”，对应的函数称为“偶函数”，图象上关于y轴对称的点称为“对偶点”．求一个“偶函数图象”的表达式，一般情况我们可以先求y轴一侧部分的表达式，然后找出部分点，求出其“对偶点”，最后根据待定系数法求出y轴另一侧部分的表达式即可．例如：如图1，函数图象在左边经过点，则点A，B的“对偶点”分别为，，设左边部分的表达式为，右边部分的表达式为．将点，，，分别代入，解得．∴“偶函数图象”的表达式为． (1)如图2，当时，该图象为反比例函数图象的一部分，若函数图象经过点，求“偶函数图象”的表达式． (2)若点与点是一个“偶函数”上的“对偶点”，求的值． (3)如图3，若“偶函数”位于y轴左侧的表达式为． ①求该“偶函数”位于y轴右侧的表达式． ②记该“偶函数图象”的两个最高点分别为A，B，与y轴的交点为C，判定的形状． ③在②的条件下，在象限内（不含坐标轴上的点）是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求线段BC的长； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·一模）已知和都是自变量x的函数，若当时，，当时，，则称函数为函数的“关联函数”．例如：函数，则称为函数的“关联函数”，图1、图2分别为、的图象． (1)若点在函数的“关联函数”的图象上，求m的值； (2)点P是反比例函数图象上的一点，且纵坐标为2，过点P作轴，交的“关联函数”的图象于点Q，当时，则________． (3)二次函数的图象过，两点， ①当时，的取值范围是，求n的值； ②若点P在的图象上，且P点的横坐标为，点Q坐标为，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当的图象在矩形内部的点纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出t的取值范围． 命题点七 角度问题 ►题型01 角度问题 【典例】1．（2025·辽宁丹东·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），点C在抛物线上，坐标为，，连接，按照以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点E，交于点F；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，在下方与弧交于点H；④以点H为圆心，长为半径画弧，在点H下方与弧交于点I；⑤连接并延长交抛物线于点D，则的长为_____． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）已知，抛物线交x轴于、，交y轴于，若或，那么就称二次函数为“和协二次函数”． (1)判断函数是否为“和协二次函数” （填“是”或“否”）； (2)若是“和协二次函数”，求值； (3)已知“和协二次函数”交轴于、（在的左边）交轴于，顶点为． ①如图（1），在直线上方的抛物线上有、两点，是否存在这样的点，使总是大于，若存在，求点坐标，若不存在请说明理由； ②如图（2），逆时针旋转，使其恰好经过抛物线的顶点，沿射线方向平移抛物线，得到新抛物线，其顶点为，两抛物线交于点，若，求平移的距离． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，B两点，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移后得到抛物线，且抛物线的顶点始终在抛物线上， ①当点P在第一象限时，抛物线与y轴交于点E，若的面积为时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线绕点P旋转得到抛物线，抛物线与直线交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接，，若，求直线的解析式． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 命题点八 相似三角形问题 ►题型01 相似三角形问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．      (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例】2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设． 连接，当与相似时，求的值； 当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． (1)求点B的坐标和抛物线的解析式； (2)为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． ①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； ②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”．请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 突破一 二次函数与几何图形交点问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数L的图象位于直线左侧的部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数L的“相关函数”．函数的图象记作F1，函数L的图象未翻折的部分记作，和合起来记作图象F．例如函数L的表达式为，当时，求它的“相关函数”的表达式为． 解：根据题意，将函数L：的图象在左侧的部分沿直线翻折得到函数的图象，设所得函数的表达式为，在的图象上任意取两点和，可得这两点关于的对称点和，把和代入得：． 学以致用：请同学们观察上面例题的解题思路解答下列问题 (1)如图，函数L的表达式为，当时，求它的“相关函数”的表达式． (2)函数L的表达式为，当时，求它的“相关函数”的表达式． (3)函数L的表达式为，当时，图象F上某点的纵坐标为，求该点的横坐标． (4)已知函数L的表达式为，点A，B的坐标分别为，，如果图象F与线段只有一个公共点时请结合函数图象，直接写出m的取值范围． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知分别是关于自变量x的函数，点在的图象上，点在的图象上．定义：我们把称为与的“m界距离”． 例如：若函数，当时，时，，则把2称为与的“2界距离”． (1)若，求与的“界距离”； (2)在平面直角坐标系中，的图象如图所示； ①设与，的“m界距离”为d，求d与m的表达式，并写出m的取值范围； ②连接，以为边作正方形（点按逆时针顺序排列），当与有交点时，求m的取值范围． 【典例】3．（2025·辽宁·模拟预测）★定义：符合一定条件的动点所形成的图形叫做轨迹． 在二次函数中，我们可以发现一类含有参数的抛物线，这类抛物线随着参数的变化而变化，主要可以分为二次项含参与非二次项含参的抛物线．一般地，对于这两类抛物线，我们都可以通过探究顶点的轨迹来确定它们的运动路径． 已知函数，其中为常数，记函数的图象为G． (1)当时，已知在图象上，求的值； (2)已知函数图象的左支顶点坐标为，求关于的函数关系式（无需写出自变量的取值范围）； (3)在平面直角坐标系中存在直线，设函数表示直线与间函数最大值与最小值的差．求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (4)在题目的条件以及定义的提示下，请从下列两个问题中选取一个问题作答，选取第一个问题作答得4分，选取第二个问题作答得2分，请在答题卡上标出你所选择问题的序号并写出答案．若同时选取①，②进行作答则按照第一个解答内容计分． ①已知四边形的顶点坐标分别为．若图象与四边形有两个公共点，请直接写出的取值范围． ②平面直角坐标系中存在直线，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·二模）对于函数定义变换：当时，函数值不变；当时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换后的函数称为原函数的“变换函数”． 如：一次函数，变换函数为． (1)已知反比例函数，请写出它的“变换函数”的表达式； (2)已知二次函数，点在它的“变换函数”的图象上，求a的值； (3)在平面直角坐标系内，有点，，将二次函数沿y轴方向平移t个单位长度（向上平移时，向下平移时），平移后的函数记为． ①若的“变换函数”经过点M，求t的值； ②若的“变换函数”与线段恰有两个公共点，求t的取值范围． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·一模）已知直线与抛物线相交于点和，反比例函数经过A点，将直线沿（为常数）在平面内翻折后，得到直线，设函数． (1)求m，n的值及抛物线的解析式； (2)若与恰好有2个公共点，求的值； (3)若与恰好有3个公共点，从左至右依次记为，，，且，求的值． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 1．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接，作于点．若，则点的坐标为______． 2．如图，二次函数（b，c均为常数）的图象与x轴交于点A，B，点P是x轴上方的图象上一点，轴于点Q，则的长为_________． 3．在平面直角坐标系中，是关于自变量的函数．给定一个实数，构造一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的“界变构函数”．例如：当时，一次函数的“1界变构函数”为． (1)求一次函数的“3界变构函数”． (2)点在反比例函数的“0界变构函数”上，求的值． (3)已知关于的二次函数，点在该二次函数的“界变构函数”上． ①求的值； ②当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，求的取值范围． 4．定义：在平面直角坐标系中，将点绕点顺时针旋转度，得到点，则称点为点的“度友情点”． 例如：当，即时，点的“友情点”为． (1)当，即时： ①如图1，求点的“友情点”的坐标； ②如图2，求点的“友情点”的坐标； (2)当，即时，点在图象上，点是点的“友情点”． ①求所在函数的解析式； ②在①中，点所在函数的图象与轴交于点，与轴交于点、点（点在点左侧）．点为轴上一动点，点为点的“友情点”，作射线，交点所在函数的图象于点，当，，三点中，一个点平分另外两点组成的线段时，求点的横坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 6．（2025·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式： (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由； (3)过点作轴的平行线交反比例函数图象于点，过点作轴的平行线交轴于点为边上一点，在边上是否存在一点，使得且为等腰三角形；若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 8．如图1，函数的图象与轴交于点A，B与轴交于点，连接，点为线段上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为．直线交的图象于点，连接，； (1)求直线的解析式； (2)当的面积等于3时，求点的横坐标； (3)定义：将函数的表达式取绝对值，得到一个新函数，称新函数为原函数的绝对函数．例如：函数的绝对函数为， ①直接写出函数（）的绝对函数的解析式（化简到去掉绝对值符号）； ②如图2，是函数当时的图象，交轴于点．连接，点是直线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的平行线，交函数图象于点．过点作轴的平行线，交函数图象于点，若点H，J，I，G构成的四边形是平行四边形，求的值． 9．定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 10．如图，抛物线经过x轴上、B两点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与直线交于A、E两点，与y轴交于点C．点P在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标； (3) F是直线BC上一点，D为抛物线上一点，是否存在点F，使得A，E，D，F四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请画图说明理由． 11．在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 12．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 13．新定义：如果实数，满足时，则称点为“初始点”，称点为“生成点”．例如：点是“初始点”，对应的“生成点”为点． (1)点是“初始点”，且点在一次函数的图象上，求，的值； (2)点是“初始点”，点对应的“生成点”在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，求值； (3)点是“初始点”，点对应的“生成点”是点，二次函数为常数）的顶点的轨迹记作，若，一次函数为常数）的图像与相交且有两个交点，求的取值范围． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 15．综合与探究 【定义】对于y关于x的函数，函数在范围内有最大值m和最小值n，则称为极差值，记作． 【示例】如图，根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出反比例函数的的值为________； (2)已知二次函数的图象经过点，求该函数的的值． (3)已知函数，函数的图象经过点，且一个函数的相等，求k的值． 16．如图，等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为．若抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是__________． 17．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为___________． 18．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的一组对边与某条坐标轴平行，则称该矩形为点的“对角矩形”． (1)如图2，点的坐标为． ①若点的坐标为，则点的“对角矩形”的周长为______； ②直线与轴交于点，与轴交于点，在线段上存在点，使点的“对角矩形”为正方形，请求出点的坐标； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若点的“对角矩形”面积为，求的值； (3)已知，点是抛物线上的点． ①当时，且点在第一象限，若点的“对角矩形”的周长为，求点的坐标； ②若是在之间的最高点，设点的“对角矩形”的面积为，当时，直接写出的取值范围． 19．已知y1是自变量x的函数，当（k为常数，）时，称函数为函数的“k级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点B为点A关于的“k级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”．点为点关于的“2级点”． (1)如图，点在反比例函数的图象上，当点 B 为点A关于的“1级点”时，求点B的坐标； (2)函数为函数的“k级函数”． ①求a的值； ②若点A在函数的图象上，点B为点A关于的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的取值范围 ； (3)函数为函数的“级函数”，点C在函数的图象上，点为点C关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求t的值； ②点M，N在函数的图象上，它们的横坐标分别为a，，以线段为对角线作矩形，平行x轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，设第三个公共点为K，若矩形的边长度为5，请直接写出点K的纵坐标 ． 20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点． (1)求的值和点坐标； (2)点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点，当是线段的三等分点时，求点坐标； (3)如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围． 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 6．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 8．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 11．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 12．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 13．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 14．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 15．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $null