专题01 平行、垂直中的重点题型与技巧全归纳（专项训练9大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

专题01 平行、垂直中的重点题型与技巧全归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、利用中位线证明平行（重点） 1 题型二、利用平行四边形证明平行（重点） 1 题型三、利用相似证明平行 8 题型四、面面平行证明线面平行 12 题型五、线面、面面平行的性质定理（难点） 16 题型六、证明线面垂直（常考点） 20 题型七、证明线线垂直 26 题型八、证明面面垂直 33 题型九、面面垂直的性质定理（重点） 40 B综合攻坚・能力跃升 45 题型一、利用中位线证明平行（重点） 1．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在长方体中，，点是棱的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）连接AC与BD交于点O，连接OE，由证明出线面平行； 【详解】（1）连接与交于点O，连接． 则O为的中点，又点E是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，P为所在平面外一点，在上求一点E，使平面，并给出证明． 【答案】E为的中点，证明见解析 【分析】在上取一点E，连接、、、，设，连接，根据线面平行的性质和判定定理证明即可. 【详解】证明：如图所示，在上取一点E，连接、、、，设，连接， 若平面， 平面，且平面平面，． 又为的中点，为的中点． 反之，若E为的中点，为的中点，必有． 平面，平面，平面． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用中位线定理在平面内找到与平行的直线，再通过线面平行判定定理完成证明即可. 【详解】如下图，连接，设与交于点，连接， 因为三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形， 矩形的对角线互相平分，因此是的中点， 已知是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，可得， 又平面，平面，所以平面. 4．如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点 (1)证明：直线平面 (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，令，连接DE，要证直线平面，只要证，根据三角形的中位线容易证得； （2）根据已知求出相关线段长，再由求棱锥体积. 【详解】（1）连接，令，连接DE，则E是、的中点， 在△中D是线段BC中点，E是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； （2）设点到平面的距离为， ∵点在底面圆上， ∴， ∵，D是BC的中点， ∴，， 因为是圆柱的轴截面，则到AB的距离，即到平面的距离， 所以. 题型二、利用平行四边形证明平行（重点） 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得到结论. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为为的中点， 所以，且． 由且得， 由且得， 所以且， 故四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，利用中位线的性质，结合平行四边形的判定与性质，得出一组线线平行，最后根据线面平行的判定定理即可得证. （2）利用线面平行的性质和正方形的性质，得出另一组线面平行，根据面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为为中点，所以是中位线， 所以，， 因为是中点，在正方形中，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为平面，平面， 所以平面.    （2）因为平面，平面， 所以， 因为正方形，所以， 因为，平面 所以平面，又平面， 所以平面平面. 3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连，可证得四边形为平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可得平面，则，再证得，从而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：连接交于，连， 在三棱柱中，矩形中，，则， 因为分别为的中点，所以且， 因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）证明：因为底面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 因为平面，所以， 因为在矩形中，为的中点， 所以， 因为底面，平面，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 4．（24-25高一下·河北唐山·期末）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面平面．，分别是棱，的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接，由是的中点， 得，则四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面. 题型三、利用相似证明平行 1．已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由线段比例关系得到，进而可求证. 【详解】因为，，则，可得， 且平面，平面， 所以平面. 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，四面体中，点G是的重心，点E在上，.    (1)求证：平面； (2)设过点G，E，C的平面为，与四面体的面相交，交线围成一个多边形. （i）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （ii）求出将四面体分成两部分几何体体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）答案见解析；（ii） 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，由比例关系得，即可证明； （2）（i）连接并延长交于点H，连接，，则平面即为. （ii）由（i）知，将四面体分成两部分，由的面积与四边形的面积之比为1:2进行求解. 【详解】（1）连接并延长交于点F，连接，    因为，所以， 平面，平面， 所以平面. （2）（i）连接并延长交于点H，连接，，则平面即为. （ii）由（i）知，将四面体分成两部分， 分别为三棱锥与四棱锥，很显然两个棱锥的高相等，记为h， 的面积与的面积之比为， 所以的面积与四边形的面积之比为1:2， 则. 3．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. 【详解】连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】将放入一个平面，法一、法二：将放入一个与平面相交的平面，通过证明“线线平行”来证得“线面平行”；法三：将放入一个与平面平行的平面，通过证明“面面平行”来证得“线面平行”． 【详解】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 题型四、面面平行证明线面平行 1．（24-25高一下·湖北·期末）如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过面面平行的性质定理，证明线面平行即可. （2）根据线面垂直的性质定理，得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直即可. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又底面为正方形，故， 而平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 2．如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知结合三角形中位线定理及线面平行的判定定理可得可证得∥平面，∥平面，则可证得平面平面，从而可证得平面. 【详解】证明：在四棱锥中，分别为的中点， 所以∥， 因为为的中点，所以 因为 ，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面. 因为，平面， 所以平面∥平面. 因为平面， 所以∥平面. 3．（24-25高一下·山西·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为线段，上的一点，且，． (1)求证：； 【答案】(1)证明见详解； 【分析】（1）根据题意，连接，可证得平面，进而可证明； 【详解】（1）连接，如图所示， 因为底面是菱形，所以， 又平面，平面， 所以， 又平面，平面，且与相交于点， 所以平面， 又平面，所以. （2）如图所示，在，上各取一点，，使，， 所以， 又点，分别为线段，上的一点，且，， 所以，， 又底面是棱形，所以，所以，， 所以，所以点，，，四点共面， 又平面，平面，且与相交于点， 又平面，平面，所以平面，平面， 平面，平面，且与相交于点， 所以平面平面， 又平面，所以平面. 4．（24-25高一下·河南·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，． (1)求证：平面BMN； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、、，推导出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立. （2）设，计算得出，证明出平面，可知为三棱锥的高，结合锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）在四棱锥中，连接、、， 由、分别为、的中点，得，， 而，则，四边形是平行四边形， 于是，又平面，平面，则平面， 由、分别为、的中点，得，而平面，平面， 因此平面，又，、平面， 则平面平面，又平面，所以平面. （2）令，由，得，则， 即，于是，由（1）知，平面， 则，由为的中点，得点到平面的距离为点到平面距离的， 则，， 由平面，平面，得， 由，，得，而，平面， 因此平面，即为三棱锥的高， 则，所以. 题型五、线面、面面平行的性质定理（难点） 1．如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，证明平面，再利用线面平行的性质推理作答. 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 2．（24-25高一下·海南·月考）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，记平面AEF与平面ABCD的交线为l． (1)求证：. (2)求证：平面平面; 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过线面平行的性质定理进行转化求解即可； （2）通过图形关系证明，，然后得到线面垂直，再证明面面垂直即可； 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. （2）连接交于点，连接， 因为为菱形，所以，为中点， 因为，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面 3．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质得到线线平行. 【详解】因为平面平面，四点共面， 且平面平面，平面平面， 所以． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】直线//平面，证明见解析 【分析】利用线面平行的判定、性质推理判断并证明. 【详解】直线平面，证明如下： 分别是的中点，得， 又平面，且平面，则平面， 而平面，且平面平面，因此， 又平面，平面，所以平面. 5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的性质定理可证明，再由平行的传递性即可证明. 【详解】在直四棱柱中，平面平面， 平面，平面，则， 而且，又，因此且， 则四边形是平行四边形，所以， 又，，所以． 6．如图，在直三棱柱中，，是线段上的动点.    (1)当平面时，说明点的位置并证明； 【答案】(1)点是线段的中点，证明见解析 【分析】（1）连接，且，再连接，利用直线与平面平行的性质即可判断证明； 【详解】（1）点D是线段的中点. 证明：连接，且，再连接， 平面，平面，且平面平面， ，又由为线段的中点，得是的中位线， 为线段的中点；      7．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解； （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解. 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是等腰直角三角形， 所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 题型六、证明线面垂直（常考点） 1．（24-25高一下·山东济宁·月考）如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆的性质以及中位线定理，可得线线垂直，根据线面垂直的性质以及判定，可得答案； （2）根据中位线定理可得线线平行，由线面平行与面面平行的判定，结合面面平行的性质，可得答案. 【详解】（1）由题意，平面，平面，所以， 由为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知， 因为分别为的中点，所以，则， 又因为平面，，所以平面； （2）连接，因为D、F分别为、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，而平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 2．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的性质定理及判定定理即可证明结论. 【详解】因为直四棱柱中，底面，底面， 所以， 因为菱形，所以， ，平面， 所以平面． 3．（24-25高一下·广东清远·月考）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）取线段的中点，求证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可； （3）求出各边长，利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）连接， 因为平面，平面，所以， 因四边形为菱形且，则为正三角形， 又为的中点，则， 又，平面，则平面. （2）设为线段的中点，连接、， 因为的中点，则，且， 又且，为的中点，则且，     则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面； （3）∵，为正三角形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 故三棱锥的体积为. 4．如图，在三棱锥中，．求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】利用余弦定理求出，在根据勾股定理证明，再通过线面垂直的判断定理说明线面垂直即可. 【详解】在中，， 由余弦定理，即，解得， 所以在中，即，所以， 又，，平面， 所以平面； 5．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； 【答案】(1)证明见详解 【分析】（1）由题可求的余弦值，根据余弦定理可求，利用勾股定理可得，翻折后，由此即可证明平面； 【详解】（1）,,, , ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. 【详解】（1）因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. 7．（24-25高一下·湖南郴州·期末）如图，和都垂直于平面，且，是的中点.为等边三角形. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由中位线定理与平行四边形性质，可得线线平行，再根据面面垂直的判定与性质，可得线面平行，从而可得答案； 【详解】（1）证明：取的中点，连接，. 因为为中点，所以， 平面，平面，故 又，故且. 所以四边形是平行四边形，所以 因为是等边三角形，是中点，所以 因为平面，平面，所以平面平面 又平面平面，平面，所以平面， 所以平面. 8．如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，即可利用线面垂直的判定定理证得平面； 【详解】正方体中， 因为，分别为棱，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 正方形中，∵为的中点，为的中点， ∴，∴， 设、交点为，则， ∴，即； 又、平面，， ∴平面. 题型七、证明线线垂直 1．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. (1)求证：. (2)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）取中点，连由中点性质知垂直垂直，根据线面垂直判定得垂直平面，进而得． （2）利用三棱锥体积公式算出体积. 【详解】（1）取中点，连接，， 在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点， 故，又因则，， 因，平面， 故平面，因为平面，所以； （2）因，，平面，则平面 则三棱锥的体积为： ． 2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为，所以， 又因为分别是的中点，所以，所以， 因为，平面所以平面， 因为平面，所以. 3．如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得证； 【详解】（1）连接， 在直三棱柱中，平面， 平面，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，四边形是正方形，， ，平面，平面， 平面，平面，； 4．（24-25高一·全国·假期作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】证明见解析 【分析】先得到平面，，由余弦定理和勾股定理逆定理可得，从而得到平面，，结合，可得平面，故. 【详解】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 5．（24-25高一下·河南许昌·期末）如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过证明、，证得平面BED，进而证得. 【详解】（1）因为，E是AC的中点，所以． 因为，所以， 所以，所以， 因为，DE，平面BED， 所以平面BED， 因为平面BED，所以． 6．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. (1)证明：； (2)求五棱锥的体积 【答案】(1)证明见解析； (2)19 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）先证明平面，得，，勾股定理得，从而底面，即为五棱锥的高，再结合棱锥的体积公式计算得答案； 【详解】（1）由，，，， 得，，又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 所以，，又，平面， 所以平面，又平面，故； （2），，， ，即平面，所以，， 且，所以，由（1）， 而是平面内的两条相交直线， 由此得底面，即为五棱锥的高，过点作.则， 7．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，，，，且，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，，可证四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定即可证明； （2）取的中点，连接，，易证面，得到，利用余弦定理可得，接着可证四边形是正方形，得到，根据线面垂直的判定可证面，得到. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， 因为为的中点，所以，且． 又因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为，所以，所以， 因为面，面，所以 因为，面，面，所以面， 因为面，所以， 因为，，所以，， 所以四边形是正方形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为面，所以． 题型八、证明面面垂直 1．（24-25高一下·山东烟台·期末）如图，在多面体中，面为矩形，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)设为中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据勾股定理可证线线垂直，进而证明线面垂直与面面垂直； （2）连接，设，连接，根据中位线可证线线平行，即可构造平行四边形，根据线线平行可证线面平行. 【详解】（1） 连接， 四边形为矩形，且，， ， 有，， ，即， 又，且，，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）连接，设，连接， 易知点为中点， 点为中点， ，且， 又，， ，且， 则四边形为平行四边形， 即， 平面，且平面， 平面. 2．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【详解】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 3．在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 4．（24-25高一下·福建莆田·期末）如图，正方形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，已知，，点在线段上.      (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）依次求证和得到平面即可由面面垂直判定定理得证； 【详解】（1）四边形为正方形，， 又平面平面，平面平面平面， 平面，    又平面. 取中点，连接，由已知得， 又， 又平面平面，平面. 又平面平面平面. 5．（24-25高一·全国·假期作业）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】记为中点，由题意可证，结合，可证平面，进而利用面面垂直的判定定理可证平面平面. 【详解】四边形为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，记为中点，所以. 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，所以，， 因为，所以. 又，平面， 所以平面． 平面，所以平面平面. 6．如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点.求证：平面平面；    【答案】证明见解析 【分析】由题意可先证明，则得，再由点为的中点，可得，从而得平面，即可证明平面平面. 【详解】证明：由题意可得为等腰直角三角形，设斜边， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为点为的中点， 所以， 又平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 7．（24-25高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合题给条件，证明线线平行，进一步得出线面平行； （2）根据已知几何体的性质，结合题给条件，证明线面垂直，进一步推出面面垂直； 【详解】（1）证明：连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 （2）证明： 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. 8．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特点证明线面垂直，进而得到线线垂直. （2）根据棱柱的长度，先证，结合（1）的结论，可证平面，进而根据面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 又，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 题型九、面面垂直的性质定理（重点） 1．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】易得，根据面面垂直的性质可得侧面，再根据线面垂直的性质即可得证． 【详解】证明：∵，D是BC中点，∴， ∵底面侧面，交线为BC，平面， ∴侧面， 又∵侧面， ∴． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，即可得，结合，即可由线面垂直的判定求证. 【详解】由题意知为正三角形，是AD的中点，． 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，. 又四边形是菱形且， 是正三角形，.又，，平面， 平面. 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连结，由平面几何的性质结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定得证即可. 【详解】证明：取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，所以平面. 即证：平面. 4．如图，四棱锥中，，，，平面平面．证明：； 【答案】证明见解析 【分析】取BC中点，连接，则四边形为正方形，故可证，结合面面垂直有平面，故可证. 【详解】 取BC中点，连接，则， 又，， 所以四边形为正方形，则，且， 又在中，，则， 所以，即． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又面，所以． 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知三棱台中，平面平面，是以B为直角顶点的直角三角形，且． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）通过余弦定理求出边长，根据勾股定理的逆定理证明线线的垂直关系，通过面面垂直的性质定理，说明线面垂直. 【详解】（1）由余弦定理和，可得， 由，可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因是以B为直角顶点的直角三角形，则， 又平面， 所以平面； 6．（24-25高一下·重庆·月考）如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，且，M是上异于A、B的点，N是的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为M是半圆弧上一点，所以，即， 因为分别是的中点，所以，， 因为是等腰直角三角形，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面，，所以平面. 7．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明即可； 【详解】（1）证明：因为，E为AB的中点，则． 又，则为正三角形，所以． 因为，，则． 从而，即． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 由平面，得平面平面． 8．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据勾股定理可以计算出，根据余弦定理可以计算出，再次利用勾股定理可以计算出，继而可以证得，再由已知条件即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，，， 则，且，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 【答案】由条件根据线面平行判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，结合面面平行性质证明结论. 【详解】证明：因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，故平面平面， 而平面，故平面. 3．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若，求证：平面平面ABCD； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取PA中点，连接EF、BF，利用线面平行的判定推理可证结论. （2）过点作交AD于点，借助余弦定理、勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF， 由是PD的中点，得， 又因为，所以， 所以四边形EFBC是平行四边形，所以，又平面平面PAB， 所以平面PAB. （2）在等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点， 由，得， 在中，由余弦定理得， 则，所以， 又，平面PBD， 因此平面，而平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点．    (1)求证：平面平面； (2)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据面面垂直可证线面垂直，进而再证得面面垂直； （2）根据面面垂直可证线面垂直与线线垂直. 【详解】（1）又已知，则， 为等腰直角三角形， 又为中点， 则， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）    在平面中，过点作直线，使， 平面平面，且平面平面，平面， 平面， 又平面，， 即存在直线满足题意. 5．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，再由正三棱柱的性质证明，进而由线面垂直的判定定理证得平面，即得； （2）由（1）的结论可得，通过计算边长，利用勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得平面． 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，则由，可得， 因平面，故平面. 6．如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由得到平面，然后根据线面平行的性质定理求证. 【详解】由已知得，又平面，在平面外， 则平面， 又平面平面平面， 则. 7．如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）只需通过证明两次线面平行得到平面平面，再结合面面平行的性质即可得证； （2）只需证明平面，再结合线面垂直的性质即可得证. 【详解】（1） 连接CM，，，是AB中点， 且， 四边形是平行四边形，， 而平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 平面平面，又平面， 平面. （2），平面， 平面， 平面， ， 又，四边形是平行四边形， 平行四边形为正方形，． 又，平面，平面， 所以平面，平面，. 8．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 【答案】证明见解析 【分析】应用菱形得出，，进而应用线面垂直判定定理得出平面即可得出所以，再应用平行四边形得出线线垂直. 【详解】图1中，在四边形中，，，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为菱形，所以，， 所以在图2中，，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又在四边形中，，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以； 9．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】连接，交于点，证出，即可根据线面平行的判定定理证出平面． 【详解】连接，交于点，连接， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面． 10．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）取中点，连接，证明平面，再由面面垂直的判定定理可得面面垂直； 【详解】（1）取中点，连接，如图， 由已知，所以，且， 中，， 又，所以， 所以，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面； 11．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；    【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，进而得到，结合，可得，结合直角三角形的性质可得，再根据面面垂直的性质可得平面，进而得到，进而结合线面垂直的判定定理求证即可. 【详解】取的中点，连接，，     因为，， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，即，且，平面， 所以平面. 12．如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)连接交于点，连接.然后利用三角形相似的性质，得到，进而利用线面平行的判定定理证明； （2）利用棱锥的体积公式求比值. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为，也即. 又，则，故. 且平面，平面，故平面. （2）解：设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为. 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为. 由题有. 又，故，即， 则， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 13．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判断定理即可得证； （2）由线面垂直的判断定理证面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）根据题意，三棱柱为直三棱柱，则， 又由，则， ，面，面 则有面，又面，所以， 又由，则四边形为正方形，则， 又由，面，面，则有面， 面，则； 14．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中， ， ， 平面，，，分别为， 的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，推导出，，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面. 【详解】如图所示，连接，在平行四边形中，，， ， ，即， 从而有，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面， ， 又，为中点， ，又,平面， 平面. 15．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABCE为菱形，从而线线垂直，得到平面．故； （2）由面面垂直得到线面垂直，求出，利用锥体体积公式进行求解； 【详解】（1）证明：在平面图形中，连接CE，由勾股定理得， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形ABCE为菱形， 在图中，连接AC交BE于点，则， 在立体图形中，，， 又，平面， 平面． 又平面， ； （2）在平面图形中，由勾股定理得， 由（1）知，四边形ABCE为菱形，结合题设易得，故， 平面平面BCDE，且平面平面，平面，． 平面BCDE， 其中梯形的面积为， ； 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，在线段上取一点，使，在线段上取一点，使，连接，结合已知先证，再由线面平行的判定证明结论. 【详解】连接，在线段上取一点，使， 在线段上取一点，使，连接，，， 则，且， 因为，，，分别为棱，，，的中点. 则，且，，， 所以，， 又，所以，， 所以四边形为平行四边形，同理四边形为平行四边形， 所以，，所以. 因为平面，不包含于平面，所以平面. 17．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 18．如图所示四棱锥，其中交于点.求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形全等和线面垂直的判定定理来证明线面垂直. 【详解】因为，所以均在的垂直平分线上，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又因为平面平面， 所以平面. 19．（24-25高三上·上海·月考）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点． (1)若平面，求长度； (2)证明：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面，得到平面，从而，设，由求解； （2）取线段AB的中点F，连接EF，FD，论证平面平面即可. 【详解】（1）解：因为平面，即平面， 又平面，所以, 设，则， 又，解得； （2）如图所示： 取线段AB的中点F，连接EF，FD， 因为E，D为中点， 所以，， 又平面，平面， 所以平面， 又，所以，同理平面， 又， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. 20．在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    【答案】证明见解析 【分析】通过题干条件证明四边形DPBC为平行四边形，从而证明O为AC的中点，再利用线线垂直推出线面垂直，从而推出面面垂直. 【详解】因为在梯形ABCD中，， ，，P为AB的中点， 所以是正三角形，且，，则四边形DPBC为平行四边形， 所以，所以，所以，所以O为AC的中点， 又因为，所以，又，，平面ABC，平面，所以平面ABC， 又因为平面，所以平面平面ABC． 21．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设与交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）取中点，连接交于点，连接，证得，再由平面平面，证得平面，得到，证得平面，进而证得平面平面. 【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接， 因为底面是正方形，所以是中点， 又因为是中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面.    （2）证明：如图所示，取中点，连接交于点，连接， 因为，所以， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又因为平面，所以，所以， 因为，且，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.    22．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点， 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，的中点，连接，，利用面面平行的判定定理得平面平面，进而由面面平行的性质定理得平面，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）当点为的中点时，符合题意. 证明如下： 取的中点，的中点，连接，，， 因为为的中点，所以，， 平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 故存在点，使得平面，. 23．（25-26高一·全国·假期作业）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接，利用线面平行的判定定理即可得证； 方法二：取的中点为，连接，利用面面平行的性质定理即可得证； （2）利用面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 24．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 25．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证平面，再利用线面平行的性质定理证明，进而得证； （2）过点作于点，利用面面垂直的性质定理即证平面，再利用线面垂直的判定定理得平面，进而得证. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，； （2）如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. 26．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，    又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 27．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，已知分别为棱，，，的中点．求证：    (1)平面平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结，利用中位线性质及线面平行的判定定理得平面，平面，从而利用面面平行的判定定理证明即可. （2）连结，交于点，连结，，利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理得，同理可得，则由线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，连结．    因为分别为棱，的中点，所以． 因为分别为棱，的中点，所以． 在正方体中，显然有，所以． 由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面． 又因为平面，平面，， 所以平面平面． （2）如图，连结，交于点，连结，．    由为正方体得，平面， 平面，从而． 又，且平面，平面， 所以平面，平面，故．同理可得． 又显然是的中点，结合为的中点得， 所以，，，平面， 所以平面． 因为平面平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面， 即平面平面． 28．如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】(1) 过点作交于，过点作交于，进而根据相似比的关系证明四边形MNFE是平行四边形，即可根据判定定理证明结论； （2）根据正方体的性质证明平面，平面，进而结合判定定理即可证明； （3）作出点，根据面面平行性质定理，中位线等证明即可. 【详解】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 （3）解：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 29．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）由题意可得，得，由点为的中点，可得,从而得平面，即可证明平面平面； 【详解】（1）证明：由题意可得为等腰直角三角形，斜边, 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为点为的中点， 所以, 又平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 30．（24-25高一下·北京朝阳·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为BC，的中点，平面ADE与棱相交于点F． (1)求证：； (2)若． （ⅰ）求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）证明见解析； 【分析】（1）取的中点，连接，利用面面平行可得，进而可得，可求值； （2）（ⅰ）取的中点，连接，由面面垂直的性质可得平面，可得，进而得平面，进而可得平面，可证结论．【详解】（1）取的中点，连接， 在三棱柱中，平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以， 又因为侧面是平行四边形，且， 分别是的中点， 所以， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 因为为的中点． 所以为的中点， 所以． （2）（ⅰ）取的中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 又因为侧面为正方形，所以． 又平面， 所以平面，所以． 又，所以， 因为，则平面， 所以． 由平面平面， 所以．又， 所以平面． 又， 所以平面．又平面， 所以平面平面． 31．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，又平面平面，可得平面，从而，同理，根据线面垂直的判定定理可得结论； （2）取为的中点，由平面得，则，可证得，所以，进而可得，证得平面，所以，从而平面，进而可得结论． 【详解】（1）因为，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面． 又平面，所以， 同理可得平面，又平面，所以， 又平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，      由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，则， 所以，所以． 又，所以，所以， 因为，所以， 又平面，又平面，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行、垂直中的重点题型与技巧全归纳 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、利用中位线证明平行（重点） 1 题型二、利用平行四边形证明平行（重点） 1 题型三、利用相似证明平行 3 题型四、面面平行证明线面平行 5 题型五、线面、面面平行的性质定理（难点） 6 题型六、证明线面垂直（常考点） 8 题型七、证明线线垂直 11 题型八、证明面面垂直 13 题型九、面面垂直的性质定理（重点） 15 B综合攻坚・能力跃升 18 题型一、利用中位线证明平行（重点） 1．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在长方体中，，点是棱的中点. (1)求证：平面； 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，P为所在平面外一点，在上求一点E，使平面，并给出证明． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，正三棱柱中，是的中点，求证：//平面． 4．如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点 (1)证明：直线平面 (2)若，求三棱锥的体积. 题型二、利用平行四边形证明平行（重点） 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 4．（24-25高一下·河北唐山·期末）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面平面．，分别是棱，的中点． (1)求证：平面； 题型三、利用相似证明平行 1．已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，.证明：平面. 2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图，四面体中，点G是的重心，点E在上，.    (1)求证：平面； (2)设过点G，E，C的平面为，与四面体的面相交，交线围成一个多边形. （i）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）； （ii）求出将四面体分成两部分几何体体积之比. 3．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且，求证：平面. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 题型四、面面平行证明线面平行 1．（24-25高一下·湖北·期末）如图为一个组合体，其底面为正方形，平面，，且.求证： (1)平面； (2)平面； 2．如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 3．（24-25高一下·山西·月考）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为线段，上的一点，且，． (1)求证：； 4．（24-25高一下·河南·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，M为PA的中点，N为PC的中点，E为PD的中点，． (1)求证：平面BMN； (2)求三棱锥的体积． 题型五、线面、面面平行的性质定理（难点） 1．如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 2．（24-25高一下·海南·月考）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，记平面AEF与平面ABCD的交线为l． (1)求证：. (2)求证：平面平面; 3．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点．记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 5．（2024高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，．证明：. 6．如图，在直三棱柱中，，是线段上的动点.    (1)当平面时，说明点的位置并证明； 7．（25-26高一下·全国·单元测试）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 题型六、证明线面垂直（常考点） 1．（24-25高一下·山东济宁·月考）如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 2．如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.证明：平面. 3．（24-25高一下·广东清远·月考）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 4．如图，在三棱锥中，．求证：平面；    5．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； 6．（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. (1)求证：平面； 7．（24-25高一下·湖南郴州·期末）如图，和都垂直于平面，且，是的中点.为等边三角形. (1)证明：平面； 8．如图，在棱长为2的正方体中，､､分别为棱､､的中点. 求证：平面； 题型七、证明线线垂直 1．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. (1)求证：. (2)若，，求三棱锥的体积. 2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期末）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，且，为的中点，将沿翻折至. (1)证明：； 3．如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； 4．（24-25高一·全国·假期作业）如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 5．（24-25高一下·河南许昌·期末）如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． (1)证明：； 6．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿翻折至，使得. (1)证明：； (2)求五棱锥的体积 7．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，，，，且，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：． 题型八、证明面面垂直 1．（24-25高一下·山东烟台·期末）如图，在多面体中，面为矩形，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)设为中点，求证：平面． 2．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 3．在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 4．（24-25高一下·福建莆田·期末）如图，正方形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，已知，，点在线段上.      (1)求证：平面平面； 5．（24-25高一·全国·假期作业）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，为的中点．证明：平面平面； 6．如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点.求证：平面平面；    7．（24-25高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 8．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； 题型九、面面垂直的性质定理（重点） 1．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧面底面ABC．若D是BC的中点，求证：． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥中，底面是的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，G为AD边的中点.求证：平面. 3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.求证：平面. 4．如图，四棱锥中，，，，平面平面．证明：； 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知三棱台中，平面平面，是以B为直角顶点的直角三角形，且． (1)证明：平面； 6．（24-25高一下·重庆·月考）如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，且，M是上异于A、B的点，N是的中点． (1)证明：平面； 7．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，，，为的中点，将沿直线折起到的位置，使平面平面． (1)证明：平面平面； 8．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 1．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，.求证：平面； 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 3．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若，求证：平面平面ABCD； 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图1，在矩形中，，，为上一点，且．将沿折起，使得平面平面，如图2，点是线段的中点．    (1)求证：平面平面； (2)过点是否存在一条直线，同时满足以下两个条件：①平面；②．请说明理由． 5．（24-25高一·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． 6．如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点.设平面平面，求证：. 7．如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点. (1)证明：平面； (2)证明：； 8．（25-26高一下·全国·课后作业）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．求证： 9．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点，分别在线段和上，．求证：平面； 10．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． (1)求证：平面平面； 11．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.求证：面；    12．如图，是边长为4的等边三角形，且点分别为线段与的中点.将沿折叠后使点与点重合，得到四棱锥.设点为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 13．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2) 14．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中， ， ， 平面，，，分别为， 的中点，求证：平面. 15．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点满足．现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示． (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，，，，分别为棱，，，，的中点，，分别为线段，上一点，且，（）.当时，证明：平面. 17．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 18．如图所示四棱锥，其中交于点.求证：平面；    19．（24-25高三上·上海·月考）如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，点，分别是，的中点． (1)若平面，求长度； (2)证明：平面； 20．在梯形ABCD中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图①）．将沿AC折起到位置，使得（如图②）．证明：平面平面ABC．    21．如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，是的中点，是上靠近点的三等分点.证明：    (1)平面； (2)平面平面. 22．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）在直三棱柱中，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 23．（25-26高一·全国·假期作业）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 24．（24-25高一下·广东·期中）如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 25．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，证明：； 26．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 27．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，已知分别为棱，，，的中点．求证：    (1)平面平面； (2)平面平面． 28．如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 29．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为. (1)求证：平面平面； 30．（24-25高一下·北京朝阳·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为BC，的中点，平面ADE与棱相交于点F． (1)求证：； (2)若． （ⅰ）求证：平面平面； 31．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $