专题 4.2 平行四边形及其性质（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 4.2 平行四边形及其性质（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行四边形的概念 1 ★【题型 1】平行四边形个数及四边形的不稳定性 2 【知识点二】平行四边形的性质 3 ★【题型 2】平行四边形性质的理解 3 ★【题型 3】利用平行四边形性质求解 4 ★【题型 4】利用平行四边形性质证明 5 【知识点三】平行四边形的性质有关结论 6 ★★【题型 5】利用平行四边形的对称性等分面积 7 ★【题型 6】利用平行四边形对角线构成的三角形周长的有关结论求值 8 ★【题型 7】利用平行四边形面积的有关结论求值 9 【知识点四】平行线的性质定理 11 ★★【题型 8】利用平行线的性质定理求值 11 二.中考真题 12 （一）单选题（6题） 12 （二） 填空题（6题） 14 （三） 解答题（3题） 15 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】平行四边形的概念 1、平行四边形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 1.平行四边形用符号“”， 2.平行四边形记作， 3.读作平行四边形。 1. 表示平行四边形时一定用顺时针（或逆时针）依次书写各个顶点字母； 2. “”后面紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2、平行四边形的基本元素 基本元素 图示 边 对边 和，和. 邻边 和，和，和，和. 角 对角 和，和. 邻角 和，和.和，和. 对角线 线段和 ★【题型 1】平行四边形个数及四边形的不稳定性 【例题1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【变式1】（24-25八年级上·河南开封·月考）伸缩门可自由伸缩，开关方便，它凸显分四边形的（   ） A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．美观性 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． （1）作出经平移后所得的图形． （2）写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【知识点二】平行四边形的性质 性质定理 文字语言 符号语言 图示 平行四边形的性质定理1 平行四边形对边相等 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC，AB=CD 平行四边形对角相等 四边形ABCD是平行四边形 ， 平行四边形的性质定理2 平行四边形对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 对称性 是中心对称图形，对角线交点是对称中心 AC与BD的交点O是ABCD的对称中心 ★【题型 2】平行四边形性质的理解 【例题2】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 ★【题型 3】利用平行四边形性质求解 【例题3】（24-25八年级上·重庆·周测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，现同时将点分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到点的对应点，连接． （1）求点C，D的坐标：C______，D______，______； （2）在x轴上有一点P，使得，求点P的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，以D为圆心，任意长为半径画弧，交于点F，交于点Q，分别以F、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，恰好有，则的长为______． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度； （2）若，，，求，两点之间的距离． ★【题型 4】利用平行四边形性质证明 【例题4】（25-26八年级上·上海·假期作业）（1）已知：如图1，的对角线和相交于点．求证：，． （2）如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，的对角线交于点平分交于点E，，，连结．下列结论正确的是________． ①；②平分；③；④． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，以线段为斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，． （1）如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系； （2）如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【知识点三】平行四边形的性质有关结论 结论1：过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分 如何画一条直线，将一个平行四边形分面面积相等的两部分？ 如图：过对角线交点任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分。 面积 ，， 周长 边长 ★★【题型 5】利用平行四边形的对称性等分面积 【例题5】（24-25八年级下·河南濮阳·期末）【问题提出】 数学课堂上，王老师给同学们提出这样的问题：“能不能画一条直线把一个平行四边形的面积平分”？ 【问题解决】 （1）小明说可以做到．如图1，中，，相交于点，过点画直线，则直线平分的面积．请证明小明的说法是正确的； （2）王老师提出一个新问题，如图2，，请你用无刻度的直尺画一条直线，使直线平分六边形的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位的速度向右平移，经过______秒该直线可将的面积平分． 【变式2】（2025·宁夏吴忠·二模）如图，在中，点在边上，点为内部一点． 请在图中用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在边上画点，使直线平分的面积； ②若，画出的角平分线交于点． 【变式3】（24-25八年级下·山西长治·期中）综合与实践 【问题背景】课上，老师布置了一个探究任务：请画一条直线，把分成面积相等的两部分． 【操作发现】同学们思考后，给出了以下方法： 如图1，过平行四边形一组对角顶点画直线，可以把分成面积相等的两部分； 如图2，过平行四边形一组对边的中点画直线，可以把分成面积相等的两部分． 同学们进一步观察、对比、分析，联想平行四边形的对称性，发现：平分平行四边形面积的直线都经过平行四边形对角线的交点． 【问题解决】 （1）如图3，在中，对角线相交于点O，过点O任意作一条直线，分别交于点E，F．求证：． （2）如图4是一块空地，，现要用一条直线将其等分成两块地种植不同品种的花卉，请你画出两块地的分界线． 结论2：与平行四边形周长的有关结论 ★【题型 6】利用平行四边形对角线构成的三角形周长的有关结论求值 【例题6】（21-22八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OM⊥AC，交AD边于点M． （1）若∠ACB=40°，求∠CMD的度数； （2）若CDM的周长是10，求平行四边形ABCD的周长． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃天水·月考）如图，平行四边形的周长为80，对角线、相交于O，若的周长比的周长小8，则的长是（　　） A．24 B．48 C．16 D．12 【变式2】（24-25八年级下·江苏常州·月考）ABCD的周长为40，如果的周长比的周长小2，___________． 【变式3】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，且，，求的周长． 结论3：与平行四边形面积的有关结论 基本图形 结论 ★【题型 7】利用平行四边形面积的有关结论求值 【例题7】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，四边形是面积为S的平行四边形． （1）如图①，点为边上任意一点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； （2）如图②，设交于点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； （3）如图③，点为内任意一点时，试猜想的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系，并加以证明； （4）如图④，已知点为内任意一点，的面积为2，的面积为8，连接，求的面积． 【变式1】（2024九年级下·广西·专题练习）如图，平行四边形中阴影部分的面积是，这个平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，E是内部一点，连接、、、．若图中阴影部分的面积是3，则和的面积之和是______． 【变式3】（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且a、b满足，现同时将点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C，连接、、． （1）求a、b的值，并直接写出点A、点B、点C、点D的坐标； （2）如图2，点P是线段上的一个动点，连接、，当点P在线段上移动时，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由． （3）在x轴上是否存在一点M，使的面积与的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【知识点四】平行线的性质定理 定理与推论 符号语言 图示 平行线性质定理：夹在两条平行线间的平行线段相等。 平行线性质定理推论：夹在两条平行线间的垂线段相等。 平行线之间的距离：如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫作这两条平行线之间的距离。 ★★【题型 8】利用平行线的性质定理求值 【例题8】（24-25八年级下·江西上饶·月考）如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 【变式1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【变式3】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． （1）若，，求的度数和的长． （2）若的面积是，求四边形的面积． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（6题） 7．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 8．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则______． 9．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________． 11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 12．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______． （3） 解答题（3题） 13．（2023·四川·中考真题）如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形． （1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）； （2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长． 14．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，． （1）求出对角线的长； （2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 15．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 16．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.2 平行四边形及其性质（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行四边形的概念 1 ★【题型 1】平行四边形个数及四边形的不稳定性 2 【知识点二】平行四边形的性质 3 ★【题型 2】平行四边形性质的理解 4 ★【题型 3】利用平行四边形性质求解 6 ★【题型 4】利用平行四边形性质证明 10 【知识点三】平行四边形的性质有关结论 15 ★★【题型 5】利用平行四边形的对称性等分面积 15 ★【题型 6】利用平行四边形对角线构成的三角形周长的有关结论求值 21 ★【题型 7】利用平行四边形面积的有关结论求值 24 【知识点四】平行线的性质定理 29 ★★【题型 8】利用平行线的性质定理求值 29 二.中考模拟真题 32 （一）单选题（6题） 32 （二） 填空题（6题） 36 （三） 解答题（3题） 41 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】平行四边形的概念 1、平行四边形的定义及表示 定义 图示 表示方法 注意事项 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 1.平行四边形用符号“”， 2.平行四边形记作， 3.读作平行四边形。 1. 表示平行四边形时一定用顺时针（或逆时针）依次书写各个顶点字母； 2. “”后面紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2、平行四边形的基本元素 基本元素 图示 边 对边 和，和. 邻边 和，和，和，和. 角 对角 和，和. 邻角 和，和.和，和. 对角线 线段和 ★【题型 1】平行四边形个数及四边形的不稳定性 【例题1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 解：由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点拨】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【变式1】（24-25八年级上·河南开封·月考）伸缩门可自由伸缩，开关方便，它凸显分四边形的（   ） A．稳定性 B．不稳定性 C．对称性 D．美观性 【答案】B 【分析】本题考查四边形的特形，可自由伸缩说明不稳定，由此可得答案． 解：伸缩门可自由伸缩，开关方便，它凸显分四边形的不稳定性， 故选B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． （1）作出经平移后所得的图形． （2）写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】（1）图见分析；（2），，，，，． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 解：（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点拨】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 【知识点二】平行四边形的性质 性质定理 文字语言 符号语言 图示 平行四边形的性质定理1 平行四边形对边相等 四边形ABCD是平行四边形 AD=BC，AB=CD 平行四边形对角相等 四边形ABCD是平行四边形 ， 平行四边形的性质定理2 平行四边形对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 对称性 是中心对称图形，对角线交点是对称中心 AC与BD的交点O是ABCD的对称中心 ★【题型 2】平行四边形性质的理解 【例题2】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质.根据平行四边形的性质判断即可． 解：A、正确．平行四边形的对边相等； B、错误．平行四边形的对边相等，、不是对边，不一定相等； C、错误．，，与不一定相等； D、错误．平行四边形的对角线不一定相等； 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质逐一判断即可． 解：∵， ∴，，，故结论A、B正确； ∴，故结论C正确； 无法证明，故结论D错误； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形得到，，，再由平行线的性质得到，但是对角线不一定互相垂直，即可判断． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 故B、C、D正确，不符合题意，A不一定成立，符合题意， 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）关于平行四边形的性质，下列说法不一定正确的是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，需要区分所有平行四边形共有的性质与特殊平行四边形才具有的性质，找出不一定正确的结论，即可作答． 解：依题意，平行四边形的基本性质是对角相等、对边相等、对角线互相平分，这是所有平行四边形都满足的性质， ∴选项A、B、C一定正确； ∵平行四边形不一定具备对角线互相垂直的性质， ∴D选项不一定正确， 故选：D． ★【题型 3】利用平行四边形性质求解 【例题3】（24-25八年级上·重庆·周测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，现同时将点分别向上平移3个单位，再向右平移2个单位，分别得到点的对应点，连接． （1）求点C，D的坐标：C______，D______，______； （2）在x轴上有一点P，使得，求点P的坐标． 【答案】（1），，18；（2）点的坐标为或． 【分析】（1）根据向右平移2个单位，横坐标加2，向上平移3个单位，纵坐标加3，即可求出点的坐标，再求出长，即可求面积； （2）设点的坐标为，求得，再利用三角形面积公式列式计算即可求解． 解：（1）解：∵点的坐标分别为，， 现同时将点向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到点的对应点分别是点， ∴，， ∴； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式2】（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，以D为圆心，任意长为半径画弧，交于点F，交于点Q，分别以F、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，恰好有，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、尺规作图-作已知角的角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由作图可知，平分，进而证明，易得，进一步可知，再在中，利用勾股定理解得的长度，然后在利用勾股定理解得的长度即可． 解：∵四边形为平行四边形，，， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵ ∴， ∴在中，． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． （1）求的长度； （2）若，，，求，两点之间的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三线合一定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意求出的长，再根据，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． ★【题型 4】利用平行四边形性质证明 【例题4】（25-26八年级上·上海·假期作业）（1）已知：如图1，的对角线和相交于点．求证：，． （2）如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论； 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ，； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线，等腰三角形性质和判定，平行四边形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据角平分线定义，等腰三角形性质和判定，平行四边形的性质对各选项进行逐一分析判断，即可解题． 解：由尺规作图可知，平分， ，故A选项一定成立，不符合题意； ， 四边形为平行四边形， ，，， ， ，故B选项一定成立，不符合题意； ， ， ，故C选项一定成立，不符合题意； 根据已有条件推不出， 故D选项不一定成立，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，的对角线交于点平分交于点E，，，连结．下列结论正确的是________． ①；②平分；③；④． 【答案】①③④ 【分析】先求出是等边三角形，可以判断③；结合，可以判断②，利用等边对等角与三角形内角和定理可以判断①，利用中线平分三角形面积可以判断④． 解：∵中对边平行， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平行四边形中， ， ∴，故③正确； 又∵， ∴， ∴， 由与平行可知， ∴，故②错误； ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵与平行， ∴，故①正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为： ①③④． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、中线平分三角形面积、角平分线的定义、三角形的内角和等知识，解题关键是牢记相关概念，并能灵活运用边角之间的关系进行转化． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，以线段为斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，． （1）如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系； （2）如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），；（2），证明见解析 【分析】本题考查了等边对等角，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据等边对等角得到，可知B、D、C在一条直线上，进而可知线段，之间的数量关系与位置关系； （2）连接，延长到G，根据平行四边形的性质得到，即，证明，得到，，即，，根据勾股定理求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴B、D、C在一条直线上， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接，延长到G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， 即， ∴． 【知识点三】平行四边形的性质有关结论 结论1：过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分 如何画一条直线，将一个平行四边形分面面积相等的两部分？ 如图：过对角线交点任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分。 面积 ，， 周长 边长 ★★【题型 5】利用平行四边形的对称性等分面积 【例题5】（24-25八年级下·河南濮阳·期末）【问题提出】 数学课堂上，王老师给同学们提出这样的问题：“能不能画一条直线把一个平行四边形的面积平分”？ 【问题解决】 （1）小明说可以做到．如图1，中，，相交于点，过点画直线，则直线平分的面积．请证明小明的说法是正确的； （2）王老师提出一个新问题，如图2，，请你用无刻度的直尺画一条直线，使直线平分六边形的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析； 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，，，分别证明，，即可得出结论； （2）分别连接两个矩形对角线交点所在的直线即为所求． 解：（1）证明：四边形为平行四边形 ，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 直线平分的面积； （2）解：连接两个矩形对角线交点所在的直线即为所求，如图： 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位的速度向右平移，经过______秒该直线可将的面积平分． 【答案】3 【分析】若该直线可将的面积平分，则需经过此平行四边形的对称中心，设为平行四边形的对称中心，利用和的坐标可求出其对称中心，进而可求出直线运动的时间． 本题考查了一次函数的图象与几何变换，平行四边形的性质以及直线和坐标轴的交点坐标的求法，解题的关键是掌握直线将的面积平分时需经过平行四边形的对称中心． 解：四边形是平行四边形，且对角线的两个端点坐标为：， 平行四边形的对称中心的坐标为， 令，得， 直线和轴交点坐标为， 当直线经过平行四边形的对称中心时，将平行四边形的面积平分， 将代入，得， 即此时的直线方程为， 令，得， ∴直线和轴的交点坐标为， 直线运动的距离为， 经过秒的时间，直线可将的面积平分． 故答案为：． 【变式2】（2025·宁夏吴忠·二模）如图，在中，点在边上，点为内部一点． 请在图中用无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法． ①在边上画点，使直线平分的面积； ②若，画出的角平分线交于点． 【答案】见分析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，①连接，交于点O，作直线交于点，直线即为所求；②连接并延长交于点，连接，点M即为所求，证明，可得，结合题意可得，从而推出，即可得解；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：①如图，直线即为所求； ②如图，点M即为所求， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即平分， 故点即为所求． 【变式3】（24-25八年级下·山西长治·期中）综合与实践 【问题背景】课上，老师布置了一个探究任务：请画一条直线，把分成面积相等的两部分． 【操作发现】同学们思考后，给出了以下方法： 如图1，过平行四边形一组对角顶点画直线，可以把分成面积相等的两部分； 如图2，过平行四边形一组对边的中点画直线，可以把分成面积相等的两部分． 同学们进一步观察、对比、分析，联想平行四边形的对称性，发现：平分平行四边形面积的直线都经过平行四边形对角线的交点． 【问题解决】 （1）如图3，在中，对角线相交于点O，过点O任意作一条直线，分别交于点E，F．求证：． （2）如图4是一块空地，，现要用一条直线将其等分成两块地种植不同品种的花卉，请你画出两块地的分界线． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据平行四边形的性质证明，再根据全等三角形面积相等，即可证明； （2）延长交于点，连接交于点，连接于点，连接交和分别于点，即为所求答案． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． （2）延长交于点，连接交于点，连接于点，连接交和分别于点． ， ∴四边形都是平行四边形， ∵是两个平行四边形对角线的交点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据（1）中结论即可得出， ， 即可以将其等分成两块地种植不同品种的花卉． 结论2：与平行四边形周长的有关结论 ★【题型 6】利用平行四边形对角线构成的三角形周长的有关结论求值 【例题6】（21-22八年级下·河南南阳·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OM⊥AC，交AD边于点M． （1）若∠ACB=40°，求∠CMD的度数； （2）若CDM的周长是10，求平行四边形ABCD的周长． 【答案】（1）80°；（2）20 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，结合得到MO为AC的垂直平分线，求出，在利用三角形外角性质求解； （2）根据平行四边形的性质可知平行四边形的周长，根据中垂线的性质可知，得到的周长，即可求解． 解：（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AD//BC， ∴，点O为AC的中点． ∵， ∴MO为AC的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，，． ∵MO为AC的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ， ∴平行四边形ABCD的周长． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的基本性质，垂进平分线判定和性质．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃天水·月考）如图，平行四边形的周长为80，对角线、相交于O，若的周长比的周长小8，则的长是（　　） A．24 B．48 C．16 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形性质的应用，关键是能根据题意得出，，根据平行四边形的性质得出，，，，由的周长为80和的周长比的周长小8，得，，然后解此方程组，即可求得答案. 解：如图， 四边形是平行四边形， ，，，， 平行四边形的周长为80， ①， 的周长比的周长小8， ， ②， 由①②解得：，． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·江苏常州·月考）ABCD的周长为40，如果的周长比的周长小2，___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，根据题意可得，再由周长，即可求得的长． 解：由平行四边形的性质知：， 又∵的周长比的周长小2， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，且，，求的周长． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质进行转化计算． 利用平行四边形对边相等和对角线互相平分的性质，先求出，再计算的周长． 解：∵平行四边形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵， ∴． ∴的周长为． 结论3：与平行四边形面积的有关结论 基本图形 结论 ★【题型 7】利用平行四边形面积的有关结论求值 【例题7】（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，四边形是面积为S的平行四边形． （1）如图①，点为边上任意一点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； （2）如图②，设交于点，则的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系是______； （3）如图③，点为内任意一点时，试猜想的面积和的面积之和与的面积之间的数量关系，并加以证明； （4）如图④，已知点为内任意一点，的面积为2，的面积为8，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析；（4） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等高模型的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据平行四边形的性质可知：，即可解决问题； （2）理由平行四边形的性质可知：，即可解决问题； （3）结论：．如图③中，作于，延长交于．根据； （4）设的面积为，的面积为，则，推出，可得的面积． 解：（1）解：如图①中，∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ． 故答案为． （2）如图②中，四边形是平行四边形， ，， ， ． 故答案为： （3）结论：． 理由：如图③中，作于，延长交于．    ∵，， ， ． （4）设的面积为，的面积为， 则， ， 的面积． 【变式1】（2024九年级下·广西·专题练习）如图，平行四边形中阴影部分的面积是，这个平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质解答即可． 解：∵平行四边形中阴影部分的面积是平行四边形面积的一半， ∴这个平行四边形的面积是． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，E是内部一点，连接、、、．若图中阴影部分的面积是3，则和的面积之和是______． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式=底×高是解题的关键． 过E作，交于M，交于N，的面积+的面积=，即可得出平行四边形的面积，再根据和的面积之和是平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可得出答案． 解：过E作，交于M，交于N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ，， ∵阴影部分的面积是3， ∴， 和的面积之和是． 故答案为：3． 【变式3】（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，且a、b满足，现同时将点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C，连接、、． （1）求a、b的值，并直接写出点A、点B、点C、点D的坐标； （2）如图2，点P是线段上的一个动点，连接、，当点P在线段上移动时，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由． （3）在x轴上是否存在一点M，使的面积与的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，，，；（2）的面积是不变化，；（3），； 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解得到a、b的值，再根据平移的性质求解即可得到答案； （2）根据平移的性质得到，结合平行线间距离的性质即可得到答案； （3）分点M在B点左侧右侧两种情况结合面积相等列式求解即可得到答案； 解：（1）解：由题意可得， ∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C， ∴，； （2）解：的面积是不变化，理由如下， ∵点A、B分别向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点A、B的对应点D、C， ∴，， ∵，，，， ∴两条平行线间的距离为：， ∴的面积是不变化， ； （3）解：设， ∵，， ∴， ①当点M在B点左侧时， ， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得：， 此时与A点重合，； ②当点M在B点右侧时， ， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得：， 此时点为： ； 【点拨】本题考查二次根式的非负性，平行线间距离关系，平行的性质，解题的关键是根据非负式子和为0它们分别等于0求出a，b，第（3）问中注意分类讨论． 【知识点四】平行线的性质定理 定理与推论 符号语言 图示 平行线性质定理：夹在两条平行线间的平行线段相等。 平行线性质定理推论：夹在两条平行线间的垂线段相等。 平行线之间的距离：如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫作这两条平行线之间的距离。 ★★【题型 8】利用平行线的性质定理求值 【例题8】（24-25八年级下·江西上饶·月考）如图，在中，，，的面积为6，则求的面积． 【答案】16 【分析】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键． 作于G，于H，根据的面积为6，求出，根据两平行线间的距离相等得到的长，根据三角形的面积公式得到答案． 解：解∶ 如图，作于G，于H，    ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【变式1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃武威·月考）如图，将沿着方向平移至的位置，平移的距离是边长度的1.5倍． （1）若，，求的度数和的长． （2）若的面积是，求四边形的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了平移的性质以及平移的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移性质，得，则，结合条件，即可作答； （2）作平行交于点．根据平移性质，得与平行四边形相等，可求解． 解：（1）解：沿着方向平移至， ． ， ． 平移的距离是边的1.5倍， ． ． （2）解：作平行交于点D． 沿着方向平移至， ，． 、与平行四边形等高，． ． 平移的距离是边的倍， ． 设的高为h， ，， 平行四边形的面积三角形的面积， 四边形的面积为． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选D． 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2025·贵州·中考真题）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 解：∵， ∴， ∴； 故选B． 4．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，对角线互相平分，对角相等等性质进行判断即可 解：四边形是平行四边形， ，，，故①③正确， ，， 点是的中点， ， 又，，， ， ，，故②不正确， ，， ， 即，故④正确， 综上所述，正确结论的个数为3个， 故选：C． 6．（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键． 根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半，，过D点作轴，交轴于点，用勾股定理求出长即可． 解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． 故选：A． （2） 填空题（6题） 7．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（2025·新疆·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，若，则______． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，根据平行四边形的性质，得到，得到，角平分线的定义，得到，进而得到，进而得到即可． 解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 9．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案． 解：连接， 由作图可知， 垂直平分， ∴， ∵点N恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点拨】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． （3） 解答题（3题） 13．（2023·四川·中考真题）如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形． （1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）； （2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长． 【答案】（1）见分析；（2）4或，或2， 【分析】（1）根据题意画出拼接图形即可； （2）利用等边三角形的性质求得，分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定理求解即可． 解：（1）解：如图①或②或③，   ， （2）解：∵等边边， ∴， ∴， 如图①所示：可得四边形是矩形，则其对角线长为； 如图②所示：， 连接，过点C作于点E，则可得四边形是矩形， ∴，， 则； 如图③所示：， 连接，过点A作交延长线于点E，可得四边形是矩形， 由题意可得：，， 故． 【点拨】本题考查图形的剪拼，涉及等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和矩形性质，作辅助线构造直角三角形求解是解答的关键． 14．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，，． （1）求出对角线的长； （2）尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）；（2）作图见分析 【分析】（1）连接，过作于，如图所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，； （2）连接，根据轴对称性质，过点尺规作图作线段的垂直平分线即可得到答案． 解：（1）解：连接，过作于，如图所示：    在中，，， ， ， ， 在中，，，，则； （2）解：如图所示：    【点拨】本题考查平行四边形背景下求线段长，涉及勾股定理、尺规作图作线段垂直平分线，熟练掌握勾股定理求线段长及中垂线的尺规作图是解决问题的关键． 15．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明． 解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 16．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见分析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $