专题04 三角形中位线重难点题型（八大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

专题04 三角形中位线重难点题型 （八大题型） 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 【题型2 利用三角形的中位线求线段的长度】 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 【题型7 三角形中位线的实际应用】 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 1．如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为________． 2．如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为______°． 3．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是__________． 【题型2 利用三角形的中位线求线段的长度】 4．如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 5．如图，在中，，，为斜边的中点，延长至点，使，连接，为的中点，连接，则的长为_________． 6．如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________． 7．如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，那么的长是______． 8．如图，在中，点M为的中点，为的外角平分线，且，若，，则的长为______． 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 9．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 10．如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 11．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为__________．    【题型4 利用三角形的中位线求面积】 12．如图，在中，，D，E，F分别是的中点，连接三个中点，若，则的面积是________． 13．如图，在等腰梯形中，E为的中点，于F，如果，，求梯形的面积　______． 14．如图，在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于______． 15．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是__cm 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 16．如图，在中，，点D是平面内一动点，且为的中点，的最大值为________，最小值为_______． 17．如图所示，在平行四边形中，，，点，分别是，边上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为________． 18．如图，在中，，，点，点分别是，边上的动点，连结，点，点分别是，的中点，则的最小值为___________________ ． 19．如图，在中，，点为上一点，连接分别为、上的动点．且交于点，若，则的最小值为______． 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 20．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 21．如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，…如此下去，则的周长为（    ） A． B． C． D． 22．如图，ΔABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1连接D1E1，作，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，照此规律作下去，则C2021等于________． 【题型7 三角形中位线的实际应用】 23．如图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固．经测量的周长为20米，则加固木条所组成的的周长为（    ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 24．如图，在中，，，点，分别在，上，且．连接，，，分别为，的中点．    (1)如图1，请直写出与的数量关系； (2)如图2，将若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由； (3)若，，直接写出将绕点在平面内旋转过程中的最大值． 25．如图1，已知ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BD＝2，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转 (0°<α<180°)至AE位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°． (1)旋转角α＝ 度． (2)连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，求AF的长； (3)如图2，取BE的中点G，连接AG．试猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想． 26．已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 27．如图，在中，对角线，相交于点O，，点E在线段上，且．连接． (1)求证：； (2)若M，N分别是，的中点，且，连接，． ①求证：； ②当时，求的面积． 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 28．学完《平行四边形》后，老师布置了一道作业：如图，，，，与有什么关系？线段与线段呢？为什么？ 聪明的小华很快写出了过程，但不小心被墨水弄脏了． (1)请你帮小华补全解答过程； (2)聪明的小华受上面问题的解法的启发，编制了一道试题：在平面直角坐标系中，已知，问：在平面直角坐标系中是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．请帮小华直接写出答案吧； (3)结合题目条件，你还能得到什么结论？请写出一个结论（与上述两个结论不同）． 29．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 30．已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 31．如图，延长的边到E，使，连接交于点． (1)试说明：． (2)连接、相交于点，连接．与有怎样的数量关系与位置关系？说明理由． 32．为等腰三角形，为等边三角形，连接，点为的中点，将绕点逆时针旋转． (1)如图，当点在上且时，连接，求线段的长； (2)如图，连接，，在绕点旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； 33．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形中位线重难点题型 （八大题型） 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 【题型2 利用三角形的中位线求线段的长度】 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 【题型7 三角形中位线的实际应用】 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 【题型1 利用三角形的中位线求角度】 1．如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为________． 【答案】/52度 【分析】本题主要考查三角形的中位线及平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线及平行四边形的性质与判定是解题的关键；由三角形中位线可知，则有四边形是平行四边形，然后问题可求解． 【详解】解：∵、、分别是的、、边中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； 故答案为． 2．如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为______°． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数． 过点作的垂线，垂足为，如图： ∵点恰好是线段中点，， ∴， ∴， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识．由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 利用三角形的中位线求线段的长度】 4．如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，根据，可得，即可求解． 【详解】解： 为的中位线，， ，点为的中点， ，， ， ． 5．如图，在中，，，为斜边的中点，延长至点，使，连接，为的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，根据中点的定义求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵为斜边的中点， ∴． ∵，为的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________． 【答案】 【分析】先根据平行四边形对角线互相平分的性质，求出、，结合判定为等腰三角形，过点作，得到，再由勾股定理算出的长度；接着由为的中点，根据三角形中位线定理，得是的中位线，从而得到的长度及；再由为的中点，求出的长度，证得与平行且相等，据此判定四边形为平行四边形，最后根据平行四边形对边相等的性质，得出，求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，． ， ， 是等腰三角形． 如图，过点作于点，连接． ， 在中，由勾股定理得：． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ，． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ． 7．如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，那么的长是______． 【答案】4 【分析】先证得是的中位线，根据勾股定理求得，进而可得，即可求解， 【详解】解：，， ，即点是线段的中点， 又点是线段的中点， 是的中位线， ， 在中，，，， ， 又， ， . 8．如图，在中，点M为的中点，为的外角平分线，且，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交的延长线于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再求出，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答． 【详解】解：延长交的延长线于E， ∵为的外角平分线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点M为的中点， ∴是的中位线， ∴． 【题型3 利用三角形的中位线求周长】 9．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 _______． 【答案】8 【分析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于周长的两倍． 【详解】解：∵点D、E、F分别是、、的中点， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 10．如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 【答案】12 【分析】根据平行四边形的性质和周长得出相等的边，求出，利用勾股定理求出，证明是的中位线，得出，最后可求出三角形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴的周长为． 11．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为__________．    【答案】8 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出是的中位线是解题关键． 直接利用平行四边形的性质得出，再结合已知得出是的中位线，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴是的中点， ， 又 ∵点是的中点， ∴是的中位线， ， ∵的周长， ∴的周长． 故答案是：8． 【题型4 利用三角形的中位线求面积】 12．如图，在中，，D，E，F分别是的中点，连接三个中点，若，则的面积是________． 【答案】 【分析】过点作的垂线，垂足为，易证是等腰直角三角形，求出，由勾股定理求出，再根据E，F分别是的中点，得到，推出，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为， 则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴的面积是． 13．如图，在等腰梯形中，E为的中点，于F，如果，，求梯形的面积　______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰梯形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．连接交的延长线于G点，根据两直线平行得到两对内错角相等，再由E为中点得到，从而证，得，根据E为中点，利用等底同高即可得，则梯形的面积就是的面积的2倍，则问题即可解答． 【详解】解：如图，连接并延长，交的延长线于G点，连接． ∵， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴（）． 故答案为． 14．如图，在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于______． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键． 连接，过点作，交的延长线于点．根据中位线的性质，，，从而得到四边形是平行四边形，求得，进而求得，由可得到，最后根据三角形中线的性质即可得出的面积． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点． ∵和分别是两边上的中线 ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴ 故答案为：16 15．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是__cm 【答案】4.5// 【分析】连接BE，根据△ABC的面积求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DEBC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案． 【详解】解：连接BE， ∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18 cm， ∴△AEB的面积△ABC的面积＝9（cm）， ∵点D是AB的中点， ∴△DEB的面积△AEB的面积＝4.5（cm）， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DEBC， ∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm）， 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【题型5 利用三角形的中位线求最值】 16．如图，在中，，点D是平面内一动点，且为的中点，的最大值为________，最小值为_______． 【答案】 /； / 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，点和圆的位置关系，构造辅助线，利用三角形中位线的性质是解题的关键．取的中点F，利用三角形中位线定理得出，从而确定E的轨迹为以F为圆心、1为半径的圆；再在中，依据直角三角形斜边中线定理求出的长度；最后根据点到圆上点的距离最值规律得到的最大、最小值． 【详解】解：取的中点F，连接， ∵E是的中点，F是的中点， ∴且． ∵， ∴． ∴点E的轨迹是以F为圆心、1为半径的圆． 在中，， ∵， ． ． 又∵F是斜边的中点， ∴． 当点在一条直线上时， 的最大值为点B到圆上点的最大距离，即圆的半径，即； 的最小值为点B到圆上点的最小距离，即圆的半径，即． 17．如图所示，在平行四边形中，，，点，分别是，边上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30度的直角三角形，勾股定理，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接，过点D作于点G，由三角形中位线定理可得，即当时，即点M在G位置时，有最小值，此时最小，根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，求出，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点D作于点G， 点为的中点，点为的中点，， 是的中位线， ， 当时，即点M在G位置时，有最小值，此时最小， ∵在中，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为： 18．如图，在中，，，点，点分别是，边上的动点，连结，点，点分别是，的中点，则的最小值为___________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于H，连接；    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．如图，在中，，点为上一点，连接分别为、上的动点．且交于点，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及垂线段最短，三角形的中位线定理，正确作出辅助线，熟练运用以上知识点是正确解答此题的关键．需要通过构造平行四边形将进行转化，再根据垂线段最短求出其最小值． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ，又， ∴四边形是平行四边形， ， 当时，最短． ， ， ， ， D为线段的中点， ，且， E为线段的中点，又D为线段的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 【题型6 与三角形中位线有关的规律探究】 20．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 21．如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，…如此下去，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是中位线定理的应用，图形类规律探索，解题关键是熟练掌握中位线定理． 根据中位线定理推出的周长为，的周长为，根据此规律即可得解． 【详解】解：依题得：、、是的中位线， ，，， ， 的周长为， 的周长为， 同理，，，， 的周长为， 根据此规律得的周长为． 故选：． 22．如图，ΔABC是边长为1的等边三角形，分别取AC，BC边的中点D，E，连接DE，作得到四边形EDAF，它的周长记作C1；分别取EF，BE的中点D1，E1连接D1E1，作，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，照此规律作下去，则C2021等于________． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝AB，，进而证明四边形ADEF为菱形，求出菱形ADEF的周长C1，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵点D，E分别为AC，BC边的中点， ∴DE＝AB＝，，AD＝AC＝， ∴AD＝DE， ∵， ∴四边形ADEF为菱形， ∴四边形ADEF的周长C1＝4×＝2， 同理：四边形E1D1FF1的周长记作C2＝4×＝1， … C2021＝4×＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线判定与性质、菱形的判定与性质，图形的变化规律，根据三角形中位线性质总结出规律是解题的关键． 【题型7 三角形中位线的实际应用】 23．如图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固．经测量的周长为20米，则加固木条所组成的的周长为（    ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】根据已知得出、、是的中位线，然后根据中位线的性质得，，，即可求解． 【详解】解：∵的周长为20米， ∴（米）， ∵，，分别为，，的中点， ∴、、是的中位线， ∴，，， ∴的周长（米）． 24．如图，在中，，，点，分别在，上，且．连接，，，分别为，的中点．    (1)如图1，请直写出与的数量关系； (2)如图2，将若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由； (3)若，，直接写出将绕点在平面内旋转过程中的最大值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由，，可得，根据中位线的判定和性质可得，故； （2）根据全等三角形的判定和性质可得，根据中位线的判定和性质可得，故； （3）将绕点在平面内旋转过程中，同（2）可证，，由，，可知当，，共线，且在的延长线上时，最大，的最大值即为， 即可求得的最大值是． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵，， ∴。 即， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故． （3）解：如图：      将绕点在平面内旋转过程中，同（2）可证， ∴当最大时，最大， ∵，， ∴当，，共线，且在的延长线上时，最大，的最大值即为， 如图：      此时， ∴的最大值是． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 25．如图1，已知ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BD＝2，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转 (0°<α<180°)至AE位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°． (1)旋转角α＝ 度． (2)连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，求AF的长； (3)如图2，取BE的中点G，连接AG．试猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)90° (2) (3)AG＝CD，见解析 【分析】（1）直接根据旋转性质及已知条件即可得出答案． （2）连接，过点作于，判断出，再判断出，进而得出，得出，，再判断出，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，得出，再判断出，得出，即可得出结论； 【详解】（1）旋转角α＝ 90 度． ，， ，即旋转角． （2）连接，过点作于， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转知，， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）AG＝CD， 理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM， ∵G是BE的中点，∴AG＝ME， ∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°， ∴∠DAE＝∠CAM，∴∠DAC＝∠EAM， ∵AB＝AM，AB＝AC，∴AC＝AM， ∵AD＝AE，∴△ADC≌△AEM（SAS）， ∴CD＝EM， ∴AG＝CD． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形中位线的性质，熟练掌握并会应用是解本题的关键． 26．已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，在中，由勾股定理得，由等面积法得，则，再由等腰三角形的三线合一求得； （2）延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，设，导角可得，显然，导角可得，则，继而，故； （3）取中点为点，链接，由三角形的中位线得到，在中，有，故的最大值为，最小值为，在中，由勾股定理得： ，即：，即可求解． 【详解】（1）解：如图：记，的交点为， ∵点共线，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：取中点为点，链接， ∵点，点分别为与的中点， ∴， 在中，有， ∴的最大值为，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，三角形的三边关系求最值等知识点，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27．如图，在中，对角线，相交于点O，，点E在线段上，且．连接． (1)求证：； (2)若M，N分别是，的中点，且，连接，． ①求证：； ②当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②480 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，，．结合，得出，证明是等腰三角形，结合，即可证明； （2）①根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出．证明是的中位线，得出，即可证明． ②根据，是的中位线，得出，结合，得出，根据垂直平分线的性质得出．设，则，，得出．在中，根据勾股定理列方程求出再根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 又∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴． ∵N为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵E，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． ②解：∵是的中位线， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵N是的中点， ∴． 设，则，． ∴． 在中，， ∴， 即， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴． 【题型8 与三角形中位线有关的证明】 28．学完《平行四边形》后，老师布置了一道作业：如图，，，，与有什么关系？线段与线段呢？为什么？ 聪明的小华很快写出了过程，但不小心被墨水弄脏了． (1)请你帮小华补全解答过程； (2)聪明的小华受上面问题的解法的启发，编制了一道试题：在平面直角坐标系中，已知，问：在平面直角坐标系中是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．请帮小华直接写出答案吧； (3)结合题目条件，你还能得到什么结论？请写出一个结论（与上述两个结论不同）． 【答案】(1)，．理由见详解 (2)存在；或或 (3)都是的中位线（答案不唯一） 【分析】（1）通过平行线判定平行四边形，再利用平行四边形的性质得出角和线段的关系． （2）根据平行四边形的性质，分情况讨论求出点的坐标． （3）依据前面所证的平行四边形，得出三角形中位线的结论． 【详解】（1）解：，． 理由如下：∵，，， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． （2）解：存在． 第一种情况，当为对角线时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴轴，， ∴， ∵在轴上， ∴点在轴上，设点坐标为， ∴， ∴ ∴的坐标是； 第二种情况，当为对角线时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴轴，， ∴， ∵在轴上， ∴点在轴上，设点坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标是； 第三种情况，当为对角线时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴平移后得到， ∵平移后得到， ∴点平移到点坐标变化规律是横坐标减，纵坐标加 ∴平移后得到 综上所述，点坐标为或或． （3）结合题目条件可以得到这样的结论：都是的中位线， 由（1）已证四边形和四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是的中点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴是的中点，是的中点， ∴都是的中位线． 29．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】三角形中位线的性质定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出； （2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴为的中位线． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）知，为的中位线， ∴． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 30．已知中，为的平分线，，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰，且，，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）延长交的延长线于点H，取的中点，连接，证明，得，，从而得出，，再证明，即可由得出结论． （2）过点C作于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，，设，则，由勾股定理建立方程求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于点H，取的中点，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2所示，过点C作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由乘法法则可知或， ∴（舍去）或， ∴． 31．如图，延长的边到E，使，连接交于点． (1)试说明：． (2)连接、相交于点，连接．与有怎样的数量关系与位置关系？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质； （1）由得到，，则，，结合，得到，即可证明． （2）由得到是中点，由，得到，即是中点，则是中位线，得到，，即可得到，． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，，理由如下： ∵连接、相交于点，， ∴，即是中点， 由（1）得， ∴，即是中点， ∴是中位线， ∴，， ∵，， ∴，． 32．为等腰三角形，为等边三角形，连接，点为的中点，将绕点逆时针旋转． (1)如图，当点在上且时，连接，求线段的长； (2)如图，连接，，在绕点旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； 【答案】(1) (2)，证明见详解 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质求出角和高，结合等边三角形的性质推出为等边三角形，再通过平行四边形的判定与性质得出的长度； （2）通过构造辅助线，利用角的等量代换证明三角形全等，再结合三角形中位线定理推导与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， ，，， ，， ， ， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， 为中点， ， ，， 四边形为平行四边形， ． （2）解：如图，延长，取，连接， 由（1）得，，，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，点为的中点， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理的应用，熟练运用图形的性质和判定定理是解题关键． 33．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 【详解】证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $