专题02 一元二次方程重难点题汇编（十二大类型）（高效培优期中专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

专题02 一元二次方程重难点题汇编 （十二大类型） 考点01：一元二次方程的定义 考点02：由一元二次方程的解求参数 考点03：解一元二次方程 考点04：根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点05：根据一元二次方程根的情况求参数 考点06：一元二次方程的根与系数的关系 考点07：一元二次方程的应用-增长率问题 考点08：一元二次方程的应用-传播问题 考点09：一元二次方程的应用-与图形有关的问题 考点10：一元二次方程的应用-握手、循环赛问题 考点11：一元二次方程的应用-销售利润问题 考点12：一元二次方程的应用-动态几何问问题 考点01：一元二次方程的定义 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程化为一般形式为（  ） A． B． C． D． 考点02：由一元二次方程的解求参数 4．已知方程的一个根为，则c的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 6．已知是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D． 7．若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 8．关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 考点03：解一元二次方程 9．把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 10．用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 11．方程的解是（   ） A． B． C． D． 12．解方程 (1)． (2)． 13．解方程： (1) (2) 14．解方程： (1)； (2)． 考点04：根据判别式判断一元二次方程根的情况 15．若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 16．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 17．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 考点05：根据一元二次方程根的情况求参数 18．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A．0或 B．0 C．8 D．无解 19．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 20．已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 21．若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B．，且 C． D． 22．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 23．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 24．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 考点06：一元二次方程的根与系数的关系 25．一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 26．设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 27．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 28．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 考点07：一元二次方程的应用-增长率问题 29．新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 30．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 31．随着电商的发展，网上购物成为主流，催生了快递行业的快速发展．据调查，某市一家快递公司，今年一月份和三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件．现假定该公司一月至四月每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率 (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.9万件，那么该公司现有的15名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 考点08：一元二次方程的应用-传播问题 32．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 33．小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 34．某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 35．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 考点09：一元二次方程的应用-与图形有关的问题 36．用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 37．小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 38．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 39．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 考点10：一元二次方程的应用-握手、循环赛问题 40．某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 41．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 42．某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 考点11：一元二次方程的应用-销售利润问题 43．根据以下素材，完成任务． 素材1 某山区特产直播带货平台助力乡村振兴，该平台上某农家特产店的销量持续增长．该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒． 素材2 该特产礼盒每盒成本价为40元，当售价定为60元时，每月可售出300盒；经市场调研发现，售价每降低1元，月销售量就会增加20盒． 问题解决 (1)任务1：求该特产店3月份到5月份礼盒销量的月平均增长率． (2)任务2：为了回馈顾客，该店计划开展“降价促销”活动，且要保证每月销售该礼盒的利润达到6080元，同时尽可能扩大销量，求每盒礼盒的实际售价应定为多少元？ 44．中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店购进一批龙泉青瓷茶杯，进价为120元/只，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数，当茶杯的单价为140元/只时，日销售量为120只；当茶杯的单价为150元/只时，日销售量为100只． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）的函数关系式． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行？如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 45．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是 元，每天可以卖出水果 千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ 46．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 考点12：一元二次方程的应用-动态几何问问题 47．如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， (1)根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） (2)t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 48．如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，，求： (1)当为多少秒时，两点之间的距离是？ (2)用含的代数式表示的面积； (3)当为多少秒时，？ 49．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 50．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 51．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 52．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 53．如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程重难点题汇编 （十二大类型） 考点01：一元二次方程的定义 考点02：由一元二次方程的解求参数 考点03：解一元二次方程 考点04：根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点05：根据一元二次方程根的情况求参数 考点06：一元二次方程的根与系数的关系 考点07：一元二次方程的应用-增长率问题 考点08：一元二次方程的应用-传播问题 考点09：一元二次方程的应用-与图形有关的问题 考点10：一元二次方程的应用-握手、循环赛问题 考点11：一元二次方程的应用-销售利润问题 考点12：一元二次方程的应用-动态几何问问题 考点01：一元二次方程的定义 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、未说明，当时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有，两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． 2．若是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，据此列出不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得． 3．一元二次方程化为一般形式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握平方差公式以及移项法则是解题的关键．先利用平方差公式展开方程左边，再通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 考点02：由一元二次方程的解求参数 4．已知方程的一个根为，则c的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， 故选：C. 5．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了已知方程的解求参数， 把代入一元二次方程，得出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故选D 6．已知是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解．把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴； 故选：C． 7．若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用根的定义得到关于的等式，再对所求式子进行变形求值． 因为是方程的根，所以将代入方程可得，变形得到，再将其代入所求式子进行计算． 【详解】已知是方程的一个根，把代入方程中， 根据方程根的定义，方程左右两边相等，可得： ，移项得到， 对于式子，可变形为， 把代入变形后的式子： 所以的值是2025， 故选：C． 8．关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．1或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和方程的解，因为方程为一元二次方程，所以二次项系数，然后根据方程的一个根为0，将代入方程可求出a的值． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0， ∴且， ∴， 故选：B． 考点03：解一元二次方程 9．把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 【答案】A 【分析】利用完全平方公式进行配方求解． 【详解】解： ， ∴． 10．用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 11．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解． 【详解】解：∵ ∴或 解得． 12．解方程 (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察方程可提取公因式，用因式分解法求解一元二次方程． （2）方程可通过十字相乘法因式分解，再求解一元二次方程，也可使用配方法或公式法求解． 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， 或， ，． 13．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 方程可化为， 开方，得， 解得，； （2）解： ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 考点04：根据判别式判断一元二次方程根的情况 15．若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由已知条件可知，方程的判别式，说明方程有两个相等的实数根，因此两根之差为0． 【详解】方程的判别式为． ∵， ∴． ∵当时，方程有两个相等的实数根． ∴两根之差为． 故选D． 16．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据判别式的公式，找到题目中相应的数据，，，代入判断即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴ ∵ ， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选 C． 17．已知关于x的方程，下列说法中正确的是（    ） A．当时，方程有两个不相等的实根 B．当时，方程无解 C．当时，方程只有一个实根 D．当时，方程一定有两个不相等的实根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况． 【详解】A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确． B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误． C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误． D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误． 故选A． 考点05：根据一元二次方程根的情况求参数 18．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A．0或 B．0 C．8 D．无解 【答案】A 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0列方程求解即可. 【详解】解：∵ 一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ ， 其中 ，，，代入得： ， 解得 或 . 19．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 20．已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程，排除不符合条件的解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根相等， ，且 解得（舍）或， 故选：C． 21．若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B．，且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由一元二次方程解的情况求参数，根据一元二次方程定义得到，再由关于的一元二次方程无实数根，得到，解不等式即可得到答案．熟记一元二次方程定义及一元二次方程判别式与根的情况是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ，， 解得， 故选：A． 22．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）把代入，解关于k的方程即可； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则，由此可解. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得. 23．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的范围； (2)设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解， （1）根据方程的根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围；（2）根据一元二次方程的解，可得出，，将其代入，可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围； 解题的关键：（1）利用根的判别式可确定的取值范围；（2）利用一元二次方程的解得出，． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根， ∴， ∴解得：， ∴的范围是； （2）∵，是方程的两个实数根 ∴，， ∴ ∵， ∴． 24．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)且； (2)是等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程以及等边三角形的定义； （1）根据根的判别式列出不等式即可求解； （2）先求出k的值，再求出一元二次方程的根，进而即可得到答案 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且，解得：且； （2）解：把代入得：，解得：， ∴，解得：， ∴和的长分别是：2，2， ∴，即是等边三角形 考点06：一元二次方程的根与系数的关系 25．一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．13 【答案】B 【分析】由根与系数的关系求出和的值即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴， ∴． 26．设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再通过完全平方公式变形将所求式子转化，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， 又∵， ∴代入得． 27．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 28．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 考点07：一元二次方程的应用-增长率问题 29．新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设新能源汽车的年平均增长率为，则2025年底的保有量为万辆，2026年底的保有量为万辆，即可列出正确方程． 【详解】解：设新能源汽车的年平均增长率为， 可列方程为． 30．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 31．随着电商的发展，网上购物成为主流，催生了快递行业的快速发展．据调查，某市一家快递公司，今年一月份和三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件．现假定该公司一月至四月每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率 (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.9万件，那么该公司现有的15名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 (2)不能完成，至少还需增加5名业务员． 【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据“今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可，注意合理取舍x的值； （2）首先求出今年四月份的快递投递任务，再求出15名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年四月份的快递投递任务，然后再求出至少需要增加业务员的人数即可． 【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意得 ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为． （2）解：4月：（万件） ， ∴该公司现有的15名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务， 设共需要名业务员才能完成任务，则， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为20， ∴至少还需增加：（名）业务员． 考点08：一元二次方程的应用-传播问题 32．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染后总患者为人；第二轮传染时，这些患者每人传染x人，故新增患者为人，两轮后总患者为人，故可得方程． 【详解】∵ 初始患者为1人， 每轮传染中平均一人传染人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为． 故选：B． 33．小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设每名同学各自教会了名同学，根据全班共有人会做该题，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设每名同学各自教会了名同学， 根据题意得：． 故选：B． 34．某种植物的主干长出若干数目的支干，且每个支干长出的小分支数目与主干长出的支干数目相同，主干、支干和小分支的总数是43，问：每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出x个小分支，列方程得：_________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设每个支干长出个小分支，由题意，主干长出的支干数目为，因此主干有1个，支干有个，小分支有个，根据总数为43列方程即可． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，则主干长出的支干数目为， 故支干有个， 小分支有个． 根据题意，主干、支干和小分支的总数为43， 因此列方程得． 故答案为：． 35．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 考点09：一元二次方程的应用-与图形有关的问题 36．用一张长为，宽为的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒． (1)如图裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒若纸盒底面积为，则纸盒的高是多少？ (2)如图，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片空白部分折成一个有盖的纸盒若折成纸盒的表面积为，则裁去的正方形的边长是多少？ 【答案】(1)纸盒的高为 (2)裁去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 对于（1）, 设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形，根据纸盒底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 对于（1），正方形的边长为，根据折成纸盒的表面积为 长方形硬纸板的面积阴影部分的面积，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设纸盒的高为，则纸盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：纸盒的高为； （2）解：设裁去的正方形的边长为，根据题意得： 解得：， 不符合题意，舍去． 答：裁去的正方形的边长为． 37．小明准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？ (2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于．你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，见解析． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根的判定式，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）两个正方形的周长之和为，则两个正方形的边长之和为，设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．根据面积之和等于建立方程求解； （2）先建立方程，再根据根的判定式判定即可． 【详解】（1）设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为．依题意列方程得． 整理得：， 解得，， 因此这两个正方形的边长分别是，； （2）两个正方形的面积之和不可能等于．理由： 若两个正方形的面积和为，则 ， ∴， ， 此方程无解， 两个正方形的面积之和不可能等于． 38．用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)米 (2)能；15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； （2）解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 39．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：不能，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是， ，则 ，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； 任务2：利用根的判别式进行判断即可． 【详解】任务1：解：设的长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， 所以， 任务2：解：由题意得， 方程无解， 不能围成的长方形菜园． 考点10：一元二次方程的应用-握手、循环赛问题 40．某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了21场比赛”是解决本题的关键．设参加这次比赛的有x个班级，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故足球友谊赛的总场数为场，从而可建立方程解答． 【详解】解：设参加这次比赛的有x个班级，由题意得 ， 故选：D． 41．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据互赠礼物的数量关系建立方程是解题的关键． 设总人数为，由于每个人都要给除自己之外的其他人赠送1份礼物，所以每人赠送份礼物，总赠送份数等于人数乘以每人赠送的份数，由此建立方程，解方程并舍去不符合实际的解即可得到人数． 【详解】解：设共有人． ， ， ， 解得或（人数不能为负，舍去） 故答案为：． 42．某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为_________． 【答案】3 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 考点11：一元二次方程的应用-销售利润问题 43．根据以下素材，完成任务． 素材1 某山区特产直播带货平台助力乡村振兴，该平台上某农家特产店的销量持续增长．该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒． 素材2 该特产礼盒每盒成本价为40元，当售价定为60元时，每月可售出300盒；经市场调研发现，售价每降低1元，月销售量就会增加20盒． 问题解决 (1)任务1：求该特产店3月份到5月份礼盒销量的月平均增长率． (2)任务2：为了回馈顾客，该店计划开展“降价促销”活动，且要保证每月销售该礼盒的利润达到6080元，同时尽可能扩大销量，求每盒礼盒的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)每盒礼盒的实际售价应定为56元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据“该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒”，列出方程求解即可． （2）设礼盒售价下降y元，则每盒礼盒的利润为元，月销售量为盒，根据“每月销售该礼盒的利润达到6080元”，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 答：月平均增长率为． （2）解：设每盒礼盒售价下降y元，则每盒礼盒的利润为元，月销售量为盒， 根据题意，得， 解得：，． ∵要尽可能扩大销量， ∴礼盒售价为（元）． 答：每盒礼盒的实际售价应定为56元． 44．中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店购进一批龙泉青瓷茶杯，进价为120元/只，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数，当茶杯的单价为140元/只时，日销售量为120只；当茶杯的单价为150元/只时，日销售量为100只． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）的函数关系式． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行？如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 【答案】任务一：；任务二：150元；任务三：可行，见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系列出方程和不等式是解题的关键．任务1：根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可；任务2：根据“某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元”，列出一元二次方程，解方程取合适的值即可；任务3：先求出当时的值，再根据“日销售利润不低于3030元”，列出关于的一元一次不等式，解不等式得的取值范围，取符合题意的值即可得方案． 【详解】任务： 解：该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数， 设一次函数解析式为， 根据题意，将和代入， 得：，解得， ． 答：茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）的函数关系式为：． 任务： 解：由题意得，， ， 或（不符合题意，舍去）． 答：该日每只茶杯的售价为150元； 任务： 解：可行，方案如下： 当时，， ， 所以：， 又且m为整数， 时满足条件， 当时，日捐款总额为（元）． 填表如下： 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 45．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是 元，每天可以卖出水果 千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)单价应定为8元或12元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握利润、进价、售价、销量的关系是解题的关键． （1）根据利润售价进价和“水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克”填空； （2）根据总利润等于每千克利润乘以销量，由此列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：每千克水果的利润：（元）， 每天的销售量：（千克）， 故答案为：，； （2）解：由题意知， ． 化简得：． 解得，． （元），（元）， 答：单价应定为8元或12元． 46．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元 (3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）取表格两组数据，利用待定系数法求解； （2）根据销量、单价、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可； （3）假设该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元，列一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：（1）设， 由题意得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元； （3）解：该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元． 考点12：一元二次方程的应用-动态几何问问题 47．如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， (1)根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） (2)t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)； (2)1 (3)点D、E运动时，的长不可以是，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，列代数式，勾股定理，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）根据图形面积之间的关系可得的面积是的面积的4倍，求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）利用勾股定理可建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴； （2）解：∵在，，， ∴； ∵的面积等于四边形的面积的， ∴四边形的面积是的面积的3倍， ∴的面积是的面积的4倍， ∴的面积为， ∴， ∴， 解得； （3）解：点D、E运动时，的长不可以是，理由如下： 在中，由勾股定理得， ∴当时，有， 解得， 此时， ∴原方程无解， ∴点D、E运动时，的长不可以是． 48．如图，在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为，，求： (1)当为多少秒时，两点之间的距离是？ (2)用含的代数式表示的面积； (3)当为多少秒时，？ 【答案】(1)3秒或5秒 (2) (3)2秒或3秒 【分析】（1）若运动的时间为，则，利用勾股定理，即可求出的长； （2）若运动的时间为，则，利用三角形的面积公式，即可求出； （3）利用三角形的面积公式，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值． 【详解】（1）解：若运动的时间为，则， ， ， 即， 解得， 答：当为3秒或5秒时，两点之间的距离是； （2）解：若运动的时间为，则， ， 的面积； （3）解：根据题意得： ， 解得， 答：当为2秒或3秒时，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、代数式求值以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出的长；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 49．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 50．如图，已知等腰直角三角形中，，点P从点A出发，沿的方向以的速度向终点B运动，同时点从点B出发，沿的方向以的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为秒，请解决下列问题： (1)若点P在边上，当为何值时，为直角三角形？ (2)是否存在这样的值，使的面积为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在，或 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质列方程求解即可； （2）分若点P在边上和上两种情况讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质及三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：若点P在边上，，，， ，， ，， （）， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， 解得； 综上所述，当或时为直角三角形； （2）解：若点P在边上，，，， 过点P作于点H， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 若点P在边上，，（），（）， 过点P作于点M， ， ， （）， ， 解得，（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使的面积为，且或． 【点睛】本题考查了几何动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据动点的路径分情况讨论及利用方程思想列方程求解是解题的关键． 51．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键. 52．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 53．如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动． (1)求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； (2)两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ (3)两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或秒 (3)或或或秒时 【分析】（1）设点移动的时间是，得到，，再由梯形面积公式代值求解得到四边形的面积为定值，即可得证； （2）过点作于点，如图所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由题意，分三种情况：；；；分别由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查几何综合，涉及梯形面积公式、矩形性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解一元一次方程及解一元二次方程等知识，读懂题意，作出图形，数形结合由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $