8.6 空间直线、平面的垂直-2020-2021学年高一数学下学期教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步 8.6空间直线、平面的垂直 学习导航 1、了解求异面直线所形成的角的步骤 2、掌握直线与平面垂直的证明方法 3、理解平面与平面垂直的证明方法 教学过程 一、直线与直线垂直 1. 两条异面直线所成的角的定义 已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线，，把直线，所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 2. 两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b 3. 异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的取值范围是 例题1 1.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面 底面 ， ， ． （1）求证: 平面 ； （2）过 的平面交 于点 ，若 ，求三棱锥 的体积． 【答案】 （1）证明：由题意 ， ，得 ， 所以 ，则 ， 又侧面 底面 ，面 面 ， 面 ，则 面 ． 面 ，则 ，又因为 ， 为平行四边形， 则 ，又 ，则 为等边三角形，则 为菱形，则 ． 又 ，则 面 ． （2）解：由 ，得M为PB中点， 由 ， ，得 ． 因此 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质 【分析】(1)首先由勾股定理计算出垂直关系，再由面面垂直的性质定理得到线面垂直；再由平行四边形以及三角形边之间的关系即可得到线线垂直，从而由线面垂直的判定定理即可得证。 (2)由已知条件得到 M为PB中点 ，再由三角形之间边的关系即可得出 ， 结合等体积法代入数值求出结果即可。 二、直线与平面垂直 1.定义：一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作 直线叫做平面的垂点，平面叫做直线的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 2.点到平面的距离 （1）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 （2）定义：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 3.直线与平面垂直判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 4.直线与平面垂直性质定理 垂直于同一个平面