专项素养巩固训练卷(十) 平行线拐点问题的两种解法-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（苏科版·新教材）

这是一份初中数学期末专项素养巩固训练课件，聚焦平行线拐点问题，系统讲解过拐点作平行线、构造三角形两种核心解法，包含9道不同难度题目及详细解析，为学生提供阶梯式学习支架。 资料特色突出，以新课标核心素养为导向，通过多解法题目（如第6题、第8题）培养数学思维，规律探究题（第9题）发展推理能力，结合几何直观与空间观念，帮助学生掌握解题策略，也为教师教学提供系统训练素材，助力期末复习提升。初中学生在期末阶段需巩固几何综合应用，此资料能有效培养逻辑推理与空间想象，适应升学考试几何重点考查需求。

专项素养巩固训练卷(十) 平行线拐点问题的两种解法 初中同步培优卷 解法指导 当两条平行线不是被第三条直线所截,而是被一条折线所截 时,平行线的性质不能直接应用,解决此类问题常用的方法有 两种: ①过折线的“拐点”(即转折点)作平行线(如图1),再利用平 行线公理的推论得出三条直线互相平行,从而多次利用平行 线的性质解决问题. ②过“拐点”作延长线(如图2),构造三角形,利用平行线的性 初中同步培优卷 质与三角形的内角和定理解决问题.   初中同步培优卷 1. (★★☆)如图,直线AB∥CD,GE⊥EF于点E.若∠BGE=60°, 则∠EFD的度数是 ( )   A. 60°　　　    B. 30°　　　    C. 40°　　　    D. 70°     B     初中同步培优卷 解析　如图,过点E作EM∥AB, 所以∠GEM=∠BGE=60°, 因为GE⊥EF,所以∠GEF=90°, 所以∠FEM=∠GEF-∠GEM=30°, 因为AB∥CD,AB∥EM,所以CD∥EM, 所以∠EFD=∠FEM=30°.故选B. 初中同步培优卷 2. (★★☆)如图,AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=147°,则∠C的 度数为 ( )   A. 70°　　　    B. 33°　　　    C. 77°　　　    D. 37°     D     初中同步培优卷 解析　如图,反向延长DE交BC于点M.   因为AB∥DE,所以∠BMD=∠ABC=70°,所以∠CMD=180°- ∠BMD=110°.又因为∠CDE=∠CMD+∠BCD,所以∠BCD= ∠CDE-∠CMD=147°-110°=37°.故选D. 初中同步培优卷 3. (★★☆)如图所示的“箭头”图形中,AB∥CD,∠B=∠D= 80°,∠E=∠F =47°,则∠G的度数是 ( )   A. 80°　　　    B. 76°　　　    C. 66°　　　    D. 56°     C     初中同步培优卷 解析　如图,延长AB交EG于点M,延长CD交GF于点N,过点G 作AB的平行线GH.因为∠E=∠F=47°,∠EBA=∠FDC=80°,所 以∠EMA=∠EBA-∠E=33°,∠FNC=∠FDC-∠F=33°.因为AB ∥CD,AB∥HG,所以HG∥CD∥AB,所以∠MGH=∠EMA=33°, ∠NGH=∠FND=33°,所以∠EGF=33°+33°=66°.   初中同步培优卷 4. (★★☆)如图,AB∥CD,用含∠1,∠2,∠3的式子表示∠4,则 ∠4等于 ( )   A. ∠1+∠2-∠3　　　     B. ∠1+∠3-∠2 C. 180°+∠3-∠1-∠2　　　     D. ∠2+∠3-∠1-180°     D     初中同步培优卷 解析　如图,过点E作EG∥AB,过点F作FH∥CD.   因为AB∥CD, 所以AB∥CD∥EG∥FH, 所以∠1=∠AEG, 初中同步培优卷 所以∠GEF=∠2-∠1. 因为EG∥FH, 所以∠EFH=180°-∠GEF=180°-(∠2-∠1)=180°-∠2+∠1, 所以∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-(180°-∠2+∠1)=∠2+∠3-∠1- 180°. 因为FH∥CD, 所以∠4=∠CFH=∠2+∠3-∠1-180°.故选D. 初中同步培优卷 5. (★☆☆)如图所示,AB∥DE,∠1=130°,∠2=36°, 则∠3=____°.           86 初中同步培优卷 解析　如图,过点C作CM∥AB,则CM∥DE. 因为CM∥DE,∠2=36°, 所以∠MCD=∠2=36°. 因为AB∥CM,∠1=130°, 所以∠MCB=180°-∠1=50°, 所以∠3=∠MCB+∠MCD=50°+36°=86°.故答案为86. 初中同步培优卷 6. 【学科特色·多解法】(★★☆)如图,已知AB∥CD,含30°角 的直角三角尺EFG的直角顶点E在CD上,FG与AB交于点H,若 ∠AHG=18°,则∠FED的度数为___________.       42°     初中同步培优卷 解析　【解法一】如图1,过点F作FP∥AB.因为△EFG为含30°角的直角三角尺,所以∠GFE=60°.因为AB∥FP,∠AHG=18°, 以∠GFP=∠AHG=18°,所以∠PFE=∠GFE-∠GFP=60°- 18°=42°.因为AB∥CD,FP∥AB,所以FP∥ED.所以∠FED= ∠PFE=42°. 初中同步培优卷 【解法二】如图2,延长EF交AB于点M. 因为∠FHM=∠AHG=18°,∠HFE=60°, 所以∠HMF=∠HFE-∠FHM=60°-18°=42°. 因为AB∥CD,所以∠FED=∠HMF=42°. 初中同步培优卷 7. (★☆☆)如图,已知AB∥CD. (1)若∠B=130°,∠D=152°,求∠E的度数. (2)猜想∠B+∠E+∠D的度数,并说明理由.   初中同步培优卷 解析    (1)如图,过E作EF∥AB. 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EF, 所以∠B+∠BEF=180°,∠D+∠DEF=180°, 所以∠B+∠D+∠BED=360°. 因为∠B=130°,∠D=152°, 所以∠BED=78°. 初中同步培优卷 (2)∠B+∠BED+∠D=360°.理由:如图,EF∥AB, 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EF, 所以∠B+∠BEF=180°,∠D+∠DEF=180°, 所以∠B+∠D+∠BED=360°. 初中同步培优卷 8. 【学科特色·多解法】(★★☆)如图,AB∥CD,点E是平行线 外一点,连接BE,DE,若∠ABE=156°,∠E=30°,求∠D的度数.   初中同步培优卷 解析　【解法一】如图1,延长AB交DE于点F, 则∠BFE=∠ABE-∠E=156°-30°=126°. 因为AB∥CD,所以∠D=∠BFE=126°.  　      初中同步培优卷 【解法二】如图2,过点E作EF∥AB, 则∠BEF=180°-∠ABE=24°, 所以∠DEF=∠BEF+∠DEB=24°+30°=54°. 因为EF∥AB,AB∥CD,所以EF∥CD, 所以∠D=180°-∠DEF=126°. 初中同步培优卷 9. (★★☆)如图,已知AB∥CD,试探索每一个图中角的数量关 系.   (1)图①中,∠1,∠2,∠3的数量关系为____________. (2)图②中,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5的数量关系为_____________. 初中同步培优卷 (3)图③中,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6,∠7的数量关系为______ ______________. (4)你能发现什么规律?试说明理由. 初中同步培优卷 解析    (1)如图,过点O作OE∥AB. 所以∠1=∠BOE. 因为AB∥CD, 所以OE∥CD, 所以∠3=∠EOD, 所以∠1+∠3=∠BOE+∠EOD=∠2, 初中同步培优卷 即∠1+∠3=∠2. 故答案为∠1+∠3=∠2. (2)如图,过点F作FG∥AB,则AB∥GF∥CD.   同(1)可知∠1+∠MFG=∠2,∠GFN+∠5=∠4, 所以∠1+∠MFG+∠GFN+∠5=∠2+∠4. 初中同步培优卷 因为∠MFG+∠GFN=∠3, 所以∠1+∠3+∠5=∠2+∠4. 故答案为∠1+∠3+∠5=∠2+∠4. (3)如图,过点H作HI∥AB,则AB∥HI∥CD.   同(1)可知∠1+∠JHI=∠2, 初中同步培优卷 同(2)可知∠IHP+∠5+∠7=∠4+∠6, 所以∠1+∠JHI+∠IHP+∠5+∠7=∠2+∠4+∠6. 因为∠JHI+∠IHP=∠3, 所以∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+∠4+∠6. 故答案为∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+∠4+∠6. (4)左向角之和等于右向角之和. 理由:此类图形可以看作以(1)中图形为基本图形进行叠加,结 合(1)的结论可求得左向角之和等于右向角之和. 初中同步培优卷 $