第八章立体几何初步单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期单元测试卷 （考试范围：第8章） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（2025•上海模拟）下列命题正确个数为（　　） ①三点确定一个平面； ②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行； ④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】不共线三点确定一个平面，可判断①；若一条直线垂直于平面内的无数条平行直线，可判断②；同时垂直于一条直线的两条直线可能是异面直线，可判断③；利用 正四棱锥的表面积公式可判断④． 【解答】解：由公理3的推论知，不共线三点确定一个平面，可判断①错； 若一条直线垂直于平面内的无数条平行直线，可判断②错误； 同时垂直于一条直线的两条直线是异面或者平行直线，还可能相交，可判断③错误； 底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积s＝s侧+s底面12，④正确； 故选：B． 2．（2024春•单元）已知直线m、n是异面直线，则过直线n且与直线m平行的平面（　　） A．有且只有一个 B．有一个或无数多个 C．有一个或不存在 D．不存在 【答案】A 【分析】先取直线m上任一点A并过A点作直线l∥n，由公理2的两个推论分别确定两个平面，再由线面平行的判定定理推出． 【解答】解：取直线m上任一点A，则点A和直线n确定一个平面记为β，在β内过A点作直线l∥n， 由m∩l＝A，则直线m、l确定唯一的平面记为α， ∵l∥n，l⊂α，n⊄α，∴n∥α且直线m、l确定的平面α有且仅有一个． 故选：A． 3．（2025春•单元）PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（　　） A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 【答案】C 【分析】由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面，可得A正确 由圆的性质可得AC⊥BC，可得B正确 由B及线面垂直的性质可得D正确 【解答】解：由题意可得AC⊥BC，由PA⊥以AB为直径的圆所在的平面可知PA⊥BC，故排除A ⇒BC⊥平面PAC，故排除B 结合选项B，利用直线与平面垂直的性质可得BC⊥PC，故排除D 故选：C． 4．（2024春•单元）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，D、E、F分别是所在棱的中点．则下列说法错误的是（　　） A．面DEF∥面PBC B．面PAB⊥面ABC C．PA⊥BC D．DE∥PC 【答案】D 【分析】根据中位线定理和面面平行的判定定理判断A，根据PA⊥平面ABC判断B，C，反证法判断D． 【解答】解：∵D、E分别是PA，AB的中点， ∴DE∥PB，又DE⊄平面PBC，PB⊂平面PBC， ∴DE∥平面PBC， 同理可得DF∥平面PBC， 又DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面PBC，故A正确； ∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC＝A， ∴PA∩平面ABC， ∴PA⊥BC，故C正确， 又PA⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面ABC，故B正确； 假设DE∥PC，又DE∥PB， ∴PB∥PC，与PB∩PC＝P矛盾，故DE与PC不平行，故D错误， 故选：D． 5．（2025春•新疆校级期末）一条直线上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（　　） A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α 【答案】D 【分析】利用直线与平面的位置关系求解． 【解答】解：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等； l⊂α时，直线l上所有点与α距离都是0； l⊥α时，直线l上只能有两点到α距离相等； l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等． ∴一条直线上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等， 那么直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α． 故选：D． 6．（2025春•单元）如图在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对 【答案】A 【分析】连结B1D1，BD，证明AC⊥平面BDD1B1，通过证明AC⊥B1H，B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，推出结果． 【解答】解：连结B1D1，BD，因为几何体是正方体，底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又B1B⊥AC， ∴AC⊥平面BDD1B1，B1H⊂平面BDD1B1，∴AC⊥B1H，∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，∴B1H⊥平面AD1C． 故选：A． 7．（2025春•船营区校级期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论错误的是（　　） A．BD∥平面CB1D1 B．AC1与平面ABCD所成的角为30° C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为45° 【答案】B 【分析】由异面直线所成角的求法，结合线面平行、线面垂直的判定定理逐一判断即可得解． 【解答】解：对于选项A，因为BD∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1，BD不在平面CB1D1中，即BD∥平面CB1D1，即选项A正确； 对于选项B，AC1与平面ABCD所成的角为∠C1AC，又，即∠C1AC≠30°，即选项B错误； 对于选项C，由AC1在面AC中的射影为AC，在面BC1中的射影为BC1，又BD⊥AC、B1C⊥BC1，则AC1⊥BD，AC1⊥B1C，又BD∥B1D1，即AC1⊥B1D1，即AC1⊥平面CB1D1， 即选项C正确； 对于选项D，由AD∥BC，则异面直线AD与CB1所成的角的平面角为∠B1CB，又∠B1CB＝45°，即选项D正确， 故选：B． 8．（2025春•单元）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　） A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 【答案】B 【分析】推导出BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，从而直线BM，EN是相交直线，设DE＝a，则BD，BE，从而BM≠EN． 【解答】解：∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点， ∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE， ∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线， ∴直线BM，EN是相交直线， 设DE＝a，则BD，BE， 过M作MH⊥CD，垂足为H，连接BH， 可得BMa，ENa， ∴BM≠EN， 故选：B． 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（2026春•开福区校级月考）设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且α∩β＝m，则下列说法正确的是（　　） A．若n∥α或n∥β，则m∥n B．若m∥n，则n∥α或n∥β C．若n⊥α或n⊥β，则m⊥n D．若m⊥n，则n⊥α或n⊥β 【答案】BC 【分析】根据空间中线面间的关系判断即可． 【解答】解：n∥α或n∥β，n可能与m异面或平行，故A项错误； m∥n，n可能在平面α或β内，但是一定有n∥α或n∥β，故B项正确； n⊥α，α∩β＝m，则m⊂α，由直线与平面垂直的性质，可得n⊥m； 若n⊥β，因为m⊂β，同理可得m⊥n，故C项正确； m⊥n，n不一定垂直于α或β，故D项错误． 故选：BC． 10．（2026•东莞市模拟）如图，在正方体中，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线MN∥平面ABC的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用线面平行判定定理，选项逐一解析． 【解答】 选项 A：在正方体中，可找到平面ABC内一条直线与MN平行。 由中位线 / 平行棱性质，MN∥AB 或 MN∥BC，满足线面平行判定 ⇒ A 正确； 选项 B：观察图形：MN与平面ABC既不平行，也不在面内。 与平面ABC相交 ⇒ B 错误； 选项 C：由正方体棱与中点连线性质，MN∥AC， 又AC⊂平面ABC，MN⊄平面 ABC，满足线面平行判定⇒ C正确； 选项 D：MN与平面ABC相交，无平行关系，故D错误。 故答案为：AC。 11．（2025秋•渭南期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　） A．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值 B．PB+PD的最小值为 C．∠BPD1≥90° D．直线AP与A1D所成角的取值范围是 【答案】CD 【分析】证明B1C∥平面A1C1D，由此可得，结合锥体体积公式求三棱锥P﹣A1C1D的体积，判断A；将△BCB1旋转至平面A1B1CD内，结合平面几何结论判断B；根据正方体与其外接球的关系判断C；根据异面直线夹角的定义判断D． 【解答】解：对于A：因为A1D∥B1C，B1C⊄平面A1C1D，A1D⊂平面A1C1D，所以B1C∥平面A1C1D， 又点P在线段B1C上运动，所以点P到平面A1C1D的距离与点C到平面A1C1D的距离相等， 所以三棱锥P﹣A1C1D的体积等于三棱锥C﹣A1C1D的体积， 由正方体的性质可得A1D1⊥平面CC1D， 所以，故A错误； 对于B：将△BCB1旋转至平面A1B1CD内，如图所示，旋转到△B'CB1， 当P，B'，D三点共线时，PB+PD取得最小值， 且最小值为，故B错误； 对于C：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球是以BD1为直径的球， 线段CB1在该外接球的内部或刚好在外接球上，所以∠BPD1≥90°，故C正确； 对于D：因为A1D∥B1C，异面直线AP与A1D所成角转化为直线AP与B1C所成角， 又△AB1C是正三角形，当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为， 当点P为线段B1C的中点时，所成角取得最大值为， 故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是，D正确． 故选：CD． 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（2025春•单元）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的夹角为 　 　 ． 【答案】 【分析】取AB中点E，连接CE，DE，由已知可得CE⊥AB，ED⊥AB，再由线面垂直的判定可得AB⊥平面CED，从而得到异面直线AB与CD的夹角为． 【解答】解：如图， 取AB中点E，连接CE，DE， ∵AC＝BC，∴CE⊥AB， ∵AD＝BD，∴ED⊥AB， 又CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CED，则AB⊥CD． 即异面直线AB与CD的夹角为． 故答案为：． 13．（2025春•单元）如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 　4　 ． 【答案】4 【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面PAC．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC， ∴BC⊥PA，BC⊥AC， ∵PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC． ∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC．4个． 故答案为：4． 14.（2025春•单元）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π＝4πr2得到r＝1cm，直径D＝2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，由此能求出鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离． 【解答】解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm， 蛋槽立起来的小三角形部分高度是， 鸡蛋的半径根据已知的表面积4π＝4πr2得到r＝1cm，直径D＝2cm，大于折好的蛋巢边长1cm， 四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm， 根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB， AE＝AB+BE， ∴鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为． 故选：D． 4、 解答题（5小题，共77分） 15．（2025春•单元）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为A1B1，B1C1的中点，点F在侧棱BB1上，且BD⊥AF，AC⊥AB．求证： （1）直线DE∥平面ACF； （2）平面BDE⊥平面ACF． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）推导出AC∥A1C1，DE∥A1C1，从而DE∥AC，由此能证明直线DE∥平面ACF． （2）推导出AA1⊥平面ABC，从而AA1⊥AC，进而AC⊥平面ABB1A1．AC⊥BD．推导出BD⊥平面ACF．由此能证明平面BDE⊥平面ACF． 【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1， 在三角形A1B1C1中，D，E分别为A1 B1，B1C1的中点， 所以DE∥A1C1，于是DE∥AC，又因为DE⊄平面ACF，AC⊂平面ACF， 所以直线DE∥平面ACF； （2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC 因为AC⊂平面ABC，所以AA1⊥AC， 又因为AC⊥AB，AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AB∩AA1＝A， 所以AC⊥平面ABB1A1． 因为BD⊂平面ABB1A1，所以AC⊥BD． 又因为BD⊥AF，AC⊂平面ACF，AF⊂平面ACF，AC∩AF＝A， 所以BD⊥平面ACF． 因为直线BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ACF． 16．（2025春•单元）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：平面BDE⊥平面PAC； （2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥P﹣BDE的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）通过去证BD与PA，AC垂直，证得BD垂直平面PAC，进而得面面垂直； （2）先证E为中点，然后通过顶点转换把P﹣BDE的体积转化为P﹣ABC体积的四分之一即可得解． 【解答】解：（1）证明：∵PA⊥AB，PA⊥BC， ∴PA⊥面ABC， 又∵BD⊂面ABC， ∴PA⊥BD ，又AB＝BC＝2，D为线段AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴BD⊥面PAC， 又∵BD⊂面BDE， ∴平面BDE⊥平面PAC； （2）∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝ED， ∴ED∥PA， ∵D为AC中点， ∴E为PC中点， ∴VP﹣BDE＝VA﹣BDE ． 故三棱锥P﹣BDE的体积为． 17．（2024春•单元）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD． （1）求证：AD⊥PB； （2）若E为BC边的中点，则能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 【答案】（1）证明过程见解答；（2）存在棱PC上的中点F，使平面DEF⊥平面ABCD，证明过程见解答． 【分析】（1）取AD中点O，容易证明AD⊥平面POB，再利用线面垂直的性质即可得证； （2）F为棱PC的中点，容易证明BC⊥平面DEF，再由面面垂直的判定即可得证． 【解答】解：（1）证明：取AD中点O，连接OP，OB， 因为侧面PAD为正三角形，O为AD中点， 所以OP⊥AD， 又底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，O为AD中点， 所以OB⊥AD， 而OP∩OB＝O，OP⊂平面POB，OB⊂平面POB， 所以AD⊥平面POB， 又PB⊂平面POB， 所以AD⊥PB； （2）存在棱PC上的中点F，使平面DEF⊥平面ABCD，证明如下： 因为AD∥BC，AD⊥PB， 所以BC⊥PB， 又E，F分别为BC，PC的中点， 则EF∥PB， 所以BC⊥EF， 又底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，E为BC中点， 所以DE⊥BC， 而DE∩EF＝E，且DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF， 所以BC⊥平面DEF， 又BC⊂平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD． 18．（2024春•单元）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1． （1）求证：EF∥平面DCP； （2）求F到平面PDC的距离． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）取PC中点M，连接DM，MF，推导出四边形DEFM为平行四边形，由此能证明EF∥平面PDC． （2）由EF∥平面PDC，得F到平面PDC的距离等于E到平面PDC的距离，由VE﹣PDC＝VC﹣PDE，能求出F到平面PDC的距离． 【解答】解：（1）取PC中点M，连接DM，MF， ∵M，F分别是PC，PB中点，∴， ∵E为DA中点，ABCD为正方形，∴， ∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形， ∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC， ∴EF∥平面PDC． （2）∵EF∥平面PDC，∴F到平面PDC的距离等于E到平面PDC的距离， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，∵PA＝AD＝1，在Rt△PAD中， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB， ∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，则， ∵PD2+DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形， ∴， ∴VE﹣PDC＝VC﹣PDE，设E到平面PDC的距离为h， 则， 解得，∴F到平面PDC的距离为． 19．（2025春•单元）如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD的位置，使CD＝AC． （1）求证：平面ABD⊥平面ABC； （2）求二面角C﹣BD﹣A的余弦值． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）． 【分析】（1）取AB的中点O，连接OD、OC，易知OC⊥AB，OD⊥AB，即∠COD为平面ABD与平面ABC所成的角；在△OCD中，由勾股定理的逆定理可证得∠COD＝90°，故平面ABD⊥平面ABC； （2）由平面ABD⊥平面ABC，可推出OC⊥平面ABD，过点O作OM⊥BD于M，连接CM，则∠OMC即为所求，而OMAC，在Rt△OCM中，由tan∠OMC即可得解． 【解答】（1）证明：取AB的中点O，连接OD、OC， ∵△ABC和△ABD均是以AB为斜边的等腰直角三角形， ∴OC⊥AB，OD⊥AB， ∴∠COD为平面ABD与平面ABC所成的角． 在△OCD中，OD＝OCAC，CD＝AC， ∴OD2+OC2＝CD2，即∠COD＝90°， ∴平面ABD⊥平面ABC． （2）解：由（1）知，平面ABD⊥平面ABC，OC⊥AB， ∵平面ABD∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC， ∴OC⊥平面ABD， 过点O作OM⊥BD于M，连接CM，则∠OMC即为二面角C﹣BD﹣A的平面角． ∵△ABD是等腰直角三角形，O为AB的中点 ∴△OBD也为等腰直角三角形，且M为BD的中点， ∴OMBDAC， 在Rt△OCM中，tan∠OMC， ∴cos∠OMC， 故二面角C﹣BD﹣A的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期单元测试卷 （考试范围：第8章） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．（2025•上海模拟）下列命题正确个数为（　　） ①三点确定一个平面； ②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行； ④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024春•单元）已知直线m、n是异面直线，则过直线n且与直线m平行的平面（　　） A．有且只有一个 B．有一个或无数多个 C．有一个或不存在 D．不存在 3．（2025春•单元）PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（　　） A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC 4．（2024春•单元）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，D、E、F分别是所在棱的中点．则下列说法错误的是（　　） A．面DEF∥面PBC B．面PAB⊥面ABC C．PA⊥BC D．DE∥PC 5．（2025春•新疆校级期末）一条直线上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（　　） A．l∥α B．l⊥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α 6．（2025春•单元）如图在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对 7．（2025春•船营区校级期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论错误的是（　　） A．BD∥平面CB1D1 B．AC1与平面ABCD所成的角为30° C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为45° 8．（2025春•单元）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　） A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．（2026春•开福区校级月考）设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且α∩β＝m，则下列说法正确的是（　　） A．若n∥α或n∥β，则m∥n B．若m∥n，则n∥α或n∥β C．若n⊥α或n⊥β，则m⊥n D．若m⊥n，则n⊥α或n⊥β 10．（2026•东莞市模拟）如图，在正方体中，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线MN∥平面ABC的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025秋•渭南期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　） A．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值 B．PB+PD的最小值为 C．∠BPD1≥90° D．直线AP与A1D所成角的取值范围是 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．（2025春•单元）四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的夹角为 　 　 ． 13．（2025春•单元）如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 　4　 ． 14.（2025春•单元）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（　　） A． B． C． D． 4、 解答题（5小题，共77分） 15．（2025春•单元）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为A1B1，B1C1的中点，点F在侧棱BB1上，且BD⊥AF，AC⊥AB．求证： （1）直线DE∥平面ACF； （2）平面BDE⊥平面ACF． 16．（2025春•单元）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：平面BDE⊥平面PAC； （2）当PA∥平面BDE时，求三棱锥P﹣BDE的体积． 17．（2024春•单元）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD． （1）求证：AD⊥PB； （2）若E为BC边的中点，则能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论． 18．（2024春•单元）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1． （1）求证：EF∥平面DCP； （2）求F到平面PDC的距离． 19．（2025春•单元）如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD的位置，使CD＝AC． （1）求证：平面ABD⊥平面ABC； （2）求二面角C﹣BD﹣A的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $