第31讲 尺规作图与定义、命题、定理（复习讲义，2考点6题型1重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 图形的变化 第31讲 尺规作图与定义、命题、定理 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 尺规作图 题型01 作线段 题型02 作角 题型03 作角平分线 题型04 作垂线 题型05 作圆 命题点二 定义、命题、定理 题型01 定义、命题、定理 05·重难突破·思维进阶 44 突破一 尺规作图综合 06·优题精选·练能提分 60 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 尺规作图 辽宁省卷 T10 辽宁省卷 T15 沈阳卷T14 丹东卷T8 盘锦卷T17 鞍山卷T14 阜新卷T15 锦州卷T14 营口卷T15 抚顺、葫芦岛T9 本溪、铁岭、辽阳T9 掌握尺规作图的方法。会作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角平分线；作线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线；过直线外一点作这条直线的平行线； 能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形；过圆外一点作圆的切线。 定义、命题、定理 / / 盘锦卷T7 · 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义； 结合具体实例，会区分命题的条件和结论；了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 命题预测 本考点内容以考查在几何题中识别尺规作图痕迹求解与判断真假命题为主，难度不大，多以选择题与填空题的形式进行考察。尺规作图为每年必考点，主要结合三角形与四边形的性质与判定、相似的性质与判定等，求解相关线段的长度或相关角的角度；定义、命题、定理的考查频率较低，主要能判断命题为真命题或假命题即可。 考点一 尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1、任作一条射线OP； 2、以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2.作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1、作射线O'A'； 2、以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3、以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4、以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5、经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1、三边分别相等的两个三角形全等； 2、全等三角形的对应角相等； 3、两点确定一条直线. 3.作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1、以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2、分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3、作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1、三边分别相等的两个三角形全等； 2、全等三角形的对应角相等； 3、两点确定一条直线. 4.过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1、任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2、以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3、分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4、作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1、等腰三角形“三线合一”； 2、两点确定一条直线. 5.作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1、分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2、作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1、到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2、两点确定一条直线. 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 2．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，过作的平行线交于，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图知道是角平分线，再由平行得到等腰三角形和三角形相似，利用相似的性质求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，故A正确． 3．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了几何作图、垂直平分线的性质、正切、坐标与图形，熟练掌握几何作图的一般步骤是解题的关键．由作图可知，，为的垂直平分线，设，结合正切值可求出点C的坐标，再根据垂直平分线的性质可求出点B的坐标，直线所在直线为，设直线解析式为，利用待定系数法可求出解析式，联立两直线求解即可得出答案． 【详解】解：由作图可知，，为的垂直平分线， ， ， 设， ， ，， ，， ， ，直线所在直线为， 设直线解析式为， ， 解得：， ， 联立， ， 点的坐标为． 故答案为：． 4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，矩形的对角线交于点O，E是边上一点，连接．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，以点O为圆心，长为半径作弧，交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作弧，在下方交前面的弧于点P，作射线交于点F．已知矩形的面积是60，E是边的三等分点，且，则_______． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据矩形及尺规作图得，进而得是的垂直平分线，则，由此得，证明是的中位线，得，再根据点E是边的三等分点，则分以下两种情况：时，时，利用勾股定理可进一步求出的值． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由尺规作图得：， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 是的中位线， ，． 当时，如图1． 是边的三等分点， ，． 矩形的面积是60， ， ， ， ． 当时，如图2． 是BC边的三等分点， ，． 矩形的面积是60， ， ， ， ． 综上所述，的值为或． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 5．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，已知圆内接四边形中是的直径，且满足． (1)尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点； (2)在（1）的条件下，求证：； 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）作射线，过点C作的垂线，交的延长线于点E即可； （2）由是的直径可证，由是的切线可证，从而，进而可证，证明得，然后结合三角形外角的性质可证． 【详解】（1）解：如图，切线即为所求， （2）解：是的直径， ，， 是的切线， ， ， ， ， ； ， ， ， ，， 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及三角形外角的性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 考点二 定义、命题、定理 1.命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 4.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 5.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 6.反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 1．（2025·辽宁沈阳·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用全面调查 C．如果，那么 D．圆内接四边形的对角互余 【答案】A 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据等式的性质、全面调查与抽样调查、绝对值、圆内接四边形的性质判断． 【详解】解：A、如果，那么，是真命题，符合题意； B、调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、如果，那么，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、圆内接四边形的对角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·辽宁·模拟预测）下列命题是真命题的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．在同一平面内，若，，则 C．若，则 D．菱形的对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题，矩形的性质，菱形的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 逐一分析各选项是否符合相关几何或代数性质即可． 【详解】解：A、 矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，除非是正方形，故A为假命题，不符合题意； B、在同一平面内，若直线a、c均垂直于直线b，则a与c平行（垂直于同一直线的两直线平行）故B为真命题，符合题意； C、由可知，两边同除得，与结论矛盾，故C为假命题，不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，只有正方形满足，故D为假命题，不符合题意， 故选：B． 3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）下列命题的逆命题为假的有（  ） A．对顶角是相等的角 B．对应角相等的三角形是全等三角形 C．平行四边形是两组对边互相平行的图形 D．等圆是半径相等的圆 【答案】A 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解∶ A的逆命题是∶相等的角是对顶角，是假命题，故此选项符合题意； B的逆命题是∶全等三角形的对应角相等，是真命题，故此选项不符合题意； C的逆命题是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故此选项不符合题意； D的逆命题是∶半径相等的圆是等圆，是真命题，故此选项不符合题意． 故选∶A． 【点睛】此题主要考查了命题与定理以及写一个命题的逆命题的方法，分清命题的条件与结论正确写出逆命题是解题关键． 命题点一 尺规作图 ►题型01 作线段 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·二模）已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点、重合），连接． 求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（   ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】C 【分析】本题考查了基本的尺规作图，平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 结合基本的尺规操作，利用平行四边形的判定定理逐项进行判定即可． 【详解】解： 甲：如图所示，此时， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故甲作法正确，符合题意； 乙：如图所示，此时， 四边形不是平行四边形， ∴与不平行， 故乙作法错误，不符合题意； 丙：如图所示，此时， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故丙作法正确，符合题意； 故选：C． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： ①作线段，分别以为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为； ②以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； ③连接．下列说法不正确的是（    ） A．是等边三角形 B． C．点在的中垂线上 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，锐角三角函数，直角三角形的性质，尺规作图， 先根据尺规作图可知，即可判断A；再根据，解答C；然后根据等边三角形的性质和三角形内角和定理说明B；最后根据锐角三角函数的定义解答D即可． 【详解】解：根据尺规作图可知，则是等边三角形，可知A正确； 再根据， ∴， ∴点C在的垂直平分线上， 所以C正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 则B正确； 在中，， ∴． ∵， ∴设，则， ∴， 所以D不正确． 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在矩形中，分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点E，连接，．若，则的大小为__________． 【答案】/30度 【分析】该题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，根据尺规作图得出是等边三角形，得出，根据，即可得出，再利用等腰三角形的性质即可得出． 【详解】解：连接， 根据尺规作图可得， ∴是等边三角形， ∴， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ►题型02 作角 【典例】1．（2026·辽宁营口·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质，根据题意可得，证明，由相似三角形的性质可得，又为的中点，则，从而求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线和直线外一点，用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线”分别作出了下列图形，其中作法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法，结合作图逐项进行判断即可． 【详解】解：如图，根据作图可知，， ∴， 故第一个图正确； 根据作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， 故第二个图正确， 由作图可得出， ∴， ∴， ∴， 故第三个图正确， 由作图得，， ∴，， 而， ∴， ∴， 综上，正确4个， 故选：D． 【变式】1．（2025·辽宁丹东·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），点C在抛物线上，坐标为，，连接，按照以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点E，交于点F；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，在下方与弧交于点H；④以点H为圆心，长为半径画弧，在点H下方与弧交于点I；⑤连接并延长交抛物线于点D，则的长为_____． 【答案】 【分析】设，先解方程得，解方程得，过点作轴于点，过点作直线于点，如图，利用基本作图得到，则可证明，根据正切的定义，在中，则在中，即，所以，解方程得到，然后利用两点间的距离公式可计算出的长． 【详解】解：设， 当时，， 解得， ， 当时，， 解得， 过点作轴于点，过点作直线于点，如图， 由作法得， ， ， ， 在中， ∵， ， 在中，， ， ， 即， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，勾股定理，尺规作图． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点E，F； ②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交第二步所作的弧于点； ④连接并延长交于点G． 若与四边形的面积比为，则的值为__________． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4，（3），，证明见详解，（4）10 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵在菱形中，，， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， 猜想：， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （4）根据尺规作图可知：， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据（3）的结论有：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． ►题型03 作角平分线 【典例】1．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，，为的中线，以点为圆心，长为半径画弧交于，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，利用勾股定理得出，，根据作图过程得出，是的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，结合为的中线得出，，是的中位线，根据中位线的性质即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∵， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴， 由作图可知，，是的角平分线， ∴，， ∵为的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴． 【典例】2．（2026·辽宁·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出点 C和点 A 的坐标，进而确定直线 的解析式；根据作图痕迹判断为 的角平分线；根据平移性质得出四边形是平行四边形，进而判断出，根据平移得出直线的解析式，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ 四边形 是正方形，点 B 坐标为 ， ∴，， 设直线 的解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴， 由平移得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知为 的角平分线， ∴， ∴， ∴， 由题意知，直线向下平移4个单位长度得到， ∴直线的解析式为， 设， 则， 解得， ∴点的坐标为． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为_____________．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，解三角形、尺规作图，等知识点，连接，由作法可证明，，，设，可得，，再证明，可得，即可求出，，由即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由作法可知：是的角平分线，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为__________． 【答案】/ 【分析】过B作于P，连接，由作图知：，根据平行四边形的性质，等角对等边等知识可得出，进而求出，，证明，求出，根据平行线的性质，等边对等角并结合已知可证明，根据勾股定理求出，根据等积法求出，即可求解． 【详解】解：过B作于P，连接， 由作图知：， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． ►题型04 作垂线 【典例】1．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，由作图方法可知，平分，垂直平分，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点F为的中点， ∴， ∴的周长为， 故选；B． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知菱形的顶点，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，且恰好经过点，与交于点.则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知垂直平分，连接，如图，则可根据线段垂直平分线的性质和菱形的性质证明是等边三角形，从而可得，过点作轴于点E，在直角△ADE中易知AD=2，再利用60°的三角函数求出AE与DE的长即得答案. 【详解】解：根据作图过程可知：垂直平分，连接，过点作轴于点. ∵垂直平分， ∴，. ∵， ∴AB=BC=AC，即是等边三角形. ∴. ∴. 在中，∵，， ∴点的坐标为. 故选B. 【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，考查的知识点虽多，但难度不大，根据题意正确判断是等边三角形是求解的关键. 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定A选项；再说明可得垂直平分线段可判定B选项；根据直角三角形的性质可得可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选项；． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意， 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝8，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，若GA＝3，则AD的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】由作法知EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到BG=GA=3，则DG=5，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线， ∴BG=GA=3， ∴DG=BD-BG=8-3=5， ∵GA⊥AD， ∴∠GAD=90°， 在Rt△ADG中，由勾股定理，得 AD==4， 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的尺规作法，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法＼线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，．由题意得，，则，由勾股定理得．证明，可得，代入求出的值即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， 点，在直线上， ，． ，， ，， ． ， ． 在中，由勾股定理得，． ，， ， ，即， ． 故答案为：． ►题型05 作圆 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑） 【答案】见解析． 【详解】试题分析：先做出∠AOB的角平分线，再求出线段MN的垂直平分线就得到点P． 试题解析： 考点：尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，点D在的延长线上，过点C的切线与相交于点E． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，尺规作图，作弧关于弦AC所在直线的对称图形弧．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，复杂作图—作圆： （1）连接，切线得到，进而得到，根据直径所对的圆周角为直角，推出，得到，即可得证； （2）作的中垂线，以与其中垂线的交点为圆心，交点与圆心的距离为半径化弧，再以弧与的中垂线的交点为圆心，的长为半径，画弧，即可得到弧． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线，是的半径， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ． （2）如图，弧即为所求． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知在中， (1)已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与AB相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． (2)若与AB切于点D，与CB的另一个交点为E，连接AO、DE，求证：DE//OA． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作∠CAB的平分线与BC的交点即为圆心O，然后以点O为圆心，以OC的长为半径作圆O即可； （2）连接OD，CD，只要证得Rt△AOC≌Rt△AOD（HL），利用等腰三角形的三线合一的性质证得OA⊥CD，然后利用CE是圆O的直径，证得CD⊥DE，即可证得DE∥OA； （3）圆O的半径为R，则OC=OD=R，利用，表示出，然后证得△BOD∽△BAC，利用相似三角形的性质得到，解得，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）连接OD，CD， ∵AB是圆O的切线， ∴OD⊥AB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ADO=90°， 又∵OC=OD，AC=AC， ∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL） ∴AC=AD，∠CAO=∠DAO， ∴OA⊥CD， ∵CE是圆O的直径， ∴∠CDE=90°， 即CD⊥DE， ∴DE∥OA； （3）设圆O的半径为R，则OC=OD=R ∵DE∥OA， ∴∠DEO=∠AOC， ∵， ∴， ∴， ∵∠ACB=∠ADO=90°，∠B=∠B， ∴△BOD∽△BAC， ∴， 即， 解得， ∴， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ， 即， 解得或（不合题意，舍去） ∴的半径为3． 【点睛】本题是一道圆的知识的综合题，考查了切线的判定和性质、直径所对的圆周角是90°、平行线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正切等，根据题意作出图形和辅助线是解题的关键． 命题点二 定义、命题、定理 ►题型01 定义、命题、定理 【典例】1．（2025·辽宁大连·一模）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理、平行线的判定、点到直线的距离等知识点，掌握相关的性质定理是判断命题的真假关键． 根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．若，，则与的面积之比为1∶2 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假，涉及了相似三角形性质、平行线的性质，绝对值化简、分式有意义的条件，数的开方，根据相关性质和定理求解即可． 【详解】解： A选项：两直线平行，同旁内角互补，该命题成立，是真命题． B选项：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可知，与的面积之比为1：4，该命题不成立，是假命题． C选项：若，则，该命题不成立，是假命题． D选项：当时，；当时，a和b没有算术平方根，该命题不成立，是假命题． 故答案：A． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列命题是真命题的是（  ） A．如果，那么 B．边长为1，， 的三角形是直角三角形 C．两个锐角之和一定是钝角 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题，勾股定理，菱形的判定等知识，根据实数的运算，勾股定理，菱形的判定等逐项判定即可． 【详解】解∶A．如果，那么或，故原命题是假命题； B．边长为1，， 的三角形是直角三角形，故原命题是真命题； C．两个锐角之和可能是锐角或直角或钝角，故原命题是假命题； D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题； 故选：B． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．同位角相等 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质，等式和不等式的性质是解题的关键．根据平行线的性质，等式和不等式的性质依次判断各选项即可． 【详解】解：A、若，且，则，原命题是假命题； B、若，则，或，原命题是假命题； C、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； D、若，则，原命题是真命题； 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁大连·一模）命题“如果，那么”是______命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】利用举反例的方法判断命题是假命题即可． 【详解】解：当时， 而此时 ∴“如果，那么”是假命题． 故答案为：假 【点睛】本题考查的是真假命题的判断，掌握“利用举反例的方法判断假命题”是解本题的关键． 突破一 尺规作图综合 【典例】1．如图，在中，以A、B为圆心，、长为半径分别作弧交于点，连接、，在上截取点M，以点为圆心，长为半径作弧交于点N，以大于的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点与这点连线的直线交于点P，交于I．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】通过作图痕迹推导出，为等腰三角形，为角平分线；通过三角形全等，证明，结合角平分线的性质，可得；在中用勾股定理，计算出；再由，推出，得出和的比，最后结合的长度得出的长度． 【详解】延长交于点O，作交的延长线于点H， 由题意可知，，，是的角平分线， 在和中 ， 在和中 ，， 又， ， 在中，，， ， 平分，过点I作交于K， 在和中 设为x，则，， 在中，， 即 可得， 即， ， ，，，， ，， 又，， ， 又， ， 不妨设，，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查段已知线段及角平分线的作图，角平分线的性质，全等三角形的证明，勾股定理的应用，相似三角形的证明与应用，合理作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【典例】2．是的直径，点在线段的延长线上，射线与相切于点，，连接，扇形的面积为．是线段上的动点，且，连接并延长交射线于点．      (1)请在图中作出四边形，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，交射线于点M，交射线于点， ①当时，判断点与直线的位置关系，并说明理由； ②当时，探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①点在直线上，理由见解析 ②当时，；当时， 【分析】（1）根据要求得到四边形为平行四边形，分别以为圆心，的长为半径化弧，两弧的交点即为点，作图即可； （2）①连接，设的半径为r，根据切线性质，求出，利用扇形面积求出半径，解直角三角形的应用求出，结合中位线性质，平行四边形的判定与性质就可得出，进而得出结论； ②由①知：，四边形是平行四边形，先证出，得到，当点与点重合时，求出，过点作于，设，证明，利用相似三角形性质求出，分情况求解即可． 【详解】（1）解：四边形即为所求， （2）①连接，设的半径为r．   与相切于点， ． ， 在中，． 扇形的面积为， ． 可得． 是的直径， ． 在中，． ． ， ，即是的中点． 是的中点， 是的中位线． ． 又，， 四边形是平行四边形． ． 过直线外点有且只有一条直线与已知直线平行， 和为同一条线，即点在直线上． ②由（2）①知：，四边形是平行四边形． 在中，． ． 四边形是平行四边形， ，． ． ． ． ， ． ． ． ． 当点与点重合时， 设，则， ，又， 可得． ． 过点作于，设，    在中， ， ． ， ． ． ，即． 可得． ． 所以当时，点D，N重合，此时由，    可得． 当时，点在E，N之间， ， ． ． 当时，点在M，N之间，   ， ． ． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了作图——作已知直线的平行线，相等的线段，切线的性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积的求解，中位线的性质，平行公理的应用等知识，考查的知识点较多，准确熟练的掌握相关性质定理是解题关键． 【典例】3．综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题．所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． 如图1，已知直线及同侧的两点A、B，求直线上一点C，使的值最小． (1)【作图】：用直尺和圆规作点A关于直线的对称点，连接交于点C，则点C即为所求点．（保留作图痕迹）； (2)【验证】：在上任找一点Q，连接，，，求证：； (3)【迁移】：如图2，已知点，点，点F在x轴上，且的值最小，则________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查最短路径问题，尺规作对称点，等腰三角形的判定与性质； （1）根据尺规作图中作点A关于直线的对称点的作图步骤作图，连接交于点C，则点C即为所求点． （2）证明：连接，由作图可得垂直平分，则，， 当与重合时，；当与不重合时，中，由，，可得到； （3）取点关于x轴的对称点，连接与轴的交点即为，此时的值最小，取格点，则，，即可得到，推出，得到，再得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：连接， ∵点A关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴，， 当与重合时，； 当与不重合时，中， ∵，， ∴， 综上所述，； （3）解：取点关于x轴的对称点，连接与轴的交点即为，此时的值最小， 取格点, ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】1．如图，在中，，，在边和边上分别截取，，使，分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交边于点．点从点出发，沿方向向终点运动，连接，点在边上，且．设，，若关于的函数图象过点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质；根据作图可得是的角平分线，则，根据题意得出，进而求得，证明得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得是的角平分线，则 ∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵设，，关于的函数图象过点， 当重合时，重合， ∴， 如图，作，延长至，交于点， ∴， ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴当时，的最小值为 故答案为：． 【变式】2．如图1，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于点D，连接． (1)①尺规作图：在边上确定点E，使（保留作图痕迹，不用写作法）； ②在①的条件下，求证：． (2)若，求的长． (3)如图2，点G在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点G的对应点H在内部，过点H作分别交，于点M，N．求的值． 【答案】(1)①见解析②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①作的平分线即可；②由作图得，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，从而可得； （2）由证明，得,而，设，得，由比例式得，解方程求出的值，确定符合要求的的值即可； （3）连接,设与交于点，证明,根据证明，得，，，可得出，，由得，可得，再证明，运用相似三角形的性质和线段的等量关系可得结论． 【详解】（1）解：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，以点A为端点过这交点作射线交于点，连接，则点即为所求作． ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， 由于线段的长度为正值，所以，， ∴； （3）解：连接,设与交于点，如图， 由旋转得， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查作角平分线，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 【变式】3．（1）如图1，在△中，，．请在图1中作图：过点作射线，满足，垂足为，此时．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，点在射线上，作射线，并将射线绕点逆时针旋转与直线交于点，若，，求的值． （3）如图2，在△中，，为线段上一点，按（1）（2）的作图要求画出图形，并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见详解（2）或（3）见详解，． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）分以下两种情况：当点在线段上时，连接，取的中点，连接，，过点作交的延长线于点，过点作 于点，根据旋转的性质得到，推出，，，四点共圆，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，，即可求解；当点在线段的延长线上时，同理可求； （3）连接，取的中点，连接、，过点作交的延长线于点，与（2）同理、得、、、四点共圆，求得，得到，根据相似三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）作图如图1所示． （2）根据题意，分以下两种情况： ①如图2，当点在线段上时，连接，取的中点，连接，，过点作交的延长线于点，过点作 于点， 根据旋转，知， 由（1）知， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， ，， ， ，， 在中，， ， ，， 在 中，； ②如图3，当点在线段的延长线上时，连接，取的中点，连接；，过点作于点， 过点作于点， 与①同理，得， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴在中，， 综上所述，的值为或； （3）所画图形如图4所示．， 如图4，连接，取的中点O，连接，过点E作交的延长线于点F， 与（2）同理，得A、P、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 在中，． ∵， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，四点共圆，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1．如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 2．如图，已知直角，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线，交于点；④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；⑤作直线，分别交于点．依据以上作图，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质和垂直平分线的性质、所对的直角边是斜边的一半、等边三角形的判定和性质等，熟练识别角平分线的作法和垂直平分线的作法是解题的关键． 首先由①、②、③判定是角平分线，求出，再根据所对的直角边是斜边的一半求出、的值，最后由④、⑤判定是的垂直平分线，判定为等边三角形，运用性质求解即可． 【详解】解：∵直角，， ∴． ∵由①、②、③判定是角平分线， ∴． ∵直角，，， ∴． ∵， ∴． ∵令与的交点为点， 又∵由④、⑤判定是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 3．已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可． 【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且， ∴，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图知，是的平分线，且， ∴，，不能说明与相等， ∴与不平行，故本选项符合题意； C、由作图知，， ∴四边形是菱形， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，当长度最小时，的面积是（   ） A．6 B． C． D．24 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，求出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得，  可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 6．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为图心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理，根据作图得出是线段的垂直平分线，根据菱形的性质得出，再用勾股定理解求出，解求出． 【详解】解：四边形是菱形，， ， 由作图过程可知是线段的垂直平分线， ，， ， ，菱形中， ， ， 故选D． 7．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质逐项分析判断即可即可求解． 本题考查了判断命题的真假，掌握平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题，故该选项不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原命题是真命题，故该选项符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故该选项不符合题意； D、菱形的对角线互相垂直，不相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选B． 8．下列命题中，真命题是（   ） A．分数都是有理数 B．若，则 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【分析】根据有理数的分类，不等式的性质，垂径定理，平行线的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．分数都是有理数，正确，是真命题； B．若，当时，则，故原命题错误，是假命题； C．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题； D．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题； 故选A． 【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 9．下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了假命题的定义以及无理数的定义，错误的命题即为假命题，无限不循环小数即为无理数，再把每个选项的数值进行运算，即可作答． 【详解】解：A、，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； B、，说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是正确的； C、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； D、不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的； 故选：B 10．下列各命题的逆命题不成立的是（  ） A．两直线平行,同旁内角互补 B．若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C．对顶角相等 D．如果那么 【答案】C 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】A、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，成立； B、逆命题是如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等，成立； C、逆命题是相等的角是对顶角，不成立； D、逆命题是如果，那么，成立， 故选C． 点睛：本题考查的是逆命题 11．如图，在矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点作的垂线分别交，于点M，N，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用相关性质是解题的关键． 设交于点，证明，可得，可求得，证明，求得，可利用勾股定理求得，即可解答． 【点睛】解：设交于点， ， 由题意可得， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 12．如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点 N；再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；作射线交于点 D；然后分别以A，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；作直线分别交于点G，H，依据以上作图，若，则的长是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了作图——复杂作图，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接，由作法得：平分，垂直平分，可得，，从而得到，进而得到，，可证明四边形是菱形，从而得到，再由，可得，即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由作法得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 13．如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接． ①试判断直线与的位置关系，并说明理由； ②若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①与相切，理由见解析；②6 【分析】（1）使用尺规作图作线段垂线，分别以点、点为圆心，作半径相同的圆弧，交于一点，连接点A与该点并延长交的延长线于点． （2）①根据垂直平分线性质求得，则与相切； ②在中，由勾股定理可得即可得，在中，由即可求解． 【详解】（1） 如图，为所作垂线；    （2）①与相切，理由如下∶ 在中，是的垂线， ，且是的垂直平分线， ， ， 与相切于点， ，即， 与相切； ②在中， 根据勾股定理，得： 在中， 【点睛】本题考查圆的切线的判定定理、垂直平分线性质和勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 14．如图，内接于，是的直径，D是上的一点，平分，与相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作的切线，交延长线于点F； (2)当的半径为5，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理及角平分线的定义易证，延长，以点C为圆心，的长为半径，画弧交延长线与点G，分别以点O，点G，为圆心，大于的长为半径，画弧交于两点，连接这两点，延长交这条直线于点F，即可； （2）连接，得，证明，进而证明，得出，解，得出，则，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线为所求： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ， 是的垂直平分线， ， 为的切线； （2）解：连接， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了复杂作图，尺规作垂直平分线段，切线的判定，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（1）根据下图补全作法： ①已知线段a，b，作射线， ②在射线上依次截取； ③：_________． 结论：如图，线段即为所求．此时_________．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若，，E为线段的中点，F为线段的中点，求线段的长． （3）如图，折线由有公共端点B的两条线段，组成，点D把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“总长平分点”．已知点Q是折线的“总长平分点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 【答案】（1）在线段上截取，；（2）线段的长为；（3）4或 【分析】本题考查了作图，列代数式，两点间的距离，解题的关键是要结合题意进行分类讨论； （1）根据作图，列出代数式即可； （2）将，然后分别用进行表示求解即可； （3）提出一个新的定义——“总长平分点”，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论． 【详解】解：（1）解：由题意及图可知： ③在线段上截取， 此时， 故答案为：在线段上截取，； （2）如下图： 由题意知： ， 线段的长为； （3）解：如图3， ①在上， 点为线段的中点，， ， 点是折线的“总长平分点”， ， ， ， ， ， ； ②如图4，在线段上， 同理：， ， ， ， 故答案为：4或． 16．如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，与边相交于点F，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点E，连接，当时，的长为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等，尺规作图，及相似三角形的性质，根据尺规作图可知，是角平分线，再由与全等得到对应边相等，再由，列方程即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，解直角三角形，垂线段最短，过点作，可得，则可得的最小值为点到的垂线段的长度，利用解直角三角形，列方程，求解即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，   ， 由题意可得为的垂直平分线， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 当三点共线时，最小，为点到的垂线段的长度， 如图，   ， 设，则， ， ， ， ， 则可得， 解得， ， 故选：B． 18．知识再现： （1）如图1，在中，，平分于点E．求证：． 知识延伸与拓展 （2）如图2，在中，，D是线段上一点． ①用尺规作出点A关于直线的对应点E（保留作图痕迹） ②如图3，在①的基础上，连接，过点C作交的延长线于点 F；求证：． （3）在②的基础上，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①图见解析；②证明见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线性质，推出，再结合等腰三角形性质得到，证明，利用全等三角形性质推出，最后对线段进行等量代换，即可证明； （2）①过点作的垂线，再以为圆心，长为半径，画弧，交垂线于点，结合等腰三角形性质，即可得出点E即为所作； ②过点作于点，过点作于点，结合轴对称性质证明，得到，证明四边形为矩形，得到，再证明，即可推出； （3）根据题意设，则，结合勾股定理建立方程求出的值，再进行分析判断，即可解题． 【详解】（1）证明：平分于点E．， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①所作点E如图所示： ②证明：过点作于点，过点作于点， 由轴对称性质可知，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ； （3）， 设，则， ， ， ， 解得或， 当时，，，则； 当时，，，则（不合题意，舍去）； 综上所述，． 【点睛】本题考查了角平分线性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，作垂线，轴对称性质，矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 19．如图，内接开，，是的直径，交于点．连接BD． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点（用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，保留作图痕迹，不必写作图过程） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再以点为圆心，以为半径作弧，交于点，以点为圆心，以的长度为半径作弧，交前弧于点，连接并延长，交延长线于点；由作图可知，，根据“内错角相等，两直线平行”，易知； （2）连接，证明，易得，进而可知垂直平分，易得，再根据“两直线平行，同位角相等”可得，即可证明结论； （3）过点作于点，设的半径为，由垂径定理可得，证明，结合相似三角形的性质可解得的值，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意作图，如下图所示； （2）证明：如下图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的直径， ∴是的切线； （3）解：如下图，过点作于点， 设的半径为，则，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、平行线的判定与性质、切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 20．已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点． 【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形． ①点与点______关于互为顶针点； ②求证：点与点关于互为勾股顶针点． 【实践操作】（2）在长方形中，． ①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长． 【答案】（1）①E和D；②见解析；（2）①图见解析；②1或2或或10 【分析】（1）①根据互为顶针点的定义判断即可；②根据等边三角形、等腰三角形的性质求得，进而根据互为勾股顶针点的定义以及进行判断证明即可； （2）①以点B为圆心，长为半径画弧交于F，连接，作的平分线交于E，则点E、F即为所求作； ②分四种情况，分别画出图形，利用折叠性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴点与点E和D关于互为顶针点； 故答案为：E和D； ②证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∴点与点关于互为勾股顶针点． （2）①如图3，以点B为圆心，长为半径画弧交于F，连接，作的平分线交于E，则点E、F即为所求作； 作图理由：连接，， 由作图得，，又， ∴， ∴，， 则， ∴点与点关于互为勾股顶针点； ②根据点E、F的位置，分四种情况： 1）如图4-1，当时，设，则， 由折叠性质得，， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴由勾股定理得，解得，即； 2）如图4-2，当时，； 3）如图4-3，当时，设，则， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴由勾股定理得，解得，即； 4）如图4-4，当时，点F与D重合，此时， 综上，满足条件的值为1或2或或10． 【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、尺规作图等知识，理解题中新定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，数形结合和分类讨论思想的运用是解答的关键． 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，掌握尺规作图是解题的关键． 由作图可得，，根据垂直平分线的判定即可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论③；由作图可得，得到，根据特殊角的三角函数值即可判断结论⑤，由已知条件无法得到是等边三角形，四边形是菱形，即可判断①④错误． 【详解】解：由作图可得，， ∴垂直平分，故②正确． ∵，， ∴平分，故③正确． 由作图可得， ∴， ∴，故⑤正确． ∵，但无法判断， ∴无法得到是等边三角形，故①错误． ∵，，但无法得到， ∴无法证明四边形是菱形，故④错误． 综上所述，正确的结论是②③⑤，共3个． 故选：B 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 4．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 5．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键； 先根据勾股定理求出，设交于点M，作于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出，进而可得，证明，再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴, 由题意可得：平分，即， 设交于点M，作于点N，如图， 则， 设， ∵， ∴， 即， 解得：，即， 则， 由作图痕迹可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故选：A. 6．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 7．（2025·山东潍坊·中考真题）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．三角形的中位线平行于第三边 D．等腰三角形的两个底角相等 【答案】AD 【分析】本题考查判断逆命题的真假，分别写出各命题的逆命题，根据等式的性质，不等式的性质，三角形的中位线定义，等腰三角形的判定，判断真假即可． 【详解】解：A、逆命题为若，则，为真命题，符合题意． B、逆命题为若，则，为假命题，例如，，，但是，不符合题意； C、逆命题为“平行于三角形第三边的线段是中位线”，为假命题，不符合题意； D、逆命题为“若三角形有两个角相等，则为等腰三角形”．由等角对等边可知成立，为真命题，符合题意； 故选：AD． 8．（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，尺规作图作角平分线，角平分线的性质定理． 作交于I，根据菱形的性质可知，由作图可知平分，即，进而根据三角形面积公式计算即可． 【详解】如图，作交于I， ∵菱形， ∴，即， 由作图可知平分， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________． 【答案】 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． 10．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 11．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题：___________． 【答案】若，则 【分析】此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．由此即可解答． 【详解】解：“若，则”的逆命题为：若，则， 故答案为：若，则． 12．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 13．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 14．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求； （2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 15．（2025·宁夏·中考真题）如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接． (1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________． (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)；射线平分 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定． （1）根据步骤②中“以点A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出与的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线的性质． （2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证，结合菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”进行证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法， ∴射线平分． 故答案为：；射线平分． （2）证明：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B， ∴， ∵射线平分， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， 又∵以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 图形的变化 第31讲 尺规作图与定义、命题、定理 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 尺规作图 题型01 作线段 题型02 作角 题型03 作角平分线 题型04 作垂线 题型05 作圆 命题点二 定义、命题、定理 题型01 定义、命题、定理 05·重难突破·思维进阶 17 突破一 尺规作图综合 06·优题精选·练能提分 20 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 尺规作图 辽宁省卷 T10 辽宁省卷 T15 沈阳卷T14 丹东卷T8 盘锦卷T17 鞍山卷T14 阜新卷T15 锦州卷T14 营口卷T15 抚顺、葫芦岛T9 本溪、铁岭、辽阳T9 掌握尺规作图的方法。会作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角平分线；作线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线；过直线外一点作这条直线的平行线； 能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形；过圆外一点作圆的切线。 定义、命题、定理 / / 盘锦卷T7 · 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义； 结合具体实例，会区分命题的条件和结论；了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 命题预测 本考点内容以考查在几何题中识别尺规作图痕迹求解与判断真假命题为主，难度不大，多以选择题与填空题的形式进行考察。尺规作图为每年必考点，主要结合三角形与四边形的性质与判定、相似的性质与判定等，求解相关线段的长度或相关角的角度；定义、命题、定理的考查频率较低，主要能判断命题为真命题或假命题即可。 考点一 尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1、任作一条射线OP； 2、以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2.作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1、作射线O'A'； 2、以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3、以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4、以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5、经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1、三边分别相等的两个三角形全等； 2、全等三角形的对应角相等； 3、两点确定一条直线. 3.作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1、以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2、分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3、作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1、三边分别相等的两个三角形全等； 2、全等三角形的对应角相等； 3、两点确定一条直线. 4.过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1、任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2、以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3、分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4、作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1、等腰三角形“三线合一”； 2、两点确定一条直线. 5.作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1、分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2、作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1、到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2、两点确定一条直线. 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（2026·辽宁鞍山·二模）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，过作的平行线交于，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为________． 4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，矩形的对角线交于点O，E是边上一点，连接．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，以点O为圆心，长为半径作弧，交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作弧，在下方交前面的弧于点P，作射线交于点F．已知矩形的面积是60，E是边的三等分点，且，则_______． 5．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，已知圆内接四边形中是的直径，且满足． (1)尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点； (2)在（1）的条件下，求证：； 考点二 定义、命题、定理 1.命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 4.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 5.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 6.反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 1．（2025·辽宁沈阳·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．调查某品牌新能源汽车电池的使用寿命，适合采用全面调查 C．如果，那么 D．圆内接四边形的对角互余 2．（2025·辽宁·模拟预测）下列命题是真命题的是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．在同一平面内，若，，则 C．若，则 D．菱形的对角线相等 3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）下列命题的逆命题为假的有（  ） A．对顶角是相等的角 B．对应角相等的三角形是全等三角形 C．平行四边形是两组对边互相平行的图形 D．等圆是半径相等的圆 命题点一 尺规作图 ►题型01 作线段 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·二模）已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点、重合），连接． 求作：点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（   ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是： ①作线段，分别以为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为； ②以为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点； ③连接．下列说法不正确的是（    ） A．是等边三角形 B． C．点在的中垂线上 D． 【变式】3．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在矩形中，分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点E，连接，．若，则的大小为__________． ►题型02 作角 【典例】1．（2026·辽宁营口·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·二模）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线和直线外一点，用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线”分别作出了下列图形，其中作法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】1．（2025·辽宁丹东·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），点C在抛物线上，坐标为，，连接，按照以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点E，交于点F；②以点C为圆心，长为半径画弧，交于点G；③以点G为圆心，长为半径画弧，在下方与弧交于点H；④以点H为圆心，长为半径画弧，在点H下方与弧交于点I；⑤连接并延长交抛物线于点D，则的长为_____． 【变式】2．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点E，F； ②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交第二步所作的弧于点； ④连接并延长交于点G． 若与四边形的面积比为，则的值为__________． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． ►题型03 作角平分线 【典例】1．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在中，，，为的中线，以点为圆心，长为半径画弧交于，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2026·辽宁·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】2．（2025·辽宁丹东·一模）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为_____________．（用含m的式子表示） 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为__________． ►题型04 作垂线 【典例】1．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知菱形的顶点，，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，且恰好经过点，与交于点.则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD＝8，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，若GA＝3，则AD的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．3 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·一模）如图，在四边形中，对角线与交于点，过点作于点，，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，若点，在直线上，且，则的长为______． ►题型05 作圆 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑） 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，点D在的延长线上，过点C的切线与相交于点E． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，尺规作图，作弧关于弦AC所在直线的对称图形弧．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知在中， (1)已知点O在边BC上，请用圆规和直尺作出，使经过点C，且与AB相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． (2)若与AB切于点D，与CB的另一个交点为E，连接AO、DE，求证：DE//OA． (3)若，，求的半径． 命题点二 定义、命题、定理 ►题型01 定义、命题、定理 【典例】1．（2025·辽宁大连·一模）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．若，，则与的面积之比为1∶2 C．若，则 D．若，则 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列命题是真命题的是（  ） A．如果，那么 B．边长为1，， 的三角形是直角三角形 C．两个锐角之和一定是钝角 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．同位角相等 D．若，则 【变式】3．（2025·辽宁大连·一模）命题“如果，那么”是______命题．（选填“真”或“假”） 突破一 尺规作图综合 【典例】1．如图，在中，以A、B为圆心，、长为半径分别作弧交于点，连接、，在上截取点M，以点为圆心，长为半径作弧交于点N，以大于的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点与这点连线的直线交于点P，交于I．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．10 【典例】2．是的直径，点在线段的延长线上，射线与相切于点，，连接，扇形的面积为．是线段上的动点，且，连接并延长交射线于点．      (1)请在图中作出四边形，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，交射线于点M，交射线于点， ①当时，判断点与直线的位置关系，并说明理由； ②当时，探究线段之间的数量关系． 【典例】3．综合与实践课中的“最短路径问题”，可以转化为数学中求线段和的最小值问题．所以探讨线段和最小值问题成为解决此类问题的核心． 如图1，已知直线及同侧的两点A、B，求直线上一点C，使的值最小． (1)【作图】：用直尺和圆规作点A关于直线的对称点，连接交于点C，则点C即为所求点．（保留作图痕迹）； (2)【验证】：在上任找一点Q，连接，，，求证：； (3)【迁移】：如图2，已知点，点，点F在x轴上，且的值最小，则________． 【变式】1．如图，在中，，，在边和边上分别截取，，使，分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交边于点．点从点出发，沿方向向终点运动，连接，点在边上，且．设，，若关于的函数图象过点，则的最小值为__________． 【变式】2．如图1，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于点D，连接． (1)①尺规作图：在边上确定点E，使（保留作图痕迹，不用写作法）； ②在①的条件下，求证：． (2)若，求的长． (3)如图2，点G在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点G的对应点H在内部，过点H作分别交，于点M，N．求的值． 【变式】3．（1）如图1，在△中，，．请在图1中作图：过点作射线，满足，垂足为，此时．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，点在射线上，作射线，并将射线绕点逆时针旋转与直线交于点，若，，求的值． （3）如图2，在△中，，为线段上一点，按（1）（2）的作图要求画出图形，并直接写出线段，，之间的数量关系． 1．如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 2．如图，已知直角，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线，交于点；④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；⑤作直线，分别交于点．依据以上作图，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 3．已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，当长度最小时，的面积是（   ） A．6 B． C． D．24 5．在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 6．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为图心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线，与交于点，连接，若，直线恰好经过点，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直 8．下列命题中，真命题是（   ） A．分数都是有理数 B．若，则 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 9．下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．下列各命题的逆命题不成立的是（  ） A．两直线平行,同旁内角互补 B．若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C．对顶角相等 D．如果那么 11．如图，在矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点作的垂线分别交，于点M，N，则的长是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点 N；再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；作射线交于点 D；然后分别以A，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；作直线分别交于点G，H，依据以上作图，若，则的长是________． 13．如图，已知在中，，以A为圆心，的长为半径作圆，是的切线与的延长线交于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规过点A作的垂线交的延长线于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接． ①试判断直线与的位置关系，并说明理由； ②若，的半径为3，求的长． 14．如图，内接于，是的直径，D是上的一点，平分，与相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作的切线，交延长线于点F； (2)当的半径为5，时，求的长． 15．（1）根据下图补全作法： ①已知线段a，b，作射线， ②在射线上依次截取； ③：_________． 结论：如图，线段即为所求．此时_________．（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的作图基础上，若，，E为线段的中点，F为线段的中点，求线段的长． （3）如图，折线由有公共端点B的两条线段，组成，点D把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点D叫做这条折线的“总长平分点”．已知点Q是折线的“总长平分点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为_____． 16．如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，与边相交于点F，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点E，连接，当时，的长为________． 17．在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 18．知识再现： （1）如图1，在中，，平分于点E．求证：． 知识延伸与拓展 （2）如图2，在中，，D是线段上一点． ①用尺规作出点A关于直线的对应点E（保留作图痕迹） ②如图3，在①的基础上，连接，过点C作交的延长线于点 F；求证：． （3）在②的基础上，若，求的长． 19．如图，内接开，，是的直径，交于点．连接BD． (1)尺规作图：过点作，交的延长线于点（用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图，保留作图痕迹，不必写作图过程） (2)求证：是的切线； (3)已知，，求的长． 20．已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点． 【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形． ①点与点______关于互为顶针点； ②求证：点与点关于互为勾股顶针点． 【实践操作】（2）在长方形中，． ①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长． 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线交直线l于点O，连接，，，．根据以上作图过程，有以下结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③平分；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 3．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川遂宁·中考真题）在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（    ） A． B． C．6 D． 6．（2025·四川成都·中考真题）下列命题中，假命题是（   ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等 7．（2025·山东潍坊·中考真题）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．三角形的中位线平行于第三边 D．等腰三角形的两个底角相等 8．（2025·海南·中考真题）如图，在菱形中，对角线、相交于点．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则_______． 9．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________． 10．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 11．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出命题“若，则”的逆命题：___________． 12．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，_______． 13．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 14．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 15．（2025·宁夏·中考真题）如图，点在直线外． ①在直线上任取一点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点； ③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线； ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； ⑤连接． (1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________． (2)求证：四边形是菱形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $