第11讲 一次函数的应用（复习讲义，2考点7题型1重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次函数的应用”核心考点，覆盖销售利润、行程、方案分配等7大中考高频题型，通过考情剖析明确命题趋势，知识导航构建“建模-求解-应用”思维网络，考点解析梳理待定系数法、图像信息提取等关键方法，配合真题训练与分层练习，形成系统复习闭环。 亮点在于“题型专项突破+跨学科情境创新”设计，如通过“新能源汽车充电问题”抽象函数关系培养数学眼光，“最大利润问题”结合不等式求范围训练数学思维，“无人机高度差问题”强化数学语言表达。分层练习适配不同学生，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生建模与解题能力。

第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 一次函数的应用 题型01 最大利润问题 题型02 方案分配问题 题型03 行程问题 题型04 工程问题 题型05 充电问题 题型06 跨学科问题 题型07 其他问题 05·重难突破·思维进阶 49 突破一 科技热点新情境问题 06·优题精选·练能提分 57 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 销售利润问题 / 辽宁省卷 T19 丹东卷T24 盘锦卷T24 鞍山卷T24 锦州卷T23 抚顺、葫芦岛卷T23 本溪、铁岭、辽阳卷T23 能根据实际问题中的已知条件，抽象出两个变量之间的一次函数关系，灵活运用不同情境中的条件与数据，利用待定系数法确定一次函数的表达式，以及直接根据题意列出一次函数的表达式，并结合图像与性质等解决具体的实际问题。 行程问题 / / 阜新卷T16 命题预测 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来多主要以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考察待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 考点一 一次函数的应用 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 1．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）某科技公司在专用测试场地的一段直路上对Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人进行测试，下表是此次测试的相关信息： 测试场地信息 这段测试直路上依次有，，三个记录点，，两点相距米． 测试运动过程 Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人分别从，两点同时出发，匀速相向而行，分别到达目的地，后停止运动． 测试图象信息 如图，，分别表示Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人离点的距离（米）与运动时间（分）的函数关系图象．与相交于点． 请结合上述测试相关信息，解决下列问题： (1)求点的坐标，并解释点的实际意义； (2)Ⅱ型机器人到达点比Ⅰ型机器人到达点少用时分钟，求，两个记录点间的距离； (3)在Ⅱ型机器人到达点前，求Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过米的运动时间的取值范围． 【答案】(1)；点的实际意义为当两款机器人出发分钟后，在离地米的位置相遇 (2)米 (3) 【分析】（1）通过分析图象得到Ⅰ型、Ⅱ型机器人离点距离与运动时间的函数表达式，联立方程求解交点的坐标，再结合实际运动解释其意义． （2）设Ⅱ型机器人到达点时间，根据Ⅰ型、Ⅱ型机器人运动路程与、间距关系列方程，求出时间后计算、间距． （3）根据“相距不超过米”建立不等式，结合Ⅱ型机器人到达点前的时间范围求解． 本题主要考查了一次函数的实际应用，包括函数表达式的运用、方程与不等式的求解 ．熟练掌握一次函数的性质，以及利用函数关系解决行程问题中的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，． 联立 解得 ∴． ∴点的实际意义为当两歙机器人出发分钟后，在离地米的位置相遇． （2）解：设Ⅱ型机器人到达B点运动时间为分钟，根据题意得: ，解得， ∴（米）， ∴，两个记录点间的距离为米． （3）解：根据题意得，解得， ∴． ∴Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过米的运动时间的取值范围为． 命题点一 一次函数的应用 ►题型01 最大利润问题 【典例】1．（2025·辽宁锦州·三模）某中学决定在“文体周”为一个节目制作、两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装、两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示： 甲种材料（件） 乙种材料（件） 道具 3 4 道具 5 2 经过计算，制作一个道具的费用为5元，一个道具的费用为4元．设组装种道具个，所需总费用为元． (1)求与的函数表达式，并求出的取值范围； (2)问组装种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)， (2)当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元 【分析】本题考查了一次函数的应用，关键是通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数的性质解决问题． （1）设组装A种道具x个，则B种道具个，根据“总费用种道具费用种道具费用”即可得出y与x的函数关系式；再根据题意列不等式组即可得出x的取值范围； （2）根据（1）的结论，结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解： ． 根据题意，得 ． 解得 ∴的取值范围是． （2）解：由（1）得 ∵是的一次函数，且 ∴随着的增大而增大． ∴当时， 答：当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 【答案】(1)；，且x为正整数； (2)购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； (3)100 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； （2）解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件； (2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·一模）某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． (2)购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，再列不等式求解的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． （2）设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ，即， ，随的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·一模）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．    (1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； (2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） 【答案】(1) (2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据销售收入每台的销售价格销售数量求得销售收入为万元与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为． ∵图象过两点， ，解得 ∴当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为． （2）设销售收入为万元， ①当时，， ，当时，（万元）．             ②当时，， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，（万元）．                 ，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ►题型02 方案分配问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． 营养成分表 营养成分表 项目 每 项目 每 热量 热量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用种食品包，种食品包 (2)选用种食品包，种食品包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设选用种食品包，种食品包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用种食品包，则选用种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设选用种食品包，种食品包， 根据题意，得 解方程组，得 故选用种食品包，种食品包． （2）解：设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴随的增大而减小． ∴当时，最小． ∴． 故选用种食品包，种食品包． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·二模）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% (1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式. (2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】（1）y1=4500x+1500；y2=4800x；（2）答案见解析；（3）从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）①若甲商场购买更优惠，可得不等式4500x+1500＜4800x，解此不等式，即可求得答案； ②若乙商场购买更优惠，可得不等式4500x+1500＞4800x，解此不等式，即可求得答案； ③若两家商场收费相同，可得方程4500x+1500=4800x，解此方程，即可求得答案； （3）根据题意列出函数解析式，再根据增减性即可进行解答． 【详解】解：（1）y1=6000+（1-25%）×6000（x-1）=4500x+1500； y2=（1-20%）×6000x=4800x； （2）设学校购买x台电脑， 若到甲商场购买更优惠，则： 4500x+1500＜4800x， 解得：x＞5， 即当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠； 若到乙商场购买更优惠，则： 4500x+1500＞4800x， 解得：x＜5， 即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠； 若两家商场收费相同，则： 4500x+1500=4800x， 解得：x=5， 即当购买5台时，两家商场的收费相同； （3）w=50a+（10-a）60=600-10a， 当a取最大时，费用最小， ∵甲商场只有4台， ∴a取4，W=600-40=560， 即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式实际应用问题，涉及了不等式与方程的解法，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某校组织师生参加实践活动，现准备租用甲、乙两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．租车数量与载客人数（每辆车均坐满）的相关数据如下表： 租车数量/辆 载客人数 甲型客车 乙型客车 5 2 310 3 4 340 (1)每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？ (2)该校计划租用甲型和乙型两种客车共10辆，并将全校420人载至目的地，若甲型客车每辆租金为500元，乙型客车每辆租金为600元，请计算出租车最省钱的方案． 【答案】(1)甲型客车坐满后载客40人，乙型客车坐满后载客55人 (2)租甲型客车8辆，乙型客车2辆最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲型客车坐满后载客x人，乙型客车坐满后载客y人，根据题意列出方程组求解即可； （2）设租甲型客车辆，则租乙型客车辆．先求出a的取值范围，再列出租车费用的函数关系式求解即可． 【详解】（1）设甲型客车坐满后载客x人，乙型客车坐满后载客y人， 根据题意，得 解得． 答：甲型客车坐满后载客40人，乙型客车坐满后载客55人． （2）设租甲型客车辆，则租乙型客车辆． 根据题意，得，解得． 为整数， 的最大值为8． 甲型客车每辆租金为500元，乙型客车每辆租金为600元， 总租金为． ， 总租金随的增大而减小． 当时，总租金最少，此时． 管：租甲型客车8辆，乙型客车2辆最省钱． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·一模）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化功能，深受老百姓喜爱．刘小姐假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给家人和朋友品尝，已知甲、乙两家超市都以20元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打七折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若刘小姐购买牡丹饼袋，在甲、乙超市所需费用分别为元、元，与x之间的函数图象如图所示，回答下列问题：    (1)分别求出、与x之间的函数关系式； (2)当x的值为多少时，在两家超市购买的费用一样？ (3)若刘小姐准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 【答案】(1)，； (2)15； (3)在乙超市购买更划算． 【分析】（1）根据超市的促销活动，列式求得，待定系数法求解析式即可； （2）由（1）得到的购物所付的费用使其相等，求解即可； （3）利用（1）中得到的代数式，分别将代入、，比较即可． 【详解】（1）由题意得， 当时， 当时，设， 由题意得， 解得， ∴， ∴与x之间的函数关系式为． （2）由题意得，或， 解得：或， ∵x为整数， ∴x取15， ∴当时，在两家超市购买的费用一样． （3）当时，（元）， （元）， ∵， ∴在乙超市购买更划算． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一元一次方程，求得函数解析式是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁大连·一模）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） (1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ (2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 【答案】(1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元； (2)购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组和函数关系式． （）设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元，由题意得，再解方程组即可； （）设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，求得，然后根据“乙种水果数量不多于甲种水果的倍”求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元， ∴由题意得：，解得：， 答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元； （2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元， 则， ∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时，， 答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． ►题型03 行程问题 【典例】1．（2025·辽宁大连·二模）甲、乙两车沿同一路线，从A地出发，匀速驶向B地，甲车出发后，乙车出发．当甲车行驶时，两车在C地相遇；乙车在C地停留一段时间后继续以原速度匀速行驶，当甲车行驶时，两车同时到达B地．甲、乙两车行驶的路程y（单位：）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求B、C两地之间的路程； (2)乙车出发后，当两车之间的路程为时，求甲车行驶的时间． 【答案】(1) (2)乙车出发后，当两车之间的路程为时，甲车行驶的时间为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先求出甲车的速度为，然后求出B、C两地之间的路程即可； （2）先求出直线的解析式为，直线的解析式为：，直线的解析式为：；当甲、乙到达C地前，求出两车间距离为时，乙出发的时间，求出乙车第二次出发前，甲、乙两车间的最大距离为：，得出当两车到达C地后，两车之间的距离不可能为，即可得出答案． 【详解】（1）解：甲车的速度为：， ∴B、C两地之间的路程为： ； （2）解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 乙车从C地到B地所用时间为： ， ， 则点C的坐标为， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； 当甲、乙到达C地前，根据题意得：， 解得：， ， ∴乙车出发后，当两车之间的路程为时，甲车行驶的时间为， 乙车第二次出发前，甲、乙两车间的最大距离为： ， ∴当两车到达C地后，两车之间的距离不可能为； 综上分析可知：当乙出发后，两车之间的路程为． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后提高速度匀速驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即以原来的速度原路返回地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)求乙货车在返回地的过程中距地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (2)乙货车在返回地的过程中追上甲货车，此时距离地，则甲货车比乙货车早多长时间到达B地． 【答案】(1)乙货车在返回地的过程中距地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (2)甲货车比乙货车早小时到达B地． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解二元一次方程组等知识点， 根据题意求出点的坐标，利用待定系数法求解即可； 根据题意求出相遇点和点的坐标，利用待定系数法求出线段对应的函数解析式，再将代入求值，进而比较即可得解； 掌握速度、时间、路程之间的数量关系及待定系数法求函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即以原来的速度原路返回地， 乙货车到达配货站时的时间为（小时）， ， 设线段对应的函数解析式为（为常数，且）， ,解得, 乙货车在返回地的过程中距地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （2）解：乙货车在返回地的过程中追上甲货车，此时距离地， 此时离甲地为， ，解得， 此时它们相遇的点的坐标为， 甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后提高速度匀速驶往地， ， 设线段对应的函数解析式为， ,解得, 线段对应的函数解析式为， 当时，，解得， ， 甲货车比乙货车早小时到达B地． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·二模）万物复苏，生机盎然，正是踏春的好时节．某校组织同学们乘坐甲、乙两车从学校同时出发前往森林动物园踏春．已知学校到森林动物园的路程是，甲车在途中加油用时，加油后继续前行并与乙车同时到达森林动物园．甲、乙两车距离学校的路程y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示． (1)求线段对应的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当乙车比甲车多行驶时，求甲、乙两车的行驶时间是多少小时． 【答案】(1) (2)甲、乙两车的行驶时间是或 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的求解，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）先确定出点B的坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）先求出的解析式，再分情况求出结果即可． 【详解】（1）解：， 点 设线段对应的函数解析式是， 将点代入，得 ，解得， 线段对应的函数解析式是； （2）设线段对应的函数解析式是， 将点代入，得，解得， 线段对应的函数解析式是 ①当时， ， 当时，，解得 ②当时， ，解得， 答：当乙车比甲车多行驶时，甲、乙两车的行驶时间是或． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·三模）如图1，甲、乙分别从相距的A，B两点同时开始沿线段运动，运动过程中甲与点A的距离与时间的函数关系图像如图2，乙与点B的距离与时间的函数关系图像如图3，已知甲全程的平均速度为，且两图像中． (1)请求出甲从点A到点B的运动速度与从点B到点A的运动速度的比值； (2)请结合题意，将乙与点A的距离与时间的函数图像画在图2中，并求出甲乙的相遇时刻． 【答案】(1)甲从点A到点B的运动速度与从点B到点A的运动速度的比值为； (2)图像见解析；甲乙的相遇时刻分别为和． 【分析】此题考查了函数图像获取信息，读懂图像是解题的关键． （1）根据题意可知，甲到所用时间为，从回到所用时间为，路程不变，即可求出答案； （2）根据题意画出函数图像即可，结合一次函数交点情况分两种情况进行求解即可得到答案； 【详解】（1）解：甲到所用时间为，从回到所用时间为， 路程不变， 甲从到的速度是从到运动速度的倍， 即甲从点A到点B的运动速度与从点B到点A的运动速度的比值为； （2）根据题意，分别将甲、乙与点的距离与时间的函数图像画在下图中，两个函数图像交点即为甲乙两个相遇情况， 故可知，两个相遇两次． ∵， ∴，，， 乙由到时间等于甲从到的时间，则乙由到的时间等于甲从到的时间，甲乙行完全程的时间相等，乙由到时间为其由到时间三倍， 甲全程平均速度， 由图知，整个过程总路程为， 总时间为， ∴，解得， 甲从A运动到B的速度为， 故点， 如图，设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入点，得到， ，解得， ∴， 令，解得， 同理可得，直线的解析式为，直线的解析式为， 令，解得， 综上可知，甲乙的相遇时刻分别为和． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）沈阳浑河滨水慢道被沈城骑行爱好者称为最美骑行路线．甲、乙两名骑行爱好者相约某周日至在滨水慢道骑行，早晨两人同时从慢道某地出发同向骑行，甲匀速骑行，速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示（由线段和线段组成）． (1)当时，求与的函数表达式； (2)在骑行过程中，当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． （1）当时，设，然后把，代入解得，即可； （2）先分别求出段对应的函数表达式及甲骑行的路程与骑行的时间之间的函数表达式，根据乙骑行路程是甲骑行路程的倍列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 把，代入，得 ， 解得， 当时，与的函数表达式为． （2）解：由图可知，乙在段骑行的速度为， 段对应的函数表达式为， 根据题意可知，甲骑行的路程与骑行的时间之间的函数表达式为， 当时，当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时， 则，该方程无解； 当时，由（1）可知，乙骑行的路程与骑行的时间之间的函数表达式为， 此时，当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时， 则， 解得， 当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时，此时的值为． ►题型04 工程问题 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·二模）随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量（件），一名工人每日工作量（件）分别与机器人工作时间（小时）之间的函数关系如图所示．    (1)机器人的工作效率为______件/小时． (2)当时，求关于的函数解析式． (3)当时，一台机器人比一名工人多生产______件产品． 【答案】(1)15 (2)与的函数解析式为 (3)60 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由图可得：机器人不休息，且3小时做了45件，由此计算即可得出答案； （2）求出每名工人的工作效率，当时，设关于的函数解析式为：，将代入解析式求出的值即可得解； （3）分别求出机器人和工人8小时生产产品数量，作差即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得：机器人不休息，且3小时做了45件， 故机器人的工作效率为件/小时； （2）解：由图可得： 每名工人的工作效率为：件/小时， ∵每名工人工作时的效率不变， ∴当时，设关于的函数解析式为：， 将代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为； （3）解：机器人8小时生产产品：（件）， 当时，， ∴当时，一台机器人比一名工人多生产件产品． 【典例】2．（2025·辽宁营口·三模）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； (2)15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可； （2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【变式】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______． (2)求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式． (3)当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度． 【答案】(1)50，150 (2) (3)甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系数法求函数解析式． （1）根据图象列出方程解答即可； （2）设y与x之间的函数关系式为．利用待定系数法解答即可．将点，代入，即可求解； （3）根据时，求出甲的时间，进而求出各自各自铺设路面的长度． 【详解】（1）解：由图像可知：甲小组每小时铺设路面米． ， 解得：， ∴甲小组每小时铺设路面米． 故答案为：50，150； （2）设y与x之间的函数关系式为． 将点，代入，得 由题意，得． 解得． ∴y与x之间的函数关系式为． （3）当时，． ∴（米）， （米）． ∴甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）每年的月日是我国的植树节，大连市园林局在月日当天安排甲、乙两个小组共种植棵株体较大的银杏树，要求在小时内种植完毕，已知第个小时两个小组共植树棵，甲组植树过程中由于起重机出故障，中途停工个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两个小组植树的时间为（小时），甲组植树数量为（棵），乙组植树数量为（棵），、与之间的函数关系图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求、的值； (3)直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树棵？ 【答案】(1)； (2)的值是，的值是； (3)甲、乙两个小组经过小时共植树棵． 【分析】()根据函数图象中的数据，可以计算出与之间的函数关系式，并写出的取值范围即可； ()根据函数图象中的数据，可以先计算出乙每小时植树的棵数，然后即可计算出的值和的值即可； ()根据图象中的数据，可以计算出甲小时后每小时植树的棵数，然后即可列出相应的方程，再解方程即可； 本题考查了一次函数的实际应用，根据题意和函数图象。正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， ∵点在该函数图象上，代入关系式得，， 解得， 即与之间的函数关系式是()； （2）解：根据题意得，乙每小时植树棵， 则甲每小时植树棵， ∴，， 即的值是，的值是； （3）解：设甲、乙两个小组经过小时共植树棵， 甲小时之后每小时植树棵， ∴， 解得， 答: 甲、乙两个小组经过小时共植树棵． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3000 乙 2000 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于?求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【答案】(1)300 (2)该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解题的关键是，找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系得出关于的函数关系式． （1）根据“甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等”得出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据“完成的施工面积不少于”列出不等式，得出，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，得出关于的函数关系式，由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 的值是； （2）解：设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天， 由题意得：， 解得：， 设该段时间内体育中心需要支付元施工费用， 则，即， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值， 该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用． ►题型05 充电问题 【典例】1．（2025·辽宁大连·一模）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． (1)①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【答案】(1)①；②一次函数解析式 (2)这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求得一次函数的解析式是解题的关键． （1）①根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数，利用待定系数法即可解答； ②根据题意可得y与x之间的函数关系式为一次函数，利用待定系数法即可解答； （2）根据题意，利用一次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设S与x之间的函数关系式为， 把代入可得， S与x之间的函数关系式为， 故答案为：； ②根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设与之间的函数关系式为， 把代入可得，， ， 一次函数解析式； （2）解：由题意，得， 将代入得， 解得， ， 随的增大而增大， 当时，， 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】(1)y与x之间的关系式为； (2)该车的剩余电量占“满电量”的． 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； （2）解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 【变式】1．（2025·辽宁大连·一模）保税区车用锂电池项目是我区2025年新能源领域的重点项目之一，计划引入2条汽车锂电池生产线.某校数学兴趣小组了解到汽车锂电池的充电方式主要包括快充和慢充两种，在对某品牌汽车进行了调查研究后，绘制了如图所示的汽车电池能量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示用快充时与x的函数关系；线段表示用慢充时与x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题： (1)求与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)若将该品牌汽车电池能量从充至，快充比慢充少用多长时间？ 【答案】(1) (2)快充比慢充少用h 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出快速充电器所用时间和普通充电器所用时间，即可求出答案． 本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 【详解】（1）解：设 把，代入得 解得 ∴ （2）解：设直线解析式为 把，代入得 解得 ∴直线解析式为 当时，， 当时，， 答：该品牌汽车电池能量从充至，快充比慢充少用. 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象分别为图 2 中的线段． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求线段 所在直线的解析式； (2)先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，并标注出a 所对应的值． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求解析式及一元一次方程的应用， 从函数图像获取所需信息成为解题的关键． （1）先利用待定系数法求出直线的解析式； （2）由时间恰好是，列出方程可求解，即可画出函数图像． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的解析式为． （2）解：根据题意，得． 解得：． 画出电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象如下： 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1）y关于t函数解析式为：，e关于s函数解析式为：；（2）电动汽车在服务区充电35分钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先计算行驶后的电量，假设充电充了分钟，应增加电量：，出发是电量为，走完剩余路程，应耗电量为：，应耗电量为，据此可得：，解得即可． 【详解】解：（1）根据题意，两个函数均为一次函数，设，， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：， 将，代入得， 解得， 函数解析式为：； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了， 当时，， 未充电前电量显示为， 假设充电充了分钟，应增加电量：， 出发是电量为，走完剩余路程， 应耗电量为：，应耗电量为，据此可得： ，解得， 答：电动汽车在服务区充电35分钟． ►题型06 跨学科问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系”． 如图1是小明同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 (1)请你观察表中数据，猜想F与h之间的函数类型，并求出F与h之间的函数关系式，再选一对数值进行验证； (2)当圆柱体完全浸入水中之后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，当时，在图2的坐标系中画出F与h的函数图象． 【答案】(1)猜想F与h之间满足一次函数关系，，验证见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）观察表格发现弹簧测力计的初始示数为，h每增加，F减少，由此可猜想F与h的函数类型是一次函数，可设，再从表格中找两个相对简单的数值代入求出待定系数，最后选一对数值进行验证； （2）当，F与h是一次函数关系，当，浮力大小不变，图像是一条平行于x轴的线段，由此即可作出图像. 【详解】（1）解：猜想F与h之间满足一次函数关系， 设F与h之间的函数表达式为，把，与，代入，得解得 ∴， 验证：当时，， ∴符合. 故答案为猜想F与h之间满足一次函数关系，，验证符合. （2）解：当圆柱体没有完全浸入水中，即时，F与h是一次函数关系，即，当时，，当时，，可画出图像； 当圆柱体完全浸入水中之后，即时，浮力保持不变，弹簧测力计的示数也不再变化，图像是一条平行于x轴的线段； 所以当时，F与h的函数图象如图所示． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重科.已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间满足一次函数关系，其图象如图1所示.图2的电路中，电源电压恒为，定值电阻的阻值为，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量. 知识小链接：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压 (1)求出与踏板上人的质量之间的函数关系式； (2)当电压表显示的读数为时，求出对应测重人的质量． 【答案】(1) (2)当电压表显示的读数为时，对应测重人的质量为55千克 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出与踏板上人的质量m之间的函数关系式； （2）根据题意先求出，再代入（1）中的函数解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：由题意设与踏板上人的质量之间的函数关系式为， 将点，代入上式，得 ，解得， 与踏板上人的质量之间的函数关系式为； （2）由题意得，可变电阻两端的电压， ，通过可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ，解得， ， 解得， 当电压表显示的读数为时，对应测重人的质量为55千克． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘中物体的质量． 【试验探究】 如图1，小华仿照古人制作秤的方法制作了一个简易“杆秤”．当秤砣移动到秤纽处时，秤盘内不放重物，秤杆左右两边正好平衡．他将质量为x（单位：）的物体放在秤盘内，记录下秤杆平衡时秤砣到秤纽的水平距离y（单位：）．小华若干次称重时所记录的数据如下表所示： x/g 50 100 200 350 450 y/cm 4 8 16 28 36 【实践应用】 (1)在如图2所示的平面直角坐标系中描出表格中各组数值所对应的点． (2)根据（1）中点的分布特点，判断y与x的函数关系，并求y关于x的函数解析式． (3)若该杆秤的秤砣到秤纽的最大距离是，求此时秤盘内物体的质量是多少克． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据描点法的基本要求，确定点的位置即可． （2）根据一次函数的性质，利用待定系数法解答即可． （3）根据函数的解析式，求相应的函数值即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】（1） （2）解：根据图象可知是的一次函数． 设一次函数的解析式为． 将代入， 得 解得 一次函数的解析式为． （3）解：由（2）可知一次函数的解析式为． 当时，． 解得． 当该杆秤的秤砣到秤纽的最大距离是40cm时，秤盘内物体的质㩆是． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·二模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：cm），小明绘制了，关于虹吸时间（单位：）的函数图象，如图2所示． (1)请分别求出与的函数关系式； (2)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次方程，能理解题意，并从图象中获取准确信息是解答的关键． （1）利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 开始时甲容器液面高， ， 设， 又时，， ，解得， ， 甲容器向乙容器注水，始终有， ． （2）解：∵甲、乙容器中的液面高度相差， ∴或， ∴或， 解得或， ∴甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间为或． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·二模）沸点测定是一种常用的物理实验方法，用于测定液体的沸点，小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系．试求出y关于t的函数解析式； (2)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【答案】(1)y关于t的函数解析式为：； (2)该油的沸点温度是． 【分析】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【详解】（1）解：根据表格中两个变量对应值变化的规律可知，时间每增加，油的温度就升高，油温y与加热的时间t可能是一次函数关系， 设锅中油温y与加热的时间t的函数关系式为， 将点，代入得，   ， 解得，， y关于t的函数解析式为：； （2）解：当时，， 答：该油的沸点温度是． ►题型07 其他问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，铜壶漏刻是我国古代的一种计时工具，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足一次函数关系，下表是小明记录的部分数据： （） … 1 2 3 5 … （） … 1.4 1.8 2.2 3 … (1)求与的函数关系式； (2)求时，对应的时间是多少． 【答案】(1) (2)20分 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键． （1）根据水位与时间（）满足一次函数关系式，设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式即可； （2）利用（1）的关系式令，求解t值即可． 【详解】（1）解：设一次函数关系式为， 将，代入得， 解得， ； （2）解：， ，解得， 答：时，对应的时间是20分钟． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某市采用分段收费标准的方式来鼓励节约用水，居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的关系如图所示． (1)月用水量超过5吨时，试求y与x的函数关系式； (2)若某户居民本月比上个月多用水2吨，而水费多5.5元，求该户本月用水量多少吨? 【答案】(1) (2)该户居民本月用水量为6吨． 【分析】此题是一次函数的应用，关键是分析统计图，得出两个不同的直线表示的意义，再结合问题进行解答． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先判断出上月用水量不超过5吨，本月用水量超过5吨．设本月的用水量为吨，则上个月的用水量为吨，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设月用水量超过5吨时，y与x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， ∴； （2）解：设月用水量不超过5吨时，y与x的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴用水量不超过5吨时，， 若本月和上月用水量都不超过5吨，那么水费应该多4元， 若本月和上月用水量都超过5吨，那么水费应该多7元， 所以上月用水量不超过5吨，本月用水量超过5吨． 设本月的用水量为吨，则上个月的用水量为吨， 则， 解得， 该户居民本月用水量为6吨． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图是4个规格相同的小圆凳叠放在一起的示意图．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度（单位：）随着小圆凳的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： /个 1 2 3 4 46 54 62 70 (1)依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度不超过，求此时小圆凳的数量最多为多少个． 【答案】(1)，理由见解析 (2)10个 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确得出一次函数与一元一次不等式是解此题的关键． （1）观察表格可知，每增加一个小圆凳，小圆凳的总高度增加，由此即可得出函数解析式； （2）根据题意得出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：观察表格可知，每增加一个小圆凳，小圆凳的总高度增加， ∴ 整理得 检验：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； （2）解：根据题意，得， 解得， ∵为整数 ∴小圆凳的数量最多为10个． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）为了扶持大学生自主创业，市政府提供80万元无息贷款用于某大学生开办公司，生产并销售自主研发的一款电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元．该产品每月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价定为50元时，为保证公司每月利润达到5万元（利润销售额生产成本员工工资其他费用），该公司可安排员工多少人？ (3)若该公司有80名员工，销售单价定为70元时，则该公司可在几个月后偿还无息贷款？ 【答案】(1)，； (2)人 (3)该公司可在8个月后偿还无息贷款． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）分两种情况：当时，令，当时，设，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）设公司可安排员工a人，定价50元时，利用利润销售额生产成本员工工资其他费用再建立方程求解即可； （3）先求解当销售单价为时，该公司有80名员工时每月的利润，再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，令， 则 ， 解得 ， ∴； 当时， 设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设公司可安排员工a人，定价50元时， 由， 解得：(人)； （3）解：当销售单价为时，该公司有80名员工， ∴此时利润为： ； 设该公司n个月后还清贷款，则， ∴， ∴该公司可在8个月后偿还无息贷款． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示． (1)月用电量为50度时，应交电费______元． (2)当时，求y与x之间的函数关系式； (3)月用电量为150度时，应交电费______元． 【答案】(1)30 (2) (3)130 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求出当时的函数解析式，再将代入即可得解； （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式即可； （3）将代入（2）的结果中即可得解． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入可得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， ∴月用电量为50度时，应交电费元， 故答案为：30； （2）当时，设， 将，代入可得：， 解得：， ∴当时，y与x之间的函数关系式为； （3）解：当时，， 即月用电量为度时，应交电费元， 故答案为：130． 突破一 科技热点新情境问题 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）某摄影团队利用两架无人机进行高空拍摄．1号、2号无人机从海拔高的A处同时出发，分别以、的速度匀速上升．上升了时，1号无人机不再继续上升，悬停在空中，等2号无人机达到同一高度时，1号无人机开始匀速降落，经过了降落到出发点．1号无人机降落过程中，2号无人机继续上升．设1号、2号无人机在飞行过程中的海拔高度分别为，，他们飞行的时间为x，y与x关系的图象如图所示． (1)点C的坐标为______； (2)求段的关于x的函数解析式； (3)在飞行的过程中，当两架无人机竖直方向上的高度差不超过时，远程遥控信号可能会相互干扰，则两架无人机信号受到干扰的时长是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用． （1）先由得点C的海拔高度，再由得2号无人机上升时间，即可得点C的坐标； （2）先求出点D坐标，设段的关于x的函数解析式为，用待定系数法求出函数解析式即可； （3）由题意可得，段的关于x的函数解析式为，段的关于x的函数解析式为，分三种情况讨论：在，当时；在，当时；在，当时，分别列出方程求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，， 点D的坐标为， 设段的关于x的函数解析式为， 将，的坐标代入， 得， 解得， 段的关于x的函数解析式为； （3）解：由题意，段的关于x的函数解析式为， 段的关于x的函数解析式为， 分以下三种情况讨论： 在，当时，即， 解得， 在，当时，即， 解得， 在，当时，即， 解得， ， 两架无人机信号受到干扰的时长是． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）为了加强劳动教育，落实五育并举，某校在校园内建立了一处劳动教育基地．学校选定了基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，用来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据，数据记录如下表： 已种菜苗的天数 0 2 4 6 8 ．．． 甲种菜苗的高度 3 6 9 12 15 ．．． 乙种菜苗的高度 9 11 13 15 17 ．．． 通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗的天数（单位：天）之间均满足一次函数关系． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出甲、乙两种菜苗的高度，关于已种菜苗的天数的函数图象，并求出，关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到时成熟，请问哪种菜苗先成熟？并说明理由． 【答案】(1)见解析，， (2)甲种菜苗先成熟，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）先描点再连线，利用待定系数法求其函数关系式即可； （2）将当和分别代入对应函数解析式，求出对应x的值并比较大小即可． 【详解】（1）解：画出甲、乙两种菜苗的高度，关于已种菜苗的天数的函数图象如图所示． 设关于的函数解析式为． 将点，代入，得 ， 解得， 关于的函数解析式为； 设关于的函数解析式为， 将点，代入，得 ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：甲种菜苗先成熟，理由如下： 当时，， 解得； 当时，， 解得． ， 甲种菜苗先成熟． 【变式】1．（2025·辽宁大连·一模）综合探究： 探究主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 探究任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： (1)根据表中的信息，可以推断最大心率（次/分）是年龄（周岁）的一次函数，求关于的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 ①20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次/分； ②30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制什么范围？ 【答案】(1) (2)①140，160；②小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分 【分析】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是正确求出表达式． （1）设关于的函数关系式为（、为常数，且），然后利用待定系数法求解即可； （2）①将代入，进而求解即可； ②将代入，进而求解即可． 【详解】（1）设关于的函数关系式为（、为常数，且）． 将，和，分别代入， 得，解得， 关于的函数关系式为； （2）①当时，， （次/分），（次/分）， 小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分， 故答案为：140，160； ②当时，， （次/分），（次/分）． 小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【详解】（1）， 解：设函数解析式为：， ∵当，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·三模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】(1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量 (2)100个 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数求最值，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由此列式求解即可； （2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量， 由题意得：， 解得：， 答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量． （2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：， 由题意得：， 解得：， 设消耗的热量为W千卡， 则， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，即取得最大值为：， 答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多． 1．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），则该植物最高长到 ． 【答案】85 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出的函数关系式，将代入函数关系式求出对应y的值即可． 【详解】解：设的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和代入，得 ， 解得， ∴的函数关系式为． 当时，， ∴该植物最高长到． 故答案为：85． 2．德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．    【答案】4 【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4，再根据相遇时用了小时，列方程求解． 【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为千米/小时， 则：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键． 3．某教育科技公司销售两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元／套） 3.3 2.8 (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进两种多媒体各多少套？ (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进种多媒体套（），当把购进的两种多媒体全部售出，求总利润（元）与m之间的函数关系，并说明当购进种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【答案】(1)购进种多媒体套，种多媒体套 (2)购进种多媒体套时，能获得最大利润，最大利润是万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、 一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意可以写出利润与的函数关系式，然后根据的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值． 【详解】（1）设种多媒体套，种多媒体套， 由题意可得：，解得 ， 答：购进种多媒体套，种多媒体套； （2）由题意可得：， ∴随的增大而减小， ， ∴当 时，取得最大值，此时 ， 答：购进种多媒体套时，能获得最大利润，最大利润是万元． 4．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 【答案】(1) (2)水杯的售价为50元或38元． 【分析】本题考查了一次函数的应用——销售问题以及二次方程的应用．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据题意得，注意的取值范围； （2）设每个水杯的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． 答：与之间的函数关系式为． （2）解：设每个水杯的售价为元． 根据题意得． 解得：． 答：水杯的售价为50元或38元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元． 5．普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． (1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ (2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； (2)再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，根据所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，先求出m的取值范围，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元， 根据题意得：10， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元； （2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶， 根据题意得：， 解得：， 设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时． 答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 6．甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米，甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示．    (1)　　　　； (2)求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度． 【答案】(1) (2) (3)厘米 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据题可得； （2）设所求函数关系式为，待定系数法求解析式，即可求解； （3）依题意，，解方程，得出，将代入（2）中的函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米． 当时，， 故答案为：． （2）设所求函数关系式为. 将点代入，得 解得 所以，与之间的函数关系式为 （3）根据题意，得 ， 解得. 因为(千克)， 所以，当时，． 答：此时乙弹簧的长度为厘米． 7．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为 (元），在乙采摘园所需总费用为 (元），图中折线表示与x之间的函数关系． (1)求与x之间的函数关系式、与x（只求时直线）的函数关系式； (2)当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？ 【答案】(1) (2)甲家草莓园采摘更划算 【分析】（1）根据题意得出草莓销售价格，进而求得甲的函数关系式；根据函数图象待定系数法求得乙的解析式； （2）将分别代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格： （元/千克）． ； 当时，设， 由题意的：， 解得， ， 与之间的函数关系式为：； （2）当时， ， ， ， 他在甲家草莓园采摘更划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数关系式是解题的关键． 8．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题： (1)甲队在开挖后6小时内，每小时挖______m． (2)当时，求乙队y与x的之间的函数关系式． (3)直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差． 【答案】(1)10 (2) (3)或或 【分析】（1）根据图象中给出的性质可知，甲队6小时内挖的总长度为，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出在时，乙队与x的之间的函数关系式，在时，甲队与x的之间的函数关系式，然后再列式计算即可． 【详解】（1）解：∵甲队6小时内挖的总长度为， ∴甲队在开挖后6小时内，每小时挖， 故答案为：10． （2）解：设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为：， 由图可知，函数图象过点、， ， 解得， ； （3）解：设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为：， 由图可知，函数图象过点， ∴，解得：，， ； 设甲队在的时段内与x之间的函数关系式为：， 由图可知，函数图象过点， ∴，解得：，， ； 当时，令，解得：； 当时，令，解得：； 令，解得：； 综上分析可知，开挖后或或，甲、乙两队挖的河渠的长度相差． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图象获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，根据图象求出相应的函数解析式． 9．工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【答案】（1）， t的取值范围是；（2）从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件；（3）甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【分析】（1）直线经过两点，采用待定系数法确定解析式即可； （2）根据0时到3时是正比例函数，确定工作效率，用总时间减去修机器的时间1小时就是工作时间，可确定总量； （3）确定再次工作时甲的解析式，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）设与t之间的函数关系式为． 把，分别代入，得 解得 ∴与时间t之间的函数关系式为： ； t的取值范围是； （2）当时，由图象知，甲前3小时加工120个， 故甲的工作效率为每小时加工零件40个． 甲组共加工（时）， 得（个）． ∴a的实际意义是：从甲组开始工作起，8小时时，甲组加工零件的总量为280件； （3）由题意可知，当时，由于工作效率没变， ∴． 当时， ， 解得． 答：甲组加工7小时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，一次函数与一元一次方程，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 10．如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． (1)当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ (2)求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）待定系数法求的解析式为，当时，，可求，然后作答即可； （2）待定系数法求的解析式为；将代入，可求；将代入，可求；根据，计算求解即可． 【详解】（1）解 ：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为， 当时，， 解得，， ∴甲手机电量充至时，所需时间为； （2）解：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为； 将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； ∵， ∴甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差为． 11．随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h） 某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余，为了不耽误助农直播卖农产品（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：    (1)求出线段对应的函数表达式． (2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？ 【答案】(1) (2)当时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出线段对应的函数表达式为，根据，得出，求出t的范围即可． 【详解】（1）解：设线段对应的函数表达式为， 把代入得， ， 解得：， 线段对应的函数表达式为 ； （2）设线段对应的函数表达式为， 把代入得， ， 解得：， 线段对应的函数表达式为 ， 当时， ，解得， 当时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比较大小的具体知识；做题的关键是从图象中读取信息，分析图象、将实际问题转化为函数问题． 12．在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶后，与B港的距离为，已知y与x的函数图象如图所示． (1)填空：A、C两海岛间的距离为______ ，______； (2)求线段所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【答案】(1)70， (2) (3)该海巡船能接收到该信号的时间有 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）根据图象，由计算A、C两海岛间的距离；根据速度路程时间求出海巡船的速度，再由时间路程速度求出海巡船从A岛到达C岛所用的时间，即a的值； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用待定系数法求出线段所表示的函数关系式；将分别代入线段所表示的函数关系式、线段所表示的函数关系式，求出对应x的值并求差即可． 【详解】（1）解：由图象可知，A、C两海岛间的距离为； 海巡船的速度为， 海巡船从A岛到达C岛用时， ， 故答案为：70，． （2）解：设线段所表示的函数关系式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， 线段所表示的函数关系式为； （3）解：设线段所表示的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， 线段所表示的函数关系式为， 当时，解得：； 当，解得：； ， 答：该海巡船能接收到该信号的时间有． 13．某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． 【答案】(1)它的种植面积； (2)当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元． 【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，一元一次方程的应用等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （）当时，求出与之间的关系式为，当元时，，求出即可； （）由题意得甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为，然后分当 时和当时，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的关系式为， 把，代入得， ，解得：， ∴与之间的关系式为， 当元时，，解得：， ∴它的种植面积； （2）解：∵甲种蔬菜的种植面积为， ∴乙种蔬菜的种植面积为， 当时， 根据题意，得， 解得，， 当时，；当时，； 当， 根据题意，得， 解得，不符合题意，舍去， 答：当甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元． 14．年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】(1)， (2)甲的速度为，乙的速度为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，行程问题，从函数图象上有效地获取信息是解题的关键． （1）根据图象信息即可求得乙在第一个补给点停留的时间及m的值； （2）结合图象中的数据和速度公式即可计算出甲、乙两人的速度； （3）根据（2）中的数据和待定系数法可求出和的解析式，结合题意分情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙在第一个补给点停留的时间为， 由直线可得，， 当时，； （2）由（1）得， ∵直线过点， ， ∴， ∴甲的速度为，乙的速度为； （3）由（2）可得，直线的解析式为：， 直线的解析式为：， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，乙经过第一个补给点后或或或，甲乙两名选手相距． 15．某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元． （1）求a的值； （2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？ 【答案】（1）15；（2）购买A型凳子600张，购买B型凳子300张时总采购费用最少，最少是36750元 【分析】（1）设型凳子的售价为张，根据题意列方程组解答即可； （2）设购买型凳子张，则购买型凳子张，根据题意求出的取值范围；设总采购费用为元，根据题意得出与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）设型凳子的售价为元张，根据题意得 ， 解得， 答：的值为15． （2）设购买型凳子张，则购买型凳子张， 根据题意得， 解得， 设总采购费用为元，根据题意得 当时，； 当时，， ， 当时，，随的增大而增大，时，的最小值为37500； 当时，，随的增大而减小，时，的最小值为36750． ， 购买型凳子600张，购买型凳子300张时总采购费用最少，最少是36750元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 1．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：， 由图象可代入得：， 解得：， ∴， 当，则 故选：A． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 3．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 4．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 5．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 6．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 7．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 9．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 10．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 11．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】(1)， (2) (3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； （2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； （3）解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 12．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 13．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 14．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 (2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)7分或11分或13分 【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a； （2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解； （3）由题意可分三种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： （2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； （3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 1 / 90 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 5 命题点一 一次函数的应用 题型01 最大利润问题 题型02 方案分配问题 题型03 行程问题 题型04 工程问题 题型05 充电问题 题型06 跨学科问题 题型07 其他问题 05·重难突破·思维进阶 19 突破一 科技热点新情境问题 06·优题精选·练能提分 23 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 销售利润问题 / 辽宁省卷 T19 丹东卷T24 盘锦卷T24 鞍山卷T24 锦州卷T23 抚顺、葫芦岛卷T23 本溪、铁岭、辽阳卷T23 能根据实际问题中的已知条件，抽象出两个变量之间的一次函数关系，灵活运用不同情境中的条件与数据，利用待定系数法确定一次函数的表达式，以及直接根据题意列出一次函数的表达式，并结合图像与性质等解决具体的实际问题。 行程问题 / / 阜新卷T16 命题预测 一次函数的应用主要以解答题形式考查，近年来多主要以销售利润问题为主，其他问题也略有涉猎。主要考察待定系数法求一次函数表达式，以及根据题意列出一次函数表达式，利用一次函数增减性求最值，根据一次函数图像提取关键信息解决问题等，整体难度不大，把握住函数关系建立是解题的重要环节。 考点一 一次函数的应用 一次函数的实际应用： 1）一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2）建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3）利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4）求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 1．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 3．（2025·辽宁沈阳·二模）某科技公司在专用测试场地的一段直路上对Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人进行测试，下表是此次测试的相关信息： 测试场地信息 这段测试直路上依次有，，三个记录点，，两点相距米． 测试运动过程 Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人分别从，两点同时出发，匀速相向而行，分别到达目的地，后停止运动． 测试图象信息 如图，，分别表示Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人离点的距离（米）与运动时间（分）的函数关系图象．与相交于点． 请结合上述测试相关信息，解决下列问题： (1)求点的坐标，并解释点的实际意义； (2)Ⅱ型机器人到达点比Ⅰ型机器人到达点少用时分钟，求，两个记录点间的距离； (3)在Ⅱ型机器人到达点前，求Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过米的运动时间的取值范围． 命题点一 一次函数的应用 ►题型01 最大利润问题 【典例】1．（2025·辽宁锦州·三模）某中学决定在“文体周”为一个节目制作、两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装、两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示： 甲种材料（件） 乙种材料（件） 道具 3 4 道具 5 2 经过计算，制作一个道具的费用为5元，一个道具的费用为4元．设组装种道具个，所需总费用为元． (1)求与的函数表达式，并求出的取值范围； (2)问组装种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？ 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【变式】2．（2025·辽宁丹东·一模）某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·一模）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022年第（为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图所示（图中为一折线）．    (1)当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式； (2)设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），m与的关系可以用来描述，求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量） ►题型02 方案分配问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·二模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． 营养成分表 营养成分表 项目 每 项目 每 热量 热量 蛋白质 蛋白质 脂肪 脂肪 碳水化合物 碳水化合物 钠 钠 (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【典例】2．（2025·辽宁丹东·二模）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% (1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式. (2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某校组织师生参加实践活动，现准备租用甲、乙两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．租车数量与载客人数（每辆车均坐满）的相关数据如下表： 租车数量/辆 载客人数 甲型客车 乙型客车 5 2 310 3 4 340 (1)每辆甲型客车、乙型客车坐满后各载客多少人？ (2)该校计划租用甲型和乙型两种客车共10辆，并将全校420人载至目的地，若甲型客车每辆租金为500元，乙型客车每辆租金为600元，请计算出租车最省钱的方案． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·一模）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化功能，深受老百姓喜爱．刘小姐假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给家人和朋友品尝，已知甲、乙两家超市都以20元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打七折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若刘小姐购买牡丹饼袋，在甲、乙超市所需费用分别为元、元，与x之间的函数图象如图所示，回答下列问题：    (1)分别求出、与x之间的函数关系式； (2)当x的值为多少时，在两家超市购买的费用一样？ (3)若刘小姐准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 【变式】3．（2025·辽宁大连·一模）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） (1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ (2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． ►题型03 行程问题 【典例】1．（2025·辽宁大连·二模）甲、乙两车沿同一路线，从A地出发，匀速驶向B地，甲车出发后，乙车出发．当甲车行驶时，两车在C地相遇；乙车在C地停留一段时间后继续以原速度匀速行驶，当甲车行驶时，两车同时到达B地．甲、乙两车行驶的路程y（单位：）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． (1)求B、C两地之间的路程； (2)乙车出发后，当两车之间的路程为时，求甲车行驶的时间． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后提高速度匀速驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即以原来的速度原路返回地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)求乙货车在返回地的过程中距地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (2)乙货车在返回地的过程中追上甲货车，此时距离地，则甲货车比乙货车早多长时间到达B地． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·二模）万物复苏，生机盎然，正是踏春的好时节．某校组织同学们乘坐甲、乙两车从学校同时出发前往森林动物园踏春．已知学校到森林动物园的路程是，甲车在途中加油用时，加油后继续前行并与乙车同时到达森林动物园．甲、乙两车距离学校的路程y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示． (1)求线段对应的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当乙车比甲车多行驶时，求甲、乙两车的行驶时间是多少小时． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·三模）如图1，甲、乙分别从相距的A，B两点同时开始沿线段运动，运动过程中甲与点A的距离与时间的函数关系图像如图2，乙与点B的距离与时间的函数关系图像如图3，已知甲全程的平均速度为，且两图像中． (1)请求出甲从点A到点B的运动速度与从点B到点A的运动速度的比值； (2)请结合题意，将乙与点A的距离与时间的函数图像画在图2中，并求出甲乙的相遇时刻． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）沈阳浑河滨水慢道被沈城骑行爱好者称为最美骑行路线．甲、乙两名骑行爱好者相约某周日至在滨水慢道骑行，早晨两人同时从慢道某地出发同向骑行，甲匀速骑行，速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图所示（由线段和线段组成）． (1)当时，求与的函数表达式； (2)在骑行过程中，当乙骑行路程是甲骑行路程的倍时，求此时的值． ►题型04 工程问题 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·二模）随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量（件），一名工人每日工作量（件）分别与机器人工作时间（小时）之间的函数关系如图所示．    (1)机器人的工作效率为______件/小时． (2)当时，求关于的函数解析式． (3)当时，一台机器人比一名工人多生产______件产品． 【典例】2．（2025·辽宁营口·三模）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【变式】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______． (2)求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式． (3)当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）每年的月日是我国的植树节，大连市园林局在月日当天安排甲、乙两个小组共种植棵株体较大的银杏树，要求在小时内种植完毕，已知第个小时两个小组共植树棵，甲组植树过程中由于起重机出故障，中途停工个小时进行维修，然后提高工作效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两个小组植树的时间为（小时），甲组植树数量为（棵），乙组植树数量为（棵），、与之间的函数关系图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求、的值； (3)直接写出甲、乙两个小组经过多长时间共植树棵？ 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3000 乙 2000 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于?求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? ►题型05 充电问题 【典例】1．（2025·辽宁大连·一模）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． (1)①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【变式】1．（2025·辽宁大连·一模）保税区车用锂电池项目是我区2025年新能源领域的重点项目之一，计划引入2条汽车锂电池生产线.某校数学兴趣小组了解到汽车锂电池的充电方式主要包括快充和慢充两种，在对某品牌汽车进行了调查研究后，绘制了如图所示的汽车电池能量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示用快充时与x的函数关系；线段表示用慢充时与x的函数关系.根据相关信息，回答下列问题： (1)求与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)若将该品牌汽车电池能量从充至，快充比慢充少用多长时间？ 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象分别为图 2 中的线段． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求线段 所在直线的解析式； (2)先用普通充电器充电后，再改为快速充电器充满电，一共用时，请在图2中画出电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，并标注出a 所对应的值． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量y（%） 0 10 30 60 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ ►题型06 跨学科问题 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系”． 如图1是小明同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 (1)请你观察表中数据，猜想F与h之间的函数类型，并求出F与h之间的函数关系式，再选一对数值进行验证； (2)当圆柱体完全浸入水中之后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，当时，在图2的坐标系中画出F与h的函数图象． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重科.已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间满足一次函数关系，其图象如图1所示.图2的电路中，电源电压恒为，定值电阻的阻值为，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量. 知识小链接：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压 (1)求出与踏板上人的质量之间的函数关系式； (2)当电压表显示的读数为时，求出对应测重人的质量． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘中物体的质量． 【试验探究】 如图1，小华仿照古人制作秤的方法制作了一个简易“杆秤”．当秤砣移动到秤纽处时，秤盘内不放重物，秤杆左右两边正好平衡．他将质量为x（单位：）的物体放在秤盘内，记录下秤杆平衡时秤砣到秤纽的水平距离y（单位：）．小华若干次称重时所记录的数据如下表所示： x/g 50 100 200 350 450 y/cm 4 8 16 28 36 【实践应用】 (1)在如图2所示的平面直角坐标系中描出表格中各组数值所对应的点． (2)根据（1）中点的分布特点，判断y与x的函数关系，并求y关于x的函数解析式． (3)若该杆秤的秤砣到秤纽的最大距离是，求此时秤盘内物体的质量是多少克． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·二模）虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器中的液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：cm），小明绘制了，关于虹吸时间（单位：）的函数图象，如图2所示． (1)请分别求出与的函数关系式； (2)求甲、乙容器中的液面高度相差时的虹吸时间． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·二模）沸点测定是一种常用的物理实验方法，用于测定液体的沸点，小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 (1)小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系．试求出y关于t的函数解析式； (2)当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． ►题型07 其他问题 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，铜壶漏刻是我国古代的一种计时工具，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足一次函数关系，下表是小明记录的部分数据： （） … 1 2 3 5 … （） … 1.4 1.8 2.2 3 … (1)求与的函数关系式； (2)求时，对应的时间是多少． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某市采用分段收费标准的方式来鼓励节约用水，居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的关系如图所示． (1)月用水量超过5吨时，试求y与x的函数关系式； (2)若某户居民本月比上个月多用水2吨，而水费多5.5元，求该户本月用水量多少吨? 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图是4个规格相同的小圆凳叠放在一起的示意图．小明尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度（单位：）随着小圆凳的数量（单位：个）的变化规律．下表是小明经过测量得到的与之间的对应数据： /个 1 2 3 4 46 54 62 70 (1)依据小明测量的数据，写出与之间的函数解析式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的小圆凳的总高度不超过，求此时小圆凳的数量最多为多少个． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）为了扶持大学生自主创业，市政府提供80万元无息贷款用于某大学生开办公司，生产并销售自主研发的一款电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其他费用15万元．该产品每月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求月销量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价定为50元时，为保证公司每月利润达到5万元（利润销售额生产成本员工工资其他费用），该公司可安排员工多少人？ (3)若该公司有80名员工，销售单价定为70元时，则该公司可在几个月后偿还无息贷款？ 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示． (1)月用电量为50度时，应交电费______元． (2)当时，求y与x之间的函数关系式； (3)月用电量为150度时，应交电费______元． 突破一 科技热点新情境问题 【典例】1．（2025·辽宁阜新·二模）某摄影团队利用两架无人机进行高空拍摄．1号、2号无人机从海拔高的A处同时出发，分别以、的速度匀速上升．上升了时，1号无人机不再继续上升，悬停在空中，等2号无人机达到同一高度时，1号无人机开始匀速降落，经过了降落到出发点．1号无人机降落过程中，2号无人机继续上升．设1号、2号无人机在飞行过程中的海拔高度分别为，，他们飞行的时间为x，y与x关系的图象如图所示． (1)点C的坐标为______； (2)求段的关于x的函数解析式； (3)在飞行的过程中，当两架无人机竖直方向上的高度差不超过时，远程遥控信号可能会相互干扰，则两架无人机信号受到干扰的时长是多少？ 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）为了加强劳动教育，落实五育并举，某校在校园内建立了一处劳动教育基地．学校选定了基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，用来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据，数据记录如下表： 已种菜苗的天数 0 2 4 6 8 ．．． 甲种菜苗的高度 3 6 9 12 15 ．．． 乙种菜苗的高度 9 11 13 15 17 ．．． 通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗的天数（单位：天）之间均满足一次函数关系． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出甲、乙两种菜苗的高度，关于已种菜苗的天数的函数图象，并求出，关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到时成熟，请问哪种菜苗先成熟？并说明理由． 【变式】1．（2025·辽宁大连·一模）综合探究： 探究主题：确定不同运动效果的心率范围． 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 探究任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： (1)根据表中的信息，可以推断最大心率（次/分）是年龄（周岁）的一次函数，求关于的函数表达式． (2)已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 ①20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次/分； ②30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制什么范围？ 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·三模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 1．生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），则该植物最高长到 ． 2．德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．    3．某教育科技公司销售两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元／套） 3.3 2.8 (1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进两种多媒体各多少套？ (2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进种多媒体套（），当把购进的两种多媒体全部售出，求总利润（元）与m之间的函数关系，并说明当购进种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 4．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 5．普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍． (1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ (2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？ 6．甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米，甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示．    (1)　　　　； (2)求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度． 7．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为 (元），在乙采摘园所需总费用为 (元），图中折线表示与x之间的函数关系． (1)求与x之间的函数关系式、与x（只求时直线）的函数关系式； (2)当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？ 8．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题： (1)甲队在开挖后6小时内，每小时挖______m． (2)当时，求乙队y与x的之间的函数关系式． (3)直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差． 9．工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示． （1）求与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 10．如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． (1)当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ (2)求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 11．随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h） 某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余，为了不耽误助农直播卖农产品（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：    (1)求出线段对应的函数表达式． (2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？ 12．在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶后，与B港的距离为，已知y与x的函数图象如图所示． (1)填空：A、C两海岛间的距离为______ ，______； (2)求线段所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 13．某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． 14．年舟山群岛马拉松，吸引了来自个国家和地区的约名运动员参与，以“向海风许愿，在山海相见”为主题，展现了舟山“海上花园城”的独特魅力，促进了国际间的体育和文化交流．甲、乙两名业余选手参加了本次比赛，两人同时到达第一个补给点，乙在第一个补给点停留了一段时间．从第一个补给点到终点过程中，甲、乙两名选手距离第一个补给点的路程s（）与时间t（）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)直接写出乙在第一个补给点停留的时间与图中m的值． (2)在这段过程中，甲、乙两人的速度分别是多少？ (3)乙经过第一个补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 15．某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元． （1）求a的值； （2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？ 1．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 4．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 5．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 6．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 7．（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 9．（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 10．（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 11．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 12．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 13．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 14．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $