精品解析：河南安阳市滑县王庄镇四中学 王庄镇丰科学校2025-2026学年八年级下学期4月阶段检测

八年级下学期第一次阶段自评（A） 数学 （满分：120分时间：100分钟） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请把各题答案直接涂写在答题卡上相对应的位置，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将答题卡上对应本人的姓名、考场、座号、准考证号等信息填写完整或把条形码粘贴在贴条形码区的位置上． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式不可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值是（ ） A. 15 B. C. 2 D. 7. 中，，，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 1 8. 如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（ ）m A. B. C. D. 9. 如图，分别以的三边为边作正方形，再以为斜边作，最后以为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（ ） A. 5 B. 3 C. 16 D. 6 10. 在中，，，的对边分别为a，b，c，在下面结论中： ①；②；③；④． 能判定是直角三角形的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（共5个小题，每题3分，共15分） 11. 若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是_____． 12. 机器人从点A出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第2次行走；再在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第3次行走；……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点A时所走过的路线构成一个多边形，其内角和为_______． 13. 如图，小明在数轴上作，使得，，，再以点O为圆心以长为半径作弧，交数轴正半轴于点G，则点G在数轴上对应的数是_____． 14. 如图，一条笔直的铁路的同侧有两个村庄，，它们到铁路的距离分别为和，分别过，两点作的垂线，垂足为，，测量得．现在要在铁路上建一个土特产收购站，使得，两村到站的距离相等，则站到点的距离为_______． 15. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为______． 三、解答题（本题共计8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积． 18. 如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 19. 若x、y是实数，且满足，求的值． 20. 在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点即三个顶点都在小正方形的顶点处，如图所示，这样不需求C的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上______； （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 21. 我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出了著名的秦九韶公式，它与海伦公式实质相同，因此我们也称其为海伦-秦九韶公式． 海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 如图，在中，，，． （1）_______． （2）求的面积． （3）学习了勾股定理，尝试用其它方法求的面积． 22. 如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长； （3）求图中阴影部分的面积． 23. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：_____． （2）计算：． （3）已知，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期第一次阶段自评（A） 数学 （满分：120分时间：100分钟） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请把各题答案直接涂写在答题卡上相对应的位置，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将答题卡上对应本人的姓名、考场、座号、准考证号等信息填写完整或把条形码粘贴在贴条形码区的位置上． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式需满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，据此判断各选项即可． 【详解】解： A．∵可以为负数，当时，无意义，∴不一定是二次根式，A错误． B．∵，被开方数为负数，无意义，∴不是二次根式，B错误． C．∵对任意实数，都有，∴，被开方数恒为正，且根指数为2，∴一定是二次根式，C正确． D，∵的根指数为3，不是2，∴不是二次根式，D错误． 2. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0， ∴， 解得：． 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故A不符合题意； B．的被开方数不含能开得尽方的因数，也不含分母，满足最简二次根式定义，是最简二次根式，故B符合题意； C．，原式分母含根号，不是最简二次根式，故C不符合题意； D．，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、积的乘方运算法则、二次根式的运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．，故A错误， B．，故B错误； C．与不是同类二次根式，不能合并，，故C错误； D．，故 D正确． 5. 下列各式不可以与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只有化简后被开方数相同的同类二次根式可以合并，将各选项二次根式化简后，判断被开方数是否与的被开方数相同即可得到结果． 【详解】解：A．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． B．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． C．，化简后被开方数为，与不是同类二次根式，不可以与合并． D．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． 6. 若，则的值是（ ） A. 15 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】算术平方根和平方数都属于非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出x，y的值后计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴． 7. 中，，，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题需分情况讨论直角三角形中哪条边为斜边，再利用勾股定理计算的长度，注意不要漏解． 【详解】解：① 当为斜边时，和为直角边， 由勾股定理得：， ∵边长为正数， ∴； ② 当为斜边时，和为直角边， 由勾股定理得： ∵边长为正数， ∴； ③∵， ∴不可能为斜边； 综上，的长为或． 8. 如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（ ）m A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形；将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：如图，设较高的树为，较矮的树为，两树相距，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 小鸟至少要飞行． 故选：． 9. 如图，分别以的三边为边作正方形，再以为斜边作，最后以为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（ ） A. 5 B. 3 C. 16 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出以和以为边的正方形的面积，然后相加即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵以为边的作两个小正方形的面积分别是1、3， ∴． ∵以为边的正方形面积为2， ∴， ∴以为边的正方形面积为∶， ∴图中5个正方形的面积总和是∶． 10. 在中，，，的对边分别为a，b，c，在下面结论中： ①；②；③；④． 能判定是直角三角形的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，根据相关知识的性质和直角三角形的判定逐个判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴是直角三角形，故②符合题意； ③∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵， ∴，无法证明是直角三角形， 故④不符合题意， 综上，能判定是直角三角形的是①②③， 故选：C． 二、填空题（共5个小题，每题3分，共15分） 11. 若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由于2＜＜3，由此可得的整数部分和小数部分，进一步代入求得问题． 【详解】∵2＜＜3， ∴的整数部分为x＝2，小数部分为y＝-2， 则x－y=×2-（-2）=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 12. 机器人从点A出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第2次行走；再在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第3次行走；……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点A时所走过的路线构成一个多边形，其内角和为_______． 【答案】##1800度 【解析】 【分析】理解题意，确定每次旋转的角度为所求多边形的外角，先求出多边形边数，再计算内角和即可． 【详解】解：由题意可知，该机器人每次逆时针旋转的角度为所走路线构成的多边形的外角，且每个外角都等于. 任意多边形的外角和为，因此该多边形的边数为： ， 可得该十二边形的内角和为： ． 13. 如图，小明在数轴上作，使得，，，再以点O为圆心以长为半径作弧，交数轴正半轴于点G，则点G在数轴上对应的数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先在中用勾股定理求出,再由得点对应的数． 【详解】解：中，， 由勾股定理得， 以点为圆心，为半径作弧，交数轴正半轴于点， ， 在数轴上对应的数是． 14. 如图，一条笔直的铁路的同侧有两个村庄，，它们到铁路的距离分别为和，分别过，两点作的垂线，垂足为，，测量得．现在要在铁路上建一个土特产收购站，使得，两村到站的距离相等，则站到点的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，两村到站的距离相等，则，又，，所以，然后由勾股定理得，设，则，再代入求出的值即可． 【详解】解：∵，两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴站到点的距离为． 15. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程求出的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本题共计8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）0 （4） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，二次根式性质，进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，二次根式性质，进行计算即可； （4）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大，解答此题的关键是连接，求出三角形的面积，再减去三角形的面积即可．连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ． 由，可得， ， 是直角三角形， ，， ． 故这块地的面积为． 18. 如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 【答案】90；12；16；勾股定理；20；两点之间，线段最短；；20 【解析】 【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可． 【详解】解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，，，，则运用“勾股定理”可求． 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段的长，即绳长至少为20． 19. 若x、y是实数，且满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，，然后将化简后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 20. 在中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点即三个顶点都在小正方形的顶点处，如图所示，这样不需求C的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上______； （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积． 【答案】（1）3.5； （2）如图所示，△ABC即为所求： ； 3． 【解析】 【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案； （2）利用勾股定理结合网格的特点画出相应的△ABC，同（1）的方法即可得出答案． 【详解】（1）； 故答案为：； （2）略 ； 答：△ABC的面积为3． 【点睛】本题考查了勾股定理及应用设计与作图，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积是经常用到的，同学们注意仔细掌握． 21. 我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出了著名的秦九韶公式，它与海伦公式实质相同，因此我们也称其为海伦-秦九韶公式． 海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 如图，在中，，，． （1）_______． （2）求的面积． （3）学习了勾股定理，尝试用其它方法求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干的信息进行计算即可； （2）将数据代入公式进行计算即可； （3）过点A作交延长线于点D，根据勾股定理得出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：过点A作交延长线于点D，如图所示： 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长； （3）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 是等腰三角形；理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴．∴ 是等腰三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，从而证明，根据等角对等边，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 设， 由（1）知，则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即． 【小问3详解】 解：． 23. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：_____． （2）计算：． （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2）2026 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化的方法，进行求解即可； （2）先分母有理化，然后根据实数混合运算法则，进行计算即可； （3）先变形为，然后再代入求值即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $