精品解析：吉林长春市第六中学2025-2026学年高二下学期第一学程考试数学试题

2025-2026年度高二下学期第一学程考试 数学学科试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：钟智勇 审题人：刘妍彤 张林平 一、单选题：本题共8小题，共40分. 1. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以． 故选：C. 3. 将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 180种 C. 60种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解. 【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：A. 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 5. 如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出，的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】因为，所以与所成的角即或其补角. 设，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立 如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以的中点，，， ，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 6. 从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当个位数是时，有种； 当个位数是或时，有种， 所以组成的四位数的偶数共有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，个位是且比大的偶数有种， 个位是且比大的偶数有种， 所以比大的偶数共有种， 所以所求概率为. 7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（ ） A. 第二天去甲影院的概率为0.54 B. 第二天去乙影院的概率为0.46 C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 8. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子（，3，4），下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D. 若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的性质判断A，求出条件概率判断B，分别讨论奖品在1，2，3，4号箱子时，根据全概率公式计算出，再由条件概率公式求出 【详解】对选项A，因为四个箱子中奖品是等可能放置的，因此每个箱子有奖品的概率都相等，即，A错； 对选项B，表示2号箱子中有奖品，因此主持人不能打开2号箱，所以主持人只能从3号和4号箱子中选择一个打开，所以，B错； 对选项C，D，，说明主持人打开了3号箱， 奖品在1号箱子里，主持人可打开2，3，4号箱子，故， 奖品在2号箱子里，主持人只能打开3，4号箱子，故， 奖品在3号箱子里，主持人不可打开3号箱子，故， 奖品在4号箱子里，主持人可打开2，3号箱子，故， 由全概率公式得， ， ， ， 因此C错D正确. 二、多选题：本题共3题，共18分. 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为 C. 奇数项的系数和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 10. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 过与双曲线有一个公共点直线有3条 D. 若，则的面积为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线定义判断A，根据双曲线定义及图象可判断B，根据双曲线的性质判断C，根据定义及直角三角形判断D. 【详解】如图， 由双曲线方程知， 所以由双曲线定义知，故A正确； 因为，所以，， 由，故B正确； 过M与两渐近线平行的直线仅1个交点，过M与左支相切与右支无交点的直线有1条， 过M与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C错误； 若，则，即， 所以，解得， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题C选项也可以通过设直线联立双曲线方程采用纯代数的方法进行判断，选项D可以直接利用焦点三角形的面积公式判断. 11. “杨辉三角”如图所示，则（ ） A. 第6行所有数中，第4个数最大 B. 72在杨辉三角中出现了3次 C. 第100行的所有数之和被5除的余数为1 D. 将第5行的数排成一列，相同数字不相邻的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理及二项式系数性质可判断ABC，利用分类思想来研究不相邻问题，结合相同元素的排列问题要消序即可判断D． 【详解】对于A，第6行所有数中共有7个数，则第4个数最大，故A正确； 对于B，由二项式系数性质可知，要使72在杨辉三角中出现的次数为奇数次，则72必在偶数行中间位置， 而第6行的数为：1，6，15，20，15，6，1； 第8行的数为：1，8，28，56，70，56，28，7，1； 第10行的数为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1； 随着行数的增加，中间数字也在增大，故偶数行中间数不可能为72， 故72在杨辉三角中出现的次数为偶数次，故B错误； 对于C，第100行的所有数之和为， 因为, 而能被5整除， 所以第100行的所有数之和被5除的余数为1，故C正确； 对于D，第5行的数字排成一列，利用分类思想， 第一类：两个数字这间插入一个数，有种方法，即放入或， 此时假如把捆绑，与剩下的排列，再把两个插空即可得：， 所以此类共有种排法； 第二类：两个数字这间插入两个数，有种方法，即或， 此时假如把捆绑，与剩下的全排列，共有， 所以此类共有种排法； 第三类：两个数字这间插入三个数，有种方法，即或， 此时假如把捆绑，与剩下的全排列，共有， 所以此类共有种排法； 第四类：两个数字这间插入四个数，有种方法，即或， 综上可得相同数字不相邻的排法有， 而数字的排列有， 所以相同数字不相邻的概率为，故D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：对于选项C，要利用好二项式系数的对称性，再结合二项式系的单调性即可判断，对于选项D，要利用好分类列举再排列的思想，这样能避免重复现象，当然还要用到相同元素的排列问题要注意消序. 三、填空题：本题共3题，共15分. 12. 把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种. 【答案】## 【解析】 【分析】利用分步计数乘法原理，即可求解. 【详解】分步计数乘法原理：每封信都有种投法，所以总共有， 故答案为： 13. 若将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为__________．（用数字作答） 【答案】211 【解析】 【分析】根据图形得出递推数列，求出通项公式可得答案. 【详解】记 “拐角数”构成的数列为，观察数字特征可得， 累加可得， 所以. 14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，找到与之间的关系式，从而求出通项公式 【详解】甲乙口袋均取到黑球，或均取到白球，所以， 当（）时， ， 整理得，其中， 故是公比为的等比数列，所以， 故； 四、解答题：本题共5题，共77分. 15. 已知等差数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求首项、公差即可得解； （2）根据等差数列、等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 即解得 所以 【小问2详解】 因为数列是首项为2，公比为3的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 . 16. 已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）10 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的对称性，可知展开式的项数，即可得解； （2）分别赋值即可求解； （3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解. 【小问1详解】 因为的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共项，其中第6项是唯一中间项， 所以. 【小问2详解】 由， 可令，得， 再令，可得， 所以. 【小问3详解】 二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. 17. 甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． （1）求第2局比赛甲胜的概率； （2）在的条件下，求甲胜的概率； （3）求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解； （2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解； （3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和． 【小问1详解】 设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜， 由全概率公式得． 【小问2详解】 表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜： 乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为， 甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为， ， 甲胜的概率为． 【小问3详解】 时，甲胜的概率为； 时，甲胜的概率为； 时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为； 时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”， 概率为， 甲胜的概率为． 18. 已知椭圆过点，且离心率为 （1）求E的方程； （2）直线经过E的左焦点与E相交于A，B两点，直线与E相交于C，D两点，且的交点为E的右焦点，记的斜率分别为 （i）证明：λ为定值； （ii）求点P到的距离的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念以及椭圆离心率的定义，列出方程，求出参数值，写出椭圆标准方程即可； （2）（i）根据直线与椭圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，表示出两直线的斜率，进而判断斜率间的数量关系即可．　 （ii）利用点斜式表示出直线的方程，进而得到过定点，再结合两点间的距离公式求解． 【小问1详解】 解：由已知得，解得， 故E的方程为 【小问2详解】 （i）证明：由（1）知，设的方程为，则 设 则， 设的方程为 将与椭圆方程联立得( 设， 则为上面方程两根， 所以， 故 因此 同理 所以 所以 (ii)解：由（i）知， 的方程为， 即 又化简得所以直线过定点， 所以点到的距离的最大值． 19. 近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： （1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； （2）若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ （3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 【答案】（1） （2） （3）双败赛制对强队更有利 【解析】 【分析】（1）用列举法写出随机选出2支队伍的各种情况，然后由概率公式得结论； （2）分析单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的所有情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式计算； （3）分别分析出在两种赛制下A赢的情况，然后结合独立事件和互斥事件的概率公式计算出两种赛制下A赢的概率，作差比较后可得. 【小问1详解】 从4支队伍中随机选出2支，共有6种可能：， 其中选出的2支队伍恰好是A和B的只有一种：， 所以选出的两支队伍恰好是A和B的概率为. 【小问2详解】 设事件“A对阵B或C或D时，A赢”，，， 设事件B=“B对阵C或D时，B赢”，事件C=“C对阵B或D时，C赢”，事件D=“D对阵C或B时，D赢”，则，事件M，B，C，D相互独立， 设事件N=“单败淘汰赛赛制下，B获得冠军”，则事件N包含两种情况： ① A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后C、 B对阵时B赢，即事件， ； ②A、 C对阵时C赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时B赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以 所以； 所以在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率为； 【小问3详解】 在单败淘汰赛赛制下，A要想获得冠军，有两种情况： ① A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时B赢，最后A、 B对阵时A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，B、 D对阵时D赢，最后A、 D对阵时A赢，即事件， ， 因为事件和互斥，所以A获得冠军的概率为 ； 在双败赛制下，A要想获得冠军，从每场A参与的比赛中A的输赢角度出发，有三种情况： ①A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A赢，最后一场比赛A赢，即事件， ； ②A、 C对阵时A赢，A与B、 D对阵中的胜者对阵时A输，B、 D对阵中的负者与C对阵时的胜者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ； ③A、 C对阵时A输，A与B、 D对阵中的负者对阵时A赢，B、 D对阵中的胜者与C对阵时的负者与A对阵时A赢，最后一场A赢，即事件， ， 所以A获得冠军的概率为 ， ， 所以当时，，因此双败赛制对强队更有利. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度高二下学期第一学程考试 数学学科试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：钟智勇 审题人：刘妍彤 张林平 一、单选题：本题共8小题，共40分. 1. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（ ） A. 90种 B. 180种 C. 60种 D. 120种 4. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 5. 如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（ ） A. 第二天去甲影院的概率为0.54 B. 第二天去乙影院的概率为0.46 C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 8. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子（，3，4），下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D. 若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 二、多选题：本题共3题，共18分. 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为 C. 奇数项的系数和为 D. 10. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 过与双曲线有一个公共点直线有3条 D. 若，则的面积为5 11. “杨辉三角”如图所示，则（ ） A. 第6行所有数中，第4个数最大 B. 72在杨辉三角中出现了3次 C. 第100行的所有数之和被5除的余数为1 D. 将第5行的数排成一列，相同数字不相邻的概率为 三、填空题：本题共3题，共15分. 12. 把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种. 13. 若将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为__________．（用数字作答） 14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则______. 四、解答题：本题共5题，共77分. 15. 已知等差数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 16. 已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． （1）求第2局比赛甲胜的概率； （2）在的条件下，求甲胜的概率； （3）求比赛结束时甲胜的概率． 18. 已知椭圆过点，且离心率为 （1）求E的方程； （2）直线经过E的左焦点与E相交于A，B两点，直线与E相交于C，D两点，且的交点为E的右焦点，记的斜率分别为 （i）证明：λ为定值； （ii）求点P到的距离的最大值. 19. 近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p，，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵. 双败赛制规则如下图所示： （1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率； （2）若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？ （3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并说明哪种赛制对强队更有利？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $