第06讲 一元二次方程及其应用（复习讲义，3考点15题型2重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一元二次方程及其应用”专题，覆盖中考核心考点，包括概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，构建知识网络明确内在联系。通过考点梳理、方法指导（如配方法、公式法）和真题训练（辽宁近年中考题为例），帮助学生突破难点，体现复习教学的系统性和针对性。 亮点在于分层练习设计（基础巩固、能力提升、全国新趋势）和重难突破（新定义问题、动点问题），培养学生创新意识与数学思维。实际应用题型分类讲解（增长率、面积等），引导学生用数学语言表达现实问题，配合真题实战训练，有效提升应考能力，助力教师精准把控复习节奏。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 一元二次方程及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 一元二次方程的相关概念 题型01 一元二次方程的判断 题型02 一元二次方程的一般形式 题型03 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 命题点二 求解一元二次方程 题型01 对一元二次方程配方 题型02 灵活运用方法求解一元二次方程 命题点三 一元二次方程根的判别式 题型01 判断一元二次方程根的情况 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 题型01 已知一根求另一根 题型02 求涉根代数式的值 命题点五 一元二次方程的实际应用 题型01 增长率问题 题型02 销售利润问题 题型03 面积问题 题型04 传播问题 题型05 循环赛问题 题型06 其他问题 05·重难突破·思维进阶 21 突破一 一元二次方程的新定义问题 突破二 一元二次方程的动点问题 06·优题精选·练能提分 23 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程根的判别式 / / 鞍山卷T12 锦州卷T6 抚顺、葫芦岛卷T13 本溪、铁岭、辽阳卷T14 了解一元二次方程的概念，理解一元二次方程根的判别式的含义，会用判别式判断根的情况，并求参数取值范围。 一元二次方程根与系数的关系 / / 营口卷T14 了解一元二次方程根与系数的关系，理解并应用韦达定理解决求参数，求方程另一根，解决与根相关代数式求值等问题。 一元二次方程的实际应用 辽宁省卷 T9 辽宁省卷 T19 丹东卷T24 阜新卷T8 能根据题意列出并利用一元二次方程解决增长率、面积、利润、传播、数字等实际问题，掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，能根据具体问题的实际意义检验方程根的合理性。 命题预测 一元二次方程考点近年以考察一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 考点一 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。 2.一元二次方程的一般形式 （为常数，），其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项。 3.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 拓展 （1）有一个根为⇔ （2）有一个根为⇔ （3）有一个根为⇔ 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。 方程的根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无实数根 ①变形：将方程整理为； ②开方：等式两边同时开平方，得； ③求解：移项计算，得到方程的两个根； ④若n<0，方程无实数根。 （2）配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 ①移项：把常数项移到等号右边，得 ； ②化1：若二次项系数，方程两边同时除以，使二次项系数为1 ； ③配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④变形：将左边化为完全平方形式，得 ； ⑤开方求解：按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解。 （3）公式法 求根公式 是一元二次方程（且）的求根公式. ①化一般式：将方程整理为的形式； ②算判别式：计算的值； ③判断根的情况 若：方程有两个不相等的实数根； 若：方程有两个相等的实数根； 若：方程无实数根。 ④代入公式：当时，代入求根公式 ； ⑤化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。 （4）因式分解法 通过因式分解，将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。 ①移项：将方程所有项移到左边，使右边化为0，形式为； ②分解：把左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法； ③转化：根据“若，则或”，转化为两个一元一次方程； ④求解：分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 5.一元二次方程根的判别式 一元二次方程（）根的情况由来确定。我们把叫做一元二次方程（）根的判别式，通常用符号“”来表示，即。 6.一元二次方程根的情况 （）有两个不相等的实数根 （）有两个相等的实数根 （）无实数根 （）有实数根 1．（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2．（2026·辽宁鞍山·一模）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 若（）的两个根为，，则 ，以上称为韦达定理。 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为 . 设它的两根为， ， 这时有 ， 。 当常数项时，方程为，两根为，满足， 2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 1．（2023·辽宁营口·中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）若a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 考点三 一元二次方程的实际应用 解题步骤： 1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。 2.设：设未知数，有两种设元方式。 ①直接设元：问什么设什么； ②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。 4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。 5.验：双重检验。 ①检验方程的根是否满足方程； ②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。 6.答：写出答案，带单位。 1．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 2．（2023·辽宁阜新·中考真题）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 命题点一 一元二次方程的相关概念 ►题型01 一元二次方程的判断 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． ►题型02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式 （为常数，），其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项。 【典例】1．（2026·辽宁鞍山·一模）一元二次方程化成一般式后的值为（    ） A．3，－10，－4 B．3，－12，－2 C．8，－10，－2 D．8，－12，4 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A． B． C． D． ►题型03 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值，通常将它的解代入原方程中，求出参数或变形进行整体代入求出代数式的值，求参数时要注意隐形条件二次项的系数a不等于0。 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）若0是关于的一元二次方程的一根，则值为（   ） A．1 B．0 C．1或0 D． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若是方程的一个根，则c的值为（   ） A． B．8 C．9 D． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝ ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（        ） A． B． C．2024 D．2028 命题点二 求解一元二次方程 ►题型01 对一元二次方程配方 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ） A． B． C．0 D．2 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）用配方法解方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则n的值为 ． ►题型02 灵活运用方法求解一元二次方程 【典例】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）方程的实数根为 ． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 【典例】3．（2025·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）方程的根是 ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·二模）（1）解方程：； （2）解方程：． 命题点三 一元二次方程根的判别式 ►题型01 判断一元二次方程根的情况 一元二次方程根的情况 （）有两个不相等的实数根 （）有两个相等的实数根 （）无实数根 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·三模）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列一元二次方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁大连·一模）已知关于的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无解 B．当时，方程有一个实数解 C．当时，方程有两个相等的实数解 D．当时，方程总有两个不相等的实数解 ►题型02 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 【典例】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·一模）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式】3．（2025·辽宁朝阳·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 已知方程一根求另一根 若（）的两个根为，，则 。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为 ． ►题型02 求涉根代数式的值 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式】1．（2025·辽宁鞍山·二模）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）若实数，是一元二次方程的两根，则 ． 【变式】3．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2= ． 命题点五 一元二次方程的实际应用 ►题型01 增长率问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）新能源汽车是指采用非常规车用燃料（如电能、氢能等）作为动力来源，或使用新型车载动力装置的汽车，其核心特点是通过先进技术实现节能减排，推动汽车行业的绿色转型．某品牌新能源汽车年的销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，年的销售量比年增加了万辆．若设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场销售的某品牌滑雪服的标价为500元/套，经过两次降价后的价格为405元/套，并且两次降价的百分率相同． (1)求该品牌滑雪服每次降价的百分率； (2)考虑到滑雪服需求不断增加，该滑雪场再次购进A、B两种品牌的滑雪服共100套．已知A品牌滑雪服的进价为350元/套，B品牌滑雪服的进价为380元/套，两种品牌的滑雪服售价均为405元/套，且全部售完后总利润不低于4600元．求该滑雪场所购进的A品牌滑雪服至少多少套？ 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【变式】3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支元的A种玫瑰花，连续两次降价后每支以元的价格销售，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)将A、B两种玫瑰花（现售价和进价如下表格）共支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过元，如何搭配A、B两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？ 种玫瑰花 种玫瑰花 进价（元） 售价（元） ►题型02 销售利润问题 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·三模）每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个：单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元 (1)求y与x的函数关系式：每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元； (2)全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器． 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）某经销商销售一款机器零件，该款零件的进价为元/个，以元/个的价格出售，平均每天售出个，当该零件的售价每下降元则每天会多售出个零件，该款零件销售的利润率（利润率=）不低于，每个零件的售价为多少元时，该款零件每天的销售利润为元． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ ►题型03 面积问题 【典例】1．（2025·辽宁锦州·三模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某校生物实验兴趣小组的同学计划用长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为． (1)设边的长为，则边的长为 ．（用含的代数式表示） (2)若所围成的试验田的总面积为，求的长． (3)能否围成总面积为的试验田？请说明理由． 【变式】1．（2025·辽宁·一模）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 【变式】3．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． ►题型04 传播问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型．若设1名同学每次都能教会x名同学，下列结论错误的是（  ） A．1轮后共有名同学会做这个模型 B．第2轮又增加名同学会做这个模型 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素，经过三轮一共会有180名同学会做这个模型 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ ►题型05 循环赛问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，设该群一共有个人，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． ►题型06 其他问题 【典例】1．（2026·辽宁鞍山·一模）两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·一模）某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过 s落回地面．（结果保留小数后两位） 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 突破一 一元二次方程的新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）定义运算：，例如：，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例】2．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即． (1)“全整根方程的“最值码”是 ； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； 【变式】1．我们规定：对于任意实数，，，有▲，其中等式右边按照乘法和加法进行运算，如▲． (1)若▲，求的值； (2)若关于的方程▲有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【变式】2．若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 突破二 一元二次方程的动点问题 【典例】1．如图，在矩形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿方向运动，点以的速度沿的方向运动．当其中一点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，矩形的面积为，当时，的值为 ． 【典例】2．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：________，________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式】1．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【变式】2．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为秒． (1)求当为何值时，四边形是矩形； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 8．若关于x的方程的一个根为，则另一个根为 ． 9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 10．用适当的方法解下列方程 (1)； (2) 11．解方程： (1)（公式法） (2) 12．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 13．随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 14．小明用一条长为的绳子围成一个矩形． (1)当围成矩形面积是，求该矩形的长与宽； (2)能围成面积是的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则 ． 16．沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．现有阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元．但人均旅游费用不得低于700元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了费用27000元，求这个旅行团的人数． 17．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 18．阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数a，b满足，试求的值． 1．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 6．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 8．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 9．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 10．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 11．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 12．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 13．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 一元二次方程及其应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 一元二次方程的相关概念 题型01 一元二次方程的判断 题型02 一元二次方程的一般形式 题型03 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 命题点二 求解一元二次方程 题型01 对一元二次方程配方 题型02 灵活运用方法求解一元二次方程 命题点三 一元二次方程根的判别式 题型01 判断一元二次方程根的情况 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 题型01 已知一根求另一根 题型02 求涉根代数式的值 命题点五 一元二次方程的实际应用 题型01 增长率问题 题型02 销售利润问题 题型03 面积问题 题型04 传播问题 题型05 循环赛问题 题型06 其他问题 05·重难突破·思维进阶 49 突破一 一元二次方程的新定义问题 突破二 一元二次方程的动点问题 06·优题精选·练能提分 59 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程根的判别式 / / 鞍山卷T12 锦州卷T6 抚顺、葫芦岛卷T13 本溪、铁岭、辽阳卷T14 了解一元二次方程的概念，理解一元二次方程根的判别式的含义，会用判别式判断根的情况，并求参数取值范围。 一元二次方程根与系数的关系 / / 营口卷T14 了解一元二次方程根与系数的关系，理解并应用韦达定理解决求参数，求方程另一根，解决与根相关代数式求值等问题。 一元二次方程的实际应用 辽宁省卷 T9 辽宁省卷 T19 丹东卷T24 阜新卷T8 能根据题意列出并利用一元二次方程解决增长率、面积、利润、传播、数字等实际问题，掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，能根据具体问题的实际意义检验方程根的合理性。 命题预测 一元二次方程考点近年以考察一元二次方程的实际应用题为主，为每年必考点，考察形式多样化，选择题、填空题、解答题均可出题，常以增长率、销售利润、面积、动点等实际问题为背景，要会根据具体问题提取关键等量关系列出方程，并灵活利用配方法、公式法、因式分解法进行求解，并判断根的合理性。同时不可忽视根的判别式与根与系数的关系考点，通常以选择或填空题形式考查，难度不大，注意掌握结论与计算的准确性。 考点一 一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。 2.一元二次方程的一般形式 （为常数，），其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项。 3.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 拓展 （1）有一个根为⇔ （2）有一个根为⇔ （3）有一个根为⇔ 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。 方程的根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无实数根 ①变形：将方程整理为； ②开方：等式两边同时开平方，得； ③求解：移项计算，得到方程的两个根； ④若n<0，方程无实数根。 （2）配方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 ①移项：把常数项移到等号右边，得 ； ②化1：若二次项系数，方程两边同时除以，使二次项系数为1 ； ③配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④变形：将左边化为完全平方形式，得 ； ⑤开方求解：按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解。 （3）公式法 求根公式 是一元二次方程（且）的求根公式. ①化一般式：将方程整理为的形式； ②算判别式：计算的值； ③判断根的情况 若：方程有两个不相等的实数根； 若：方程有两个相等的实数根； 若：方程无实数根。 ④代入公式：当时，代入求根公式 ； ⑤化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。 （4）因式分解法 通过因式分解，将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。 ①移项：将方程所有项移到左边，使右边化为0，形式为； ②分解：把左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法； ③转化：根据“若，则或”，转化为两个一元一次方程； ④求解：分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 5.一元二次方程根的判别式 一元二次方程（）根的情况由来确定。我们把叫做一元二次方程（）根的判别式，通常用符号“”来表示，即。 6.一元二次方程根的情况 （）有两个不相等的实数根 （）有两个相等的实数根 （）无实数根 （）有实数根 1．（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算判别式 的值，即可判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 2．（2026·辽宁鞍山·一模）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零． 根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，再根据一元二次方程有两个实数根的条件，即判别式非负且二次项系数不为零，求解 k 的取值范围. 【详解】解：由，得 且， ∴， 则代入方程得， ∵方程有两个实数根， ∴判别式且； 解得 且 ， 故答案为： 且 . 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 若（）的两个根为，，则 ，以上称为韦达定理。 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为 . 设它的两根为， ， 这时有 ， 。 当常数项时，方程为，两根为，满足， 2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 1．（2023·辽宁营口·中考真题）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】设另一个根为， 根据题意：， 解得，， 即另一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）若a，b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 考点三 一元二次方程的实际应用 解题步骤： 1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。 2.设：设未知数，有两种设元方式。 ①直接设元：问什么设什么； ②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。 4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。 5.验：双重检验。 ①检验方程的根是否满足方程； ②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。 6.答：写出答案，带单位。 1．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 2．（2023·辽宁阜新·中考真题）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得 ， 故选：B 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 3．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 命题点一 一元二次方程的相关概念 ►题型01 一元二次方程的判断 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 （1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项． 【详解】解：A、，展开得，是一元二次方程； B、化简得，不是一元二次方程； C、 ，若，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； D、不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义； 含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程； B、不是整式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、整理后为，不是一元二次方程； 故选：C． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、是一元一次方程，不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是； （2）二次项系数不为； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数； 由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A 、含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B、方程整理后是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D、不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． ►题型02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式 （为常数，），其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项。 【典例】1．（2026·辽宁鞍山·一模）一元二次方程化成一般式后的值为（    ） A．3，－10，－4 B．3，－12，－2 C．8，－10，－2 D．8，－12，4 【答案】A 【分析】通过去括号、移项合并同类项将方程化为一般形式即可得． 【详解】解：， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 则化成一般式后的值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的概念是解题关键． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项为， 系数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，其中分别为：二次项系数、一次项系数、常数项，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：C． ►题型03 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值 已知一元二次方程的解求参数或代数式的值，通常将它的解代入原方程中，求出参数或变形进行整体代入求出代数式的值，求参数时要注意隐形条件二次项的系数a不等于0。 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）若0是关于的一元二次方程的一根，则值为（   ） A．1 B．0 C．1或0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出的值，再根据二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵0是关于的一元二次方程的一根， ∴， 解得或， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若是方程的一个根，则c的值为（   ） A． B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，， 解得：， 选项A符合题意， 故选：A ． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝ ． 【答案】2 【分析】把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 去括号得：， 解得：， 故答案为：2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（        ） A． B． C．2024 D．2028 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，以及代数式求值，根据已知可得，整体代入，即可求解． 【详解】解：依题意得：， 即：， ， 故选：D． 命题点二 求解一元二次方程 ►题型01 对一元二次方程配方 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：由原方程移项，得， 等式的两边同时加上，得， 配方，得． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】由，配方可得，进而可得的值，然后代入，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出的值． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）用配方法解方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先在方程两边同时加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】方程两边同时加上9，得 整理得 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·一模）用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则n的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵用配方法将变为的形式， ∴， 故答案为：16． ►题型02 灵活运用方法求解一元二次方程 【典例】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）方程的实数根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 原方程化为：， ， 或， ． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将常数项移至等号的右边，然后配方解方程即可； （2）一元二次方程的求根公式为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ，，， ， ，． 【典例】3．（2025·辽宁丹东·一模）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握用求根公式和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）用求根公式直接计算即可； （2）用因式分解法整理方程，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：因式分解得， 整理得， ，． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·一模）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可． 【详解】解：． ∴． ∴或． 解得，． 故答案为：， 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·二模）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：配方，得 由此可得， 解得：； （2）解： 因式分解，得 于是，得，或 解得：． 命题点三 一元二次方程根的判别式 ►题型01 判断一元二次方程根的情况 一元二次方程根的情况 （）有两个不相等的实数根 （）有两个相等的实数根 （）无实数根 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，分别计算四个方程的根的判别式，再根据判别式的符号判断根的情况即可． 【详解】解：A.， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； B. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C. ， 方程没有实数根，不符合题意； D. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意， 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出△的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：， 方程有两个不等实根． 故选：A． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·三模）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列一元二次方程中有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．关于的一元二次方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ， ∵， ∴， ∴该方程有实数根，本选项符合题意； B. ， ∵， ∴， ∴该方程无实数根，本选项不符合题意； C. ， ∵， ∴， ∴该方程无实数根，本选项不符合题意； D. ， ∵， ∴， ∴该方程无实数根，本选项不符合题意． 故选：A． 【变式】3．（2025·辽宁大连·一模）已知关于的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无解 B．当时，方程有一个实数解 C．当时，方程有两个相等的实数解 D．当时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，． 当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定： ∵， ∴当时，方程有两个相等的实数解， 当且时，方程有两个不相等的实数解． 综上所述，说法C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． ►题型02 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 【典例】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 化为一般式为：， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的判别式进行求解． 先根据一元二次方程的根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·一模）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据根的判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为，解得； 当时，则，解得且， 综上所述，的取值范围为． 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁朝阳·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 已知方程一根求另一根 若（）的两个根为，，则 。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据两根之积求解即可． 【详解】解：设方程另外一个根为t， 根据一元二次方程根与系数的关系得， 解得． 故选：C． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键掌握根与系数关系并能够熟练使用． 利用根与系数之间的关系求解即可． 【详解】 解：设另一个根为a， 由根与系数之间的关系得：，解得：． 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据“一元二次方程的两个根分别为、，则，”进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为x， ∵的一个根为1， ∴， ∴该方程的另一个根为， 故答案为：2． ►题型02 求涉根代数式的值 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的两根为，则，，据此进行解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：C 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】根据一元二次方程根与系数关系可以求出，可化为，代入求值即可解答． 【详解】∵是方程的两个实数根 由一元二次方程根与系数关系可得： ， 而 故答案为2024． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁鞍山·二模）一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）若实数，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】8 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【变式】3．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2= ． 【答案】 【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2+n2进行变形，化成和或积的形式，代入即可． 【详解】由根与系数的关系得：m+n=，mn=， ∴m2+n2=（m+n）2-2mn=()2-2×=， 故答案为． 【点睛】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如、x12+x22等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化． 命题点五 一元二次方程的实际应用 ►题型01 增长率问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）新能源汽车是指采用非常规车用燃料（如电能、氢能等）作为动力来源，或使用新型车载动力装置的汽车，其核心特点是通过先进技术实现节能减排，推动汽车行业的绿色转型．某品牌新能源汽车年的销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，年的销售量比年增加了万辆．若设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在2025年哈尔滨亚冬会期间，为了能让游客更好的体验滑雪运动，亚布力某滑雪场销售的某品牌滑雪服的标价为500元/套，经过两次降价后的价格为405元/套，并且两次降价的百分率相同． (1)求该品牌滑雪服每次降价的百分率； (2)考虑到滑雪服需求不断增加，该滑雪场再次购进A、B两种品牌的滑雪服共100套．已知A品牌滑雪服的进价为350元/套，B品牌滑雪服的进价为380元/套，两种品牌的滑雪服售价均为405元/套，且全部售完后总利润不低于4600元．求该滑雪场所购进的A品牌滑雪服至少多少套？ 【答案】(1) (2)70套 【分析】此题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到数量关系，正确的列出方程或不等式． （1）设该商品每次降价的百分率为，根据题意，列方程求解即可； （2）设该滑雪场所购进的A品牌滑雪服套，根据题意，列不等式求最小整数解即可． 【详解】（1）解：设：该种商品每次降价的百分率为． 依题意得： 解得：，（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%． （2）设：该滑雪场所购进的A品牌滑雪服套． 依题意得： 解得： 答：该滑雪场所购进的A品牌滑雪服至少70套． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）摩拜共享单车计划2023年第三季度（8月，9月，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程应用，关键是抓住增长率表示出12月的投放台数．根据8月投放台数，列出用增长率表示9月和10月的投放台数，再根据题意列方程即可． 【详解】根据题意，计划9月投放台，计划10月投放台，所以可列方程． 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区8月份游客人数该景区6月份游客人数（这两个月中该景区游客人数的月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，根据9月份该景区游客人数的增长率不会超过前两个月的月平均增长率，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设9月份后9天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最大值为． 答：9月份后9天日均接待游客人数最多是万人． 【变式】3．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支元的A种玫瑰花，连续两次降价后每支以元的价格销售，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)将A、B两种玫瑰花（现售价和进价如下表格）共支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过元，如何搭配A、B两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？ 种玫瑰花 种玫瑰花 进价（元） 售价（元） 【答案】(1) (2)搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设A种玫瑰花的数量为，利润为，则B种玫瑰花的数量为，依题意得，， ，然后根据一次函数的图象与性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴每次下降的百分率为； （2）解：设A种玫瑰花的数量为，利润为，则B种玫瑰花的数量为， 依题意得，， 解得，， ， ∵， ∴当时，利润最大， ∴， ∴搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大． ►题型02 销售利润问题 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·三模）每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个：单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元 (1)求y与x的函数关系式：每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元； (2)全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器． 【答案】(1)每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元 (2)75个 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）根据题意得， ，开口向下，有最大值 当时，有最大值，最大值为4000 答：每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元 （2）根据题意得， 解得：，， 不合题意，舍去 答：这天售出了75个助听器． 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某网店销售某种品牌的商品，经过一段时间的试销发现，日销售量（件）与每件的售价（元）之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)若该商品的成本为元，则商品日利润能否达到元？如果能，求出每件的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)商品日利润能达到2 750元，此时每件的售价为60元或90元 【分析】本题考查一次函数解应用题、一元二次方程解应用题，读懂题意，准确求出一次函数关系式，由等量关系列出一元二次方程求解是解决问题的关键． （1）根据题意，设与之间的函数关系式为，由函数图象，将，，代入函数关系式，由待定系数法解方程组即可得到答案； （2）由总利润单个商品利润销量得到，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，设与之间的函数关系式为． 根据图象，可得该函数图象经过点，，将其代入函数关系式， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：能． 由题意，可得， 整理，得， 解得． 答：商品日利润能达到元，此时每件的售价为元或元． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 【答案】(1) (2)水杯的售价为50元或38元． 【分析】本题考查了一次函数的应用——销售问题以及二次方程的应用．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据题意得，注意的取值范围； （2）设每个水杯的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． 答：与之间的函数关系式为． （2）解：设每个水杯的售价为元． 根据题意得． 解得：． 答：水杯的售价为50元或38元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）某经销商销售一款机器零件，该款零件的进价为元/个，以元/个的价格出售，平均每天售出个，当该零件的售价每下降元则每天会多售出个零件，该款零件销售的利润率（利润率=）不低于，每个零件的售价为多少元时，该款零件每天的销售利润为元． 【答案】元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 设每个零件降价元，根据题意列出一元二次方程和一元一次不等式，解方程即可求解． 【详解】解：设每个零件降价元， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 该款零件销售的利润率不低于， ， 解得：， 舍去， ， （元）， 答：每个零件的售价为元时，该款零件每天的销售利润为元． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． ►题型03 面积问题 【典例】1．（2025·辽宁锦州·三模）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某校生物实验兴趣小组的同学计划用长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为． (1)设边的长为，则边的长为 ．（用含的代数式表示） (2)若所围成的试验田的总面积为，求的长． (3)能否围成总面积为的试验田？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用和根的判别式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据各边之间的关系，可得出的长，即可求解； （2）根据面积公式列出，然后即可求解； （3）根据题意列出方程，然后根据根的判别式的知识即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 解得或， 当时， ， 不符合题意， 舍去； 当时， ， 符合题意， ∴的长为； （3）解：不能，理由：由题意可得方程， ∴， ∵， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为的实验田； 【变式】1．（2025·辽宁·一模）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为，宽为，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：原画面是长为，宽为的矩形，且彩纸的宽度为， 原画四周镶上彩纸后的长为，宽为． 根据题意得：， 即． 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)小红的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键． （1）设其中较短一段长为，则另一段长为，就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于，建立方程求出其解即可； （2）根据题意，判断方程解的情况即可． 【详解】（1）解：其中较短一段长为，则另一段长为， 依题意得， 解得， 因为是较短的一段， 所以，即， 故不合题意，舍去， 答：的值为时，围成的两个正方形面积之和为； （2）解：小红的说法正确 ， 整理得，， ，原方程无实数根， 两个正方形的面积之和不可能等于， 答：小红的说法正确． 【变式】3．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)自行车车棚的长为，宽为 (3)自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． （3）解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． ►题型04 传播问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型．若设1名同学每次都能教会x名同学，下列结论错误的是（  ） A．1轮后共有名同学会做这个模型 B．第2轮又增加名同学会做这个模型 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素，经过三轮一共会有180名同学会做这个模型 【答案】D 【分析】该题考查了一元二次方程的应用，根据题意求得x的值是解题的关键．第一轮后总人数为，第二轮后总人数为，且该值等于36，可解出；然后据此求得第三轮后总人数，即可解答． 【详解】解：∵第一轮后总人数：， ∴第二轮后总人数：， 简化得：， 解得：（负值已舍去）， ∴第三轮后总人数为， ∴选项A、B、C均正确，选项D，错误． 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支：设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有台被感染，第二轮后共有即台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则经过1轮后有 台被染上病毒，2轮后就有 台被感染病毒，依题意，得 ， 解得 ，（舍去）． 所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑． 由此规律，经过3轮后，有台电脑被感染． 由于 ， 所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 【点睛】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． ►题型05 循环赛问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是设这个小组有x个人，则每个人发出去条祝福信息，根据全组共发送306条信息，列方程即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得，． 故选C． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到个红包，设该群一共有个人，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找出合适的等量关系是解答本题的关键；设该群一共有人，由于每人发一个红包且自己不能抢自己的，因此每人收到个红包，红包总数为，据此列方程。 【详解】解：因为每人收到红包数为个， 所以红包总数为， 则； 故选D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握该知识点并找出等量关系是解题的关键．设比赛组织者应邀请个队参赛，那么每个队都要参加场比赛，那么总共有场比赛，然后根据“赛程计划安排7天，每天安排4场比赛”，列出方程即可． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，那么有 故选：B． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．班主任赠送每位学生一张贺卡，共张；学生互赠贺卡，每位学生送出张，总互赠贺卡数为张；总贺卡数为两者之和． 【详解】解：设班级有名学生，则班主任赠送贺卡数为，学生互赠贺卡总数为， 根据题意得 故选：B． ►题型06 其他问题 【典例】1．（2026·辽宁鞍山·一模）两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据连续奇数的关系用x表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可． 【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x＋2 ∴ 故选B． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁·一模）某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． 【答案】(1)它的种植面积； (2)当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元． 【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，一元一次方程的应用等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （）当时，求出与之间的关系式为，当元时，，求出即可； （）由题意得甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为，然后分当 时和当时，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的关系式为， 把，代入得， ，解得：， ∴与之间的关系式为， 当元时，，解得：， ∴它的种植面积； （2）解：∵甲种蔬菜的种植面积为， ∴乙种蔬菜的种植面积为， 当时， 根据题意，得， 解得，， 当时，；当时，； 当， 根据题意，得， 解得，不符合题意，舍去， 答：当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 【变式】2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过 s落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】2.04 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 根据物体回落到地面，即，求解即可． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过2.04s落回地面． 故答案为：2.04． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 【答案】任务一：15600 任务二：； 任务三：100 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． 任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解； 任务2：设镇流器补进件，根据题意列出代数式即可求解； 任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元， 答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元； 任务2：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为（元）， 补进灯管的总价为：（元）， 故答案为：；． 任务3：依题意，， 解得， ， ， 答：补进镇流器100件． 突破一 一元二次方程的新定义问题 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）定义运算：，例如：，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键． 根据新定义得出方程，再解方程，求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 故选：A． 【典例】2．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即． (1)“全整根方程的“最值码”是 ； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； 【答案】(1) (2)一元二次方程的“最值码”为 【分析】本题考查新定义，一元二次方程根的判别式，正确理解全整根方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）求出方程的判别式，再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时，求出的值，从而求得b与c的值，代入中，即可求出最值码． 【详解】（1）解：由条件可知：，，， ∴， ∴“全整根方程”的“最值码”是． 故答案为：； （2）解：由条件可知，，， ． 由条件可知是完全平方数， 又∵，且m为整数，m， ∴， ∴完全平方数为36、49、64， 当时，m不为整数，不符合， 当时，m为整数且，符合， 当时，不为整数，不符合． ∴只有当时，才是完全平方数， ∴，， ∴， ∴一元二次方程的“最值码”为． 【变式】1．我们规定：对于任意实数，，，有▲，其中等式右边按照乘法和加法进行运算，如▲． (1)若▲，求的值； (2)若关于的方程▲有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)且 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据新定义，将方程左边写成，然后解一元二次方程； （2）根据新定义，将方程化成一元二次方程的一般形式，利用一元二次方程根的判别式列不等式解题即可． 【详解】（1）由题可知：， ， ， 解得：或； （2）由题意得，▲， ∴， ∵关于的方程▲有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且． 【变式】2．若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称这个方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如：“快乐方程”的两个根均为整数，其“快乐数”．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于x的一元二次方程与（m，n均为正整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出n的值． 【答案】(1) (2)m的值是0，该方程的“快乐数”是 (3)n的值为3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，熟练掌握题目中“快乐方程”，“快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，此为完全平方数，根据，得到，即可求出的值为16或25，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）的“快乐数”为， 故答案为： （2）∵一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”， ∴， ∵， ∴， ∵为平方数， ∴，或， ∴（舍去），或， ∴原方程为， ∴“快乐数”为； （3）∵x的一元二次方程（m为正整数）是“快乐方程”， ∴设（a整数）， ∴， ∴， ∵两因式同奇同偶， ∴，或，或，或， 解得，或(舍去)， ∴， ∴ ∵x的一元二次方程（n为正整数）是“快乐方程”， ∴， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得，，（舍去）． 故n的值是3． 突破二 一元二次方程的动点问题 【典例】1．如图，在矩形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿方向运动，点以的速度沿的方向运动．当其中一点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，矩形的面积为，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、含角的直角三角形的性质、动点问题的分类讨论以及一元二次方程的应用，解题的关键是分阶段确定点Q的运动位置，通过作高表示三角形的高，建立面积表达式后结合面积关系列方程求解． 先根据矩形边长和求出的长及矩形面积确定运动总时间范围；分点Q在上和在上两种情况，分别过动点作高，利用直角三角形性质表示出的高；根据三角形面积公式得出的表达式，结合列方程，求解后检验解是否在对应时间区间内，舍去不符合题意的解． 【详解】，， ， ，当点到达点．即时、点停止运动． 如图1、当点在上运动时，，， 过点作于点M． 解得（舍去）． 如图2，当点在上运动时，2．； 过点作于点N． 解得 ∴均不符合题意，舍去． 综上所述，当时，． 故答案为． 【典例】2．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：________，________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或2 (3)存在，秒 (4)存在， 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）利用勾股定理得到方程，求解即可得到结果； （3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果； （4）根据（3）可知的面积为，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意：， 故答案为． （2）解：由题意得：， 解得：，． 或2时，； （3）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下：长方形的面积是：， 五边形的面积， ， 即， 解得：（不合题意舍去），． 即当秒时，使得五边形的面积等于． （4）解：由题意得， ， 当时，的面积最大． 【点睛】本题考查动态几何问题，矩形的性质，一元二次方程，二次函数最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 【变式】1．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 【变式】2．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为秒． (1)求当为何值时，四边形是矩形； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【答案】(1) (2) (3)1或3 【分析】（1）由题意得，，，根据矩形的性质可得，，，当时，四边形是矩形，据此列出关于的方程，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形是矩形，则，解得， ∴当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：如图2， 由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键． 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程定义解答即可． 【详解】解：A. ，是二元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意，不是整式方程，不符合题意； C. ，不是整式方程，不符合题意； D. ，当时，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法，将一元二次方程常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 一元二次方程， ， ， ， ，， ， 故选：． 4．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：，时，方程有两个不相同的根；时，方程有两个相同的根；时，方程无实数根．根据一元二次方程有实数根，由，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：A． 5．在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键；设该小组共有x个人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡56张，可列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小组有x人，则每人送出张贺卡， 总贺卡数为， 故选A． 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株后剩余株，运费为文，运费等于一株椽的价钱，由此列出方程． 【详解】解：∵每株椽的价钱为文，少拿一株后，运费为文，且运费等于一株椽的价钱， ∴， 两边乘以得：， 即选项B正确． 故选：B． 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．利用一元二次方程的定义及根的判别式建立关于k的不等式组，解之即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程且有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，且． 故答案为：且． 8．若关于x的方程的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：设另一个根为，由根与系数的关系得， 其中，，，代入得：， 即， 解得：． 故答案为：． 9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 10．用适当的方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解：这里，，， ∵． 即， （2） 解：， ， 或． ， 11．解方程： (1)（公式法） (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原方程可化为，    ∵，                         ∴∆=， ∴原方程有两个不相等的实数根，        ∴，                    即． （2）解： ∴ ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键． 12．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)6元 (3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， （2）解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； （3）解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 13．随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 【答案】(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； (2)不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；至少需要增加4名员工． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，列出方程求解即可； （2）首先求出4月份的销量，进而得出25名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【详解】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； （2）∵每月新能源汽车销量的增长率相同， ∴四月份的新能源汽车销量为：， ∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，现有25名负责交付的员工， ∴， ∴不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务； ∴需要增加员工（名）， 即至少需要增加4名员工． 14．小明用一条长为的绳子围成一个矩形． (1)当围成矩形面积是，求该矩形的长与宽； (2)能围成面积是的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据矩形的面积公式结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出不能围成一个面积为的矩形． 【详解】（1）解：设矩形的长为，则矩形的宽为， 根据题意，可以列出方程， 整理，得， 解方程，得，， 长>宽， ， ， 答：长方形的长为，宽为； （2）解：不能，理由如下： 设矩形的长为，则矩形的宽为， 可以列出方程 整理，得， ， 方程无解， 不能围成面积是的矩形． 15．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则 ． 【答案】 1 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，掌握根与系数关系公式是解题关键． 先根据判别式得出的取值范围，通过一元二次方程根与系数关系求出和的表达式，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：整理得， 方程有两个实数根, ， ， 解得， 由一元二次方程根与系数的关系可得：， ， ， ， 解得，（舍）． 故答案为： 1． 16．沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．现有阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元．但人均旅游费用不得低于700元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了费用27000元，求这个旅行团的人数． 【答案】这个旅行团的人数为30人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这个旅行团的人数为人，则人均旅游费用为元，利用总旅游费用人均旅游费用人数，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】解：设这个旅行团的人数为人，则人均旅游费用为：（元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去； 答：这个旅行团的人数为30人． 17．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 18．阅读下面的材料： 解方程．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法如下： 设，则． 原方程可转化为，解得． 当时，； 当时，． 综上，原方程的解为． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了换元法解高次方程． （1）仿照题干求解即可； （2）仿照题干求解即可． 【详解】（1）设， 原方程可转化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，原方程的解为； （2）设， 原方程可转化为， 解得． ∵， ∴舍去， ∴． 1．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 2．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：对于方程， 其根的判别式为：， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， 故选：B． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程． 确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式． 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 4．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 6．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 7．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 8．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 9．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 10．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 11．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 12．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 13．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 2 / 77 学科网（北京）股份有限公司 $