专题03 图形旋转重难点题型（七大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

专题03 图形旋转重难点题型 （七大题型） 【题型1 利用旋转的性质求解】 【题型2 旋转中的规律探究】 【题型3 手拉手模型】 【题型4 “半角”模型】 【题型5 构造旋转模型解题 】 【题型6 奔驰模型】 【题型7 费马点模型】 【题型1 利用旋转的性质求解】 1．如图，将绕着点A逆时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点顺时针方向旋转得到．若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B．6 C．5 D．4 4．已知是正△内一点，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 5．如图，将绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，为等边三角形，点D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接．已知，的周长是15，则的边长是（   ） A．4 B．7 C．8 D．10 7．如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，下列结论：①；②；③；④其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【题型2 旋转中的规律探究】 8．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 10．已知点，将点A绕原点O顺时针旋转后的对应点为，将点绕原点O顺时针旋转后的对应点为，依此作法继续下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型3 手拉手模型】 11．我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连结．试说明：．聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮小亮把说理过程补充完整． 解：∵和均为等边三角形， ∴，，（等边三角形的性质） ∴① ；（等式的性质） ∴绕点C按逆时针方向旋转② ，能够与③ 重合． ∴．（旋转变换的性质） ∴（全等三角形对应边相等） 【拓展应用】 （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求的度数，聪明的同学们你能解决吗？请写出你的求解过程（此问不用写推理依据）． 【尝试解决】 （3）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一直线上，连结，与交于点，点恰好为中点． ①直接写出的度数为 ； ②若，求的面积． 12．综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 13．综合与实践 数学小组在学习完“直角三角形”这一单元后，进行了研究． 发现： （1）如图1，在和中，，，，点在线段上，连接、、则和的数量关系是________，和的位置关系是________． 深入研究： （2）如图2和图3，将绕点旋转（旋转角），其他条件与（1）相同，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一种情况证明；若不成立，请说明理由． 拓展延伸： （3）如图4，若图2中的点落在线段上，其他条件不变，则此时线段、、的数量关系是________． （4）如图5，是等腰直角三角形，，点为外一点，且，连接．若，，则的长为________． 【题型4 “半角”模型】 14．（1）特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况“”，如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请写出理由． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 15．【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． (1)【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： ，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ，即点，，共线， ， ，， 又，__________（__________________）（写依据） ． (2)【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由． (3)【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度． 16．（1）如图1，在中，，，点，在上，．为了探究，，之间的等量关系，现将绕点顺时针旋转90°得到，连接．经探究，，，之间的等量关系式是_______．（无需证明） （2）如图2，在中，，，点，在上，，．试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 17．（1）操作发现： 如图①，在五边形中，，，，试猜想、、之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证 ，故、、之间的数量关系是 ； （2）类比探究： 如图②，在四边形中，，，点E、F分别在边、的延长线上， ，连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸： 如图③，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，则的长为 ． 18．(1)如图1，在中，，，点，在边上且不与点，重合，，猜想，，之间的数量关系并说明理由． (2)如图2，在中，，，点，在边上且不与点，重合，，，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，在等边中，为内的一点，，，将绕点逆时针旋转得，连接．若，求，的长． 【题型5 构造旋转模型解题 】 19．旋转在几何学中扮演着重要的角色，通过图形的旋转，可以巧妙地构造出全等条件，从而解决问题． (1)如图1，点D，E分别为等边边，上的点，以为边作等边交于点G．连接．判断，，的数量关系； A同学的思路：将绕点D逆时针旋转； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转； 请你参考以上方法判断，，的数量关系为 ． (2)如图2，点D为等边外一点，连接，，，其中与交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点D为外一点，连接，，，其中交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由．    20．问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 21．如图1，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，当，且点D在线段上时，线段与线段的关系是______，______． (2)如图3，当，且点D在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明； (3)当，，时，直接写出的长． 【题型6 奔驰模型】 22．P为等边内一点，将绕点B逆时针旋转至． (1)画出旋转后的； (2)若，求的度数． 23．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 【题型7 费马点模型】 24．（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 25．（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 26．问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？ (1)问题的转化：如图，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1画出上述操作的最终图象的示意图，并证明：； (2)问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，则∠APB的度数是___________，∠APC的度数是___________； (3)问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形旋转重难点题型 （七大题型） 【题型1 利用旋转的性质求解】 【题型2 旋转中的规律探究】 【题型3 手拉手模型】 【题型4 “半角”模型】 【题型5 构造旋转模型解题 】 【题型6 奔驰模型】 【题型7 费马点模型】 【题型1 利用旋转的性质求解】 1．如图，将绕着点A逆时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，依据旋转的性质可求得 ，，求得的度数，再根据即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得 ，，， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，将绕点顺时针方向旋转得到．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质及直角三角形两锐角互余，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 根据旋转的性质得，然后结合求解即可． 【详解】解：∵将绕点C顺时针方向旋转得到 ∴， ∵ ∴． 故选：C． 3．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A． B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可证明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴为等边三角形， ∴， 故选：B． 4．已知是正△内一点，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键．将三角形绕点逆时针旋转得三角形，连接，得出三角形是等边三角形，推出三角形是直角三角形，再根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，将三角形绕点逆时针旋转得三角形，连接， 则，，，， △是等边三角形， ，， ， ， 故选：． 5．如图，将绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，再根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 故选：C． 6．如图，为等边三角形，点D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接．已知，的周长是15，则的边长是（   ） A．4 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质和等边三角形的性质与判定，利用旋转前后图形全等，得到线段相等，即，，再结合的周长是15，得，故，即可解题． 【详解】解： 绕点逆时针旋转，得到， ∴，， 为等边三角形， ， ， ∵的周长是15， ∴， ∴， ∴， 的边长为， 故选：C． 7．如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，下列结论：①；②；③；④其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质，旋转的性质，证明，，后利用勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴；， ∴， ∴， ∴ 故①④正确；②③错误； 故选：B． 【题型2 旋转中的规律探究】 8．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和坐标规律探究，掌握通过多次旋转操作归纳坐标周期规律，再利用规律求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过前几次旋转找到点​的坐标规律，最后根据规律计算的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点 ∴， ∴在中，根据勾股定理可得： ∵ 将绕点顺时针旋转到​，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将 绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点在的正上方，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点的坐标为，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到 ∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为 通过观察点和 的坐标，可以发现规律： 对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为 即点的坐标为 ∵的下标为，是偶数 ∴令，解得 ∴点的坐标为 ∴点的坐标为． 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ∵四边形是正方形， 连接，如图：    由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， ∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， 则8次为一循环， ∵余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， ∴点的坐标为， 故选：B． 10．已知点，将点A绕原点O顺时针旋转后的对应点为，将点绕原点O顺时针旋转后的对应点为，依此作法继续下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的旋转与规律问题．根据图形旋转的规律得出每旋转6次坐标一循环，得出点与点坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵点绕原点顺时针旋转多次，旋转6次后坐标循环， ，余数为3， ∴点与点坐标相同， 点绕原点O旋转得到点， ∴点与点关于原点对称，则 ， ∴点的坐标是， 故选：C． 【题型3 手拉手模型】 11．我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目： （1）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连结．试说明：．聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮小亮把说理过程补充完整． 解：∵和均为等边三角形， ∴，，（等边三角形的性质） ∴① ；（等式的性质） ∴绕点C按逆时针方向旋转② ，能够与③ 重合． ∴．（旋转变换的性质） ∴（全等三角形对应边相等） 【拓展应用】 （2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求的度数，聪明的同学们你能解决吗？请写出你的求解过程（此问不用写推理依据）． 【尝试解决】 （3）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一直线上，连结，与交于点，点恰好为中点． ①直接写出的度数为 ； ②若，求的面积． 【答案】（1）①；②；③；（2），过程见解析；（3）①，②18 【分析】（1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）①利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质即可得到答案；②过点作，垂足为点，利用全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识即可求出答案． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，（等边三角形的性质） ∴；（等式的性质） ∴绕点C按逆时针方向旋转，能够与重合． ∴．（旋转变换的性质） ∴（全等三角形对应边相等）； （2）为等边三角形， ， ， 由（1）可知：， ， ， （3）①解：∵和均为等腰直角三角形，， ， ， ∵由（1）得：， ， ； ②过点作，垂足为点， ， ，， ， ， ， 为中点， ， 由①得：， 又， ， ∴，， ∴． 12．综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，则与有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），过程见解析；（3） 【分析】此题考查旋转模型以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解． （1）通过判定证明全等即可； （2）由（1）可知边长与角度的关系，然后利用勾股定理求解即可； （3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可． 【详解】（1）解：与均为等边三角形， ， 又，， ， 在与中 ， ， ； （2）解：由（1）可知 ，， 在等边中，由可得 则， 在中，，， 由勾股定理可得：； （3）解：连接， ， ， 在与中 ， ， ，， ， ， ． 13．综合与实践 数学小组在学习完“直角三角形”这一单元后，进行了研究． 发现： （1）如图1，在和中，，，，点在线段上，连接、、则和的数量关系是________，和的位置关系是________． 深入研究： （2）如图2和图3，将绕点旋转（旋转角），其他条件与（1）相同，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一种情况证明；若不成立，请说明理由． 拓展延伸： （3）如图4，若图2中的点落在线段上，其他条件不变，则此时线段、、的数量关系是________． （4）如图5，是等腰直角三角形，，点为外一点，且，连接．若，，则的长为________． 【答案】（1），；（2）结论，仍然成立．理由见详解；（3）；（4）6 【分析】（1）证明可得数量关系，证可得位置关系； （2）先证明，结合，，证明可得数量关系，证可得位置关系； （3）先证明，结合，，证明可得，，则，再结合勾股定理可得结论； （4）作等腰直角三角形，，，连接，则，，，同理可得，， 则，结合即可解答． 【详解】（1）解：延长交于F，如图1， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴和的数量关系是，位置关系是； （2）解：结论，仍然成立．理由如下： 延长交于F，如图2， ∵， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴； 如图3， ∵， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 同理可证； （3）解：如图4， ∵， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （4）解：如图5，作等腰直角三角形，，，连接，则，，， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，熟练的利用数形结合的方法进行证明是解本题的关键． 【题型4 “半角”模型】 14．（1）特殊情景：如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由． （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一般情况“”，如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请写出理由． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 【答案】（1），见解析；（2）成立，；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的综合运用； （1）如图，将绕点顺时针旋转，得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （2）设，则，如图，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，可证，可得，在中，，可求出的长，由此可表示出的长，再根据线段的关系表示出，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，得到， 四边形中，，，， ，， ，即点，，共线． 由旋转可得，，． ， ， ， 在和中， ， ． 又， ； （2）成立．； 证明：设，则， 如图，将绕点顺时针旋转得到， ，，，． ， ， 点，，在同一直线上． ，， ， ， ， 在和中， ， ； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， 在中，， ，， ，，即， ． ， ，即， 解得 15．【综合与探究】数学课上，李老师布置了一道题目：如图①，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：． (1)【思路梳理】“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整： ，将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ，即点，，共线， ， ，， 又，__________（__________________）（写依据） ． (2)【类比引申】“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图②，在四边形中，，点，分别在边，上，，连接．若，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由． (3)【联想拓展】“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图③，在中，，，点，均在边上，且．当，时，直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)成立，理由见详解 (3) 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定求解即可； （2）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，由旋转可知，，，判定，即可求解； （3）将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，由旋转可知，，，，判定，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， ，，，， ， ， 即点，，共线， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：；； （2）解：， 将绕点逆时针旋转至，可使与重合， 则，又， , 即，，，三点共线， ，， ， 由旋转可知，，， ， 即， ， ， ， ， ，， ； （3）解：， ∴将绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接， 由旋转可知，，，， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， ． 16．（1）如图1，在中，，，点，在上，．为了探究，，之间的等量关系，现将绕点顺时针旋转90°得到，连接．经探究，，，之间的等量关系式是_______．（无需证明） （2）如图2，在中，，，点，在上，，．试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），（2），见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的证明及勾股定理的运用． （1）将绕A顺时针旋转90°后成，可证，故，旋转角，又，故，易证，故，因为中，，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段，，之间的等量关系式； （2）方法同（1），由可得，故，斜边，直角边，由勾股定理建立等量关系即可得答案． 【详解】（1）将绕A顺时针旋转90°后成，连接， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴； 故答案为：； （2）． 证明：将绕点A顺时针旋转得到，连接． 由旋转的性质可得， ∴，，． ∴． 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴，故． 在中，由勾股定理，得 ， ∴． 17．（1）操作发现： 如图①，在五边形中，，，，试猜想、、之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证 ，故、、之间的数量关系是 ； （2）类比探究： 如图②，在四边形中，，，点E、F分别在边、的延长线上， ，连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸： 如图③，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）根据小明的解题思路即可得出答案； （2）在上取一点使得，连接，先证明得到，，进而证出，再利用全等三角形的性质以及等量代换即可得出结论； （3）将绕点A逆时针旋转至，连接，根据旋转的性质得到，，，，推出，在中利用勾股定理求出的长，再通过证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点D、E、F三点共线， ∵，，， ∴， ∴， ∴、、之间的数量关系是． 故答案为：，； （2），证明如下： 如图，在上取一点使得，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图，将绕点A逆时针旋转至，连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质得，，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边对等角、勾股定理，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．(1)如图1，在中，，，点，在边上且不与点，重合，，猜想，，之间的数量关系并说明理由． (2)如图2，在中，，，点，在边上且不与点，重合，，，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，在等边中，为内的一点，，，将绕点逆时针旋转得，连接．若，求，的长． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，利用旋转的性质可得出，利用勾股定理即可得，利用证明，即可得出结论； （2）将绕点顺时针旋转，得到，证明，利用勾股定理证明即可； （3）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出是等边三角形即可，先求出，再用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：（1）猜想：； 理由：如图1，将绕点顺时针旋转得到， ， ，，，， 在中，， ， ， 即， ， 又，， ， ， 即 ， ∵， （）， ， ； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，得到， ， ，，， ，， ， ， ，， ，且，， （） ，， ， ， ， ， ； （3）如图3中， 将绕点逆时针旋转得， ，， ，，， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ，，， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ， 在中，． 【点睛】本题查旋转的知识，全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，解题关键是正确添加辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题． 【题型5 构造旋转模型解题 】 19．旋转在几何学中扮演着重要的角色，通过图形的旋转，可以巧妙地构造出全等条件，从而解决问题． (1)如图1，点D，E分别为等边边，上的点，以为边作等边交于点G．连接．判断，，的数量关系； A同学的思路：将绕点D逆时针旋转； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转； 请你参考以上方法判断，，的数量关系为 ． (2)如图2，点D为等边外一点，连接，，，其中与交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为等腰直角三角形，，点D为外一点，连接，，，其中交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由．    【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则A同学的思路：将绕点D逆时针旋转，如图1.1，此时旋转后与重合，旋转到，连接，由旋转可得，，，然后可得，进而问题可求解；B同学的思路：将绕点E顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，由旋转可得，，，然后可得，进而问题可求解；C同学的思路：将绕点F顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，，由旋转可得，，，，然后可得，进而问题可求解； （2）在上取一点F，使，连接，由题意易得，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （3）在上取一点F，连接，使得，由题意易得，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴． A同学的思路：将绕点D逆时针旋转，如图1.1，此时旋转后与重合，旋转到，连接，    由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴点M在线段上， ∴， ∴； 故答案为：； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，    由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点N在线段上， ∴， ∴； 故答案为：； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，，        由旋转可得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点C在线段上， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图2，在上取一点F，使，连接，      ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，在上取一点F，连接，使得，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）存在；理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ； 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ； 综上：或． 21．如图1，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图2，当，且点D在线段上时，线段与线段的关系是______，______． (2)如图3，当，且点D在线段上时，猜想线段之间的数量关系，并加以证明； (3)当，，时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）将线段绕点A逆时针旋转得到线段，根据题意证明，即可得到结论； （2）证明，根据勾股定理即可得到结论； （3）由勾股定理求出，分当D在线段上时和当D在延长线上时两种情况进行分类讨论． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ． 在与中， ， ， ，， ∴； 故答案为：； （2）解：线段、、之间的数量关系为，证明如下： ，， ， 同（1）可证， ，， ， ， ； （3）解：∵，， ，， ∵， ∴，即， ①当D在线段上时，如图： ， ， 由（2）知， ， ∴； ②当D在延长线上时，如图： ， ， ． ∴ 综上所述，的长度为或． 【题型6 奔驰模型】 22．P为等边内一点，将绕点B逆时针旋转至． (1)画出旋转后的； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造等边三角形． （1）根据旋转的三要素即可作图； （2）先证明为等边三角形，再由勾股定理逆定理证明，再由角的和差计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转至， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图，P是正三角形内的一点，且，若将绕点A顺时针旋转后得到， （1）求旋转角的度数； （2）求点P与点之间的距离； （3）求的度数． 【答案】（1），（2）6，（3）． 【分析】（1）根据旋转的定义及性质可得三角形全等，利用全等三角形的性质，然后结合图形即可得旋转角为； （2）根据（1）及全等三角形性质可得为等边三角形，即可确定点P与点之间的距离； （3）由（1）（2）可得各边长，然后利用勾股定理逆定理，可确定为直角三角形，即，又因为，即可确定的度数． 【详解】解：（1）∵由绕点A旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴旋转角度数为； （2）如图所示，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴, 即点P与点之间的距离为6； （3）在中， 由（1）得：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的度数为． 【点睛】题目主要考查旋转的定义、性质，三角形全等的性质及勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握知识点并融会贯通，是解题关键． 【题型7 费马点模型】 24．（1）【操作发现】 如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】 如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】 如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】 如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形， ，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案； （4）先由旋转的性质得出，则，推出是等边三角形，那么有，当、、、在一条直线上时，最小，此时，再求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中， （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形， ， ， ，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ， ，， 是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小 当最小时， 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 25．（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短 （2）5 （3） 【分析】（1）根据推论过程填写根据即可；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可． 【详解】（1），， 为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值． 故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 根据旋转的性质可知：， ， 即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中， ， ， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 26．问题的提出：如果点P是锐角内一动点，如何确定一个位置，使点P到的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？ (1)问题的转化：如图，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1画出上述操作的最终图象的示意图，并证明：； (2)问题的解决：当点P到锐角的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，则∠APB的度数是___________，∠APC的度数是___________； (3)问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【答案】(1)画图见解析；证明见解析 (2)120°；120° (3) 【分析】（1）问题的转化：根据旋转的性质证明是等边三角形，则，可得结论； （2）问题的解决：运用类比的思想，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，由“问题的转化”可知：当在同一直线上时，的值为最小，当满足时，满足三点共线； （3）问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角，利用勾股定理求的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【详解】（1）解：如图1， 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）满足时，PA+PB+PC的值为最小，理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转60°得到，连接，由“问题的转化”可知： 当在同一直线上时，的值最小． 由旋转可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， 故答案为：，； （3）如图3， 在中， ∵，， ∴，， 把绕点B逆时针旋转60°得到，连接， 由旋转可得，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当在同一直线上时，的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $